专题04 三角形的内角与外角 讲义-2026-2027学年人教版八年级上册数学

该初中数学讲义围绕“三角形的内角与外角”构建知识体系，通过知识框架图系统梳理八大核心知识点，涵盖内角和定理证明、与平行线结合、角平分线问题等，清晰呈现各知识点的内在联系与重难点分布。 讲义亮点在于题型设计的针对性与层次性，如折叠中的角度问题（题型13-16）培养空间观念，角平分线相关计算（题型9-12）强化推理意识。32道题从基础证明到综合应用，帮助不同层次学生提升，教师可据此实施精准复习教学。

2026-2027学年八年级上册数学《典例全解·题型通关》 专题04 三角形的内角与外角（八大题型32道题） 目录 知识点一三角形内角和定理的证明 1 知识点二与平行线有关的三角形内角和问题 2 知识点三与角平分线有关的三角形内角和问题 3 知识点四三角形折叠中的角度问题 4 知识点五三角形内角和定理的应用 6 知识点六直角三角形的两个锐角互余 7 知识点七锐角互余的三角形是直角三角形 8 知识点八三角形的外角的定义及性质 8 知识点一三角形内角和定理的证明 1．如图，铅笔放置在的边上，笔尖方向为点A到点B，把铅笔依次绕点A，点C，点B按逆时针方向旋转，，的度数后，笔尖的方向变为点B到点A，这种变化说明（    ）    A．三角形两边的和大于第三边 B．三角形两边的差小于第三边的 C．三角形三个内角的和等于 D．三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的 2．一个图形被信封遮住了一部分（如图），下面关于这个图形的说法，正确的是（     ）    A．一定是平行四边形 B．不可能是梯形 C．可能是等腰三角形 D．可能是锐角三角形 3．如图，，，，则________． 4．为了证明“三角形的内角和是”，林老师给出了如图所示四种作辅助线的方法．回答下列问题： （1）能证明“三角形内角和是”的方法是______（请填写序号）； （2）在（1）的正确方法中，任意选择其中一种方法进行证明． 知识点二与平行线有关的三角形内角和问题 5．如图，将三角尺的直角顶点放在直尺的一边上，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 6．如图，，E为上一点，，过点E作于点G，平分，且， 则下列结论中： ①； ②；③； ④平分；其中正确的结论有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 7．如图，，被直线所截，，将线段沿着直线平移得到线段，连接．在平移过程中，当时，的度数是_______． 8．如图，中，分别是上的点，满足． （1），是否平行？说明理由． （2）若平分，，求度数． 知识点三与角平分线有关的三角形内角和问题 9．如图，在中，，，平分交于点，，交于点，则的度数是（     ） A． B． C． D． 10．如图，在中，，，．则的值为（    ） A． B． C． D． 11．如图，已知三角形的三个内角平分线交于点，于点，已知，则_______． 12．如图，中，，是边上的高，为垂足，平分，交于点，，，求的度数． 知识点四三角形折叠中的角度问题 13．如图，在三角形纸片中，，，点在上且．若在上找一点，将纸片沿折叠，点落在点处，恰好与三角形的一边平行，则满足所有平行条件的度数为（     ） A．或 B．或 C．或或 D．或或 14．如图，在三角形纸片中，将纸片的一角沿折叠，使点C落在内，记为点．若，则等于（    ） A． B． C． D． 15．如图，三角形纸片中，，将纸片的角折叠，使点C落在内，，则的度数是_____ ． 16．如图，把沿折叠，点A落在四边形外部的点处． （1）设的度数为x，的度数为y，那么图中的度数分别是多少？（用含有x或y的式子表示） （2）试探究与之间有何数量关系，并说明理由． 知识点五三角形内角和定理的应用 17．中，各角的度数有下列关系：，则一定是（     ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不能确定 18．一副直角三角尺叠放如图所示，现将含的三角尺固定不动，将含的三角尺绕顶点顺时针转动，使两块三角尺至少有一组边互相平行，则α的可能取值为（     ） A．15或45 B．45或135 C．60或105 D．以上都有可能 19．如图，直线l上摆放着两个大小相同的和，，，将沿直线l向左平移到，使点落在上，与交于点P．给出下面三个结论：①；②；③图中阴影部分的面积之和大于的面积．上述结论中，所有正确结论的序号是_______． 20．如图，已知点E、F在直线上，点G在线段上，与交于点H，，． （1）试判断与之间的数量关系，并说明理由； （2）若，，求的度数． 知识点六直角三角形的两个锐角互余 21．在中，，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 22．如图，一艘轮船按箭头所示方向行驶，处有一灯塔，点表示轮船的初始位置，点表示轮船行进中某一时刻的位置，当轮船从点行驶到距离灯塔最近点时，此时的度数为（    ） A． B． C． D． 23．如图，在中，是边上的高，且，平分，交于点，过点作，分别交、于点、，则下列结论正确的是________． ①；②；③；④． 24．如图，中，，于，平分交于． （1）当时，求的度数； （2）猜想：与、有什么关系，并说明理由． 知识点七锐角互余的三角形是直角三角形 25．具备下列条件的中，不是直角三角形的是（     ） A． B． C． D． 26．若一个三角形的两个角分别为和，则第三个角的度数是（   ），这个三角形是（   ） A．，直角三角形 B．，锐角三角形 C．，钝角三角形 D．，锐角三角形 27．如图，平分，，，，则是____三角形． 28．如图，在中，，平分交于点E． （1）求的度数； （2）若于点D，．判断的形状，并说明理由． 知识点八三角形的外角的定义及性质 29．如图，的外角平分线交射线于点在延长线上，若，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 30．如图，是的外角的平分线，且交的延长线于点E．、与有什么样的关系（     ） A． B． C． D． 31．如图，有一张三角形纸片，，，点D是边上的固定点，在上找一点E，将纸片沿折叠（为折痕），点B落在点F处，使，则的度数为_________． 32．根据材料回答下列问题    （1）如图，在中，、分别是和的角平分线，、相交于点，已知，则的度数为多少？ （2）如图，在中，、分别是和外角的角平分线，、相交于点，已知，则的度数为多少？ 学科网（北京）股份有限公司 $2026-2027学年八年级上册数学《典例全解·题型通关》 专题04 三角形的内角与外角（八大题型32道题） 目录 知识点一三角形内角和定理的证明 1 知识点二与平行线有关的三角形内角和问题 4 知识点三与角平分线有关的三角形内角和问题 7 知识点四三角形折叠中的角度问题 9 知识点五三角形内角和定理的应用 12 知识点六直角三角形的两个锐角互余 17 知识点七锐角互余的三角形是直角三角形 20 知识点八三角形的外角的定义及性质 22 知识点一三角形内角和定理的证明 1．如图，铅笔放置在的边上，笔尖方向为点A到点B，把铅笔依次绕点A，点C，点B按逆时针方向旋转，，的度数后，笔尖的方向变为点B到点A，这种变化说明（    ）    A．三角形两边的和大于第三边 B．三角形两边的差小于第三边的 C．三角形三个内角的和等于 D．三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的 【答案】C 【分析】本题主要考查三角形内角和定理，利用旋转角度之和及铅笔的朝向证明三角形内角和为． 【详解】解：∵铅笔依次绕点A，点C，点B按逆时针方向旋转，，的度数后， ∴三次旋转的角度为， ∵笔尖方向由点A到点B变为点B到点A， ∴旋转角度之和为， 即． 故选：C． 2．一个图形被信封遮住了一部分（如图），下面关于这个图形的说法，正确的是（     ）    A．一定是平行四边形 B．不可能是梯形 C．可能是等腰三角形 D．可能是锐角三角形 【答案】D 【分析】根据平行四边形、梯形、等腰三角形、锐角三角形的特点，结合所给图形逐项判断即可． 【详解】解：由图可知，角和角所对的边明显不平行，因此一定不是平行四边形，故A选项错误； 当这个图形为四边形且上下对边平行时，这个图形是梯形，故B选项错误； 当这个图形为三角形时，被遮住的角的度数为：，可知这个三角形不是等腰三角形，是一般的锐角三角形，故C选项错误，D选项正确； 故选D． 【点睛】本题考查平面图形形状的识别，解题的关键是掌握常见平面几何图形的特点． 3．如图，，，，则________． 【答案】 【分析】根据三角形的内角和等于，得出的度数，再根据两直线平行，内错角相等，即可得出的度数． 【详解】解：∵， 又∵，， ∴， 解得：， ∵， ∴． 故答案为： 【点睛】本题考查了三角形的内角和定理、平行线的性质，解本题的关键在熟练掌握相关的性质定理． 