25.1 一元二次方程的概念第1课时 讲义- 2026-2027学年人教版数学九年级上册

本讲义聚焦一元二次方程的概念这一核心知识点，衔接已学的一元一次方程、二元一次方程组等，通过面积问题和数字问题引入，系统梳理定义（一元、二次、整式方程三条件）、一般形式（ax²+bx+c=0，a≠0）、各项系数及解的概念，构建从具体到抽象的学习支架。 资料以情境导入培养数学眼光，通过问题1、2引导学生观察现实问题中的数量关系；知识梳理与考点精讲（如例1判断方程、例2化一般形式）发展数学思维，强化推理与运算能力；实际问题建模（如例6商品降价、例7折盒子）提升数学语言的模型意识。课中助力教师系统授课，课后易错点辨析、随堂练习及解析辅助学生查漏补缺。

人教版九年级数学上册 · 第二十一章 一元二次方程 人教版九年级数学上册 第二十一章 一元二次方程 第 1 课时 一元二次方程的概念 ━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━ 初三数学同步讲义 · 暑期预习衔接 ▎一、学习目标 1. 了解一元二次方程的概念，能正确判断一个方程是否为一元二次方程。 2. 理解一元二次方程的一般形式，能将方程化为一般形式。 3. 能正确识别二次项、一次项、常数项及其系数。 4. 理解一元二次方程的解（根）的概念，能判断一个数是否为方程的解。 5. 能根据实际问题中的数量关系列出一元二次方程。 ▎二、情境导入 在前面的学习中，我们已经研究了一元一次方程（如 2x + 1 = 0）、二元一次方程组、分式方程等。这些方程都是刻画现实世界中数量关系的有效工具。但在许多实际问题中，我们还会遇到更高次数的方程。 ◆ 问题1：面积问题 有一块矩形铁皮，长 100 cm，宽 50 cm。在它的四个角各切去一个同样大小的正方形，然后将四周折起，制成一个无盖的方盒。如果要使方盒的底面积为 3600 cm²，那么切去的正方形的边长应为多少？ 设切去的正方形的边长为 x cm，则方盒的底面长为 (100 - 2x) cm，宽为 (50 - 2x) cm。根据题意得： 展开整理得： ◆ 问题2：数字问题 两个连续正整数的平方和等于 365，求这两个数。 设较小的一个数为 x，则较大的数为 x + 1。根据题意得： 展开整理得： 观察上面得到的方程 x² - 75x + 350 = 0 和 2x² + 2x - 364 = 0，它们与之前学过的一元一次方程有什么不同？这类方程有什么共同特征？这就是本课时要研究的内容。 ▎三、知识梳理 ◆ （一）一元二次方程的定义 像上面的方程 x² - 75x + 350 = 0、2x² + 2x - 364 = 0 这样，等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是 2（二次）的方程，叫做一元二次方程。 💡 一元二次方程的三个核心条件 ① 只含有一个未知数（一元）； ② 未知数的最高次数是 2（二次）； ③ 是整式方程（等号两边都是整式）。 三个条件缺一不可，必须同时满足。 ◆ （二）一元二次方程的一般形式 任何一个一元二次方程经过化简后，都可以化为以下形式： 这种形式称为一元二次方程的一般形式。其中： • ax² 是二次项，a 称为二次项系数； • bx 是一次项，b 称为一次项系数； • c 是常数项。 ⚠ 关键限制：a ≠ 0 一般形式 ax² + bx + c = 0 中，必须强调 a ≠ 0。 因为如果 a = 0，方程就变成 bx + c = 0，这是一元一次方程，不再是二次方程。 而 b 和 c 可以为任意实数（包括 0）。 ◆ （三）特殊的一元二次方程 在一般形式 ax² + bx + c = 0 (a ≠ 0) 中，根据 b 和 c 是否为 0，一元二次方程有以下几种特殊形式： 类型 一般形式 条件 说明 一般式 ax² + bx + c = 0 a≠0, b≠0, c≠0 标准形式 缺常数项 ax² + bx = 0 a≠0, b≠0, c=0 常数项为0 缺一次项 ax² + c = 0 a≠0, b=0, c≠0 一次项系数为0 缺一次项和常数项 ax² = 0 a≠0, b=0, c=0 最简形式 ◆ （四）一元二次方程的解（根） 使一元二次方程左右两边相等的未知数的值，叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根。 