6.1 平均数与方差 教学设计 2026-2027学年北师大版八年级数学上册

该初中数学教学设计聚焦众数、算术平均数、加权平均数的概念及应用，通过射击成绩统计图、店铺销售评分等情境导入，衔接小学数据整理及上节课统计意义的旧知，以问题链引导学生观察数据特征，构建从旧知到新知的学习支架。 特色在于情境生活化与探究深度结合，如“全家福”馄饨定价问题让学生感受加权平均数必要性，广播操比赛评分方案设计培养数据观念，体现用数学眼光观察现实、用数学思维分析“权”的意义，助力学生发展应用意识，为教师提供可操作的生活化教学案例。

第六章 数据的分析 1平均数与方差 一、学习任务分析 本节课是北师大版初中数学八年级（上册）第六章“数据的分析”第1节，主要引导学生在实际问题情境中理解众数，平均数，加权平均数的概念。教科书从“生活实例出发，引导学生通过已有经验进行问题的分析。通过多道例题，让学生感受众数，平均数，加权平均数概念与意义，借助已有经验，自然地学会相关知识。 二、学生起点分析 学生的知识技能基础：学生在小学阶段已经学习了数据的收集、整理与表达，会用统计图表、平均数、百分数表达数据，知道平均数可以刻画一组数据的集中趋势。通过上一节课的学习，知道平均数，众数，算术平均数的统计意义，能描述平均数，众数，算术平均数的含义，能用平均数，众数，算术平均数解决简单的实际问题，形成了初步的数据观念。 学生的活动经验基础：在七年级上册，学生已经经历了数据的收集和整理，在上述过程中，学生积累了统计活动的经验，也具备了一定的合作、交流的能力。在第一课时中，通过算术对平均数、众数的学习，学生也积累了一些数据处理和数据分析的经验。 三、教学目标 1.掌握众数、算术平均数、加权平均数的概念，会求一组数的众数和算术平均数，提高学生的运算能力。 2.能够根据问题背景需要选择合适的统计量（加权平均数）解决问题； 3.理解加权平均数与算术平均数的区别和联系； 4.在学习的过程中，感受数学与实际生活的紧密联系，增强应用意识，初步理解通过数据认识现实世界的意义，感知大数据时代的特征，发展数据观念。 教学重点：掌握众数和算术平均数的概念，会求一组数据的众数和算术平均数。理解加权平均数与算术平均数的区别和联系，并能根据具体问题情境选择合适的统计量解决问题。 教学难点：会用众数和算术平均数解决实际生活中的问题，对不同形式的“权”的理解及加权平均数的计算。 四、教学过程设计 【第一环节】情境引入 在某次射击训练中，甲、乙、丙、丁四人的成绩如图所示。 1)观察统计图， (1)观察统计图甲的哪个射击成绩出现次数最多?其他选手呢? (2)不计算，请你尝试判断谁的射击成绩最好。你是怎么判断的? (1)甲：8环出现的次数最多；乙：7环出现的次数最多； 丙：9环出现的次数最多；丁：6环和10环出现的次数最多。 (2)丙选手的射击成绩中较高成绩（8环、9环、10环）出现的频率较高，且成绩分布相对较好，所以丙的射击成绩最好。 教师提醒：算一算，验证你的判断是否正确。 一组数据中出现次数最多的那个数据叫作这组数据的众数。 例如，甲射击成绩的众数是 8 环， 丁射击成绩的众数是 6 环和 10 环。 引出众数概念，在一组数据中出现次数较多的数为这组数据的众数 （3） 算一算，验证你的判断 思考 交流 （1）一组数据的平均数一定在这组数据中吗？ 甲的射击成绩的平均数 ＝(6＋7×3＋8×5＋9×3＋10)÷13 ＝8（环）， 所以平均数8环在甲的射击成绩的数据中。 丁的射击成绩的平均数 ＝(6×4＋7×2＋9×2＋10×4)÷12 ＝8（环）， 所以平均数8环不在丁的射击成绩的数据中。 (2)如果甲又射击一次，意外脱靶，成绩为 0 环，那么这时甲的平均成绩会发生什么变化? 甲又射击一次后的平均成绩 ＝(6＋7×3＋8×5＋9×3＋10＋0)÷14≈7.43（环）， 平均成绩比原来变小了。 (3)在某些比赛评分时，常常去掉一个最高分和一个最低分，然后计算平均成绩，你能说说这样做的好处吗? 避免极端值对平均成绩的影响，使成绩更能反映选手的真实水平。 (链接针对练习) 思考 某店铺一种商品 10 天的销售量及顾客对店铺的评分如图1 和图 2 所示。 (1)请你计算这种商品 10 天的平均销售量。 (2)顾客对店铺评分的众数是多少?顾客对店铺评分的平均数呢? 解：(1)这种商品 10 天的平均销售量 ＝(121＋138＋156＋148＋152＋141＋128＋130＋125＋122)÷10 ＝136.1（件） 所以平均销量为 136.1 件。 (2)顾客对店铺评分的众数是 5 分； 顾客对店铺评分的平均数是 4.732 分。 在了解了平均数后，在平均数的基础上进行情景带入，引入加权平均数 活动内容 某馄饨店每碗有10个馄饨。其中蛋黄鲜肉馄饨15元/碗，虾仁鲜肉馄饨15 元/碗，荠菜鲜肉馄饨12元/碗，玉米鲜肉馄饨10元/碗，香芹鲜肉馄饨10元/碗。现在计划推出一份“全家福”馄饨，其中含蛋黄鲜肉馄饨、虾仁鲜肉馄饨各1个，荠菜鲜肉馄饨2个，玉米鲜肉馄饨、香芹鲜肉馄饨各3个。你认为这种“全家福”馄饨每碗定价多少元较为合理？你是怎么想的？与同伴进行交流。 活动目的 “买馄饨”是学生熟悉的生活场景。以此情境为切入点，引导学生发现其中的数学问题，使其感知数学源于生活。这里以“全家福”馄饨的定价问题为情境，让学生感受算术平均数的局限性，以及引入加权平均数的必要性。 注意事项 关于“全家福”馄饨的定价，可能会有学生认为就是5种馄饨每碗单价的平均数，列式为（15＋15＋12＋10＋10）÷5=12.4（元）。这种算法对不对？是否合理？教师要鼓励学生充分讨论。可以引导学生从以下角度进行讨论：如果蛋黄鲜肉馄饨、虾仁鲜肉馄饨各3个，荠菜鲜肉馄饨2个，玉米鲜肉馄饨、香芹鲜肉馄饨各1个，该怎么定价？直接计算所有种类馄饨单价的算术平均数合理吗？“全家福”馄饨每碗定价在什么范围内比较合理？如何定价和哪些因素有关？ 教师追问：当每碗中各种馄饨的数量不同时，我们应该怎样计算每碗“全家福”馄饨的定价呢？ 【第二环节】合作学习 1.活动内容 尝试·交流 （1） 小亮认为“全家福”馄饨每碗定价应为 你认为他的算法合理吗？为什么？与同伴进行交流。 （2）如果“全家福”馄饨含蛋黄鲜肉馄饨3个，虾仁鲜肉馄饨3个，荠菜鲜肉馄饨2个，玉米鲜肉馄饨1个，香芹鲜肉馄饨1个，那么该如何定价呢？若每种馄饨各2个，又该如何定价呢？ （3）你认为这种“全家福”馄饨的定价与什么有关？ 在学生交流得到“全家福”馄饨定价结果后，教师可追问：直接计算每种馄饨的单价15，15，12，10，10这5个数的算术平均数，作为“全家福”馄饨的定价是否合理？ 在学生的讨论后，教师带领学生再次明确此问题，并引出新概念：在很多实际问题中，一组数据里各个数据的“重要程度”未必相同，因而在计算这组数据的平均数时，往往根据各个数据“重要程度”赋一个“权”，问题（1）中的全家福馄饨，蛋黄鲜肉馄饨有1个，权就是1，香芹鲜肉馄饨有3个，权就是3，我们称为问题（1）中五种馄饨价格的加权平均数。 2.活动目的 本环节借助“全家福”馄饨的定价问题，进一步引导学生体会“权”“平均”的实际意义，并最终引出加权平均数的有关概念。 3.注意事项 在计算“全家福”馄饨每碗的定价时，大部分学生会计算出每一个馄饨的单价，再乘以对应的数量如下： ＝11.4（元）。 