精品解析：山东省济南市2025-2026学年高一上学期10月学情检测数学试题

2025年10月济南市高一年级学情检测 数学试题 本试卷共4页，满分150分.考试用时90分钟.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 注意事项： 1.答题前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、考生号和座号填写在答题卡和试卷规定的位置上. 2.选择题每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.答案写在试卷上无效. 3.非选择题必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带.不按以上要求作答的答案无效. 4.填空题请直接填写答案，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 一、选择题：本大题共16小题，每小题5分，共80分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若集合，则下列结论错误的是（ ） A. B. C. D. 2. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 3. 命题“，”的否定形式是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 4. 已知都是实数，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 已知正实数，满足，则的最小值为（ ） A. 1 B. 2 C. D. 4 6. 已知全集，集合，则的真子集个数为（ ） A. 7 B. 8 C. 15 D. 16 7. 设全集，集合，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知集合，且，则实数的取值为（ ） A. B. 3 C. 2或3 D. 或3 9. 的最大值为（ ） A. B. C. 4 D. 8 10. 不等式的解集是，则的解集是（ ） A. B. C. 或 D. 或 11. 方程有一个正根和一个负根充分不必要条件是（ ） A. B. C. D. 12. 已知集合，，若，则实数取值范围是（ ） A. B. C. D. 13. 对，不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. 或 D. 或 14. 《南京照相馆》、《浪浪山小妖怪》、《长安的荔枝》位列2025年我国暑期档票房前三名．某社区调查了该社区的部分市民的观影情况，调查结果显示：观看了《南京照相馆》的有人，观看了《浪浪山小妖怪》的有人，观看了《长安的荔枝》的有人，三部电影都观看了的有人，观看了其中两部电影的有人，这三部电影都未观看的有人．则接受调查的市民共有（ ） A. 100人 B. 人 C. 人 D. 178人 15. 设命题：对任意，不等式恒成立；命题：存在，使得不等式成立.若，中至少有一个是假命题，则实数取值范围为（ ） A. B. C. D. 或 16. 已知正实数，满足，则最小值为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共4小题，每小题6分，共24分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 17. 已知集合，，下列说法正确的是（ ） A. ， B. ， C. “”是“”的充分不必要条件 D. “”是“”的必要不充分条件 18. 关于的不等式的解集可能是（ ） A. B. C. D. 或 19. 已知集合或，，下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 20. 已知正数，满足，下列结论正确的是（ ） A. B. C. 的最小值为12 D. 的最小值为14 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 21. 已知，，则的取值范围为________. 22. 已知集合，，若，则实数________. 23. 甲、乙、丙三名同学比身高，甲说：“你俩都比我矮”；乙说：“我比丙高”；丙说：“我比你们都矮”.经过测量，三个人身高各不相同且恰有一名同学说错了，那么最矮的同学是________. 24. 若对任意，不等式恒成立，则________. 四、解答题：本题共2小题，共26分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 25 已知二次函数. （1）若关于的不等式的解集为，求实数的值； （2）若对，不等式恒成立，求不等式的解集. 26. 设集合，. （1）求集合中元素的最小值和最大值； （2）用表示集合中所有元素的和. （i）求； （ii）设是正整数集的一个子集，且.对于任意正整数，都存在的子集，使，求的最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年10月济南市高一年级学情检测 数学试题 本试卷共4页，满分150分.考试用时90分钟.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 注意事项： 1.答题前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、考生号和座号填写在答题卡和试卷规定的位置上. 2.选择题每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.答案写在试卷上无效. 3.非选择题必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带.不按以上要求作答的答案无效. 4.填空题请直接填写答案，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 一、选择题：本大题共16小题，每小题5分，共80分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若集合，则下列结论错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由元素与集合，集合与集合的关系逐个判断即可. 【详解】对于A，正确； 对于B，正确， 对于C，正确， 对于D，符号使用错误， 故选：D 2. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】确定集合，再由交集运算即可求解. 【详解】， 又因为， 所以， 故选：C 3. 命题“，”的否定形式是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】根据含有一个量词命题的否定形式可直接得出结论. 【详解】易知命题“，”的否定形式是. 故选：C 4. 已知都是实数，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】判断“”和“”之间的逻辑推理关系，即得答案. 【详解】由题意当时，由推不出，此时； 当时，，则可得， 故“”是“”的必要不充分条件， 故选：B 5. 已知正实数，满足，则的最小值为（ ） A. 1 B. 2 C. D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】由基本不等式“1”的代换可求得最值. 【详解】， 当且仅当，即时取等号. 故选：A. 6. 已知全集，集合，则的真子集个数为（ ） A. 7 B. 8 C. 15 D. 16 【答案】A 【解析】 【分析】根据补集的概念求出，再根据元素个数求出真子集个数即可. 【详解】，， 则，其真子集个数为. 故选：A 7. 设全集，集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据集合描述法的定义求出集合，进而利用补集运算求解即可. 【详解】集合， 所以. 故选：A 8. 已知集合，且，则实数的取值为（ ） A. B. 3 C. 2或3 D. 或3 【答案】D 【解析】 【分析】根据元素与集合的关系，对是否为2进行分类讨论，可得结果. 【详解】若，可得或； 当时，满足题意； 当时，满足题意； 若时，可知，不满足元素的互异性，不合题意. 因此实数的取值为或3. 故选：D 9. 的最大值为（ ） A. B. C. 4 D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】利用基本不等式来求最大值即可. 【详解】由， 则由基本不等式可得：， 当且仅当时取等号，即的最大值为. 故选：B. 10. 不等式的解集是，则的解集是（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】B 【解析】 【分析】根据三个二次之间的关系解得. 【详解】由不等式的解集是，所以方程的两个根为和3. 由韦达定理得，，即，所以为， 即，解得. 故选：B. 11. 方程有一个正根和一个负根的充分不必要条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先根据韦达定理以及二次方程判别式求出充要条件，再结合选项逐一判断. 【详解】若方程有一个正根和一个负根， 则，，，得， 则是方程有一个正根和一个负根的充要条件，A错误； 是方程有一个正根和一个负根的既不充分也不必要条件，B错误； 是方程有一个正根和一个负根的充分不必要条件，C正确； 是方程有一个正根和一个负根的必要不充分条件，D错误. 故选：C 12. 已知集合，，若，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】依题意可知，再对集合是否为空集进行分类讨论，解不等式可得结果. 【详解】由可知， 当时，可得，即，满足题意； 当时，可得，解得; 综上可知，实数的取值范围是. 故选：C 13. 对，不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】A 【解析】 【分析】分与两种情况，结合二次函数性质求解. 【详解】当时，即，则原不等式为恒成立，所以符合题意； 当时，，解得. 综上所述，实数的取值范围是. 故选：A 14. 《南京照相馆》、《浪浪山小妖怪》、《长安的荔枝》位列2025年我国暑期档票房前三名．某社区调查了该社区的部分市民的观影情况，调查结果显示：观看了《南京照相馆》的有人，观看了《浪浪山小妖怪》的有人，观看了《长安的荔枝》的有人，三部电影都观看了的有人，观看了其中两部电影的有人，这三部电影都未观看的有人．则接受调查的市民共有（ ） A. 100人 B. 人 C. 人 D. 178人 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意用Venn图表示题设中的集合关系，根据三个集合的容斥关系公式计算得到答案. 【详解】如图所示，用Venn图表示题设中的集合关系， 不妨将观看了《南京照相馆》、《浪浪山小妖怪》、《长安的荔枝》的市民分别用集合表示， 则，，，． 不妨设总人数为，观看了《南京照相馆》、《浪浪山小妖怪》的人数为， 观看了《浪浪山小妖怪》、《长安的荔枝》的人数为， 观看了《南京照相馆》、《长安的荔枝》的人数为， 则，，，． 由三个集合的容斥关系公式得 ， 解得，故接受调查的市民共有人． 故选：B． 15. 设命题：对任意，不等式恒成立；命题：存在，使得不等式成立.若，中至少有一个是假命题，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】先由二次函数的性质求出为真时，解二次不等式可得命题等价于，可求p，q都是真命题的范围，进而可得答案. 【详解】若p为真命题，即对任意，不等式恒成立， 等价于当时，， 当时，， 即，所以； 若q为真命题，即存在，不等式成立， 等价于当时，. 由于，，所以，解得. 若p，q都是真命题，则； 所以，若命题p，q中至少有一个是假命题，则或. 故选：D. 16. 已知正实数，满足，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】分离常数后整理化简转化为求的最小值，由,利用“乘1法”转换变形后，利用基本不等式可得. 【详解】由正实数，满足，所以，. ， 当且仅当，结合已知求解得当，时等号成立. 所以的最小值为. 故答案为：C. 二、选择题：本题共4小题，每小题6分，共24分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 17. 已知集合，，下列说法正确的是（ ） A. ， B. ， C. “”是“”的充分不必要条件 D. “”是“”的必要不充分条件 【答案】ABC 【解析】 【分析】解绝对值不等式可得，因此，根据集合的包含关系对选项逐一判断可得结论. 【详解】解不等式可得，即, 因此可得，所以，即A正确； 又，但，因此B正确； 因为是的真子集，所以“”是“”的充分不必要条件，可得C正确； 易知若，则一定有，但， 所以“”是“”的充分不必要条件，即D错误. 故选：ABC 18. 关于的不等式的解集可能是（ ） A. B. C. D. 或 【答案】BD 【解析】 【分析】分，，讨论求解不等式的解集即可； 【详解】当时，不等式为，解得； 当时，由解得或， 若时，即，则的解集为：或，故D正确； 若时，即，则的解集为：； 若时，即，则的解集为：或； 当时，由解得或， 所以的解集为：，故B正确； 故选：BD 19. 已知集合或，，下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】AD 【解析】 【分析】对于选项A，已知，根据集合的性质可知，分，讨论求解即可；对于选项B，已知，根据集合的性质可知，分，讨论求解即可；对于选项C，分，讨论求解即可；对于选项D，当时，判断出即可得解. 【详解】对于选项A，已知，根据集合的性质可知， 当时，的解集是空集，满足， 当时，由，可得，所以 因为，所以或，解得 综上：，所以选项A正确； 对于选项B，已知，根据集合的性质可知， 由A选项知，所以选项B错误； 对于选项C，当时，是空集，此时， 当时，， 因为，所以，则，， 此时，所以选项C错误； 对于选项D，当时，，因为，所以， 则，，此时，所以选项D正确. 故选：AD. 20. 已知正数，满足，下列结论正确的是（ ） A. B. C. 的最小值为12 D. 的最小值为14 【答案】BC 【解析】 【分析】由可得，由正数，解不等式可得，可得A错误，B正确，将等式变形利用基本不等式可得，解不等式可知C正确，将代入表达式，再利用基本不等式计算可得D错误. 【详解】对于A，由可得，又因为为正数，所以，解得，因此A错误； 对于B，由可得，解得，因此B正确； 对于C，将等式变形可得，又 所以可得，整理即可得， 解得或（舍）， 当且仅当，即时，等号成立,因此C正确； 对于D，由可得 ， 当且仅当，即时，等号成立,此时的最小值为13，即D错误. 故选：BC 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 21. 已知，，则的取值范围为________. 【答案】 【解析】 【分析】利用不等式的基本性质可求得的取值范围. 【详解】因为，，则，由不等式的基本性质可得. 故的取值范围为. 故答案：. 22. 已知集合，，若，则实数________. 【答案】 【解析】 【分析】分别讨论当时，时和时，所对应的值，从而求出，即可求解. 【详解】由于，当时，无解； 当时，,此时，,不满足条件； 当时，此时，,此时,满足条件； 故答案为： 23. 甲、乙、丙三名同学比身高，甲说：“你俩都比我矮”；乙说：“我比丙高”；丙说：“我比你们都矮”.经过测量，三个人身高各不相同且恰有一名同学说错了，那么最矮的同学是________. 【答案】丙 【解析】 【分析】根据逻辑关系分析求解即可. 【详解】假设甲说错，那么乙、丙都对，此时身高顺序从高到矮为乙、甲、丙，则丙最矮； 假设乙说错，那么甲、丙都对，此时乙的说法的意思是乙不比丙高， 这与丙的说法矛盾； 假设丙说错，那么甲、乙都对，由甲对可知甲最高，由乙对可知乙比丙高，所以身高从高到矮为甲、乙、丙.此时丙的说法‘我比你们都矮’是正确的，这与丙说错的假设矛盾. 综上所述，丙最矮. 故答案为：丙. 24. 若对任意，不等式恒成立，则________. 【答案】3 【解析】 【分析】根据绝对值不等式转化为二次不等式组，构造，通过特殊赋值得到关于的不等式组，先令待定系数，再通过整体的范围，利用不等式的性质可求的范围，进而可结合所得范围求解可得. 【详解】因为对任意，不等式恒成立， 所以对任意，恒成立. 设， 由可得，即①， 由可得，即②， 由可得，即③， 令， 则由解得， 所以， 由①可得④， 由③可得⑤， 由④+⑤可得⑥， 由②⑥可得. 故答案为：. 四、解答题：本题共2小题，共26分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 25. 已知二次函数. （1）若关于的不等式的解集为，求实数的值； （2）若对，不等式恒成立，求不等式解集. 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）由题意知和是方程两个根，结合韦达定理可求出的值； （2）由题设条件得出，求出的值，再利用分式不等式的解法可得出所求不等式的解集. 【小问1详解】 由题意可知，和是方程的两个根，则，解得. 【小问2详解】 由题意可知：，解得， 则不等式即为，所以， 即，解得或， 即不等式的解集为或. 26. 设集合，. （1）求集合中元素的最小值和最大值； （2）用表示集合中所有元素的和. （i）求； （ii）设是正整数集的一个子集，且.对于任意正整数，都存在的子集，使，求的最小值. 【答案】（1）最小值0，最大值63 （2）（i）2016；（ii）59 【解析】 【分析】（1）全部为0或者全部为1可求最值； （2）（i）将集合中的元素按照合并同类项的思想分别找出的系数和即可； （ii）由题意，为了能够取遍小于等于360的正整数，需要，分析可得，到尽可能大，取，，，，，，此时，设，可得，，再结合可得，即可求得最小值. 【小问1详解】 当时， 取到最小值0； 当时， 取到最大值. 【小问2详解】 （i）取值方式不同时，的值也互不相同， 对所有元素求和时，每个的系数均为个0和个1， 所以； （ii）为了能够取遍小于等于360的正整数，需要， 显然，而，，， ，， 让到尽可能大，所以取，，，，，， 此时， 设，若，则时与时至少有一个不成立， 所以， 因为，所以. 又由，所以， 取符合题意， 所以最小值为59. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $