第2章 有理数-绝对值重难点讲解2026-2027学年苏科版七年级数学上册

本讲义聚焦初中数学绝对值核心知识点，从定义（数轴上点到原点距离，非负性）出发，系统梳理普通化简、0+0型（非负性应用）、数轴化简（结合数轴判断正负）、分类讨论化简（对a正负分类）等题型，拓展至多个绝对值之和最小值（距离模型），构建从基础到应用的学习支架。 该资料以几何直观（数轴）和逻辑推理（分类讨论）为特色，通过“方法提示+例题+练习”分层设计，如数轴化简四步法培养推理意识，最小值问题转化为距离模型发展模型意识。课中辅助教师突破重难点，课后巩固练习帮助学生查漏补缺，提升应用能力。

绝对值重难点讲解 绝对值表示数轴上的点到原点的距离，因此一个数的绝对值具有非负性。绝对值的化简结果如下： ， 目录： 题型一： 普通绝对值化简 题型二： 0+0 题型三： 根据数轴化简绝对值 题型四： 的化简 拓展： 多个绝对值之和求最小值 【题型一：普通绝对值化简】 例1:已知|x|＝8，|y|＝2． （1）求x，y的取值； （2）当x＜y，求3x+y的值． 练习： 1.已知|x|＝3，|y|＝7． （1）若x＞0，y＜0，求x，y的值；（2）若x＜y，求x，y的值． 【题型二：0+0】 绝对值，平方都具有非负性，因此绝对值和平方任意组合相加等于0，都只能是0+0=0 举例： ∵，，∴a+b=0，b-1=0，∴b=1，a=-1 例2.已知|x﹣2|+|y+3|＝0． （1）求x，y的值；（2）已知|y+z|＝2025，求z的值． 练习： 1.若|a﹣3|+|b﹣2|＝0，求a和b的值． 2．若|a﹣3|+|b﹣4|＝0，|c|＝5，计算a+b﹣c的值． 【题型三：根据数轴化简绝对值】 方法提示：第一步：先判断绝对值里面的正负情况，右边的点表示的数比左边的点表示的数要大。 两数相减：大-小=正，小-大=负。 同号两数相加：正+正=正，负+负=负。 异号两数相加：最终符号跟绝对值较大的加数相同。 第二步：将所有的绝对值改成括号，括号里面的内容照搬绝对值里面的。 第三步：判断出来是正的，括号前符号不变；判断出来是负的，括号前符号改变。 第四步：去括号，合并。 例1.有理数a、b、c在数轴上的位置如图： （1）判断正负，用“＞”或“＜”填空：b﹣c　 　 0，a+b　 　 0，c﹣a　 　 0． （2）化简：|b﹣c|+|a+b|﹣|c﹣a|． 【解答】解：（1）由图可知，a＜0，b＞0，c＞0且|b|＜|a|＜|c|， 所以，b﹣c＜0（小-大），a+b＜0（异号相加，a的绝对值大），c﹣a＞0（大-小）； 故答案为：＜，＜，＞； （2）|b﹣c|+|a+b|﹣|c﹣a|＝-（b-c）-(a+b)-（c-a）＝-b+c-a-b-c+a＝﹣2b． 练习： 1.有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示． （1）填空：|a|＝ 　 ；|a﹣b|＝ ； （2）化简：|a+c|﹣3|c﹣b|+2|a+b|． 2.已知a，b，c在数轴上的位置如图所示，所对应的点分别为A，B，C． 化简：|a+b|﹣|c﹣b|+2|c﹣a|． 【题型四：的化简】 方法提示：，取倒数结果一样。所以化简此类题目，关键在于对a的正负进行分类讨论。 举例：若有理数a、b均不等于零，试求的值． 当a＞0，b＜0时，； 当a＞0，b＞0时，； 当a＜0，b＜0时，； 当a＜0，b＞0时，； 综上，的值为2或0或﹣2． 例1.“分类讨论”是解决数学问题的一种重要思想方法，下面是运用“分类讨论”的数学思想解决问题的过程，请仔细阅读，并解答题目后提出的“探究”． 【知识背景】 当a＞0时，|a|＝a；当a＝0时，|a|＝0；当a＜0时，|a|＝﹣a． 【解决问题】 （1）当a＞0时，　 　 ，当a＜0时，　 　 ． （2）如果有理数a、b满足ab＜0时，则　 　 ． 【类比探究】 三个有理数a、b、c满足abc＜0，求的值． 练习： 1.阅读下列材料：．当a＞0时，；当a＜0时，．运用以上结论解决下面问题： （1）已知x，y是有理数，当xy＞0时，则 　 　 ； （2）已知x，y，z是有理数，当xyz＜0时，求的值； （3）已知x，y，z是有理数，x+y+z＝0，且xyz＜0，求的值． 【拓展：多个绝对值之和求最小值】 求多个绝对值之和的最小值可根据点与点之间的距离来解决。 举例：1.:数轴上表示x到3的距离，：数轴上表示x到-3的距离。 2.求+的最小值 该题目可以转化为x到3的距离与x到6的距离之和。3和6将数轴分成了3段，当x在中间段3～6之间时，距离之和最小即为3到6的距离。 故最小值为3. 3.求++的最小值 该题目可以转化为x到-3的距离与x到1的距离以及x到4的距离之和。-3，1，4将数轴分成了4段，所以当x在最中间的位置，也就是1处时，距离之和最小即为4到-3的距离。 故最小值为7. 技巧总结：先找每个绝对值里面等于0时的x值，当x将数轴分成偶数段时，x取最中间的那个数时有最小值；当分成奇数段时，取最中间一段时有最小值。 例1:（1）当x的值在 　 　 的范围时，|x﹣1|+|x﹣3|的最小值________； （2）当x的值取______时，|x﹣1|+|x﹣3|+|x﹣5|的最小值是 　 　 ； 练习： 1.当|x﹣3|+|x﹣6|有最小值时，请写出x满足的条件，并求出最小值是多少． 2.当a＝　 　 时，|a+3|+|a﹣1|+|a﹣4|的值最小，最小值是　 　 ． 3.试求|x﹣1|+|x﹣2|+|x﹣3|+…+|x﹣100|的最小值． 4.求出|x﹣1|+|x﹣5|的最小值，并写出此时x可取哪些整数值？ 巩固练习： 1.已知|x﹣3|+|y+5|＝0，求|x﹣y|的值． 2.若|x+2|与|1﹣2y|互为相反数，求2x+3y的值． 3.有理数a，b，c在数轴上对应点的位置如图1所示，化简：|a﹣b|﹣2|a+b|+|b+c|． 4.有理数a、b、c在数轴上的位置如图所示，化简：|a﹣b|﹣|b﹣c|+|c﹣a|． 5.已知a是非零有理数，求的值． 6.结合数轴与绝对值的知识回答下列问题： 一个数在数轴上所对应的点到原点的距离叫做这个数的绝对值，绝对值用“||”来表示，|b﹣a|或|a﹣b|指数轴上表示数a的点和表示数b的点之间的距离． （1）如图，数轴上表示数3和数1的两个点之间的距离是　 　 ；表示数3和数﹣2的两个点之间的距离是　 　 ，数x与数﹣5表示的两个点之间的距离是　 　 ． （2）如果x表示一个有理数，则|x+4|+|x﹣4|＝10时，x＝　 　 ． （3）如果x表示一个有理数，那么|x+4|+|x﹣4|是否存在最小值，若存在，请求出最小值，并写出x的范围．若不存在，请说明理由． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 绝对值重难点讲解 绝对值表示数轴上的点到原点的距离，因此一个数的绝对值具有非负性。绝对值的化简结果如下： ， 目录： 题型一： 普通绝对值化简 题型二： 0+0 题型三： 根据数轴化简绝对值 题型四： 的化简 拓展： 多个绝对值之和求最小值 【题型一：普通绝对值化简】 例1:已知|x|＝8，|y|＝2． （1）求x，y的取值； （2）当x＜y，求3x+y的值． 【解答】解：（1）∵|y|＝2，|x|＝8，∴y＝±2，x＝±8， （2）当x＜y时， x＝﹣8，y＝﹣2时，3x+y＝3×（﹣8）+（﹣2）＝﹣26， x＝﹣8，y＝2时，3x+y＝3×（﹣8）+2＝﹣22， 则3x+y的值为﹣22或﹣26． 练习： 1.已知|x|＝3，|y|＝7． （1）若x＞0，y＜0，求x，y的值；（2）若x＜y，求x，y的值． 【解答】解：（1）∵|x|＝3，|y|＝7，∴x＝±3，y＝±7， 又∵x＞0，y＜0，∴x＝3，y＝﹣7； （2）∵|x|＝3，|y|＝7，x＜y，∴x＝3，y＝7或x=-3，y=7 【题型二：0+0】 绝对值，平方都具有非负性，因此绝对值和平方任意组合相加等于0，都只能是0+0=0 举例： ∵0，0，∴a+b=0，b-1=0，∴b=1，a=-1 例2.已知|x﹣2|+|y+3|＝0． （1）求x，y的值；（2）已知|y+z|＝2025，求z的值． 【解答】解：（1）∵|x﹣2|+|y+3|＝0， 又∵|x﹣2|≥0，|y+3|≥0，∴|x﹣2|＝0，|y+3|＝0，∴x﹣2＝0，y+3＝0， ∴x＝2，y＝﹣3； （2）∵|y+z|＝2025，∴y+z＝±2025，即y+z＝2025或y+z＝﹣2025， 由（1）知y＝﹣3，∴﹣3+z＝2025或﹣3+z＝﹣2025， ∴z＝2028或z＝﹣2022． 练习： 1.若|a﹣3|+|b﹣2|＝0，求a和b的值． 【解答】解：∵|a﹣3|+|b﹣2|＝0，∴a﹣3＝0，b﹣2＝0，∴a＝3，b＝2． 2．若|a﹣3|+|b﹣4|＝0，|c|＝5，计算a+b﹣c的值． 【解答】解：∵|a﹣3|+|b﹣4|＝0， 又∵|a﹣3|≥0，|b﹣4|≥0，∴a﹣3＝0，b﹣4＝0，解得a＝3，b＝4， ∵|c|＝5，∴c＝±5， 当a＝3，b＝4，c＝5时，a+b﹣c＝3+4﹣5＝2， 当a＝3，b＝4，c＝﹣5时，a+b﹣c＝3+4﹣（﹣5）＝3+4+5＝12， 综上，a+b﹣c的值为2或12． 【题型三：根据数轴化简绝对值】 方法提示：第一步：先判断绝对值里面的正负情况，右边的点表示的数比左边的点表示的数要大。 两数相减：大-小=正，小-大=负。 同号两数相加：正+正=正，负+负=负。 异号两数相加：最终符号跟绝对值较大的加数相同。 第二步：将所有的绝对值改成括号，括号里面的内容照搬绝对值里面的。 第三步：判断出来是正的，括号前符号不变；判断出来是负的，括号前符号改变。 第四步：去括号，合并。 例1.有理数a、b、c在数轴上的位置如图： （1）判断正负，用“＞”或“＜”填空：b﹣c　 　 0，a+b　 　 0，c﹣a　 　 0． （2）化简：|b﹣c|+|a+b|﹣|c﹣a|． 【解答】解：（1）由图可知，a＜0，b＞0，c＞0且|b|＜|a|＜|c|， 所以，b﹣c＜0（小-大），a+b＜0（异号相加，a的绝对值大），c﹣a＞0（大-小）； 故答案为：＜，＜，＞； （2）|b﹣c|+|a+b|﹣|c﹣a|＝-（b-c）-(a+b)-（c-a）＝-b+c-a-b-c+a＝﹣2b． 练习： 1.有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示． （1）填空：|a|＝ 　 ；|a﹣b|＝ ； （2）化简：|a+c|﹣3|c﹣b|+2|a+b|． 【解答】解：（1）由数轴得b＜a＜0，∴a﹣b＞0（大-小）， ∴|a|＝﹣a，|a﹣b|＝a﹣b， 故答案为：﹣a，a﹣b； （2）由数轴得b＜a＜0，c＞0，|a|＞|c|， ∴a+c＜0，c﹣b＞0，a+b＜0， ∴|a+c|﹣3|c﹣b|+2|a+b|＝﹣（a+c）﹣3（c﹣b）-2（a+b）＝﹣a﹣c﹣3c+3b﹣2a﹣2b ＝﹣3a+b﹣4c． 2.已知a，b，c在数轴上的位置如图所示，所对应的点分别为A，B，C． 化简：|a+b|﹣|c﹣b|+2|c﹣a|． 【解答】解：∵从数轴可知：a+b＞0，c﹣b＜0，c﹣a＜0， ∴|a+b|﹣|c﹣b|+2|c﹣a|＝a+b+（c﹣b）﹣2（c﹣a）＝a+b+c﹣b﹣2c+2a＝3a﹣c． 【题型四：的化简】 方法提示：，取倒数结果一样。所以化简此类题目，关键在于对a的正负进行分类讨论。 举例：若有理数a、b均不等于零，试求的值． 当a＞0，b＜0时，； 当a＞0，b＞0时，； 当a＜0，b＜0时，； 当a＜0，b＞0时，； 综上，的值为2或0或﹣2． 例1.“分类讨论”是解决数学问题的一种重要思想方法，下面是运用“分类讨论”的数学思想解决问题的过程，请仔细阅读，并解答题目后提出的“探究”． 【知识背景】 当a＞0时，|a|＝a；当a＝0时，|a|＝0；当a＜0时，|a|＝﹣a． 【解决问题】 （1）当a＞0时，　 　 ，当a＜0时，　 　 ． （2）如果有理数a、b满足ab＜0时，则　 　 ． 【类比探究】 三个有理数a、b、c满足abc＜0，求的值． 【解答】解：解决问题：（1）当a＞0时，，当a＜0时，， 故答案为：1，﹣1； （2）∵ab＜0，∴a＞0，b＜0或a＜0，b＞0， 当a＜0，b＞0时，； 当a＞0，b＜0时，； 综上，当ab＜0时，，故答案为：0； 【类比探究】： ∵abc＜0，∴a、b、c中有1个负数或三个都是负数， ∴当a、b、c均为负数时，不妨设a＜0，b＜0，c＜0， 则， 当a、b、c中有一个负数，两个正数时，不妨设a＜0，b＞0，c＞0， 则， 综上，的值为0或﹣4． 练习： 1.阅读下列材料：．当a＞0时，；当a＜0时，．运用以上结论解决下面问题： （1）已知x，y是有理数，当xy＞0时，则 　 　 ； （2）已知x，y，z是有理数，当xyz＜0时，求的值； （3）已知x，y，z是有理数，x+y+z＝0，且xyz＜0，求的值． 【解答】解：（1）∵xy＞0， 则当x＞0，y＞0时，1+1＝2； 当x＜0，y＜0时，1+（﹣1）＝﹣2； 故答案为：2或﹣2． （2）当xyz＜0时，则x、y、z中必有一个为负，或者三个都为负， 故1+1+1＝1，或1﹣1﹣1＝﹣3． 综上，的值为1或﹣3． （3）∵x+y+z＝0，∴y+z＝﹣x，x+z＝﹣y，x+y＝﹣z， 又xyz＜0，则x、y、z中只有一个为负，其余为正， 则x为负时， 1﹣1+1＝1； y为负时， ＝﹣1+1+1＝1； z为负时， ＝﹣1﹣1﹣1＝﹣3； 综上， 为1或﹣3． 【拓展：多个绝对值之和求最小值】 求多个绝对值之和的最小值可根据点与点之间的距离来解决。 举例：1.:数轴上表示x到3的距离，：数轴上表示x到-3的距离。 2.求+的最小值 该题目可以转化为x到3的距离与x到6的距离之和。3和6将数轴分成了3段，当x在中间段3～6之间时，距离之和最小即为3到6的距离。 故最小值为3. 3.求++的最小值 该题目可以转化为x到-3的距离与x到1的距离以及x到4的距离之和。-3，1，4将数轴分成了4段，所以当x在最中间的位置，也就是1处时，距离之和最小即为4到-3的距离。 故最小值为7. 技巧总结：先找每个绝对值里面等于0时的x值，当x将数轴分成偶数段时，x取最中间的那个数时有最小值；当分成奇数段时，取最中间一段时有最小值。 例2:（1）当x的值在 　 　 的范围时，|x﹣1|+|x﹣3|的最小值________； （2）当x的值取______时，|x﹣1|+|x﹣3|+|x﹣5|的最小值是 　 　 ； [解答]（1）当x=1或3时，绝对值里面等于0，这两个数字将数轴分成例3段，所以当x取中间段时有最小值。 即当x在1≤x≤3时，|x﹣1|+|x﹣3|的最小值是2， （2）当x=1或3或5时，绝对值里面等于0，这3个数字将数轴分成例4段，所以当x取中间值3时有最小值。 即当x的取值是3时，|x﹣1|+|x﹣3|+|x﹣5|的最小值是4， 练习： 1.当|x﹣3|+|x﹣6|有最小值时，请写出x满足的条件，并求出最小值是多少． 【解答】当3≤x≤6时，|x﹣3|+|x﹣6|取得最小值为3． 2.当a＝　 　 时，|a+3|+|a﹣1|+|a﹣4|的值最小，最小值是　 　 ． 【解答】a＝1有最小值，最小值＝|1+3|+|1﹣1|+|1﹣4|＝4+0+3＝7． 3.试求|x﹣1|+|x﹣2|+|x﹣3|+…+|x﹣100|的最小值． 【解答】当50≤x≤51时，|x﹣1|+|x﹣2|+|x﹣3|+…+|x﹣100|的最小值为． 4.求出|x﹣1|+|x﹣5|的最小值，并写出此时x可取哪些整数值？ 【解答】故当1≤x≤5时，表示数x的点到表示1和5的点的距离之和最小，此时距离为4， 故x可取的整数有1，2，3，4，5． 巩固练习： 1.已知|x﹣3|+|y+5|＝0，求|x﹣y|的值． 【解答】解：∵|x﹣3|+|y+5|＝0，∴x﹣3＝0，y+5＝0，∴x＝3，y＝﹣5， ∴|x﹣y|＝|3﹣（﹣5）|＝8． 2.若|x+2|与|1﹣2y|互为相反数，求2x+3y的值． 【解答】解：∵|x+2|和|1﹣2y|互为相反数，∴|x+2|+|1﹣2y|＝0，∴x+2＝0，1﹣2y＝0， ∴x＝﹣2，y，∴2x+3y． 3.有理数a，b，c在数轴上对应点的位置如图1所示，化简：|a﹣b|﹣2|a+b|+|b+c|． 【解答】解：由数轴图可知，b＜c＜0＜a，∴a﹣b＞0，a+b＜0，b+c＜0， ∴|a﹣b|﹣2|a+b|+|b+c|＝a﹣b﹣2[﹣（a+b）]﹣（b+c）＝a﹣b+2a+2b﹣b﹣c＝3a﹣c． 4.有理数a、b、c在数轴上的位置如图所示，化简：|a﹣b|﹣|b﹣c|+|c﹣a|． 【解答】解：根据题意可知，c＜a＜0＜b，|c|＞|a|＞|b|， ∴a﹣b＜0，b﹣c＞0，c﹣a＜0， ∴原式＝﹣（a﹣b）﹣（b﹣c）﹣（c﹣a）＝﹣a+b﹣b+c﹣c+a＝0． 5.已知a是非零有理数，求的值． 【解答】解：当a＞0时，|a|＝a，∴原式＝1+1+1＝3；当a＜0时，|a|＝﹣a， 原式＝﹣1+1﹣1＝﹣1． 6.结合数轴与绝对值的知识回答下列问题： 一个数在数轴上所对应的点到原点的距离叫做这个数的绝对值，绝对值用“||”来表示，|b﹣a|或|a﹣b|指数轴上表示数a的点和表示数b的点之间的距离． （1）如图，数轴上表示数3和数1的两个点之间的距离是　 　 ；表示数3和数﹣2的两个点之间的距离是　 　 ，数x与数﹣5表示的两个点之间的距离是　 　 ． （2）如果x表示一个有理数，则|x+4|+|x﹣4|＝10时，x＝　 　 ． （3）如果x表示一个有理数，那么|x+4|+|x﹣4|是否存在最小值，若存在，请求出最小值，并写出x的范围．若不存在，请说明理由． 【解答】解：（1）数3和数1的两个点之间的距离为|3﹣1|＝2； 数3和﹣2的两个点之间的距离为|3﹣（﹣2）|＝|3+2|＝5； 数x与数﹣5的两个点之间的距离为|x﹣（﹣5）|＝|x+5|； 故答案是：2；5；|x+5|； （2）|x+4|+|x﹣4|＝10表示数轴上表示x的点分别到数﹣4与数4表示的两个点的距离和为10， 当数x位于数﹣4的左边，则，|x+4|+|x﹣4|＝﹣（x+4）+4﹣x＝10，∴﹣2x＝10，x＝﹣5； 当数x位于数4的右边，则，|x+4|+|x﹣4|＝x+4+x﹣4＝10，∴2x＝10，∴x＝5； 当数x位于数4和数﹣4的中间，则，|x+4|+|x﹣4|＝x+4+4﹣x＝8≠10，舍去； 故答案是：5或﹣5； （3） 存在，理由如下： 当数x位于数﹣4的左边，即x＜﹣4，则，|x+4|+|x﹣4|＝﹣（x+4）+4﹣x＝﹣2x＞8， 当数x位于数4的右边，即x＞4，则，|x+4|+|x﹣4|＝x+4+x﹣4＝2x＞8； 当数x位于数4和数﹣4上及中间，即﹣4≤x≤4，则，|x+4|+|x﹣4|＝x+4+4﹣x＝8； ∴当﹣4≤x≤4时，|x+4|+|x﹣4|有最小值8． 1 学科网（北京）股份有限公司 $