专题 25.4 降次——解一元二次方程（因式分解法）（知识梳理 + 题型精析 +同步检测）- 2026-2027学年人教版九年级数学上册

本讲义聚焦“降次——解一元二次方程（因式分解法）”核心知识点，先梳理一元二次方程定义、因式分解方法及“乘积为0则因式为0”原理，再明确因式分解法定义、适用条件和四步解题步骤，构建从基础原理到具体操作的学习支架。 资料亮点在于分层题型设计，夯实基础部分涵盖提公因式、十字相乘等基础题型并设易错提醒，巩固提升结合几何（如矩形边长与对角线关系）、函数综合题，培养推理能力与应用意识。同步检测题量适中，课中辅助教师分层教学，课后助力学生查漏补缺，强化知识应用。

专题 25.4 降次——解一元二次方程（因式分解法）（知识梳理 + 题型精析 +同步检测） 目录 一.知识梳理 1 【知识点一】知识回顾 1 【知识点二】因式分解法 2 【知识点三】因式分解法解题步骤 2 二.题型精析（夯实基础） 2 【题型 1】提公因式法因式分解解方程 2 【题型 2】十字相乘因式分解解方程 4 【题型 3】先整理再因式分解解方程 5 三.题型精析（巩固提升） 8 【题型 4】因式分解法解一元二次方程与几何综合 8 【题型 5】因式分解法解一元二次方程与函数综合 11 【题型 6】解可化为一元二次方程的分式方程 15 【题型 7】选择合适方法解一元二次方程 17 【题型 8】用换元法解一元二次方程 20 三.同步检测 23 （一）选择题（共8题，每小题4分，合计32分） 23 （二）填空题（共8题，每小题4分，合计32分） 26 （三）解答题（共4题，每小题9分，合计36分） 29 一.知识梳理 【知识点一】知识回顾 1. 一元二次方程的定义 只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程，一般形式为：。 2. 常用因式分解方法 因式分解：把一个多项式化为几个整式乘积的形式，是因式分解法解方程的基础，常用两种方法： （1）提公因式法： （2）公式法：平方差公式；完全平方公式 3. 核心数学原理 若两个数的乘积为0，则至少其中一个数为0，即：若，则或。 这是因式分解法解方程的核心依据，通过该原理可将二次方程“降次”为两个一元一次方程，实现简化求解。 【知识点二】因式分解法 当一元二次方程的一边为0，另一边可以分解成两个一次因式的乘积时，利用“乘积为0则因式为0”的原理，将一元二次方程转化为两个一元一次方程，进而求出方程解的方法，叫做因式分解法。 本质：降次转化，将未知的二次方程转化为熟悉的一元一次方程求解，是解一元二次方程最简便、最快捷的方法之一。 适用条件：方程整理为一般形式后，左边多项式可快速因式分解，右边为0。 【知识点三】因式分解法解题步骤 1：移项化0 —将方程所有项移到左边，使方程右边为0，整理成标准整式方程形式。 2：因式分解—对左边的多项式进行因式分解，分解为两个一次因式相乘的形式：。 3：降次列方程—根据乘积为0的原理，转化为两个一元一次方程：或。 4：求解得根—分别解两个一元一次方程，得到原一元二次方程的两个根。 二.题型精析（夯实基础） 【题型 1】提公因式法因式分解解方程 【例题1】（浙江省金华市开发区2025-2026学年八年级下学期期末考试数学试题）解方程： （1）； （2）． 【答案】（1），；（2）， 解：（1）解：原方程为 提取公因式得 可得或 解得， （2）原方程为 移项得 提取公因式得 可得或 解得， 【变式1】（25-26八年级下·北京顺义·期末）方程的解为（     ） A． B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】使用因式分解法即可得到方程的解，用到因式分解中提取公因式的方法和“若两个数的乘积为0，则至少其中一个数为0”的性质． 解：将原方程移项整理得 ， 提取公因式得 ， 或 ， 解得 ，． 【变式2】（25-26八年级下·北京昌平·期末）一元二次方程的解为_________． 【答案】， 【分析】提取公因式后将原方程转化为两个一元一次方程，即可求解． 解：， 因式分解得：， 可得或， 解得：，． 【变式3】（25-26八年级下·安徽淮北·期末）解方程：． 【答案】， 解：， ， 或， 或， 即原方程的根是，． 易错提醒：切勿直接两边同时除以，会丢失这个根！ 【题型 2】十字相乘因式分解解方程 【例题2】（25-26九年级上·全国·课后作业）用因式分解法解方程：． 【答案】 【分析】本题考查了解一元二次方程，运用因式分解法进行解方程，即可作答． 解：∵， ∴， ∴或， ∴ 【变式1】（2025·天津·一模）一元二次方程的两个根是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的一般方法，是解题的关键．通过因式分解法求解一元二次方程，找到两个根即可． 解：， 因式分解得：， ∴或， 解得：或， 故方程的两个根为，． 故选：A． 【变式2】（2026·陕西西安·模拟预测）方程的根是______． 【答案】 【分析】将方程左边利用完全平方公式变形，再通过直接开平方法求解一元二次方程即可． 解：， ， 直接开平方得， 解得． 