4．为了证明“三角形的内角和是”，林老师给出了如图所示四种作辅助线的方法．回答下列问题： （1）能证明“三角形内角和是”的方法是______（请填写序号）； （2）在（1）的正确方法中，任意选择其中一种方法进行证明． 【答案】（1）①②③ （2）选择图①，证明见解析． 【分析】本题主要考查平行线的性质和三角形内角和定理，牢记平行线的性质是解题的关键． 证明“三角形的内角和是”的方法均是将三角形的三个内角的和转化为平角． 【详解】（1）①②③ （2）当选择图①时，证明：如图． ． ， 三角形的内角和为． 当选择图②时， 证明：． ， ，三角形的内角和为． 当选择图③时，证明：， ． ， ∴三角形的内角和为．（答案不唯一，选择一种方法证明即可）． 知识点二与平行线有关的三角形内角和问题 5．如图，将三角尺的直角顶点放在直尺的一边上，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：如图， ∵直尺的两边互相平行， ∴， ∴， ∴． 6．如图，，E为上一点，，过点E作于点G，平分，且， 则下列结论中： ①； ②；③； ④平分；其中正确的结论有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】根据平行线的性质及垂直定义可得，结合及平行线性质求出，进而判断①②；利用角平分线及三角形内角和定理求出，即可判断③；通过已证结论即可判断④． 【详解】解：，， ，即，故①正确； ， ， ， ， ， ，即，， ， ， ，故②正确； 平分， ， 在中，，故③正确； ∵，若平分，则需， 但根据已知条件不能推出，因此不能推出平分，结论④错误； 综上所述，正确的结论有①②③，共3个． 7．如图，，被直线所截，，将线段沿着直线平移得到线段，连接．在平移过程中，当时，的度数是_______． 【答案】/度 【分析】两直线平行，同位角相等，得出的度数，利用平角得出的度数，根据三角形内角和为即可求出的度数． 【详解】解：线段和线段交于点D， ∵ 线段平移后得到线段， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， 又∵ ， ∴ ， 解得． 8．如图，中，分别是上的点，满足． （1），是否平行？说明理由． （2）若平分，，求度数． 【答案】（1）平行 （2） 【分析】本题考查了三角形的内角和，平行线的判定等知识点． （1）由三角形内角和为，结合已知可得，由同位角相等两直线平行即可得出结论； （2）根据角平分线定义可得，结合可得． 【详解】（1）结论：平行， ∵， ， ∴， ∴． （2）∵平分， ∴， ∵， ∴． 知识点三与角平分线有关的三角形内角和问题 9．如图，在中，，，平分交于点，，交于点，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由三角形内角和定理求出的度数，再由角平分线的定义得到的度数，最后根据平行线的性质可得答案． 【详解】解：在中，，， ， 平分， ， ， ． 10．如图，在中，，，．则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据三角形内角和定理求出的度数，再根据角平分线的定义得出，最后代入计算即可． 【详解】解：在中，， ， ，， ，， ， ． 11．如图，已知三角形的三个内角平分线交于点，于点，已知，则_______． 【答案】 【分析】根据角平分线的定义、三角形内角和定理可知．又因为，，所以，进而根据三角形内角和定理求即可． 【详解】解：∵、、为三角形的角平分线， ∴，，． ∴ ． ∴． 又∵，， ∴． ∵，， ∴． 12．如图，中，，是边上的高，为垂足，平分，交于点，，，求的度数． 【答案】 【分析】因为，所以在中，可利用直角三角形两锐角互余，求出的度数，因为是边上的高，所以，结合和的度数，可求出和的度数，从而得到的度数，因为平分，所以可得到的度数，再利用三角形内角和为，即可求出的度数． 【详解】解：∵ ， ∴ ， 在中， ， ∵ 是 边上的高，即 ， ∴， 在中， ， 在中，， ∴ ， ∴ ， ∵ 平分 ， ∴ ， 在中， ． 知识点四三角形折叠中的角度问题 13．如图，在三角形纸片中，，，点在上且．若在上找一点，将纸片沿折叠，点落在点处，恰好与三角形的一边平行，则满足所有平行条件的度数为（     ） A．或 B．或 C．或或 D．或或 【答案】D 【分析】分时和时两种情况，再结合平行线的性质，折叠的性质，三角形内角和性质，列式计算即可． 【详解】解：当时，如图，则， 由折叠性质得：， ， 则 当时，如图，则， 由折叠性质得：，， ∴ ∵ ∴ 当时，如图，则， ， ∴ 综上，的度数为或或 14．如图，在三角形纸片中，将纸片的一角沿折叠，使点C落在内，记为点．若，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据折叠的性质，三角形的内角和定理以及平角的定义，进行求解即可． 【详解】解：由折叠的性质，得，． ，， ， ． 15．如图，三角形纸片中，，将纸片的角折叠，使点C落在内，，则的度数是_____ ． 【答案】 【分析】根据折叠的性质，三角形的内角和定理，进行求解即可. 【详解】解：如图， ∵，， ∴， ∵折叠， ∴，，， ∴， ∴. 16．如图，把沿折叠，点A落在四边形外部的点处． （1）设的度数为x，的度数为y，那么图中的度数分别是多少？（用含有x或y的式子表示） （2）试探究与之间有何数量关系，并说明理由． 【答案】（1），； （2），理由见解析． 【分析】本题考查了折叠的性质，三角形内角和定理等知识，掌握相关知识是解题的关键． （1）由折叠的性质和角度的关系即可求解； （2）由三角形内角和定理得到，再根据，即可求解． 【详解】（1）解：由折叠可知，， ∴， ． （2）解：，理由如下： ∵，，， ∴， ∴． 知识点五三角形内角和定理的应用 17．中，各角的度数有下列关系：，则一定是（     ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不能确定 【答案】C 【分析】设，利用三角形内角和定理求出三个内角的度数，即可判断三角形类型． 【详解】解：设， ， ，， ， 解得：， ，最大角为钝角， 是钝角三角形． 18．一副直角三角尺叠放如图所示，现将含的三角尺固定不动，将含的三角尺绕顶点顺时针转动，使两块三角尺至少有一组边互相平行，则α的可能取值为（     ） A．15或45 B．45或135 C．60或105 D．以上都有可能 【答案】D 【分析】根据题意画出图形，再由平行线的判定定理和三角形内角和定理即可得出结论． 【详解】解：①当时， 如图，延长交于F， ∵， ∴， ， ∴； ②当时，如图， 此时与重合， ∴； ③当时，； ④当时，； ⑤当时，； 综上：α可能取的值为15或45或60或135和105． 19．如图，直线l上摆放着两个大小相同的和，，，将沿直线l向左平移到，使点落在上，与交于点P．给出下面三个结论：①；②；③图中阴影部分的面积之和大于的面积．上述结论中，所有正确结论的序号是_______． 【答案】①② 【分析】根据平移的性质，三角形面积、平行四边形、长方形面积之间的关系进行判断即可． 【详解】解：∵两个大小相同的和，，， ，，，， 由平移的性质可知，，，， ， ， 因此①正确； ，， ， ， 因此②正确； ， ∴， ， 因此③不正确； 综上所述，正确的结论有①②． 20．如图，已知点E、F在直线上，点G在线段上，与交于点H，，． （1）试判断与之间的数量关系，并说明理由； （2）若，，求的度数． 【答案】（1）解：   理由如下：    又       （2） 【分析】（1）依据同位角相等，即可得到，由平行线的性质，可得出，进而判定，即可得出； （2）利用平行线的性质得出和的度数，依据对顶角相等即可得到的度数． 【详解】（1）略 （2）解： ， 在中， ， ， ，   ， ， ， ，    答：的度数为． 知识点六直角三角形的两个锐角互余 21．在中，，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】已知直角和的度数，用减去的度数即可求出的度数． 【详解】∵在中，， ∴． 22．如图，一艘轮船按箭头所示方向行驶，处有一灯塔，点表示轮船的初始位置，点表示轮船行进中某一时刻的位置，当轮船从点行驶到距离灯塔最近点时，此时的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据垂线段最短的性质，当轮船行驶到距离灯塔最近点时，轮船与灯塔的连线垂直于航线，构成直角三角形，利用直角三角形两锐角互余即可求解． 【详解】解：当轮船行驶到距离灯塔最近点时， 此时轮船位置（即点）与灯塔的连线垂直于航线， ， ， 在中，， ． 23．如图，在中，是边上的高，且，平分，交于点，过点作，分别交、于点、，则下列结论正确的是________． ①；②；③；④． 【答案】①②③ 【分析】根据三角形内角和定理、直角三角形的两个锐角互余、角平分线的定义、平行线的性质逐项判断即可． 【详解】解：， ， ， ， ， ， 故①正确； 平分， ， ， ， ， 故②正确； ， ， ， ， ， ， ， 故③正确； ， ， ， 不一定等于， 不一定等于， 故④不成立； 综上所述，结论正确的是①②③． 24．如图，中，，于，平分交于． （1）当时，求的度数； （2）猜想：与、有什么关系，并说明理由． 【答案】（1） （2），理由如下： 分别是的高和角平分线， ，， ， ． 【分析】（1）由，可得，根据平分，得，再根据，可得，即可求得的度数； （2）由，可得，由平分，可得，即可得出． 【详解】（1）解：， ， 平分， ， ， ， ； （2）解：略． 知识点七锐角互余的三角形是直角三角形 25．具备下列条件的中，不是直角三角形的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题利用三角形内角和为，计算各选项中三角形的内角度数，判断是否存在直角，即可得出结论． 【详解】解：三角形的三个内角满足， A ， ，得， 是直角三角形，不符合题意； B ， ， 是直角三角形，不符合题意； C ， ， 是直角三角形，不符合题意； D ， ， 解得，三角形中不存在的角， 不是直角三角形，符合题意． 26．若一个三角形的两个角分别为和，则第三个角的度数是（   ），这个三角形是（   ） A．，直角三角形 B．，锐角三角形 C．，钝角三角形 D．，锐角三角形 【答案】A 【分析】本题考查直角三角形的判定． 由三角形的内角和定理，结合已知可得第三个角的度数，即可判断三角形的类型． 【详解】解：∵一个三角形的两个角分别为和， ∴第三个角为， ∴这个三角形是直角三角形． 故选：A． 27．如图，平分，，，，则是____三角形． 【答案】直角 【分析】通过三角形的内角和等于，计算，再利用角平分线的定义得到，根据直角三角形的判定定理即可得到答案． 【详解】解：， ∵平分， ∴， ∵， ∴是直角三角形． 28．如图，在中，，平分交于点E． （1）求的度数； （2）若于点D，．判断的形状，并说明理由． 【答案】（1） （2）是直角三角形，理由见解析 【分析】本题考查了三角形的内角和定理，直角三角形的性质，角平分线定义等知识点，关键是求出各个角的度数． （1）依据三角形内角和定理以及角平分线的定义，即可得到的度数． （2）依据三角形内角和定理以及直角三角形的性质，可得到的度数，进而得出的度数即可得答案． 【详解】（1）解：， ， 平分， ， ； （2）解：是直角三角形，理由如下： 由（1）得：， ， ， ， ， ． ， 是直角三角形． 知识点八三角形的外角的定义及性质 29．如图，的外角平分线交射线于点在延长线上，若，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用角平分线的定义求得的度数，利用邻补角的定义求得的度数，再利用三角形的外角性质求解即可． 【详解】解：∵平分，， ∴， ∴， ∴． 30．如图，是的外角的平分线，且交的延长线于点E．、与有什么样的关系（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求出，再根据角平分线的定义求出，最后根据三角形外角的性质，即可解答． 【详解】解：∵，平分， ∴， ∴， 即． 31．如图，有一张三角形纸片，，，点D是边上的固定点，在上找一点E，将纸片沿折叠（为折痕），点B落在点F处，使，则的度数为_________． 【答案】或 【分析】根据题意，分两种情况进行讨论，根据平行线的性质，折叠的性质以及三角形的内角和为180度，进行求解即可. 【详解】解：如图2，当点在上方时， ∵，，， ∴， ∵折叠， ∴， ∴； 如图3，当点在下方时， 则， 由折叠性质得：，， ∴， ∴， ∴； 综上：的度数为或． 32．根据材料回答下列问题    （1）如图，在中，、分别是和的角平分线，、相交于点，已知，则的度数为多少？ （2）如图，在中，、分别是和外角的角平分线，、相交于点，已知，则的度数为多少？ 【答案】（1） （2） 【分析】（1）利用角平分线的定义和三角形内角和定理即可求出的度数； （2）利用角平分线的定义和三角形外角的性质即可求出的度数． 【详解】（1）解：， ， 、分别是和的角平分线， ，， ， ； （2）解：如下图所示， 是的外角， ， 平分， ， 是的平分线， ， 是的外角， ， ．    学科网（北京）股份有限公司 $