说明：这个式子可以变形为 教师可追问：在什么条件下可以直接计算算术平均数？明晰加权平均数及加权平均数与算术平均数之间的关系。 【第三环节】深入探究 1.活动内容 例1 某校进行广播体操比赛，评分包括以下几项（每项满分10分）：服装统一、进退场有序、动作规范、动作整齐。其中三个班的成绩见下表： 如果将服装统一、进退场有序、动作规范、动作整齐这四项得分依次按10%，20%，30%，40%的比例计算各班的广播体操比赛成绩，那么哪个班的成绩最高？ 在例1中，你认为哪个评分项更为重要？请按自己的想法设计一个评分方案，并与同伴进行交流。 思考·交流 （1）已知A，B两家网站用户的日人均上网时间分别是2 h和1 h，这两家网站所有用户的日人均上网时间是（2＋1）÷2＝1.5（h）吗？为什么？与同伴进行交流。 （2）设A，B两家网站用户的日人均上网时间分别是a h和b h，A，B两家网站平均每天的上网用户分别为m人和n人，你能求出这两家网站所有用户的日人均上网时间吗？ A，B两家网站所有用户的日人均上网时间为h，它不是两家网站各自用户日人均上网时间a h和b h的算术平均数，而是a h和b h的加权平均数，权m/(m+n)、n/(m+n)反映了两家网站用户的分布情况。这是分布式计算的最简单形式，对于多家网站的情况也可以进行类似计算。在大数据时代，分布式计算具有广泛的应用前景。 2.活动目的 通过例1，让学生进一步感受“权”的重要性，以及“权”对加权平均数的影响。“思考·交流”环节的设定，为后续介绍分布式计算奠定基础。 3.注意事项 在全班交流时，教师要引导学生将结果(ma + nb)/(m + n)写成的形式，以便于学生理解加权平均数的意义。教师可以引导有兴趣的学生关注网络上的其他问题，尝试用类似方法解决问题，逐步培养数据观念。 【第四环节】课堂小结 1.活动内容 谈谈本节课你有什么收获。 2.活动目的 对本节知识进行巩固练习，进一步体会众数、平均数、加权平均数的意义。 3.注意事项 学生在总结归纳时，如果对本节课的学习目标没有概括全面，教师可以适当引导。同时，鼓励学生说说本节课在学习方法上的收获、在学习中遇到的困难，以及是如何克服困难解决问题的。 作业布置 活动内容 基础性作业：教科书习题 活动目的 通过课后作业，帮助学生进一步巩固本节课所学内容，进一步体会“权”对平均数的影响。 教学反思 1.情境引入多样化 本节课以生活情境为载体，研究求加权平均数的方法。在教学过程中，可以让学生举出更多实际中的例子，借助多样化的情境加深对加权平均数的理解。若恰逢学校组织广播操比赛、运动会或评比竞选等活动，教师可以根据具体情况，将这些活动背景融入教学中。通过引导学生自主设计不同权重维度的评价方案，使其深刻理解：当数据的“重要程度”（即权重）不同时，所求出的平均数就是加权平均数。 2.培养符号意识 本节课引用的都是生活实例，但对于学有余力的学生来说，应着力发展学生的符号意识。教师可引导学生在充分体验具体案例的基础上，尝试归纳总结加权平均数的计算公式。以外，可以以外卖平台店铺综合评分为例，引导学生进行数学建模：某店铺在A外卖平台的评价人数设为a人，人均评分为m分，在B外卖平台的评价人数设为b人，人均评分为n分，请你确定这家店铺的综合评价得分。学生可以得出综合评价得分为（分），而非m，n的算术平均数。进一步引导学生探究：若a＝b，则通过计算可以发现此时的加权平均数等于算术平均数，更能看出加权平均数与算术平均数的区别和联系。通过此过程，发展学生符号意识，也为后续函数的学习奠定基础。 学科网（北京）股份有限公司 $