6.1 平均数与方差 第4课时 课件 2026-2027学年北师大版八年级上册数学

这是北师大版八年级上册数学同步教学课件，聚焦“平均数与方差的综合应用”，通过气温波动情境导入，结合跳远运动员成绩分析实例，讲解平均数与方差计算及决策应用，包含苹果直径分组的“组内离差平方和最小”方法，数据变换对平均数和方差影响的规律总结，以及课堂练习巩固。 资料特色突出核心素养培养，以现实情境引导学生用数学眼光观察数据特征，通过方差计算、分组原则推导培养数学思维，用数据表格和公式表达规律指导决策，体现数学语言应用。创新引入“组内离差平方和最小”分组实例，帮助学生理解统计思想，提升数据分析与决策能力，为教师提供丰富案例和练习，助力教学实施。 八年级学生已掌握基础统计量计算，本课时需提升综合应用能力，培养用数据解决实际问题的意识，为后续统计学习和中考数据分析题型奠定基础。

第六章　数据的分析 6.1 平均数与方差 北师大版八年级上册 第4课时　平均数与方差的综合应用 导入新课 观察图片，并解答问题． (1)不进行计算，说说A，B两地这一天气温的特点； (2)分别计算这一天A，B两地气温的平均数和方差，与你刚才的看法一致吗？ 解：(1)A地气温波动比较大，B地气温较稳定； 2 (2) A＝(18＋17.5＋…＋18.5＋18)×≈20.42(℃)， B＝(20＋19.5＋…＋20.5＋20)×≈21.35(℃)， ＝[(18-20.42)2＋(17.5-20.42)2＋…＋(18.5-20.42)2＋(18-20.42)2]≈7.76， ＝[(20-21.35)2＋(19.5-21.35)2＋…＋(20.5-21.35)2＋(20-21.35)2]≈2.78. A，B两地平均气温相近，但A地日温差较大，B地日温差较小，因此与刚才的看法一致． 探究新知 例1 某校要从甲、乙两个跳远运动员中挑选一人参加一项比赛。在最近的 10 次选拔赛中，他们的成绩 (单位：cm) 如下： 甲：585, 596, 610, 598, 612, 597, 604, 600, 613, 601； 乙：613, 618, 580, 574, 618, 593, 585, 590, 598, 624. 甲：585+596+610+598+612+597+604+600+613+ 601)÷10 = 601.6（cm） 乙：(613+618+580+574+618+593+585+590+598 +624)÷10 = 599.3（cm） (1) 甲、乙的平均成绩分别是多少？ (2) 甲、乙这 10 次比赛成绩的方差分别是多少？ = = 65.84 = = 284.21 (3) 这两名运动员的运动成绩各有什么特点？ 甲运动员成绩较稳定，因为其方差比较小； 还可以说乙较有潜质，因为乙的最远成绩比甲的最远成绩好等。 (4) 历届比赛成绩表明，成绩达到 5.96 m 就很可能夺冠，你认为为了夺冠应选谁参加这项比赛？如果历届比赛成绩表明，成绩达到 6.10 m 就能打破纪录，那么你认为为了打破纪录应选谁参加这项比赛呢？ 在 10 次比赛中，甲运动员有 9 次超过 596 cm，而乙仅有 5 次，因此一般应选甲运动员参加这项比赛；但若要打破 610 cm 的跳远纪录，则一般应选乙运动员。 例1 10 个苹果的直径如图所示。 (1) 若想把这10个苹果分成 两组，使每组苹果的“个头” 差不多，你想怎么分？ 说说你分组的理由。 可以根据尺寸进行分组，让每组的苹果大小尽量相差较小。 8580757065 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 直径/cm 80 69 81 80 70 65 78 76 76 75 典例精析 在统计学里，分组的方法有很多，其中较常用的方法是使“组内离差平方和达到最小”。 (2) 一般情况下，如果想把一组数据分成若干组，使每个小组组内的数据差距不大，且组与组之间的数据差别明显，那么你认为应遵循怎样的分组原则？与同伴进行交流。 例2 按照：“组内离差平方和达到最小”的方法，把图中的 10 个苹果按直径大小分成两组。 解：将 10 个数据由小到大排序： 把 10 个数据分成两组，共有 9 种情况: ①第一组 1 个数据{65}，第二组 9 个数据{69，···，81}； ②第一组 2 个数据{65，69}， 第二组 8 个数据{70，···，81}； ······ ； ⑨第一组 9 个数据{65，···，80}，第二组 1 个数据{81}。 65，69，70，75，76，76，78，80，80，81。 以第 2 种分组情况为例，计算组内离差平方和。 其中，第一组有 2 个数据{65，69}，这 2 个数据的平均数是 67 ，故第一组数据的组内离差平方和 S1 = (65 - 67)² + (69 - 67)² = 8； 因此第 2 种分组情况的组内离差平方S=S1+S2=8+90 =98。 第二组有8个数据{70，75，76，76，78，80，80，81}，这 8 个数据的平均数是 77，故第二组数据的组内离差平方和 S2 = (70 - 77)² + (75 - 77)² + ··· + (81 - 77)² = 90。 