例如：对于方程 x² - 4x + 3 = 0，当 x = 1 时，左边 = 1 - 4 + 3 = 0 = 右边，所以 x = 1 是该方程的根。同理，当 x = 3 时，左边 = 9 - 12 + 3 = 0 = 右边，所以 x = 3 也是该方程的根。 一元二次方程的实数根的个数可能有 0 个、1 个或 2 个。 ▎四、考点精讲 ◆ 考点1：判断一元二次方程 判断一个方程是否为一元二次方程，关键是看它是否同时满足三个条件：一元、二次、整式方程。注意先化简再判断。 例1 下列哪些是一元二次方程？ （1）x² + 2x + 1 = 0　　（2）x² + 1/x = 0　　（3）x³ + 2x = 0　　（4）(x+1)² = x²　　（5）x² + y = 0　　（6）(m²+1)x² + 2x = 0 【解析】逐一判断： （1）是。满足一元、二次、整式方程三个条件。 （2）不是。含分式 1/x，不是整式方程。 （3）不是。未知数最高次数是 3，不是二次。 （4）不是。展开得 x² + 2x + 1 = x²，化简为 2x + 1 = 0，是一元一次方程。 （5）不是。含有两个未知数 x 和 y，不是一元。 （6）是。m²+1 > 0 恒成立，二次项系数不为 0，是一元二次方程。 💡 判断技巧 ① 先看是否为整式方程（分母不含未知数）； ② 再看是否化简（去括号、移项、合并同类项后再判断）； ③ 最后看一元（一个未知数）且二次（最高次数为2）。 ◆ 考点2：化为一般形式并指出各项系数 将一元二次方程化为一般形式 ax² + bx + c = 0 后，才能正确识别各项及系数。注意：系数要包含符号，常数项也要包含符号。 例2 将下列方程化为一般形式，并写出二次项系数、一次项系数和常数项。 （1）x(x - 3) = 4　　（2）(2x - 1)(x + 3) = 5x　　（3）3x² - (x + 2)² = x² + 1 【解析】 （1）展开：x² - 3x = 4，移项整理得一般形式： 二次项系数 a = 1，一次项系数 b = -3，常数项 c = -4。 （2）展开：2x² + 6x - x - 3 = 5x，整理得 2x² + 5x - 3 = 5x，移项得一般形式： 二次项系数 a = 2，一次项系数 b = 0，常数项 c = -3。 （3）展开：3x² - x² - 4x - 4 = x² + 1，整理得 2x² - 4x - 4 = x² + 1，移项得一般形式： 二次项系数 a = 1，一次项系数 b = -4，常数项 c = -5。 ⚠ 易错警示 ① 系数必须包含符号！b = -3 不能写成 b = 3。 ② 化简必须彻底！先去括号、再合并同类项、最后移项成一般形式。 ③ 二次项系数 a 经过化简后一定不为 0（否则就不是一元二次方程）。 ◆ 考点3：一元二次方程的解（根）的判断 判断一个数是否为一元二次方程的解（根），只需将该数代入方程，看左右两边是否相等即可。 例3 已知关于 x 的方程 x² + mx - 8 = 0 的一个根是 x = 2，求 m 的值。 【解析】 因为 x = 2 是方程 x² + mx - 8 = 0 的根，所以将 x = 2 代入方程，左右两边相等： 即 4 + 2m - 8 = 0，解得 m = 2。 例4 若 x = -1 是关于 x 的方程 2x² + (k - 1)x + 3 = 0 的一个根，求 k 的值。 【解析】 将 x = -1 代入方程： 即 2 - k + 1 + 3 = 0，解得 k = 6。 ◆ 考点4：含字母系数的方程是不是一元二次方程 当方程中含有字母系数时，需要根据字母的取值讨论方程的类型。关键看二次项系数是否为 0。 例5 已知关于 x 的方程 (m² - 4)x² + (m + 2)x - 3 = 0。 （1）当 m 为何值时，方程为一元二次方程？ （2）当 m 为何值时，方程为一元一次方程？ 【解析】 （1）方程为一元二次方程的条件是二次项系数 m² - 4 ≠ 0，即 m ≠ 2 且 m ≠ -2。 （2）方程为一元一次方程的条件是二次项系数 m² - 4 = 0 且一次项系数 m + 2 ≠ 0。 由 m² - 4 = 0 得 m = ；由 m + 2 ≠ 0 得 m ≠ -2。所以 m = 2。 即当 m = 2 时，方程化为 4x - 3 = 0，是一元一次方程。 💡 讨论策略 含字母系数的方程分类讨论步骤： ① 先看二次项系数（含字母的部分）是否为0； ② 若二次项系数 ≠ 0 → 一元二次方程； ③ 若二次项系数 = 0，但一次项系数 ≠ 0 → 一元一次方程； ④ 若二次项系数和一次项系数都 = 0 → 恒等式或矛盾方程。 ◆ 考点5：根据实际问题列一元二次方程 例6 某商品原价 200 元，经过两次降价后售价为 128 元。如果每次降价的百分率相同，求每次降价的百分率。 【解析】 设每次降价的百分率为 x（0 < x < 1），则： 第一次降价后售价为 200(1 - x) 元； 第二次降价后售价为 200(1 - x)² 元。 根据题意列方程： 化简得：(1 - x)² = 0.64，即 x² - 2x + 0.36 = 0。 例7 一张长方形纸片，长比宽多 3 cm。在纸片的四个角各剪去一个边长为 2 cm 的正方形，然后折成一个无盖的长方体盒子。如果盒子的容积为 80 cm³，设纸片的宽为 x cm，列出方程。 【解析】 纸片宽为 x cm，长为 (x + 3) cm。剪去四角后： 盒子底面长为 (x + 3 - 4) = (x - 1) cm，宽为 (x - 4) cm，高为 2 cm。 容积 = 底面积 × 高，列方程： 展开整理得：x² - 5x - 36 = 0。 ▎五、易错点辨析 ◆ 易错点1：未化简就判断方程类型 ⚠ 【误区】 判断方程 (x + 1)² = x² 是否为一元二次方程时，看到 x² 就认为是二次方程。 ✓ 【正解】 必须先化简：(x+1)² = x² → x² + 2x + 1 = x² → 2x + 1 = 0 化简后是一元一次方程，不是一元二次方程。 结论：判断前必须先去括号、合并同类项、整理成一般形式。 ◆ 易错点2：系数漏写符号 ⚠ 【误区】 方程 x² - 3x - 4 = 0 中，写一次项系数 b = 3（漏了负号）。 ✓ 【正解】 一般形式 ax² + bx + c = 0 中，b 是一次项的系数，包含符号。 x² - 3x - 4 = 0 中：a = 1, b = -3, c = -4。 记忆口诀：系数带符号，正负不能丢。 ◆ 易错点3：忽视 a ≠ 0 的条件 ⚠ 【误区】 已知 (k - 3)x² + 2x - 1 = 0 是一元二次方程，直接认为 k 可以取任何值。 ✓ 【正解】 一元二次方程要求 a ≠ 0，即 k - 3 ≠ 0，所以 k ≠ 3。 a ≠ 0 是一元二次方程存在的必要条件，绝不能省略。 ◆ 易错点4：方程的根的概念与方程的解混淆 ⚠ 【误区】 认为 x = 2 是方程 x² - 4 = 0 的根，就只有 x = 2 这一个根。 ✓ 【正解】 x = 2 是方程 x² - 4 = 0 的根，x = -2 也是方程的根。 一元二次方程的实数根可能有 0 个、1 个或 2 个。 判断根时要将所有可能的值都代入检验。 ▎六、方法归纳 💡 一元二次方程学习路线图 第1步 识别：判断是否为一元二次方程（一元、二次、整式方程） 第2步 规范：化为一般形式 ax² + bx + c = 0 (a ≠ 0) 第3步 定位：准确写出 a、b、c 的值（含符号） 第4步 验根：代入检验，左右两边相等即为根 第5步 建模：根据实际问题列方程 ▎七、随堂练习 ◆ （一）选择题 1. 下列方程中，是一元二次方程的是（ ） A. x² + 1/x = 0　　B. 2x² - 3x + 1　　C. x² + 2x = x² - 1　　D. (m²+1)x² + x = 0 2. 方程 3x² - 5x - 2 = 0 的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（ ） A. 3, 5, -2　　B. 3, -5, -2　　C. 3, -5, 2　　D. -3, 5, 2 3. 将方程 (x + 2)(x - 3) = 5 化为一般形式后，常数项为（ ） A. -6　　B. -11　　C. 5　　D. 1 4. 已知 x = 2 是方程 x² - 3x + a = 0 的一个根，则 a 的值为（ ） A. 2　　B. -2　　C. 4　　D. -4 5. 关于 x 的方程 (k - 1)x² + 2x + 3 = 0 是一元二次方程，则 k 的取值范围是（ ） A. k ≠ 1　　B. k ≠ 0　　C. k = 1　　D. k > 1 6. 某商品原价 100 元，两次涨价后为 121 元，设每次涨价率为 x，则方程为（ ） A. 100(1 + x) = 121　　B. 100(1 + 2x) = 121　　C. 100(1 + x)² = 121　　D. 100x² = 121 ◆ （二）填空题 7. 方程 x² = 2x + 3 的一般形式是 __________，其中 a = ____，b = ____，c = ____。 8. 已知 x = -3 是方程 x² + mx + 3 = 0 的根，则 m = ____。 9. 若关于 x 的方程 (a - 2)x² + 3x - 1 = 0 是一元二次方程，则 a 的取值范围是 __________。 10. 写一个以 x = 1 和 x = -2 为根的一元二次方程（一般形式）：__________。 11. 某厂一月份产量为 500 吨，三月份产量为 720 吨，设每月增长率为 x，则可列方程 __________。 12. 将方程 2(x - 1)² = 3x 化为一般形式为 __________。 ◆ （三）解答题 13. 将下列方程化为一元二次方程的一般形式，并写出二次项系数 a、一次项系数 b 和常数项 c。 （1）(x - 1)(x + 2) = 6 （2）2x(x - 3) = 3(x + 1) （3）(2x + 1)² - 3x(x - 2) = 4 14. 已知关于 x 的方程 (m² - 4)x² + (m + 2)x - 3 = 0。 （1）当 m 为何值时，方程为一元二次方程？ （2）当 m 为何值时，方程为一元一次方程？并求出此时方程的解。 15. 已知 x = 2 是关于 x 的方程 x² - (m + 1)x + m = 0 的一个根。 （1）求 m 的值； （2）求方程的另一个根。 ▎八、答案与解析 ◆ （一）选择题答案 题号 1 2 3 4 5 6 答案 D B B A A C 【解析】 1. D。A是分式方程不是整式方程；B是多项式不是方程；C化简后为2x+1=0是一元一次方程；D中m²+1>0恒成立，是一元二次方程。 2. B。a=3, b=-5, c=-2。系数含符号。 3. B。展开x²-x-6=5，移项x²-x-11=0，常数项c=-11。 4. A。将x=2代入：4-6+a=0，a=2。 5. A。二次项系数k-1≠0，即k≠1。 6. C。两次涨价，每次涨x，则100(1+x)²=121。 ◆ （二）填空题答案 7. x² - 2x - 3 = 0；a = 1，b = -2，c = -3 8. m = 4。解析：将x=-3代入：9 + (-3)m + 3 = 0 → 12 - 3m = 0 → m = 4。 9. a ≠ 2。解析：二次项系数 a-2 ≠ 0 → a ≠ 2 10. x² + x - 2 = 0。解析：两根为1和-2，则方程为(x-1)(x+2)=0，展开得x²+x-2=0 11. 500(1 + x)² = 720。解析：一月份500吨，二月份500(1+x)吨，三月份500(1+x)²吨 12. 2x² - 7x + 2 = 0。解析：展开2(x²-2x+1)=3x → 2x²-4x+2=3x → 2x²-7x+2=0 ◆ （三）解答题答案 13.【解答】 （1）展开：x² + 2x - x - 2 = 6，整理得 x² + x - 8 = 0。 a = 1，b = 1，c = -8。 （2）展开：2x² - 6x = 3x + 3，整理得 2x² - 9x - 3 = 0。 a = 2，b = -9，c = -3。 （3）展开：4x² + 4x + 1 - 3x² + 6x = 4，整理得 x² + 10x - 3 = 0。 a = 1，b = 10，c = -3。 14.【解答】 （1）方程为一元二次方程的条件：m² - 4 ≠ 0，即 m ≠ 2 且 m ≠ -2。 ∴ 当 m ≠ 2 且 m ≠ -2 时，方程为一元二次方程。 （2）方程为一元一次方程的条件：m² - 4 = 0 且 m + 2 ≠ 0。 由 m² - 4 = 0 得 m = ；由 m + 2 ≠ 0 得 m ≠ -2。 ∴ 当 m = 2 时，方程为 4x - 3 = 0，解得 x = 3/4。 15.【解答】 （1）将 x = 2 代入方程：4 - 2(m+1) + m = 0 4 - 2m - 2 + m = 0 → 2 - m = 0 → m = 2 （2）当 m = 2 时，方程为 x² - 3x + 2 = 0。 已知一个根为 x = 2，设另一个根为 x₂。 由题意知方程两根之积为 c/a = 2，即 2 × x₂ = 2，所以 x₂ = 1。 ∴ 方程的另一个根为 x = 1。 学科网（北京）股份有限公司 $