25.1 一元二次方程的概念 讲义 2026-2027学年人教版九年级数学上册

本初中数学讲义聚焦一元二次方程的概念与判定核心知识点，系统梳理从四要素（整式方程、一元、最高次2、二次项系数非零）理解概念，到化为一般形式ax²+bx+c=0（a≠0）并读取系数，再到含参判定与易错点分析的学习支架，帮助学生逐步构建知识脉络。 资料通过概念辨析分类判断、“四要素”判定流程图直观呈现，结合分层练习题（基础巩固与能力提升）强化应用，易错警示针对性解决常见误区。以具体例题培养学生抽象能力（从方程中抽象四要素）和推理意识（含参问题逻辑推理），课中辅助教师教学，课后助力学生查漏补缺。

第25章 一元二次方程（人教版九年级上册） 第一节 一元二次方程 · 一元二次方程的概念与判定 一、学习目标 ● 理解一元二次方程的概念，掌握“整式方程、只含一个未知数、未知数最高次数为2、二次项系数不为零”四要素。 ● 会把任意一元二次方程化为一般形式 ax²+bx+c=0（a≠0），并能准确说出二次项系数、一次项系数与常数项（含符号）。 ● 会判断一个方程是否为一元二次方程，能根据定义求字母参数的取值范围，避免“见二次就认定”的误区。 二、知识点精讲 一、一元二次方程的概念 通过等式变形后，只含一个未知数，且未知数最高次数是2的整式方程，叫作一元二次方程。判定须同时满足四条：①是整式方程（分母、根号不含未知数）；②只含一个未知数；③未知数最高次数为2；④二次项系数 a≠0，四者缺一不可。 ◆ 概念辨析（分类判断） 【题目】下列方程：① x²-3x=0；② 2x²+1/x=5；③ x²-2x+1=x²；④ (x-1)(x+2)=x²+1；⑤ ax²+bx=0（a≠0）。其中是一元二次方程的有哪些？ 【思路分析】逐一化简判定：①符合；②是分式方程；③化简后为 -2x+1=0 是一元一次；④化简后为 x-1=1 是一元一次；⑤ a≠0 时为二次。 【解答】解：是一元二次方程的有 ①、⑤。 图1 一元二次方程“四要素”判定流程图 二、一般形式与各项系数 一般形式：ax²+bx+c=0（a≠0）。其中 ax² 叫二次项，a 是二次项系数；bx 叫一次项，b 是一次项系数；c 是常数项。 读系数三步：先移项使右边为0 → 按降幂排列 → 连符号一起读。a≠0 是方程成为一元二次方程的必要条件，含参问题必须检验这一条。 ◆ 化为一般形式并指出系数 【题目】将方程 (2x+1)(x-3)=4 化为一般形式，并指出二次项系数、一次项系数和常数项。 【思路分析】先把左边展开，移项使右边为0，再按降幂排列读取系数（注意符号）。 【解答】解：2x²-5x-3=4，即 2x²-5x-7=0。故二次项系数为2，一次项系数为-5，常数项为-7。 三、含参判定与易错警示 含参问题：先按定义确定“未知数最高次数=2”且“二次项系数≠0”，再解关于参数的不等式或方程；还要注意方程可能退化为更低次（如一元一次方程）的情形。 【易错警示】本节高频考试误区 • 误把分式方程、二元方程当作一元二次方程（含 1/x、√x 或含两个未知数都不属于“整式、一元”）。 • 未先化简就判断次数（如 x²-2x+1=x² 化简后是一元一次，不是二次）。 • 忽略 a≠0：见到 ax²+bx+c=0 就默认是二次，未验证 a 是否为零。 • 读错系数符号：化一般形式后要连符号一起读，常数项 c 可正可负。 ◆ 含参判定（次数与系数） 【题目】关于 x 的方程 (m+1)x^{|m|} + 2x - 3 = 0 是一元二次方程，求 m 的值。 【思路分析】由定义，未知数最高次数为2且二次项系数非零：|m|=2 且 m+1≠0，联立即得。 【解答】解：由题意 |m|=2 得 m=±2；又 m+1≠0 即 m≠-1。所以 m=2 或 m=-2。 三、分层练习题 （一）基础巩固 1.（选择）下列方程中，是一元二次方程的是（ ） A. 2x+3=0 B. x²-4=0 C. x²+1/x=1 D. x²-2x+1=0 E. x+y²=3 2.（填空）把方程 5x²=3x+7 化为一般形式____，并指出二次项系数__、一次项系数__、常数项__。 3.（选择）关于 x 的方程 (k-2)x²+3x-1=0 是一元二次方程，则 k 的取值范围是（ ） A. k≠2 B. k≠-2 C. k=2 D. k为任意实数 4.（解答）将方程 (x+2)²=3x 化为一般形式，并指出各项系数。 5.（填空）若关于 x 的方程 (m-1)x²+2x-3=0 是一元二次方程，则 m 的取值范围是______。 6.（选择）方程 x²-2x+1=x² 化简后属于（ ） A. 一元二次方程 B. 一元一次方程 C. 分式方程 D. 二元方程 7.（解答）当 m 为何值时，方程 (m²-1)x²-(m+1)x+2=0 是关于 x 的一元二次方程？ 8.（填空）若 (a-2)x^{|a|-1}+3=0 是关于 x 的一元一次方程，则 a=____。 （二）能力提升 1.（解答）当 a 为何值时，方程 (a²-1)x²+(a-1)x+2=0 是一元二次方程？ 2.（解答）已知关于 x 的方程 (k²-4)x²+(k-2)x+5=0 是一元一次方程，求 k 的值。 3.（解答）若关于 x 的方程 (m-3)x^{m²-2m-1}+2x-1=0 是一元二次方程，求实数 m 的值。 4.（解答）已知关于 x 的方程 (a-2)x²+3x+a²-4=0 有一个根为 0，求 a 的值，并判断此时方程的类型。 5.（解答）已知方程 (k+1)x²-(k-3)x+2=0 是一元二次方程，且两根之和为 4，求 k 的值。 6.（解答）判断：方程 (√2-1)x²+√3 x=0 是否是一元二次方程？说明理由。 学科网（北京）股份有限公司 $ 第25章 一元二次方程（人教版九年级上册） 第一节 一元二次方程 · 一元二次方程的概念与判定 一、学习目标 ● 理解一元二次方程的概念，掌握“整式方程、只含一个未知数、未知数最高次数为2、二次项系数不为零”四要素。 ● 会把任意一元二次方程化为一般形式 ax²+bx+c=0（a≠0），并能准确说出二次项系数、一次项系数与常数项（含符号）。 ● 会判断一个方程是否为一元二次方程，能根据定义求字母参数的取值范围，避免“见二次就认定”的误区。 二、知识点精讲 （一）一元二次方程的概念 通过等式变形后，只含一个未知数，且未知数最高次数是2的整式方程，叫作一元二次方程。判定须同时满足四条：①是整式方程（分母、根号不含未知数）；②只含一个未知数；③未知数最高次数为2；④二次项系数 a≠0，四者缺一不可。 ◆ 概念辨析（分类判断） 【题目1】下列方程：① x²-3x=0；② 2x²+1/x=5；③ x²-2x+1=x²；④ (x-1)(x+2)=x²+1；⑤ ax²+bx=0（a≠0）。其中是一元二次方程的有哪些？ 【思路分析】逐一化简判定：①符合；②是分式方程；③化简后为 -2x+1=0 是一元一次；④化简后为 x-1=1 是一元一次；⑤ a≠0 时为二次。 【解答】解：是一元二次方程的有 ①、⑤。 【题目2】下列方程是一元二次方程的有（    ） ①；②；③；④． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【知识点】一元二次方程的定义 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是含有一个未知数且未知数的最高次数是是解题关键．根据一元二次方程的定义，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是的整式方程叫一元二次方程进行分析即可． 【详解】解：①，是一元二次方程； ②，是一元二次方程； ③，不是整式方程，不是一元二次方程； ④，含有两个未知数，并且未知数的最高次数是，不是一元二次方程； 故选：B． 【题目3】关于x的一元二次方程 的一个根是0，则a的值为 ． 【答案】 【知识点】一元二次方程的定义、由一元二次方程的解求参数 【分析】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．把 代入求解即可． 【详解】解：把 代入，得 ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ 故答案为： 图1 一元二次方程“四要素”判定流程图 （二）一般形式与各项系数 一般形式：ax²+bx+c=0（a≠0）。其中 ax² 叫二次项，a 是二次项系数；bx 叫一次项，b 是一次项系数；c 是常数项。 读系数三步：先移项使右边为0 → 按降幂排列 → 连符号一起读。a≠0 是方程成为一元二次方程的必要条件，含参问题必须检验这一条。 ◆ 化为一般形式并指出系数 【题目1】关于的一元二次方程的二次项系数，一次项系数和常数项分别为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】一元二次方程的定义 【分析】本题考查了一元二次方程的概念，理解并掌握一元二次方程的概念及一元二次方程的一般式是关键． 根据一元二次方程的概念及一般式“”判定即可． 【详解】解：关于的一元二次方程的二次项系数，一次项系数和常数项分别为， 故选：D ． 【题目2】把一元二次方程化成一般式，则，，的值分别是    ) A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】B 【知识点】化成一元二次方程的一般式 【分析】此题考查了一元二次方程的一般形式，一元二次方程的一般形式是： ，，是常数且特别要注意的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中叫二次项，叫一次项，是常数项．其中、、分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．方程整理为一般形式，找出，，的值即可． 【详解】解：方程整理得：， 则，，的值分别是，，． 故选：B． （三）含参判定与易错警示 含参问题：先按定义确定“未知数最高次数=2”且“二次项系数≠0”，再解关于参数的不等式或方程；还要注意方程可能退化为更低次（如一元一次方程）的情形。 【易错警示】本节高频考试误区 • 误把分式方程、二元方程当作一元二次方程（含 1/x、√x 或含两个未知数都不属于“整式、一元”）。 • 未先化简就判断次数（如 x²-2x+1=x² 化简后是一元一次，不是二次）。 • 忽略 a≠0：见到 ax²+bx+c=0 就默认是二次，未验证 a 是否为零。 • 读错系数符号：化一般形式后要连符号一起读，常数项 c 可正可负。 ◆ 含参判定（次数与系数） 【题目1】关于 x 的方程 (m+1)x^{|m|} + 2x - 3 = 0 是一元二次方程，求 m 的值。 【思路分析】由定义，未知数最高次数为2且二次项系数非零：|m|=2 且 m+1≠0，联立即得。 【解答】解：由题意 |m|=2 得 m=±2；又 m+1≠0 即 m≠-1。所以 m=2 或 m=-2。 【题目2】若是关于x的一元二次方程，则m的值是 ． 【答案】1 【知识点】由一元二次方程的定义求参数 【分析】本题考查了一元二次方程的概念．一元二次方程必须满足两个条件：（1）未知数的最高次数是2；（2）二次项系数不为0．由这两个条件得到相应的关系式，再求解即可． 【详解】解：∵是关于x的一元二次方程， ∴，， 解得， 故答案为：1． （四）一元二次方程的解 使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根. 注意事项： 代入方程应使左右相等。注意等号两边都要算。若方程有根为0，则常数项c=0；若根为1，则a+b+c=0；若根为-1，则a-b+c=0 【题目1】已知关于x的一元二次方程的一个根是，则m的值为 ． 【答案】2 【知识点】由一元二次方程的解求参数 【分析】此题考查了一元二次方程，熟知一元二次方程的解满足方程是解题的关键． 根据一元二次方程解的定义，把代入方程，即可解得m的值． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程的一个根是， ∴， ∴． 故答案为：2． 