同理计算其他 8 种分组情况的组内离差平方和，结果如下： 分组情况 组内离差平方和 第一组 1 个，第二组 9 个 146.889 第一组 2个，第二组 8 个 98 第一组 3个，第二组 7 个 48 第一组 4 个，第二组 6 个 74.25 第一组 5 个，第二组 5 个 98 第一组 6 个，第二组 4 个 107.583 第一组 7 个，第二组 3个 136.095 第一组 8 个，第二组 2 个 182.375 第一组 9 个，第二组 1 个 218 计算结果表明，第 3 种情况的组内离差平方和最小。 因此把10个苹果按直径大小分成的两组是： {65，69，70}， {75，76，76，78，80，80，81}. ① 数据 x1 - 3，x2 - 3，x3 - 3，…，xn - 3 的 平均数为 ，方差为 ； ② 数据 x1 + 3，x2 + 3，x3 + 3，…，xn + 3 的 平均数为 ，方差为 . 若数据 x1、x2、…、xn 的平均数为，方差为 s2，则 -3 s2 s2 拓展延伸 +3 总结： (1) 数据 x1±b、x2±b、…、xn±b 的 平均数为 ， 方差为 s2. ±b x 总结： (2) 数据 ax1、ax2、…、axn 的 平均数为 ，方差为 a2s2. ax ③ 数据 3x1 ，3x2 ，3x3 ，…，3xn 的 平均数为 ，方差为 . 9s2 3x 总结： (3) 数据 ax1±b、ax2±b、…、axn±b 的 平均数为 ，方差为 a2s2. ±b ax ④ 数据 2x1 - 3，2x2 - 3，2x3 - 3 ，…，2xn - 3 的 平均数为 ，方差为 . - 3 2x 4s2 若一组数据 x1 + 1，x2 + 1，…，xn + 1 的方差为 1，则另一组数据 x1 + 2，x2 + 2，…，xn + 2 的方差是 ；数据 3x1 + 2，3x2 + 2，…，3xn + 2 的方差是 . 1 9 练一练 根据本节课的学习，说说你学会了什么？ 课堂小结 我学会了计算方差，并合理利用数据分析作出决策. 我学会了当所有数据发生相同变化时，如何快速求出方差和平均数. A.甲 B.乙 C.丙 D.丁 1.如表记录了甲、乙、丙、丁四名跳高运动员最近几次选拔赛成绩(单位：cm)的平均数与方差，要从中选择一名成绩好且发挥稳定的运动员参加比赛，应该选择( ) D   甲 乙 丙 丁 平均数 180 185 180 185 方差 8.1 7.4 3.6 3.6 课堂练习 2.育才中学九年级(1)班为了从甲、乙两名同学中选拔一人参加全校举行的“绳彩飞扬”1分钟跳绳比赛，对他们进行了1分钟跳绳训练测试，10次测试的成绩如下(单位：次)： 甲：186，184，185，191，190，192，196，196，198，202； 乙：180，183，195，198，202，181，195，196，208，182. 为了比较两人的成绩，制作如下统计分析表：   平均数 众数 方差 甲 192 a 32.2 乙 192 195 b (1)填空：a＝　 　，b＝　 　.  (2)根据以上数据，请至少选择两个统计量作为选拔依据，说明应选拔哪位同学参加比赛. 　87.2　 　196　 解：(2)从平均数和方差来看，甲、乙两名同学成绩的平均数相同，甲的方差小于乙的方差，说明甲同学的成绩比乙的成绩稳定，可选拔甲同学参加比赛.(答案不唯一，合理即可) 3.[教材P153例3改编]按照“组内离差平方和达到最小”的方法，把数据88，55，90，98，62，35，69，72分成两组，写出分组过程.(可利用计算器计算) 解：将数据由小到大排序：35，55，62，69，72，88，90，98. 把8个数据分成两组，共有7种情况，各组组内离差平方和的结果如下： 分组情况 组内离差平方和 (35)，(55，62，69，72，88，90，98) 1525.429 (35，55)，(62，69，72，88，90，98) 1196.833 (35，55，62)，(69，72，88，90，98) 1007.867 (35，55，62，69)，(72，88，90，98) 1000.75 (35，55，62，69，72)，(88，90，98) 925.2 (35，55，62，69，72，88)，(90，98) 1621.5 (35，55，62，69，72，88，90)，(98) 2191.429 计算结果表明第五组组内离差平方和最小，因此可以把数据分为两组是(35，55，62，69，72)，(88，90，98). 4.某电脑公司销售部为了制定下个月的销售计划，对20位销售员本月的销售量进行了统计，绘制成如图所示的统计图，则这20位销售员本月销售量的平均数、众数分别是( ) A.19台，14台 B.19台，20台 C.18.4台，20台 D.19.4台，20台 C 5.某学校生物社团需将10株不同高度的同种植物(单位：厘米)分为A，B两组，要求组内植株高度尽量接近，两组之间高度差异明显. 测量数据如下：30，34，36，38，40，62，68，72，75，78. (已知分组效果可通过“组内离差平方和”评估，其值越小表示组内数据越集中.) (1)计算全部植株的平均高度. (2)若以50厘米为分界，将小于(包括等于)50厘米的植株分为A组，大于50厘米的分为B组. ①求A，B两组的离差平方和； ②计算两组的平均高度之差. (3)尝试将分界点改为65厘米，计算组内离差平方和，并与以50厘米为分界比较，判断哪种分界更优. 解：(1)全部植株的平均高度为53.3厘米. (2)①A组的离差平方和为59.2，B组的离差平方和为156. ②平均高度差为71－35.6＝35.4(厘米). (3)分界点选50厘米时，组内集中度更高，组间差异更显著，为更优方案.理由略. $