【变式3】（24-25八年级下·北京·课后作业）用十字相乘法解方程： （1） （2） 【答案】（1），；（2）， 【分析】本题考查了解一元二次方程，主要考查学生的计算能力． （1）先分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可． （2）先分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可． 解：（1）解：； ， ，， ，． （2）解： ， ，， ，． 【题型 3】先整理再因式分解解方程 【例题1】（25-26九年级上·全国·课后作业）用因式分解法解下列方程： （1） （2） （3） （4） 【答案】（1），；（2）；（3），；（4）， 【分析】本题考查的是用因式分解法解一元二次方程，（1）题用提公因式法因式分解求出方程的根．（2）用完全平方公式因式分解求出方程的根．（3）题用提公因式法因式分解求出方程的根．（4）方程整理后用提公因式法因式分解求出方程的根． （1）用提公因式法因式分解求出方程的根． （2）把右边的项移到左边并化简，再用完全平方公式分解因式，即可求出方程的根． （3）用提公因式法因式分解求出方程的根． （4）方程整理后用提公因式法因式分解求出方程的根． 解：（1）解：， 原方程可变形为：， 或． ，． （2）解： 原方程可变形为：， ． ． （3）解：， 原方程可变形为：， 或 ，． （4）解： 原方程可变形为：， ， 即． 或． ，． 【变式1】（25-26八年级下·山东济南·期末）关于的一元二次方程的解为（     ） A．， B． C． D．， 【答案】B 【分析】将方程整理后，通过提取公因式因式分解，得到方程的根． 解：， 移项得：， 提取公因式得：， 化简得：， ∴ ． 【变式2】（25-26九年级上·河北唐山·期末）一元二次方程的解为____． 【答案】， 【分析】本题考查一元二次方程的解法，熟练掌握用因式分解法解一元二次方程是解题关键．通过展开和移项将方程化为标准形式，然后利用因式分解法求解. 解：∵， ∴展开得， ∴移项得， ∴因式分解得， ∴或， 故答案为， 【变式3】（25-26九年级上·全国·课后作业）用因式分解法解下列方程： （1）． （2）． （3）． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】本题考查解一元二次方程-因式分解法，解题的关键是掌握因式分解法解一元二次方程的一般步骤． （1）先把等号右边变形为0，再将左边分解因式，即可解出未知数的值； （2）先把等号右边变形为0，再将左边分解因式，即可解出未知数的值． （3）先把等号右边变形为0，再将左边分解因式，即可解出未知数的值． 解：（1）解： 移项，得． 因式分解，得， 即， 解得． （2）解： 整理，得． 因式分解，得， 解得． （3）解： 整理，得． 因式分解，得， 解得． 三.题型精析（巩固提升） 【题型 4】因式分解法解一元二次方程与几何综合 【例题4】（25-26九年级上·江苏无锡·期中）已知：关于x的方程． （1）不解方程，判断方程根的情况； （2）矩形两边、的长是方程的两个实数根，且其对角线长为10，求矩形的周长． 【答案】（1）方程有两个不相等的实数根；（2）28 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，解一元二次方程，勾股定理，矩形的性质. （1）通过计算判别式判断根的情况即可； （2）先求方程的根，再利用勾股定理列方程求m，得到矩形两边长后计算周长． 解：（1）解：， ∴方程有两个不相等的实数根； （2）解：方程的两个根为， 设， 由勾股定理得：， 即， ∴， 解得：， 当时，； 当时，（舍去）； ∴矩形两边长为8和6， 周长． 答：矩形的周长为28． 【变式1】（2026·四川宜宾·中考真题）已知方程的两根恰好是某菱形的对角线长，则这个菱形的面积是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用因式分解法解方程求出方程的两个根，则可得到菱形的两条对角线的长，再根据菱形的面积等于其对角线乘积的一半计算面积即可． 解：∵， ∴， ∴或， 解得或， ∵方程的两根恰好是某菱形的对角线长， ∴该菱形的两条对角线的长分别为2和7， ∴该菱形的面积为． 【变式2】（25-26八年级下·安徽马鞍山·期末）一个三角形的两边长分别为5和7，第三边长是方程的根，则这个三角形的周长为___________． 【答案】16 【分析】先解一元二次方程得到方程的两个根，再根据三角形三边关系判断符合题意的第三边长度，最后计算三角形周长即可． 解：解方程，得． 设第三边长为， 根据三角形三边关系可得，即， 所以第三边长为． 所以三角形的周长为． 【变式3】（25-26九年级上·青海西宁·期中）已知，平行四边形的两边，的长是关于的一元二次方程的两个实数根． （1）若的长为3，那么平行四边形的周长是多少？ （2）当为何值时，四边形是菱形？求出这时菱形的边长． 【答案】（1）10；（2），菱形的边长是2． 【分析】本题考查了因式分解法解一元二次方程，菱形的性质，平行四边形的性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先运用因式分解法解一元二次方程，得或，再结合题意得，即可求出平行四边形的周长； （2）由（1）得的两个根是或，结合菱形的四边相等得，即可作答． 解：（1）解：∵， ∴ ∴ 解得或， ∵平行四边形的两边，的长是关于的一元二次方程的两个实数根，且的长为3， ∴， ∴平行四边形的周长是． （2）解：由（1）得的两个根是或， ∵平行四边形的两边，的长是关于的一元二次方程的两个实数根，且四边形是菱形， ∴， 解得．四边形是菱形， 此时菱形的边长是2． 【题型 5】因式分解法解一元二次方程与函数综合 【例题5】（25-26九年级上·浙江·课后作业）已知函数． （1）分别求出当和时，函数y的值； （2）当时，求自变量x的取值． 【答案】（1）当和时，函数y的值都为16；（2） 【分析】本题考查的是二次函数的定义，熟知一般地，形如（a、b、c是常数，）的函数，叫做二次函数是解答此题的关键． （1）直接将和代入函数，计算即可求解； （2）令，解一元二次方程即可． 解：（1）解：当时，， 当时，， 则当和时，函数y的值都为16； （2）解：当时，可有，即， 解得． 【变式1】（2023·浙江杭州·二模）已知二次函数和一次函数（ ，为常数）．若．当函数的图象经过点时，与之间的数量关系为（　　） A．或 B．或 C． D． 【答案】A 【分析】首先根据条件求出，然后将代入，得出关于、等式即可求解． 解：， ， ，， ， ， 函数的图象经过点， ， 或， 或． 故选：A． 【点拨】本题主要考查二次函数的性质，解一元二次方程，正确并且灵活地应用二次函数的性质是解题的关键． 【变式2】（2024九年级下·江苏无锡·竞赛）已知点是一次函数的图象位于第一象限部分上的点，其中实数m、n满足，则点P的坐标为______． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数的性质，解一元二次方程，掌握以上知识点是解题的关键． 根据题意已知等式可得，根据点是一次函数的图象上位于第一象限的点，得出，且，联立解方程，即可求解． 解：， 化简，得， ∵点是一次函数的图象位于第一象限部分上的点， ， ， 解得，或， ∵点是一次函数的图象位于第一象限部分上的点， ， 故点的坐标为， 故答案为：． 【变式3】（25-26八年级下·福建莆田·期中）定义：对于平面直角坐标系中的点和直线，我们称点是直线的关联点，直线是点的关联直线．特别地，当时，直线（b为常数）的关联点为．如图，直线：与轴交于点A，与y轴交于点B． （1）直线的关联点的坐标是________，点A的关联直线的解析式为__________； （2）点P在y轴上，且，求点P的坐标； （3）若点D在直线上，横坐标为1，点E在x轴负半轴上，且，动点M的坐标为，求的最小值． 【答案】（1），；（2）或；（3）的最小值为 【分析】（1）根据题中所给新定义可直接进行求解； （2）设点，则有，然后根据三角形面积可进行求解； （3）过点E作于点F，然后根据题意可设点，则有，，进而根据两点距离公式、等积法和两点之间线段最短可求解． 解：（1）解：令时，则，则有点； 令时，则，解得， ∴， ∴直线的关联点的坐标是；点A的关联直线的解析式为； 故答案为， （2）解：设点，则有， ∵，， ∴， 解得：， ∴或； （3）解：由（1）可知，， ∴， ∵点D在直线上，横坐标为1， ∴点D纵坐标为2，即， 过点E作于点F，如图所示：    ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， 设点，则有，， ∴，即， 解得：（不符合题意，舍去）， ∴； 由动点M的坐标为，可知点M在直线上运动，由图象可知点E、D在直线同侧，所以作点E关于直线的对称点H，连接，根据轴对称的性质及两点之间线段最短可知的长即为的最小值，如图所示： ∴为等腰直角三角形， ∴，即， ∴， ∴的最小值为． 【点拨】本题主要考查坐标与图形，一次函数的图象与性质及等腰直角三角形的性质与判定，熟练掌握一次函数的图象与性质及等腰直角三角形的性质是解题的关键． 【题型 6】解可化为一元二次方程的分式方程 【例题6】（23-24八年级下·上海·期中）解方程：． 【答案】 解：， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴或， 解得或， 检验，当时，，则是增根，舍去； 当时，，满足方程， ∴原方程的解为． 【变式1】（24-25八年级下·上海·阶段检测）用换元法解方程时，设，则原方程可化为关于y的方程是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了解分式方程，换元法的应用，解题的关键是去分母将其化为整式方程． 由题意可得，再去分母可得，即可求解． 解：设， 则原方程可化为： ， ， ， 故选：A． 【变式2】（25-26八年级下·上海·期中）方程的根是______． 【答案】 解：方程两边同乘得， 整理得， 解得，， 经检验，使原方程分母为0，是增根，舍去，是原方程的根. 【变式3】（25-26八年级上·云南曲靖·期末）解方程： （1）； （2）． 【答案】（1）无解；（2） 【分析】本题考查了解分式方程，解题的关键是将分式方程化为整式方程求解． （1）先去分母化为一元一次方程，然后解一元一次方程，再检验即可； （2）先去分母化为一元二次方程，然后解一元二次方程，再检验即可． 解：（1）解： 方程两边乘，得 解得 检验：当时，，则是增根， ∴原方程无解． （2）解： 方程两边乘，得 整理得 解得 经检验，是原方程的根． ∴原方程的解为． 【题型 7】选择合适方法解一元二次方程 【例题7】（24-25九年级上·河南新乡·开学考试）用指定方法解下列方程： （1）（直接开平方法） （2）．（配方法） （3）（用公式法） （4）（用因式分解法） 【答案】（1），；（2），；（3），；（4），． 【分析】此题考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的各种方法是解题的关键． （1）开平方得到，即可求出方程的解； （2）把原方程配方成，再利用开平方法解方程即可； （3）写出，求出，代入即可得到方程的解； （4）移项后因式分解得到，则或，即可得到方程的解． 解：（1）解：， 开平方得，， ∴或， 解得，； （2）解：， 原方程整理得． 配方，得：，即， 两边开平方，得， ∴，； （3）解：， ∵， ∴， ∴， ∴，； （4）解：， 移项得，， 因式分解得，， ∴或， 解得，． 【变式1】（25-26九年级上·湖南岳阳·期中）解方程的适当方法是（   ） A．直接开平方法 B．配方法 C．公式法 D．因式分解法 【答案】D 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，方程两边均含有表达式，通过移项后因式分解，可简化为两个一次方程求解，因此因式分解法最适当． 解：， 移项得：， 分解因式得：， ∴或， 解得：或， 解该方程的适当方法是因式分解法， 故选：D． 【变式2】（25-26八年级·全国·暑假作业）已知． （1）当x为__________值时，y的值为0； （2）当x为__________值时，y的值为5． 【答案】 或 解：（1）当时， 或， 解得：或； （2）当时，整理，得， ， ∴， ∴. 【变式3】（25-26九年级上·四川达州·期中）用适当方法解下列方程： （1） （2） 【答案】（1），；（2） 【分析】本题考查了解一元二次方程． （1）移项后根据因式分解法求解即可； （2）根据配方法求解即可． 解：（1）解：， ， ， 或， ； （2）解：， ， ， ， ． 【题型 8】用换元法解一元二次方程 【例题8】（25-26九年级上·江苏扬州·阶段检测）请阅读下列材料： 解方程． 解法如下： 将视为一个整体，然后设，则， 原方程可化为，解得，． （1）当时，，解得； （2）当时，，解得． 综合（1）（2），可得原方程的解为． 请你参考明明同学的思路，解方程． 【答案】， 【分析】设，则原方程化为一元二次方程：，先解出的值，再进一步解出的值． 解：设，则原方程可化为：， 解得：，， （1）当时，，解得，， （2）当时，，此方程无实数根， 综合（1）（2），可得原方程的解是：，． 【变式1】（25-26八年级下·安徽滁州·期末）已知实数a，b满足，则的值为（     ） A．5或 B．或2 C．5 D．2 【答案】C 【分析】采用换元法简化原方程，结合平方数的非负性舍去不符合题意的根即可得到结果． 解：设， 原方程可化为， 整理得， 因式分解得， 解得，（舍去）， ∴， ∴． 【变式2】（25-26九年级下·山东烟台·期末）已知一元二次方程（）的两根分别为、，则一元二次方程（）的两根分别为________． 【答案】，/， 【分析】利用换元思路，将所求方程整理为与原方程形式相同的一元二次方程，根据原方程的根得到对应关系式，即可求解． 解：将所求方程移项变形得 ， ∵一元二次方程的两根分别为，， ∴可得或， 解得，， ∴一元二次方程的两根分别为，． 【变式3】（25-26九年级上·贵州遵义·期中）阅读材料，解答问题． 解方程：． 解：把视为一个整体，设， 则原方程化为， 解得，． 或． ，． 以上方法就叫做“换元法”，达到简化或降次的目的，体现了转化的思想． 请仿照材料解下列方程： （1）． （2）． 【答案】（1），，，；（2），， 【分析】本题考查了换元法解一元二次方程的方法，熟练运用换元法降次是解题的关键． （1）设，将方程转化为关于的一元二次方程求解，再解关于的方程； （2）设，将方程转化为关于的一元二次方程求解，再解关于的方程． 解：（1）解：设，则原方程化为， ， 或， 或， 或， 原方程的解为，，，； （2）解：原方程为， 即， 设，则原方程化为， ， 或， 或， 或， 对于，即， ， ， 对于，即， ， ， 原方程的解为，，． 三.同步检测 （一）选择题（共8题，每小题4分，合计32分） 1．（25-26九年级下·江苏南京·开学考试）一元二次方程的解是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据因式分解法求解即可． 解：∵原方程为， ∴可得或， 解得． 【点拨】多个因式乘积为0，则至少一个因式为0． 2．（25-26九年级上·山东菏泽·阶段检测）已知1是关于x的一元二次方程的一个根，则m的值是（    ） A．1 B． C．0 D．0或1 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的解和定义，准确的计算是解决本题的关键． 将代入方程，求解m的值，并根据一元二次方程的定义（二次项系数不为零）进行判断求解即可． 解：由题意得，当时， 解得或， 又∵是一元二次方程， ∴，即， ∴， 故选C． 3．（25-26九年级上·山东菏泽·期中）若一元二次方程的两根分别是，，则这个方程可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的根与因式的关系，关键是灵活应用； 由两根写出方程的因式分解形式，再展开得到一般式，与选项对比即可． 解：∵ 方程的两根分别为 ，， ∴ 方程可写为 ， 展开得：， ∴ 这个方程可以是 ， 故答案选： B． 4．（25-26九年级上·河南鹤壁·期中）一元二次方程的二次项系数是1，则下列说法错误的是（   ） A．一次项系数是 B．常数项是6 C．是它的一个根 D．是它的一个根 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式，一元二次方程的根，解一元二次方程，将方程化为一般形式后，确定各项系数，即可判断选项A、B；利用因式分解法解方程即可判断选项C；再将代入方程，即可判断选项D． 解：∵方程化为一般形式为， ∴一次项系数为，常数项为，故A、B正确； 解方程， ， 解得 或 ， ∴是根，C正确； 当时，，故不是根，D错误． 故选：D． 5．（25-26九年级上·山西忻州·阶段检测）一元二次方程可化为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了换元法． 通过变量代换将原方程化为完全平方形式，再比较选项即可． 解：设，则原方程化为， ∴， ∴， 故原方程可化为． 故选：C． 6．（25-26九年级上·宁夏固原·期中）已知关于的一元二次方程的两根分别是直角三角形的两直角边，则这个直角三角形的面积为（） A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程的知识；解题的关键是熟练掌握因式分解法解一元二次方程． 根据因式分解法解一元二次方程，然后利用面积公式求解即可． 解：∵， ∴， ∴两根分别为和， 即两直角边长为2和3， ∴面积， 故选：D 7．（25-26八年级下·山东烟台·期末）已知三角形两边长分别为6和8，第三边长是方程的解，则这个三角形的周长是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先解一元二次方程得到第三边的可能值，结合三角形三边关系排除不符合的边长，再计算周长得到结果． 解：解方程， 因式分解得， 解得，， ∵三角形边长为正数， ∴舍去负根，得第三边长为， ∵，符合三角形三边关系， ∴三角形周长为． 8．（2024·贵州遵义·一模）已知一元二次方程的两根分别是某菱形两条对角线的长，则该菱形的周长为（    ） A．5 B．10 C．20 D．40 【答案】C 【分析】本题考查解一元二次方程，勾股定理，菱形的性质，掌握解一元二次方程的方法与菱形的性质是解题的关键． 利用因式分解法解方程，从而得出菱形的边长，再利用菱形对角线互相垂直平分，根据勾股定理求出边长，从而得出答案． 解：， ， 解得或， 则菱形的两条对角线的长为6和8， 菱形的边长为， 菱形的周长为． 故选：C （2） 填空题（共8题，每小题4分，合计32分） 9．（25-26八年级下·安徽滁州·期末）方程的根是__________． 【答案】， 解：方程， 整理得， 因式分解得， 则或， 解得，． 10．（23-24八年级上·上海·阶段检测）方程的根是__________． 【答案】， 解：∵， ∴或， 解得，． 11．（23-24八年级上·上海金山·阶段检测）方程的根是___________． 【答案】， 【分析】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是掌握一元二次方程的解法：直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法等． 利用因式分解法解一元二次方程即可． 解： ， 或 解得，． 故答案为：，． 12．（25-26九年级上·四川眉山·期中）方程的两个根是等腰三角形的腰和底，则该三角形的周长为________． 【答案】21 【分析】本题考查了解一元二次方程，等腰三角形的定义，三角形的三边关系，解题的关键是正确求解方程的两个根． 先解一元二次方程得到两个根，再根据等腰三角形的性质分类讨论腰和底的取值，利用三角形三边关系判断是否成立，最后计算周长． 解：， 解得，， 若腰为3、底为9，则三边长为3、3、9，但，不满足三角形任意两边之和大于第三边，故不成立； 若腰为9、底为3，则三边长为9、9、3，满足三角形三边关系，周长为， 故答案为：21． 