【题目2】若是方程的一个根，则代数式的值为 ． 【答案】2033 【知识点】判断是否是一元二次方程的解、已知式子的值，求代数式的值 【分析】本题主要考查了一元二次方程解的定义，代数式求值，根据一元二次方程解是使方程左右两边相等的未知数的值得到，即，再根据进行求解即可． 【详解】解；∵m是方程的一个根， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 三、分层练习题 （一）基础巩固 1.（选择）下列方程中，是一元二次方程的是（ ） A. 2x+3=0 B. x²-4=0 C. x²+1/x=1 D. x²-2x+1=0 E. x+y²=3 【参考答案】选 B、D。A是一元一次；C含1/x不是整式方程；E含两个未知数；只有B、D同时满足“整式、一元、二次、a≠0”四要素。 2.（填空）把方程 5x²=3x+7 化为一般形式____，并指出二次项系数__、一次项系数__、常数项__。 【参考答案】移项得 5x²-3x-7=0；二次项系数为5，一次项系数为-3，常数项为-7。 3.（选择）关于 x 的方程 (k-2)x²+3x-1=0 是一元二次方程，则 k 的取值范围是（ ） A. k≠2 B. k≠-2 C. k=2 D. k为任意实数 【参考答案】选 A。需二次项系数 k-2≠0，即 k≠2。 4.（解答）将方程 (x+2)²=3x 化为一般形式，并指出各项系数。 【参考答案】展开得 x²+4x+4=3x，移项合并为 x²+x+4=0；二次项系数1，一次项系数1，常数项4。 5.（填空）若关于 x 的方程 (m-1)x²+2x-3=0 是一元二次方程，则 m 的取值范围是______。 【参考答案】需 m-1≠0，即 m≠1。 6.（选择）方程 x²-2x+1=x² 化简后属于（ ） A. 一元二次方程 B. 一元一次方程 C. 分式方程 D. 二元方程 【参考答案】选 B。化简得 -2x+1=0，是一元一次方程。 7.（解答）当 m 为何值时，方程 (m²-1)x²-(m+1)x+2=0 是关于 x 的一元二次方程？ 【参考答案】需二次项系数 m²-1≠0，解得 m≠±1。 8.（填空）若 (a-2)x^{|a|-1}+3=0 是关于 x 的一元一次方程，则 a=____。 【参考答案】由一元一次得 |a|-1=1 且 a-2≠0，故 a=±2 且 a≠2，得 a=-2。 （二）能力提升 1.（解答）当 a 为何值时，方程 (a²-1)x²+(a-1)x+2=0 是一元二次方程？ 【参考答案】需 a²-1≠0，即 a≠±1。 2.（解答）已知关于 x 的方程 (k²-4)x²+(k-2)x+5=0 是一元一次方程，求 k 的值。 【参考答案】一元一次需二次项系数为0且一次项系数≠0：k²-4=0→k=±2；k-2≠0→k≠2；故 k=-2。 3.（解答）若关于 x 的方程 (m-3)x^{m²-2m-1}+2x-1=0 是一元二次方程，求实数 m 的值。 【参考答案】由定义，最高次数 m²-2m-1=2 且系数 m-3≠0。解 m²-2m-3=0 得 m=3 或 m=-1；结合 m≠3，故 m=-1。 4.（解答）已知关于 x 的方程 (a-2)x²+3x+a²-4=0 有一个根为 0，求 a 的值，并判断此时方程的类型。 【参考答案】代入 x=0 得 a²-4=0，a=±2；a=2 时二次项系数为0，方程为 3x=0（一元一次方程）；a=-2 时方程为 -4x²+3x=0（一元二次方程）。 5.（解答）已知方程 (k+1)x²-(k-3)x+2=0 是一元二次方程，且两根之和为 4，求 k 的值。 【参考答案】一元二次需 k+1≠0 即 k≠-1；两根之和 = (k-3)/(k+1) = 4 → k-3 = 4k+4 → k = -7/3（满足 k≠-1，成立）。 6.（解答）判断：方程 (√2-1)x²+√3 x=0 是否是一元二次方程？说明理由。 【参考答案】是一元二次方程。因为二次项系数 √2-1≠0，且为整式、一元、二次，满足“四要素”。 学科网（北京）股份有限公司 $