精品解析：2022年河南省郑州市中考数学考前模拟冲刺试题

2022年河南省郑州市中考数学考前模拟冲刺试题 一、选择题（每小题3分，共30分下列各小题均有四个答案，其中只有一个是正确的） 1. 实数-1是1的（ ） A. 相反数 B. 绝对值 C. 倒数 D. 以上都不正确 2. 如图所示的几何体的主视图是（ ） A. B. C. D. 3. 武侯祠是全国第一批点文物保护单位，位于成都市武侯区武侯祠大街231号，占地15万平方米，始建于公元221年，原是纪念诸葛亮的专祠，将数据15万用科学记数法表示为（　　） A. 15×104 B. 15×105 C. 1.5×105 D. 1.5×106 4. 如图，将直尺和直角三角板按如图方式摆放，已知∠，则∠的大小是（ ） A. B. C. D. 5. 某快递公司快递员六月第三周投放快递物品件数为：有3天是20件，有1天是30件，有3天是40件，这周里日平均投递物品件数为（　　） A. 28件 B. 29件 C. 30件 D. 31件 6. 关于反比例函数，下列说法错误的是（ ） A. 图象关于原点对称 B. y随x的增大而减小 C. 图象分别位于第一、三象限 D. 若点在其图象上，则 7. 某药品经过两次降价，由每盒72元调至56元，若设平均每次降低的百分率为x，根据题意，可得方程（ 　） A. 72（1﹣x）2＝56 B. 72（1﹣x2）＝56 C. 72（1﹣2x）＝56 D. 72（1+x）2＝56 8. 以下各组线段为边，能组成直角三角形的是（ ） A. 3，4，6 B. 8，6，10 C. 14，8，7 D. 2，5，6 9. 如图，已知边长为4的正方形中，为中点，为中点，为中点，交于连接则下列结论正确的是( ) ① ②； ③④ ⑤ A. ①④⑤ B. ①②③ C. ①②④ D. ①③④ 10. 如图，矩形ABCD中，AB＝2，BC＝4，点P是BC边上的一个动点（点P不与点B，C重合），现将△ABP沿直线AP折叠，使点B落到点B′处；作∠B′PC的角平分线交CD于点E．设BP＝x，CE＝y，则下列图象中，能表示y与x的函数关系的图象大致是（ ） A. B. C. D. 二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分） 11. 若不等式的解都能使关于x的不等式成立，则a的取值范围是_____． 12. 已知一次函数的函数值随自变量的增大而____________________． 13. 一个不透明的口袋中有四个完全相同的小球，其上分别标有数字1，2，4，8．随机摸取一个小球后不放回，再随机摸取一个小球，则两次取出的小球上数字之积等于8的概率是_____． 14. 如图，四边形ABCD是菱形，，，点E是CD边上的一动点，过点E作EF⊥OC于点F，EG⊥OD于点G，连接FG，则FG的最小值为_________． 15. 如图，点E是菱形ABCD的边AD的中点，点F是AB上的一点，点G是BC上的一点，先以CE为对称轴将折叠，使点D落在CF上的点D'处，再以EF为对称轴折叠，使得点A的对应点与点重合，以FG为对称轴折叠，使得点B的对应点B'落在CF上． （1）写出图中一组相似三角形（除全等三角形）：_________ （2）若，则的值为_____． 三．解答题（共8小题，满分75分） 16. (1)计算(π－3.14)0＋()－1－|－4|＋2－2 (2)化简：－÷. 17. 每年的4月15日是我国全民国家安全教育日．某中学七年级部分学生参加了学校组织的“国家安全法”知识竞赛，现将这部分学生的竞赛成绩进行统计，绘制了如图所示的统计图①和图②．请根据相关信息，解答下列问题（竞赛成绩满分10分，6分及以上为合格）： （1）该校七年级参加竞赛的人数为_________，图①中m的值为_________； （2）求参加竞赛的七年级学生成绩的平均数、众数和中位数． 18. 如图，一次函数的图象与反比例函数（k为常数，且）的图象相交于和B两点． （1）求反比例函数的表达式：______________ （2）直接写出不等式的解集___________ （3）将一次函数的图象沿y轴向下平移b个单位．使平移后的图象与反比例函数的图象有且只有一个交点，b的值=________ 19. 为有效预防新型冠状病毒的传播，如图1为医院里常见的“测温门”，图2为该“测温门”截面示意图．小聪做了如下实验：当他在地面M处时“测温门”开始显示额头温度，此时在额头B处测得A的仰角为30°；当他在地面N处时，“测温门”停止显示额头温度，此时在额头C处测得A的仰角为60°．经测量该测温门的高度AD为2.5米，小聪的有效测温区间MN的长度是1米，根据以上数据，求小聪的身高CN为多少？（注：额头到地面的距离以身高计）（参考数据：，结果精确到0.01米） 20. 按要求完成下列各题： （1）如图①，在五边形中，，试猜想之间的数量关系，小明经过仔细思考，得到如下解题思路：将绕点A逆时针旋转至，由，得，即点D、E、F三点共线，易证，猜想之间的数量关系是 ； （2）如图②，在四边形中，，点E、F分别在边的延长线上，，连接，试猜想之间的数量关系，并给出证明． 21. 2019年4月，第二届“一带一路”国际合作高峰论坛在北京举行，共签署了总额640多亿美元的项目合作协议．某厂准备生产甲、乙两种商品共8万件销往“一带一路”沿线国家和地区，已知2件甲种商品与3件乙商品的销售收入相同，3件甲种商品比2件乙种商品的销售收入多1500元． （1）甲种商品与乙种商品的销售单价各是多少元？ （2）设甲、乙两种商品的销售总收入为万元，销售甲种商品万件， ①用含的式子表示； ②若甲、乙两种商品的销售收入为5400万元，则销售甲种商品多少万件？ 22. 已知二次函数，它与x轴的交点坐标为，与y轴的交点坐标为． （1）求出，，的值，并写出此二次函数的解析式； （2）求顶点坐标，画出函数图象，并求当时函数的最大值和最小值． 23. 在正方形ABCD中，点P是CD边上一点，点E在AP的延长线上，将线段AE绕点A顺时针旋转90°得到线段AF，连接DE、EF. （1）如图1，若EF恰好经过点B，①求证：DE⊥EF；②探究BE、BF、BA三条线段的数量关系并证明你的结论. （2）如图2，若EF恰好经过点C，当CF＝2CE时，求tan∠BCF的值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2022年河南省郑州市中考数学考前模拟冲刺试题 一、选择题（每小题3分，共30分下列各小题均有四个答案，其中只有一个是正确的） 1. 实数-1是1的（ ） A. 相反数 B. 绝对值 C. 倒数 D. 以上都不正确 【答案】A 【解析】 【分析】根据相反数的概念直接求解． 【详解】解：-1是1的相反数， 故选A． 【点睛】本题考查了相反数的概念，掌握相反数的概念是解题的关键． 2. 如图所示的几何体的主视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了简单组合体的三视图，根据从正面看得到的图形是主视图，可得答案． 【详解】解：从正面看，可得图形如下： 故选：A． 3. 武侯祠是全国第一批点文物保护单位，位于成都市武侯区武侯祠大街231号，占地15万平方米，始建于公元221年，原是纪念诸葛亮的专祠，将数据15万用科学记数法表示为（　　） A. 15×104 B. 15×105 C. 1.5×105 D. 1.5×106 【答案】C 【解析】 【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数． 【详解】解：15万=1.5×105． 故选：C． 【点睛】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要确定a的值以及n的值． 4. 如图，将直尺和直角三角板按如图方式摆放，已知∠，则∠的大小是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据平行线的性质和互为余角的性质解答即可． 【详解】解：如图示： ∴由题意可知，， ∴， ∴， 故选：D． 【点睛】本题考查的是平行线的性质和互为余角的性质，熟悉相关性质是解题的关键． 5. 某快递公司快递员六月第三周投放快递物品件数为：有3天是20件，有1天是30件，有3天是40件，这周里日平均投递物品件数为（　　） A. 28件 B. 29件 C. 30件 D. 31件 【答案】C 【解析】 【分析】求出这7天的总件数，再求出平均数即可，也可以利用加权平均数的计算方法进行计算，即20件、30件、40件按3：1：3的比例进行计算． 【详解】解：（20×3+30+40×3）÷7＝30件， 故选C． 【点睛】考查平均数、加权平均数的意义及计算方法，理解“权”对平均数的影响． 6. 关于反比例函数，下列说法错误的是（ ） A. 图象关于原点对称 B. y随x的增大而减小 C. 图象分别位于第一、三象限 D. 若点在其图象上，则 【答案】B 【解析】 【分析】根据题目中的函数解析式和反比例函数的性质，可以判断各个选项中的说法是否正确，从而可以解答本题． 【详解】解：∵反比例函数， ∴该函数图象关于原点轴对称，故选项A正确； 在每个象限内，y随x的增大而减小，故选项B错误； 该函数图象为别位于第一、三象限，故选项C正确； 若点M（a，b）在其图象上，则ab=3，故选项D正确； 故选：B． 【点睛】本题考查反比例函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用反比例函数的性质解答． 7. 某药品经过两次降价，由每盒72元调至56元，若设平均每次降低的百分率为x，根据题意，可得方程（ 　） A. 72（1﹣x）2＝56 B. 72（1﹣x2）＝56 C. 72（1﹣2x）＝56 D. 72（1+x）2＝56 【答案】A 【解析】 【分析】先列出第一次降价后药品售价的代数式，再根据第一次的售价列出第二次降价的售价的代数式，然后令它等于56即可． 【详解】解：设平均每次降低的百分率为x 则第一次降价后的售价为72（1-x）， 第二次降价后的售价为72（1-x）（1-x）=72（1-x）2=56． 故选：A． 【点睛】本题主要考查一元二次方程的应用，要根据题意列出第一次降价后商品的代数式是解答本题的关键． 8. 以下各组线段为边，能组成直角三角形的是（ ） A. 3，4，6 B. 8，6，10 C. 14，8，7 D. 2，5，6 【答案】B 【解析】 【详解】解：A、∵，， ∴，不能组成直角三角形； B、∵，， ∴，能组成直角三角形； C、∵，， ∴，不能组成直角三角形； D、∵，， ∴，不能组成直角三角形． 9. 如图，已知边长为4的正方形中，为中点，为中点，为中点，交于连接则下列结论正确的是( ) ① ②； ③④ ⑤ A. ①④⑤ B. ①②③ C. ①②④ D. ①③④ 【答案】A 【解析】 【详解】解：由于AB=CD，AE=DE，∠BAE=∠CDE，所以△BAE≌△CDE，BE=CE，所以①正确． 由于△EBC不是等边三角形而是等腰三角形，而P是EC中点，所以BP并不垂直于EC，BE=2EP，只有当∠BPE=90°时sin∠EBP=，但∠EBP并不等于90°，所以②不正确，由此排除B、C选项． 由于P是EC中点，假如HP∥EB，则HP是一条中位线，即H是BC中点，有三角形的性质：各边中线的交点到各顶点的距离是本条中线长度的三分之二，由此可知F并不是各中线的交点，而E向BC的垂线就是中线，所以H并不是BC中点，故HP并不是平行于BE，所以③错误，由排除法可知选项A正确， 故选：A． 10. 如图，矩形ABCD中，AB＝2，BC＝4，点P是BC边上的一个动点（点P不与点B，C重合），现将△ABP沿直线AP折叠，使点B落到点B′处；作∠B′PC的角平分线交CD于点E．设BP＝x，CE＝y，则下列图象中，能表示y与x的函数关系的图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据折叠可证明△ABP∽△PCE，得，进而可得函数解析式y＝x（4﹣x）＝﹣x2+2x，即可判断函数图象． 【详解】∵△ABP沿直线AP折叠得到△AB′P， ∴∠APB＝∠APB′， ∵PE平分∠B′PC， ∴∠B′PE＝∠CPE， ∴∠APB′+∠EPB′＝×180°＝90°， ∵∠C＝90°， ∴∠CPE+∠CEP＝90°， ∴∠APB＝∠CEP， ∵∠B＝∠C＝90°， ∴△ABP∽△PCE， ∴， ∵BP＝x，CE＝y，矩形ABCD中，AB＝2，BC＝4， ∴PC＝4﹣x， ∴ ∴y＝x（4﹣x）＝﹣x2+2x． ∴该函数图象是抛物线，开口向下． 故选：D． 【点睛】本题考查了动点问题的函数图象，掌握折叠的性质和相似三角形的判定与性质，是解决本题的关键 二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分） 11. 若不等式的解都能使关于x的不等式成立，则a的取值范围是_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据不等式的性质先计算不等式的解集，再计算不等式得到，根据题意得到，由此即可求解． 【详解】解：， 解得，， ， 去分母得，， 解得，， ∵不等式的解都能使关于x的不等式成立， ∴， 解得，． 12. 已知一次函数的函数值随自变量的增大而____________________． 【答案】增大 【解析】 【分析】根据一次函数的增减性解答即可． 【详解】∵>0， ∴一次函数的函数值随自变量的增大而增大． 故答案为：增大． 【点睛】本题考查了一次函数的图象与性质，对于一次函数y=kx+b（k为常数，k≠0），当k>0时，y随x的增大而增大；当k<0时，y随x的增大而减小． 13. 一个不透明的口袋中有四个完全相同的小球，其上分别标有数字1，2，4，8．随机摸取一个小球后不放回，再随机摸取一个小球，则两次取出的小球上数字之积等于8的概率是_____． 【答案】 【解析】 【分析】列表将所有等可能的结果列举出来，然后利用概率公式求解即可． 【详解】解：列表如下： 由表知，共有12种等可能结果，其中两次取出的小球上数字之积等于8的有4种结果， 所以两次取出的小球上数字之积等于8的概率为， 故答案为． 【点睛】本题考查了列表法与树状图的知识，解题的关键是能够用列表或列树状图将所有等可能的结果列举出来，难度不大． 14. 如图，四边形ABCD是菱形，，，点E是CD边上的一动点，过点E作EF⊥OC于点F，EG⊥OD于点G，连接FG，则FG的最小值为_________． 【答案】 【解析】 【分析】由菱形的性质得AC⊥BD，AD=CD，推出四边形OGEF是矩形，连接OE，则OE=GF，当OE⊥DC时，GF的值最小，勾股定理求出OC，由，求出OE即可得到FG的最小值． 【详解】解： ∵四边形ABCD是菱形 ∴AC⊥BD，AD=CD， ∵EF⊥OC于点F，EG⊥OD于点G， ∴四边形OGEF是矩形， 连接OE，则OE=GF， 当OE⊥DC时，GF的值最小， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴FG的最小值为， 故答案为：． 【点睛】此题考查了菱形的性质，矩形的判定及性质，勾股定理，熟练掌握矩形的性质正确引出辅助线是解题的关键． 15. 如图，点E是菱形ABCD的边AD的中点，点F是AB上的一点，点G是BC上的一点，先以CE为对称轴将折叠，使点D落在CF上的点D'处，再以EF为对称轴折叠，使得点A的对应点与点重合，以FG为对称轴折叠，使得点B的对应点B'落在CF上． （1）写出图中一组相似三角形（除全等三角形）：_________ （2）若，则的值为_____． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】（1）由菱形的性质解得，结合折叠的性质可知，再根据菱形对边平行的性质得到，结合折叠性质得到，即可证明； （2）过点C作，交延长线于点，设菱形的边长为2a，AF=，分别解得FC，BF，BH，FH的长，在中利用勾股定理解得，最后根据相似三角形对应边成比例解答即可． 【详解】解：（1）在菱形ABCD中 折叠 // 折叠 故答案为： （2）过点C作，交延长线于点 设菱形的边长为2a，AF= // 中， 中 ， 故答案为：． 【点睛】本题考查菱形的性质、相似三角形的判定与性质、折叠的性质、含30°角的直角三角形的性质、勾股定理等知识，是重要考点，作出正确辅助线是解题关键． 三．解答题（共8小题，满分75分） 16. (1)计算(π－3.14)0＋()－1－|－4|＋2－2 (2)化简：－÷. 【答案】（1）－；（2）. 【解析】 【分析】（1）任何一个不等于零的数的零次幂都等于1.任何非零数的(-n)次幂,等于这个数的n次幂的倒数,据此计算即可； （2）根据分式的运算法则化简即可. 【详解】解：（1） =1+2-4+ =-； （2） = = = = = 【点睛】本题考查了实数的运算和整式的混合运算，解题关键是掌握相关运算顺序和运算法则. 17. 每年的4月15日是我国全民国家安全教育日．某中学七年级部分学生参加了学校组织的“国家安全法”知识竞赛，现将这部分学生的竞赛成绩进行统计，绘制了如图所示的统计图①和图②．请根据相关信息，解答下列问题（竞赛成绩满分10分，6分及以上为合格）： （1）该校七年级参加竞赛的人数为_________，图①中m的值为_________； （2）求参加竞赛的七年级学生成绩的平均数、众数和中位数． 【答案】（1）20，35； （2）平均数为8.2分，众数为8分，中位数为8分 【解析】 【分析】（1）用得分为9的人数除以其人数占比即可得到总人数，再用得分为8分的人数除以总人数即可求出m的值； （2）根据平均数，中位数和众数的定义求解即可． 【小问1详解】 解：人， ∴该校七年级参加竞赛的人数为20人， ∴， ∴， 故答案为：20，35； 【小问2详解】 解：由题意得平均成绩分， ∵得分为8分的人数最多， ∴众数为8分， ∵一共有20人，处在第10名和第11名的成绩分别为8分，8分， ∴中位数为分． 【点睛】本题主要考查了条形统计图与扇形统计图信息相关联，求平均数，中位数，众数，正确读懂统计图是解题的关键． 18. 如图，一次函数的图象与反比例函数（k为常数，且）的图象相交于和B两点． （1）求反比例函数的表达式：______________ （2）直接写出不等式的解集___________ （3）将一次函数的图象沿y轴向下平移b个单位．使平移后的图象与反比例函数的图象有且只有一个交点，b的值=________ 【答案】（1） （2）或 （3）或 【解析】 【分析】（1）把点代入，可得点A（-2，3），再把点A（-2，3）代入，即可求解； （2）联立得：，求出点D的坐标，再观察图象，即可求解； （3）根据题意得到平移后的图象的解析式为，可得到方程，再利用一元二次方程根的判别式，即可求解． 【小问1详解】 解：把点代入，得： ， ∴点A（-2，3）， 把点A（-2，3）代入，得：，解得：k=-6， ∴反比例函数的表达式为； 故答案为： 【小问2详解】 解：联立得：，解得：， ∴点B（-3，2）， 观察图象得：当或时，一次函数图象位于反比例函数图象的下方或两图象相交， ∴不等式的解集为或； 故答案为：或 【小问3详解】 解：∵一次函数的图象沿y轴向下平移b个单位． ∴平移后的图象的解析式为， 联立得：， 整理得：， ∵平移后的图象与反比例函数的图象有且只有一个交点， ∴， 解得：或． 【点睛】本题主要考查了反比例函数与一次函数的综合题，一元二次方程根的判别式，熟练掌握反比例函数与一次函数的图象和性质是解题的关键． 19. 为有效预防新型冠状病毒的传播，如图1为医院里常见的“测温门”，图2为该“测温门”截面示意图．小聪做了如下实验：当他在地面M处时“测温门”开始显示额头温度，此时在额头B处测得A的仰角为30°；当他在地面N处时，“测温门”停止显示额头温度，此时在额头C处测得A的仰角为60°．经测量该测温门的高度AD为2.5米，小聪的有效测温区间MN的长度是1米，根据以上数据，求小聪的身高CN为多少？（注：额头到地面的距离以身高计）（参考数据：，结果精确到0.01米） 【答案】1.63米 【解析】 【分析】延长BC交AD于点E，设AE=x米，通过解直角三角形分别表示出BE、CE的长度，根据得到，解得即可求出AE进而即可求出CN． 【详解】解：延长BC交AD于点E，设AE=x米， （米） （米） （米） 解得 （米） （米） 答：小聪的身高CN为1.63m． 【点睛】此题考查了直角三角形的应用——仰角俯角问题，解题的关键是能借助仰角构造直角三角形． 20. 按要求完成下列各题： （1）如图①，在五边形中，，试猜想之间的数量关系，小明经过仔细思考，得到如下解题思路：将绕点A逆时针旋转至，由，得，即点D、E、F三点共线，易证，猜想之间的数量关系是 ； （2）如图②，在四边形中，，点E、F分别在边的延长线上，，连接，试猜想之间的数量关系，并给出证明． 【答案】（1） （2）如图②，之间的数量关系是； 证明：在线段上取线段，连接，得， ∵， ∴， 在中， ， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 又∵， ∴． 【解析】 【分析】（1）将绕点A逆时针旋转，则重合，得，再证明，结合图形，由线段和差计算即可求解； （2）在线段上取线段，连接，得，再证明，结合图形即可求解． 【小问1详解】 解：之间的数量关系为：，理由如下： ∵， ∴如图①，将绕点A逆时针旋转，则重合，得， 则， ∴，即点D，E，F三点共线， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 故答案为：； 【小问2详解】 略． 21. 2019年4月，第二届“一带一路”国际合作高峰论坛在北京举行，共签署了总额640多亿美元的项目合作协议．某厂准备生产甲、乙两种商品共8万件销往“一带一路”沿线国家和地区，已知2件甲种商品与3件乙商品的销售收入相同，3件甲种商品比2件乙种商品的销售收入多1500元． （1）甲种商品与乙种商品的销售单价各是多少元？ （2）设甲、乙两种商品的销售总收入为万元，销售甲种商品万件， ①用含的式子表示； ②若甲、乙两种商品的销售收入为5400万元，则销售甲种商品多少万件？ 【答案】（1）甲元，乙元；（2）①；②当时，万件 【解析】 【分析】（1）设甲种商品的销售单价为x元，乙种商品的销售单价是y元，然后根据题意，可以得到关于x、y的二元一次方程组，从而可以求得甲种商品与乙种商品的销售单价； （2）①结合（1）根据题意，可以得到W与m之间的函数关系式； ②将W＝5400代入①中函数关系式即可求得销售甲种商品多少万件． 【详解】解：（1）设甲种商品的销售单价为x元，乙种商品的销售单价是y元， 由题意得，， 解得，， 答：甲种商品的销售单价为900元，乙种商品的销售单价是600元； （2）①由题意得，， 即W与m之间的函数关系式是； ②当W＝5400时，5400＝300m+4800 解得，m＝2， 答：甲、乙两种商品的销售收入为5400万元时，则销售甲种商品2万件． 【点睛】本题考查二元一次方程组与一次函数的综合应用，根据题意列出相应的方程组和函数关系式是解题的关键． 22. 已知二次函数，它与x轴的交点坐标为，与y轴的交点坐标为． （1）求出，，的值，并写出此二次函数的解析式； （2）求顶点坐标，画出函数图象，并求当时函数的最大值和最小值． 【答案】（1）， （2）顶点坐标为 当时，函数最大值为，最小值为 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求出，，的值，即可得到二次函数的解析式； （2）把二次函数的解析式整理成顶点坐标式即可得到抛物线的顶点坐标，根据解析式画出抛物线，由函数图象可知当时，函数的最大值即为抛物线顶点的纵坐标，当时，有最小值，最小值为． 【小问1详解】 解：将，，代入， 可得：， 解得：， ； 【小问2详解】 解：， 抛物线顶点坐标为，抛物线开口向下， 当时，函数最大值为， 当时，有最小值，最小值为， 图略． 23. 在正方形ABCD中，点P是CD边上一点，点E在AP的延长线上，将线段AE绕点A顺时针旋转90°得到线段AF，连接DE、EF. （1）如图1，若EF恰好经过点B，①求证：DE⊥EF；②探究BE、BF、BA三条线段的数量关系并证明你的结论. （2）如图2，若EF恰好经过点C，当CF＝2CE时，求tan∠BCF的值. 【答案】（1）①见解析；②BE2+BF2=2AB2，见解析；（2） 【解析】 【分析】（1）①由等腰直角三角形的性质可得∠AFE=∠AEF=45°，由全等三角形的性质可得∠AFB=∠AED=45°，可得结论； ②由正方形的性质和勾股定理可求BD2=2AB2，在Rt△DBE中，BE2+DE2=DB2，可得结论； （3）连接AC，过点A作AH⊥EF于H，由等腰直角三角形的性质和勾股定理可得AB=，再根据△CAP∽△EAC，得出，，再根据△CEP∽△MEA得出，从而利用正切的定义即可得出答案． 【详解】（1）①∵四边形ABCD是正方形， ∴AB=AD，∠DAB=90°， ∵将线段AE绕点A顺时针旋转90°，到线段AF， ∴AE=AF，∠EAF=90°=∠BAD， ∴∠BAF=∠DAE，∠AFE=∠AEF=45°， ∴△ABF≌△ADE（SAS）， ∴∠AFB=∠AED=45°， ∴∠DEF=∠AED+∠AEF=90°， ∴DE⊥DF； ②BE2+BF2=2AB2； 理由如下：如图2，连接DB， ∵四边形ABCD是正方形， ∴AB=AD，∠BAD=90°， ∴AB2+AD2=BD2， ∴BD2=2AB2， ∵∠DEF=90°， ∴BE2+DE2=DB2， ∴BE2+BF2=2AB2； （3）如图3，连接AC，过点A作AH⊥EF于H， ∵CF=2CE， ∴EF=3CE， ∵AE=AF，∠EAF=90°，AH⊥EF， ∴AH=FH=EH=1.5CE， ∴CH=0.5CE， ∵AC2=AH2+CH2=AB2+BC2， ∴AB=， ∴AC=， ∵AE=AF，∠EAF=90°，EF=3CE， ∴， ∵∠ACD=∠AEF=45°，∠CAP=∠EAC， ∴△CAP∽△EAC， ∴， ∴，， ∴， 延长AB交EF于M， ∵AM//CD， ∴△CEP∽△MEA， ∴， ∴， ∴， ∴tan∠BCF= 【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，求正切值等知识，添加恰当辅助线构造直角三角形是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $