山东省聊城第一中学2025-2026学年高一第二批沃土培优班上学期入学第一次测试数学试题

**基本信息** 聚焦集合与逻辑核心内容，通过基础运算与新定义问题（如闭集合、可积数集）结合，实现对数学抽象与推理能力的分层考查，适配高一培优班入学选拔需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|11题/58分|集合运算、命题否定、子集个数|基础题（如子集个数）与创新题（闭集合判断）结合，考查抽象思维| |填空题|3题/15分|集合关系、新定义运算|定义集合运算（如A*B），强化数学语言表达| |解答题|5题/77分|集合交并补、可积数集证明|以可积数集证明为载体，综合考查逻辑推理与论证能力，呼应核心素养中推理意识要求|

参照秘密级管理★启用前 2026年聊城一中第二批沃土培优班入学第一次测试 数 学 本试卷共4页，共150分。考试时长150分钟。 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3.考试结束后，将试卷、答题卡一并交回。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 2．集合的子集的个数为（   ） A．64 B．16 C．6 D．4 3．若命题：“，”为假命题，实数的取值范围（ ） A． B． C． D． 4．设集合，若且，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．已知，，若集合，则的值为（   ） A． B．1 C． D．2 6．已知为非零实数，代数式的值所组成的集合是M，则下列判断正确的是（    ） A． B． C． D． 7．集合，，集合，若，则以下的取值不满足题意的是（ ） A． B． C． D． 8．给定集合，若对于任意，，有，且，则称集合为闭集合，下列结论正确的个数是（   ） ①集合为闭集合； ②集合为闭集合； ③若集合，为闭集合，则为闭集合； ④若集合，为闭集合，且，，则存在，使得. A．0 B．1 C．2 D．3 二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分. 9．在下列四个命题中，正确的是（     ） A．命题“，使得”的否定是“，都有” B．命题“，”是真命题 C．集合与集合表示同一集合 D．已知集合，若，则的值为 10．科技城学校举行秋季运动会，高一某班共有30名同学参加比赛，有20人参加田赛，13人参加径赛，有19人参加球类比赛，同时参加田赛与径赛的有8人，同时参加田赛与球类比赛的有9人，没有人同时参加三项比赛．以下说法正确的有（   ） A．同时参加径赛和球类比赛的人数有3人 B．只参加球类一项比赛的人数有2人 C．只参加径赛一项比赛的人数为0人 D．只参加田赛一项比赛的人数为3人 11．给定非空数集，设集合，，为中元素的个数．设集合，．若，则；若，则．下列结论正确的是（    ） A． B．的值可能为 C．的最大元素不大于 D．的值可能为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．满足的集合A共有______个 13．定义集合运算：.若集合，，则_____. 14．已知，，为集合的非空子集，满足： ①，； ②，中元素均为奇数，中元素均为偶数； ③，，中所有元素的和分别记为，，，且．则正整数的最小值为________． 四、解答题：本大题共5题，第15题13分，第16-17题每题15分，第18-19题每题17分，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．已知集合，，． (1)求，； (2)若，求的取值范围． 16．已知集合，集合，非空集合． (1)“”是“”的充分条件，求实数b的取值构成的集合； (2)命题p：“，都有”为真命题，求实数a的取值构成的集合． 17．已知集合，集合且． (1)判断,,0,中的哪些元素属于； (2)证明：若，则． 18．已知. (1)若，求实数的值； (2)若，求实数的取值范围. 19．设集合是至少含有两个元素的数集，若中存在两个元素，满足它们的积，则称为可积数集. (1)设集合，试判断是否为可积数集？并说明理由； (2)设集合，若为可积数集，求实数的取值集合； (3)设集合，若不是可积数集，求实数的取值范围. 参照秘密级管理★启用前 2026年聊城一中第二批沃土培优班入学第一次测试 数学答题卡 姓名 班级 考号 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1 2 3 4 5 6 7 8 C A C B B D D B 二、选择题:本题共3小题，每小题6分，共18分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分, 有选错的得0分. 9 10 11 AD CD AD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12. 13. 14. 四、解答题：本大题共5题，第15题13分，第16-17题每题15分，第18-19题每题17分，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15. 16. 17. 18. 19. 试卷第1页，共3页 数学试题及答题卡第 1 页（共 6 页） 学科网（北京）股份有限公司 参照秘密级管理★启用前 2026年聊城一中第二批沃土培优班入学第一次测试 数学试题参考答案 1 2 3 4 5 6 7 8 C A C B B D D B 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分. 在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分, 有选错的得0分. 9 10 11 AD CD AD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．63 13． 14．8 四、解答题：本大题共5题，第15题13分，第16-17题每题15分，第18-19题每题17分，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15． （1）由，，则或， 则，或； （2）由于，则有，解得. 16． （1）非空集合，由“”是“”的充分条件，得， 而，则或，解得或， 所以实数b的取值构成的集合为. （2）由“，都有”为真命题，得， 而，，则或， 当时，，解得；当时，，解得， 所以实数a的取值构成的集合是. 17． （1）由已知,,0,均是集合中元素， 又，，无意义， ， 所以和属于； （2）因为，则， 设， 则， 而，，所以， 又，所以, 所以． 18． （1）因为，解得或，所以. 因为，所以， 所以-4和0是方程的两个根， 由韦达定理可得，解得， 所以实数的值是1； （2）若，则或或或. 当时， ，解得； 当时，，即， 此方程组无解，值不存在； 当时，，即，解得； 当时，由（1）知. 综上，可知实数的取值范围或. 19． （1）不是可积数集，理由如下： 因为，，， 所以中任意两个元素的积都不是中的元素，即不是可积数集. （2）若为可积数集，则，或，或， 或，或，或. 若，则；若，则；若，则； 若，则，或，或，或， 解得，或，或（舍），或； 若，则，或，或，或， 解得，或，或，或； 若，则，或，或，或， 解得，或，或，或， 综上，实数的取值集合为. （3）若不是可积数集，则，. 当，即时，，此时，满足题意； 当时，，因为，所以若，则， 即，解得，或，此时满足题意； 当，即时，，，不满足题意，舍去. 综上，所求实数的取值范围为或. 答案第1页，共2页 数学试题参考答案第 1 页（共 3 页） 学科网（北京）股份有限公司 $