13．（24-25八年级下·上海嘉定·期末）用换元法解方程时，如果设，那么变形后的整式方程为_______． 【答案】 【分析】本题考查的是换元法解方程，通过换元法，将分式方程中的复杂分式用新变量表示，从而简化方程，转化为整式方程求解． 解：设 ，则 ， 代入原方程 得 ． 方程两边乘 （）得 ， 移项得 ． 故答案为： 14．（25-26九年级上·辽宁鞍山·期中）若实数满足：，则方程的解是___________． 【答案】和3 【分析】考查了解一元二次方程，解题关键是利用几个非负数的和为0，得到这几个数都为0，从而求得的值． 由非负数的和为零，得到每个非负数为零，从而求出的值，再代入方程求解． 解：， ， ， ， 方程为， 解得． 故答案为和3． 15．（25-26九年级上·湖北武汉·期末）方程的解为 _________________ ． 【答案】或 【分析】本题考查了因式分解法解一元三次方程，准确熟练地进行计算是解题的关键．通过提取公因式，将方程化为与二次式的乘积等于零的形式，然后解一元二次方程，利用完全平方公式求解． 解：原方程可化为， 或， 解方程，得， ． 原方程的解为或． 故答案为：或． 16．（24-25七年级上·上海浦东新·阶段检测）如果，那么______． 【答案】/0.5 【分析】此题考查了换元法和因式分解法解一元二次方程，解题的关键是掌握以上运算法则．令，则原方程可化为，然后展开利用因式分解法求解即可． 解：令， 则原方程可化为， 整理得，， 或 解得或m， ∴或（无意义，舍去）， 故答案为：． （3） 解答题（共4题，每小题9分，合计36分） 17．（25-26八年级下·浙江杭州·期末）解方程： （1）． （2）． 【答案】（1），；（2）， 【分析】（1）利用因式分解法解方程即可； （2）利用配方法解方程即可． 解：（1）解：， ， 或， 所以方程的解为，． （2）解：， ， ， ， ， ， 所以方程的解为，． 18．（25-26八年级下·安徽亳州·期末）解方程： （1） （2） 【答案】（1）；（2） （1）解：对方程因式分解，得， 解得． （2）解：移项，得， 判别式， 由公式法解得，． 19．（25-26八年级下·北京·期末）已知关于x的一元二次方程． （1）求证：此方程总有实数根； （2）若此方程有两个互不相等的负整数根，求整数m的值． 【答案】（1）证明：∵方程是关于的一元二次方程， ∴， ∵任意实数的平方都大于等于，即， ∴， ∴此方程总有实数根． （2） 【分析】（1）通过计算一元二次方程的判别式，证明判别式恒大于等于，即可证明方程总有实数根； （2）先因式分解求出方程的两个根，再根据方程有两个互不相等的负整数根，且为整数的条件，排除不符合的情况，得到的值； 解：（1）略 （2）解：对， 因式分解得， ∴或， 解得，， ∵方程有两个互不相等的负整数根，且为整数， ∴是负整数， ∴或， 当时，，此时两根相等，不符合题意，舍去； 当时，，两根为和，是两个互不相等的负整数根，符合题意； ∴． 20．（2025九年级上·山西晋中·专题练习）阅读下面的材料，回答问题： 解方程，这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是：设，那么，于是原方程可变为①，解得 当时，，∴； 当时，，∴； 原方程有四个根： （1）在由原方程得到方程①的过程中，利用___________法达到降次的目的，体现了数学的_________思想． （2）解方程： 【答案】（1）换元；转化；（2） 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，熟知换元法解方程是解题的关键． （1）解方程运用了换元法，即体现了转化的数学思想； （2）设，则，解方程得到，进而得到方程，，分别解这两个方程即可得到答案． 解：（1）解：由题意得，在由原方程得到方程①的过程中，利用换元法达到降次的目的，体现了数学的转化思想； （2）解：设， ∴原方程可变为， ∴， 解得， 当时，，即， ∵， ∴此时方程无解； 当时，，即， ∴， 解得． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题 25.4 降次——解一元二次方程（因式分解法）（知识梳理 + 题型精析 +同步检测） 目录 一.知识梳理 1 【知识点一】知识回顾 1 【知识点二】因式分解法 2 【知识点三】因式分解法解题步骤 2 二.题型精析（夯实基础） 2 【题型 1】提公因式法因式分解解方程 2 【题型 2】十字相乘因式分解解方程 3 【题型 3】先整理再因式分解解方程 3 三.题型精析（巩固提升） 4 【题型 4】因式分解法解一元二次方程与几何综合 4 【题型 5】因式分解法解一元二次方程与函数综合 4 【题型 6】解可化为一元二次方程的分式方程 5 【题型 7】选择合适方法解一元二次方程 5 【题型 8】用换元法解一元二次方程 6 三.同步检测 7 （一）选择题（共8题，每小题4分，合计32分） 7 （二）填空题（共8题，每小题4分，合计32分） 8 （三）解答题（共4题，每小题9分，合计36分） 8 一.知识梳理 【知识点一】知识回顾 1. 一元二次方程的定义 只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程，一般形式为：。 2. 常用因式分解方法 因式分解：把一个多项式化为几个整式乘积的形式，是因式分解法解方程的基础，常用两种方法： （1）提公因式法： （2）公式法：平方差公式；完全平方公式 3. 核心数学原理 若两个数的乘积为0，则至少其中一个数为0，即：若，则或。 这是因式分解法解方程的核心依据，通过该原理可将二次方程“降次”为两个一元一次方程，实现简化求解。 【知识点二】因式分解法 当一元二次方程的一边为0，另一边可以分解成两个一次因式的乘积时，利用“乘积为0则因式为0”的原理，将一元二次方程转化为两个一元一次方程，进而求出方程解的方法，叫做因式分解法。 本质：降次转化，将未知的二次方程转化为熟悉的一元一次方程求解，是解一元二次方程最简便、最快捷的方法之一。 适用条件：方程整理为一般形式后，左边多项式可快速因式分解，右边为0。 【知识点三】因式分解法解题步骤 1：移项化0 —将方程所有项移到左边，使方程右边为0，整理成标准整式方程形式。 2：因式分解—对左边的多项式进行因式分解，分解为两个一次因式相乘的形式：。 3：降次列方程—根据乘积为0的原理，转化为两个一元一次方程：或。 4：求解得根—分别解两个一元一次方程，得到原一元二次方程的两个根。 二.题型精析（夯实基础） 【题型 1】提公因式法因式分解解方程 【例题1】（浙江省金华市开发区2025-2026学年八年级下学期期末考试数学试题）解方程： （1）； （2）． 【变式1】（25-26八年级下·北京顺义·期末）方程的解为（     ） A． B．， C．， D．， 【变式2】（25-26八年级下·北京昌平·期末）一元二次方程的解为_________． 【变式3】（25-26八年级下·安徽淮北·期末）解方程：． 易错提醒：切勿直接两边同时除以，会丢失这个根！ 【题型 2】十字相乘因式分解解方程 【例题2】（25-26九年级上·全国·课后作业）用因式分解法解方程：． 【变式1】（2025·天津·一模）一元二次方程的两个根是（    ） A．， B．， C．， D．， 【变式2】（2026·陕西西安·模拟预测）方程的根是______． 【变式3】（24-25八年级下·北京·课后作业）用十字相乘法解方程： （1） （2） 【题型 3】先整理再因式分解解方程 【例题1】（25-26九年级上·全国·课后作业）用因式分解法解下列方程： （1） （2） （3） （4） 【变式1】（25-26八年级下·山东济南·期末）关于的一元二次方程的解为（     ） A．， B． C． D．， 【变式2】（25-26九年级上·河北唐山·期末）一元二次方程的解为____． 【变式3】（25-26九年级上·全国·课后作业）用因式分解法解下列方程： （1）． （2）． （3）． 三.题型精析（巩固提升） 【题型 4】因式分解法解一元二次方程与几何综合 【例题4】（25-26九年级上·江苏无锡·期中）已知：关于x的方程． （1）不解方程，判断方程根的情况； （2）矩形两边、的长是方程的两个实数根，且其对角线长为10，求矩形的周长． 【变式1】（2026·四川宜宾·中考真题）已知方程的两根恰好是某菱形的对角线长，则这个菱形的面积是（     ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26八年级下·安徽马鞍山·期末）一个三角形的两边长分别为5和7，第三边长是方程的根，则这个三角形的周长为___________． 【变式3】（25-26九年级上·青海西宁·期中）已知，平行四边形的两边，的长是关于的一元二次方程的两个实数根． （1）若的长为3，那么平行四边形的周长是多少？ （2）当为何值时，四边形是菱形？求出这时菱形的边长． 【题型 5】因式分解法解一元二次方程与函数综合 【例题5】（25-26九年级上·浙江·课后作业）已知函数． （1）分别求出当和时，函数y的值； （2）当时，求自变量x的取值． 【变式1】（2023·浙江杭州·二模）已知二次函数和一次函数（ ，为常数）．若．当函数的图象经过点时，与之间的数量关系为（　　） A．或 B．或 C． D． 【变式2】（2024九年级下·江苏无锡·竞赛）已知点是一次函数的图象位于第一象限部分上的点，其中实数m、n满足，则点P的坐标为______． 【变式3】（25-26八年级下·福建莆田·期中）定义：对于平面直角坐标系中的点和直线，我们称点是直线的关联点，直线是点的关联直线．特别地，当时，直线（b为常数）的关联点为．如图，直线：与轴交于点A，与y轴交于点B． （1）直线的关联点的坐标是________，点A的关联直线的解析式为__________； （2）点P在y轴上，且，求点P的坐标； （3）若点D在直线上，横坐标为1，点E在x轴负半轴上，且，动点M的坐标为，求的最小值． 【题型 6】解可化为一元二次方程的分式方程 【例题6】（23-24八年级下·上海·期中）解方程：． 【变式1】（24-25八年级下·上海·阶段检测）用换元法解方程时，设，则原方程可化为关于y的方程是（　　） A． B． C． D． 【变式2】（25-26八年级下·上海·期中）方程的根是______． 【变式3】（25-26八年级上·云南曲靖·期末）解方程： （1）； （2）． 【题型 7】选择合适方法解一元二次方程 【例题7】（24-25九年级上·河南新乡·开学考试）用指定方法解下列方程： （1）（直接开平方法） （2）．（配方法） （3）（用公式法） （4）（用因式分解法） 【变式1】（25-26九年级上·湖南岳阳·期中）解方程的适当方法是（   ） A．直接开平方法 B．配方法 C．公式法 D．因式分解法 【变式2】（25-26八年级·全国·暑假作业）已知． （1）当x为__________值时，y的值为0； （2）当x为__________值时，y的值为5． 【变式3】（25-26九年级上·四川达州·期中）用适当方法解下列方程： （1） （2） 【题型 8】用换元法解一元二次方程 【例题8】（25-26九年级上·江苏扬州·阶段检测）请阅读下列材料： 解方程． 解法如下： 将视为一个整体，然后设，则， 原方程可化为，解得，． （1）当时，，解得； （2）当时，，解得． 综合（1）（2），可得原方程的解为． 请你参考明明同学的思路，解方程． 【变式1】（25-26八年级下·安徽滁州·期末）已知实数a，b满足，则的值为（     ） A．5或 B．或2 C．5 D．2 【变式2】（25-26九年级下·山东烟台·期末）已知一元二次方程（）的两根分别为、，则一元二次方程（）的两根分别为________． 【变式3】（25-26九年级上·贵州遵义·期中）阅读材料，解答问题． 解方程：． 解：把视为一个整体，设， 则原方程化为， 解得，． 或． ，． 以上方法就叫做“换元法”，达到简化或降次的目的，体现了转化的思想． 请仿照材料解下列方程： （1）． （2）． 三.同步检测 （一）选择题（共8题，每小题4分，合计32分） 1．（25-26九年级下·江苏南京·开学考试）一元二次方程的解是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·山东菏泽·阶段检测）已知1是关于x的一元二次方程的一个根，则m的值是（    ） A．1 B． C．0 D．0或1 3．（25-26九年级上·山东菏泽·期中）若一元二次方程的两根分别是，，则这个方程可以是（   ） A． B． C． D． 4．（25-26九年级上·河南鹤壁·期中）一元二次方程的二次项系数是1，则下列说法错误的是（   ） A．一次项系数是 B．常数项是6 C．是它的一个根 D．是它的一个根 5．（25-26九年级上·山西忻州·阶段检测）一元二次方程可化为（   ） A． B． C． D． 6．（25-26九年级上·宁夏固原·期中）已知关于的一元二次方程的两根分别是直角三角形的两直角边，则这个直角三角形的面积为（） A．6 B．5 C．4 D．3 7．（25-26八年级下·山东烟台·期末）已知三角形两边长分别为6和8，第三边长是方程的解，则这个三角形的周长是（     ） A． B． C． D． 8．（2024·贵州遵义·一模）已知一元二次方程的两根分别是某菱形两条对角线的长，则该菱形的周长为（    ） A．5 B．10 C．20 D．40 （2） 填空题（共8题，每小题4分，合计32分） 9．（25-26八年级下·安徽滁州·期末）方程的根是__________． 10．（23-24八年级上·上海·阶段检测）方程的根是__________． 11．（23-24八年级上·上海金山·阶段检测）方程的根是___________． 12．（25-26九年级上·四川眉山·期中）方程的两个根是等腰三角形的腰和底，则该三角形的周长为________． 13．（24-25八年级下·上海嘉定·期末）用换元法解方程时，如果设，那么变形后的整式方程为_______． 14．（25-26九年级上·辽宁鞍山·期中）若实数满足：，则方程的解是___________． 15．（25-26九年级上·湖北武汉·期末）方程的解为 _________________ ． 16．（24-25七年级上·上海浦东新·阶段检测）如果，那么______． （3） 解答题（共4题，每小题9分，合计36分） 17．（25-26八年级下·浙江杭州·期末）解方程： （1）． （2）． 18．（25-26八年级下·安徽亳州·期末）解方程： （1） （2） 19．（25-26八年级下·北京·期末）已知关于x的一元二次方程． （1）求证：此方程总有实数根； （2）若此方程有两个互不相等的负整数根，求整数m的值． 20．（2025九年级上·山西晋中·专题练习）阅读下面的材料，回答问题： 解方程，这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是：设，那么，于是原方程可变为①，解得 当时，，∴； 当时，，∴； 原方程有四个根： （1）在由原方程得到方程①的过程中，利用___________法达到降次的目的，体现了数学的_________思想． （2）解方程： 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $