精品解析：2022年河南省多校联考九年级中考考前估分卷数学试题

2022年河南省普通高中招生考试 估分卷 数学 注意事项： 1．本试卷共6页，三个大题，满分120分，考试时间100分钟． 2．本试卷上不要答题，请按答题卡上注意事项的要求直接把答案填写在答题卡上．答在试卷上的答案无效． 一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个选项，其中只有一项是符合题意的． 1. 下列四个数中，最小的数是（ ） A. B. C. D. 2. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列说法错误的是（ ） A. 调查黄河水中的泥沙含量，适合采用抽样调查 B. 了解某市中学生的睡眠情况，适合采用抽样调查 C. 了解某校七年级（1）班学生对身体健康的关注情况，适合采用抽样调查 D. 旅客上飞机前的安检，适合采用普查 4. 小明将两个含有角和一个含角的三角板，按照如图所示位置摆放，则图中的度数为（ ） A. B. C. D. 5. 已知，，．一部新款的手机，机身存储容量为，它的机身存储容量可化为（ ） A. B. C. D. 6. 为响应国家“全民阅读，建设学习型社会”的倡议，某校欲购进《论语》《弟子规》两种图书以供学生课外阅读．若购买《论语》本，《弟子规》本，则共需要元；若购买《论语》本，《弟子规》本，则共需要元．设《论语》的单价为元，《弟子规》的单价为元，则可列方程组为（ ） A. B. C. D. 7. 若点，，都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 8. 定义新运算：，则不等式组的最小整数解为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在平面直角坐标系中，边长为2的等边三角形的边在轴上，顶点在第一象限，现进行以下操作： （1）将沿轴向上平移2个单位长度，此时变为； （2）将（1）中平移得到的三角形沿轴翻折，此时变为； （3）将（2）中翻折得到的三角形绕点旋转，此时变为； （4）将（3）中旋转得到的三角形沿轴向上平移4个单位长度，此时变为． 按照此规律，重复以上四步，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在四边形中，，，，，将沿翻折得到，连接，则线段的长为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 若式子有意义，则实数x的取值范围是______. 12. 关于的一元二次方程有两个实数根，则的取值范围为________． 13. 一个不透明的口袋中装有黑球个，红球若干个，这些球除颜色外其他完全相同．从口袋中随机摸取一个球，记下颜色后放回，不断重复该摸球过程，共摸取次球，发现有次摸到红球，则口袋中红球的个数约为________． 14. 如图，在等腰三角形中，，，将绕点逆时针旋转得到，其中点的运动轨迹为，连接，则图中阴影部分的面积是___． 15. 如图，在边长为4的正方形ABCD中，P是AB边上一动点（不与点A，B重合），连接PD，过点B作BM⊥PD交DP的延长线于点M，连接AM，过点A作AN⊥AM交PD于点N，连接BN，CN，则△BNC面积的最小值为________． 三、解答题（本大题共8个小题，满分75分） 16. 计算或化简 （1）计算：． （2）化简：． 17. 某校在第五届全国学生“学宪法讲宪法”活动中，举办了宪法知识竞赛，现从初三A班和B班中各抽取20名学生的竞赛成绩（单位：分，百分制）进行调查分析，成绩如下： A班 90 89 100 96 97 98 89 97 87 100 95 99 98 77 87 93 92 84 94 98 B班 78 86 92 95 97 86 76 91 90 99 100 97 89 97 85 91 100 95 100 96 [整理数据] 成绩x 频数 班 级 76≤x≤80 81≤x≤85 86≤x≤90 91≤x≤95 96≤x≤100 A班 1 1 5 4 9 B班 2 1 4 5 8 [分析数据]根据以上数据进行统计分析： 统计量 班级 平均数 中位数 众数 方差 A班 93 94.5 b 35.3 B班 92 a 97，100 46.9 根据以上信息，解答下列问题： （1）表格中的a＝　　，b＝　　． （2）请你根据以上统计信息，分析哪个班在本次活动中整体水平较高且稳定， （3）若全校九年级共有学生800人，请你估计本次宪法知识竞赛中分数在90分以上的人数，若想更全面地推断全市九年级学生在本次活动中成绩达到90分以上的人数，还应该怎样做，请你给出合理化的建议.（写出一条即可） 18. 妙乐寺塔，又名妙乐寺真身舍利塔，位于河南省焦作市武陟县，始建于唐，后周显德二年重修，是我国现存最古老、保存最完整的五代大型砖塔，被国务院公布为第五批全国重点文物保护单位．某校九年级数学兴趣小组的同学在进行社会实践活动时，想利用所学的解直角三角形的知识测量某塔的高度，他们把“测量妙乐寺塔的高度”作为一项课题活动，并制订了测量方案，利用课余时间完成了实地测量，测量结果如表： 课题 测量妙乐寺塔的高度 测量示意图 说明：如图，在点C处测得塔顶端A的仰角为，正对着塔楼前进一段距离到达D处，再登上一个高台，在E处测得塔顶端A的仰角为（点A，B，C，D，E在同一竖直平面内，点B，C，D在同一条直线上） 测量数据 的长 的长 （1）请你根据上表中的测量数据，帮助该小组求出妙乐寺塔的高AB．（结果保留一位小数，参考数据：） （2）据景点介绍，妙乐寺塔的高度为，请计算本次测量结果的误差，并提出一条减小误差的合理化建议． 19. 共享电动车是一种新理念下的交通工具，主要面向的出行市场．目前来看，共享电动车的收费方式与共享单车差不多，两种品牌的共享电动车收费与骑行时间之间的函数关系如图所示，其中品牌的收费方式对应，品牌的收费方式对应． （1）请求出两个函数的关系式，并说明品牌的收费方案； （2）如果小明每天早上需要骑行品牌或品牌的共享电动车去工厂上班，已知两种品牌共享电动车的平均行驶速度均为/小时，小明家到工厂的距离为，那么小明选择哪个品牌的共享电动车更省钱呢？ （3）如果你是运营商，在不增加客户使用费用的前提下，还有其他提高利润的方法吗？（请至少写出一条） 20. 在学完圆的相关知识后，小东设计了一个“过直线外一点作该直线的垂线”的方法． 下面是小东设计的尺规作图过程． 已知：如图，直线和直线外一点． 求作：直线，使得． 作法：如图， 在直线上取一点点在点的左侧，连接； 作线段的垂直平分线，交于点； 以点为圆心，长为半径作圆，交直线于点； 作直线，则直线即为所求作的直线． 根据小东设计的尺规作图过程，完成下列问题： （1）使用直尺和圆规，补全图保留作图痕迹 （2）完成下面的证明． 证明：为的直径， ____________填推理的依据 ． 直线即为所求作的直线． （3）如图，小红过点作了一条直线，若，请判断直线与的位置关系，并说明理由． 21. 在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2+bx﹣6与x轴交于A，B两点 （1）若抛物线经过点C（4，﹣6），求抛物线的解析式，并写出函数值y随x的增大而增大时x的取值范围 （2）当x≤0时，若抛物线y＝x2+bx﹣6的最低点到直线y=b的距离为6，求b的值 22. 小明在学习中遇到这样一个问题: 如图，点C是半圆O上一动点（不与点A，B重合），直径AB＝8cm．射线AD平分∠CAB交BC于点D，连接OD．当△AOD为等腰三角形时，求线段AC的长度． 小明同学尝试结合学习函数的经验研究此问题．请将下面的探究过程补充完整: （1）根据点C在半圆O上的不同位置，画出相应的图形，测量线段AC，AD，OD的长度，得到下表的几组对应值． AC/m 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0 6.0 7.0 AD/m 1.32 2.53 3.63 m 5.54 6.41 7.23 OD/m 3.13 2.53 2.25 n 2.60 3.02 3.50 当AC＝4cm时，无需测量，请直接写出m，n的值．（结果保留两位小数．参考数据：≈1.732） （2）设线段AC的长为自变量x，AD的长为函数y1，OD的长为函数y2，在同一平面直角坐标系中描出以上表中各组对应值为坐标的点，如图所示，请描出剩余的点并画出函数y1，y2的图象． （3）继续在同一坐标系中画出所需的函数图象，并结合图象直接写出：当△AOD为等腰三角形时，线段AC长度的近似值．（结果保留一位小数） 23. 如图1，在中，，，过点作射线于点，点是边上一点（不与点，重合），点是射线上一点，且，连接交于点，过点作交于点，连接． （1）【问题发现】 当点是的中点时，与的数量关系为________，与的位置关系为________． （2）【类比探究】 如图2，当点不是的中点时，判断（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由． （3）【问题解决】 当时，请直接写出的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2022年河南省普通高中招生考试 估分卷 数学 注意事项： 1．本试卷共6页，三个大题，满分120分，考试时间100分钟． 2．本试卷上不要答题，请按答题卡上注意事项的要求直接把答案填写在答题卡上．答在试卷上的答案无效． 一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个选项，其中只有一项是符合题意的． 1. 下列四个数中，最小的数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据“负数小于0，两个负数比较大小，绝对值越大的负数越小”的规则即可求解． 【详解】解：，，， ，即， 根据两个负数比较大小，绝对值大的数更小，可得， 四个数中最小的数是． 2. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据定义逐项判断即可，将一个图形沿着某一条直线折叠，直线两旁的部分能够重合，这样的图形叫做轴对称图形；将一个图形绕某一点旋转，能与本身重合，这样的图形叫做中心对称图形． 【详解】解：因为图A是轴对称图形，但不是中心对称图形，所以不符合题意； 因为图B是轴对称图形，但不是中心对称图形，所以不符合题意； 因为图C既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，所以不符合题意； 因为图D是轴对称图形，也是中心对称图形，所以符合题意． 3. 下列说法错误的是（ ） A. 调查黄河水中的泥沙含量，适合采用抽样调查 B. 了解某市中学生的睡眠情况，适合采用抽样调查 C. 了解某校七年级（1）班学生对身体健康的关注情况，适合采用抽样调查 D. 旅客上飞机前的安检，适合采用普查 【答案】C 【解析】 【分析】一般，当调查对象范围小，调查容易进行，或调查结果要求准确，意义重要时，适合采用普查；当调查对象范围大，调查不易全面进行时，适合采用抽样调查；根据调查对象的范围和调查要求判断调查方式即可． 【详解】解：A、黄河水中泥沙含量，调查范围大，适合采用抽样调查，说法正确，不符合题意； B、某市中学生整体数量大，范围广，适合采用抽样调查，说法正确，不符合题意； C、某校七年级（1）班学生人数少，范围小，适合采用普查，不适合抽样调查，说法错误，符合题意； D、旅客上飞机前安检要求准确，必须逐一检查，适合采用普查，说法正确，不符合题意． 4. 小明将两个含有角和一个含角的三角板，按照如图所示位置摆放，则图中的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据三角形内角和定理以及对顶角相等求解即可． 【详解】解：如图所示，可知，，， ， ， ． 5. 已知，，．一部新款的手机，机身存储容量为，它的机身存储容量可化为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题根据给出的存储单位换算关系，利用同底数幂的乘法法则计算，即可得到结果，用到同底数幂相乘，底数不变指数相加的性质． 【详解】解：∵，， ∴ ． 6. 为响应国家“全民阅读，建设学习型社会”的倡议，某校欲购进《论语》《弟子规》两种图书以供学生课外阅读．若购买《论语》本，《弟子规》本，则共需要元；若购买《论语》本，《弟子规》本，则共需要元．设《论语》的单价为元，《弟子规》的单价为元，则可列方程组为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据两次购买的等量关系，总费用等于两种图书的费用之和，据此列出方程组即可． 【详解】解：购买《论语》本，《弟子规》本，则共需要元， 可得； 购买《论语》本，《弟子规》本，则共需要元， 可得 因此可列方程组． 7. 若点，，都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】将三个点的坐标分别代入反比例函数解析式，求出，，的值后比较大小即可． 【详解】解：点，，都在反比例函数的图象上， 分别将点坐标代入解析式得： ，解得； ，解得； ，解得； ， ． 8. 定义新运算：，则不等式组的最小整数解为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先根据新定义的运算规则，将新运算转化为常规一元一次不等式组，再分别解不等式得到不等式组的解集，最后找出解集中的最小整数即可． 【详解】解：定义新运算， 原不等式组可转化为：， 整理得， 解不等式， ， 解不等式， ， ； 不等式组的解集为， 解集中的最小整数解为． 9. 如图，在平面直角坐标系中，边长为2的等边三角形的边在轴上，顶点在第一象限，现进行以下操作： （1）将沿轴向上平移2个单位长度，此时变为； （2）将（1）中平移得到的三角形沿轴翻折，此时变为； （3）将（2）中翻折得到的三角形绕点旋转，此时变为； （4）将（3）中旋转得到的三角形沿轴向上平移4个单位长度，此时变为． 按照此规律，重复以上四步，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】首先，过作轴于，再运用等边三角形的性质及勾股定理求出，，进而得出点的坐标为，然后，再按照顺序要求进行图形变换，得出依次变换后对应点的坐标，最后，找出四次一循环的规律，进行周期计算，观察余数寻找对应坐标即可． 【详解】解：如图，过作轴于， ∴， ∵是等边三角形，边长为2， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴点的坐标为． ∴第1步操作后点的坐标是， 第2步操作后点的坐标是， 第3步操作后点的坐标是， 第4步操作后点的坐标是． ∴每4步操作为一个循环． ∵， ∴点的坐标为． 10. 如图，在四边形中，，，，，将沿翻折得到，连接，则线段的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查三角形的翻折问题，涉及到勾股定理，解直角三角形等知识点，理解并熟练运用正切函数的定义是解题关键． 过点作于点，作于点，则四边形为矩形，可得，由折叠的性质，可知，，，则为等腰直角三角形，即可求解. 【详解】解：过点作于点，作于点，如解图所示，则四边形为矩形． ∵， ∴是等腰直角三角形． ∴． ∴． 在中， ∵，， ∴． ∴． 由折叠的性质，可知，． ∴． ∴，． ∴． ∴． ∴为等腰直角三角形． ∴. 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 若式子有意义，则实数x的取值范围是______. 【答案】 【解析】 【分析】根据分式有意义的条件：分母不等于0，以及二次根式有意义的条件：被开方数为非负数，即可求解． 【详解】由题意得：解得： 故答案为： 【点睛】本题主要考查了分式有意义的条件和二次根式有意义的条件．熟练的掌握分式分母不等于0以及二次根式的被开方数为非负数是解题的关键． 12. 关于的一元二次方程有两个实数根，则的取值范围为________． 【答案】且 【解析】 【分析】根据一元二次方程根的判别式得出关于m的不等式，再结合即可解决问题． 【详解】解：将化为一般形式为， ∵关于的一元二次方程有两个实数根， ∴，且． ∴且．、 13. 一个不透明的口袋中装有黑球个，红球若干个，这些球除颜色外其他完全相同．从口袋中随机摸取一个球，记下颜色后放回，不断重复该摸球过程，共摸取次球，发现有次摸到红球，则口袋中红球的个数约为________． 【答案】个 【解析】 【分析】用频率估计概率得到摸到红球的概率，设红球个数为未知数，根据概率公式列方程求解即可． 【详解】解：设口袋中红球的个数为个， 由题意得，摸到红球的频率为， 根据利用频率估计概率，可得摸到红球的概率为， ，解得， 经检验是原方程的解， 口袋中红球的个数约为个． 14. 如图，在等腰三角形中，，，将绕点逆时针旋转得到，其中点的运动轨迹为，连接，则图中阴影部分的面积是___． 【答案】 【解析】 【分析】本题解题的关键是将阴影部分的面积转化为．先利用等腰三角形的性质与三角函数求出的面积，再根据旋转性质推导角度关系，分别计算出的面积和扇形的面积，最后通过割补法求出阴影部分的面积． 【详解】解：是等腰三角形， ， ． 如图，过点作，垂足为， 在中， ， ， 是等腰三角形，， 为的中点， ， ． 由旋转的性质可知，，旋转角，且， ， ， 为等腰直角三角形， ． 扇形的圆心角，半径， ， ． 15. 如图，在边长为4的正方形ABCD中，P是AB边上一动点（不与点A，B重合），连接PD，过点B作BM⊥PD交DP的延长线于点M，连接AM，过点A作AN⊥AM交PD于点N，连接BN，CN，则△BNC面积的最小值为________． 【答案】 【解析】 【分析】点N在正方形内部，所以S△AND+S△BNC＝S正方形ABCD＝，由BM⊥PD可得点M在以BD中点为圆心，BD长为半径的圆上，先证明△AMB与△ADN全等，然后求△ABM最大面积即可求出△BNC的最小面积． 【详解】解：∵四边形ABCD为正方形， ∴AD＝AB，∠BAD＝∠BAN+∠NAD＝90°， ∵∠MAB+∠BAN＝∠MAN＝90°， ∴∠MAB＝∠NAD， ∵∠BMP+∠BPM+∠MBP＝∠PAD+∠PDA+∠APD＝180°， ∠MPB＝∠APD，∠BMP＝∠DAP＝90°， ∴∠MBP＝∠ADP， 在△AMB和△AND中， ， ∴△AMB≌△AND（ASA）． ∴S△AMB＝S△AND， ∵S△AND+S△BNC＝S正方形ABCD＝， ∴当S△AMB面积最大时，S△BNC面积最小， ∵∠BMD＝90°， ∴点M在以BD中点为圆心，BD长为半径的圆上， 当△ABM面积最大时，OM⊥AB，如图， ∵点O为BD中点，OM∥AD， ∴OK＝AD＝2， ∵BD＝BC＝， ∴OM＝BD＝， ∴MK＝OM﹣OK＝﹣2， ∴S△AMB＝AB•MK＝， ∴S△BNC＝8﹣S△AMB＝8﹣（）＝． 故答案为：． 【点睛】本题考查正方形的性质、三角形面积计算、全等三角形的判定、圆周角定理等知识点，将求△BNC的最小面积转化为求△ABM最大面积并找出M点运动轨迹是解题关键． 三、解答题（本大题共8个小题，满分75分） 16. 计算或化简 （1）计算：． （2）化简：． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）分别利用求特殊角的三角函数值、绝对值的性质、二次根式的性质及幂的运算法则进行化简计算，再合并即可得出结果； （2）原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分即可得到最简结果． 【小问1详解】 解：原式， 【小问2详解】 解：原式 ． 17. 某校在第五届全国学生“学宪法讲宪法”活动中，举办了宪法知识竞赛，现从初三A班和B班中各抽取20名学生的竞赛成绩（单位：分，百分制）进行调查分析，成绩如下： A班 90 89 100 96 97 98 89 97 87 100 95 99 98 77 87 93 92 84 94 98 B班 78 86 92 95 97 86 76 91 90 99 100 97 89 97 85 91 100 95 100 96 [整理数据] 成绩x 频数 班 级 76≤x≤80 81≤x≤85 86≤x≤90 91≤x≤95 96≤x≤100 A班 1 1 5 4 9 B班 2 1 4 5 8 [分析数据]根据以上数据进行统计分析： 统计量 班级 平均数 中位数 众数 方差 A班 93 94.5 b 35.3 B班 92 a 97，100 46.9 根据以上信息，解答下列问题： （1）表格中的a＝　　，b＝　　． （2）请你根据以上统计信息，分析哪个班在本次活动中整体水平较高且稳定， （3）若全校九年级共有学生800人，请你估计本次宪法知识竞赛中分数在90分以上的人数，若想更全面地推断全市九年级学生在本次活动中成绩达到90分以上的人数，还应该怎样做，请你给出合理化的建议.（写出一条即可） 【答案】（1）93.5，98； （2）A班； （3）520，应分层抽样并加大样本容量． 【解析】 【分析】（1）由B班第10、11个数据可得其中位数a的值，根据众数的概念一组数据中出现次数最多的数据叫做众数可得b的值； （2）从平均数和方差的意义求解即可； （3）用两个班成绩达到90分以上的人数除以抽查的总人数可得百分率，再乘800即可得本次活动中成绩达到90分以上的人数，若想推断全市九年级学生在本次活动中成绩达到90分以上的人数，应分层抽样并加大样本容量； 【小问1详解】 ，根据数据可得b=98； 【小问2详解】 根据以上统计信息可得，A班的平均数大于B班的平均数，A班的方差小于B班的方差，故A班的成绩整体水平较高且稳定； 【小问3详解】 （人） ∴本次宪法知识竞赛中分数在90分以上的大概有520人，若想推断全市九年级学生在本次活动中成绩达到90分以上的人数，应分层抽样并加大样本容量． 【点睛】本题考查数据的收集与整理，整理测试数据得到两个年级的平均数、中位数和众数并进行分析是解题关键． 18. 妙乐寺塔，又名妙乐寺真身舍利塔，位于河南省焦作市武陟县，始建于唐，后周显德二年重修，是我国现存最古老、保存最完整的五代大型砖塔，被国务院公布为第五批全国重点文物保护单位．某校九年级数学兴趣小组的同学在进行社会实践活动时，想利用所学的解直角三角形的知识测量某塔的高度，他们把“测量妙乐寺塔的高度”作为一项课题活动，并制订了测量方案，利用课余时间完成了实地测量，测量结果如表： 课题 测量妙乐寺塔的高度 测量示意图 说明：如图，在点C处测得塔顶端A的仰角为，正对着塔楼前进一段距离到达D处，再登上一个高台，在E处测得塔顶端A的仰角为（点A，B，C，D，E在同一竖直平面内，点B，C，D在同一条直线上） 测量数据 的长 的长 （1）请你根据上表中的测量数据，帮助该小组求出妙乐寺塔的高AB．（结果保留一位小数，参考数据：） （2）据景点介绍，妙乐寺塔的高度为，请计算本次测量结果的误差，并提出一条减小误差的合理化建议． 【答案】（1）妙乐寺塔的高约为 （2）本次测量结果的误差为，建议见解析 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形，矩形的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）依题意，得出四边形BDEF为矩形．再设，则．所以，结合，，代入数值计算，得，即可作答． （2）读懂题意，列式计算，得，即可作答． 【小问1详解】 解：过点E作于点F， 如图所示， ∵， 则四边形BDEF为矩形． 由题意，可知，． 设，则． 在中， ， ， ． 在中，，． ， 即， 解得 答：妙乐寺塔的高AB约为． 【小问2详解】 解：依题意，（m）， 答：本次测量结果的误差为． 建议：可多次测量，取测量数据的平均值（答案不唯一，合理即可） 19. 共享电动车是一种新理念下的交通工具，主要面向的出行市场．目前来看，共享电动车的收费方式与共享单车差不多，两种品牌的共享电动车收费与骑行时间之间的函数关系如图所示，其中品牌的收费方式对应，品牌的收费方式对应． （1）请求出两个函数的关系式，并说明品牌的收费方案； （2）如果小明每天早上需要骑行品牌或品牌的共享电动车去工厂上班，已知两种品牌共享电动车的平均行驶速度均为/小时，小明家到工厂的距离为，那么小明选择哪个品牌的共享电动车更省钱呢？ （3）如果你是运营商，在不增加客户使用费用的前提下，还有其他提高利润的方法吗？（请至少写出一条） 【答案】（1）；；品牌的收费方案：当骑行时间不超过时，收费元；当骑行时间超过时，除了收费元之外，每多骑行，加收元 （2）小明选择品牌的共享电动车更省钱 （3）技术创新，提升生产工艺，降低生产成本（答案不唯一，合理即可） 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求品牌的函数关系式即可；根据图象可知，品牌的函数关系式分两段求解，利用待定系数法求函数关系式即可； （2）先求出小明从家到工厂所用时间，再通过图象可知当骑行时间不足时，，即骑行品牌的共享电动车更省钱，即可得解； （3）答案不唯一，合理即可． 【小问1详解】 解：设， 把点代入中，得， 解得， ． 由图象，可知当时，． 当时，设， 把点和点代入中， 得，解得， ． 品牌的收费方案：当骑行时间不超过时，收费元；当骑行时间超过时，除了收费元之外，每多骑行，加收元． 【小问2详解】 解：，． 由图象，可知当骑行时间不足时，，即骑行品牌的共享电动车更省钱， ， 小明选择品牌的共享电动车更省钱． 【小问3详解】 解：技术创新，提升生产工艺，降低生产成本．（答案不唯一，合理即可） 20. 在学完圆的相关知识后，小东设计了一个“过直线外一点作该直线的垂线”的方法． 下面是小东设计的尺规作图过程． 已知：如图，直线和直线外一点． 求作：直线，使得． 作法：如图， 在直线上取一点点在点的左侧，连接； 作线段的垂直平分线，交于点； 以点为圆心，长为半径作圆，交直线于点； 作直线，则直线即为所求作的直线． 根据小东设计的尺规作图过程，完成下列问题： （1）使用直尺和圆规，补全图保留作图痕迹 （2）完成下面的证明． 证明：为的直径， ____________填推理的依据 ． 直线即为所求作的直线． （3）如图，小红过点作了一条直线，若，请判断直线与的位置关系，并说明理由． 【答案】（1） 补全图形如图： （2）；直径所对的圆周角为直角 （3） 直线与相切，理由如下： 连接， ， ， 由题意可知，， ， ， ， ， 即， ， 又为的半径， 直线与相切． 【解析】 【分析】本题是圆的综合题，主要考查了直径所对的圆周角是直角，直线与圆的位置关系，尺规作图等知识，熟练掌握圆的切线的判定定理是解题的关键． （1）根据作图步骤，画出图形即可； （2）根据直径所对的圆周角是直角可得答案； （3）连接，根据，，等量代换即可说明，从而得出结论． 【小问1详解】 解：略； 【小问2详解】 证明：为的直径， ，直径所对的圆周角为直角， ． 直线即为所求作的直线． 故答案为：；直径所对的圆周角为直角； 【小问3详解】 解：略． 21. 在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2+bx﹣6与x轴交于A，B两点 （1）若抛物线经过点C（4，﹣6），求抛物线的解析式，并写出函数值y随x的增大而增大时x的取值范围 （2）当x≤0时，若抛物线y＝x2+bx﹣6的最低点到直线y=b的距离为6，求b的值 【答案】（1）；． （2）或． 【解析】 【分析】(1)把点C的坐标代入二次函数解析式求出b的值，再根据对称轴求出二次函数y随x的增大而增大． (2)根据二次函数求出对称轴，根据b的取值范围分类讨论即可． 【小问1详解】 解：由抛物线的解析式，可知抛物线经过点(0，-6)． 又∵抛物线经过点C(4，-6)， ∴抛物线的对称轴为直线，即，解得： ∴抛物线的解析式为， ∴当时，函数值y随x的增大而增大． 【小问2详解】 解：由抛物线的解析式可知的对称轴为直线 由题意，可知需分以下两种情况讨论， ①当时， ∵抛物线开口向上，， ∴抛物线的最低点的坐标为顶点坐标 ∵最低点到直线的距离为6， ∴，解得或． ②当时，， ∵抛物线开口向上，， ∴抛物线的最低点的坐标为顶点坐标 ∵最低点到直线的距离为6， ∴ ∵ ∴， 解得：或 ∴此种情况不成立． 综上所述，或． 【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，解题的关键是熟练运用二次函数的对称轴讨论函数的单调性，还需要根据取值范围运用分类讨论． 22. 小明在学习中遇到这样一个问题: 如图，点C是半圆O上一动点（不与点A，B重合），直径AB＝8cm．射线AD平分∠CAB交BC于点D，连接OD．当△AOD为等腰三角形时，求线段AC的长度． 小明同学尝试结合学习函数的经验研究此问题．请将下面的探究过程补充完整: （1）根据点C在半圆O上的不同位置，画出相应的图形，测量线段AC，AD，OD的长度，得到下表的几组对应值． AC/m 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0 6.0 7.0 AD/m 1.32 2.53 3.63 m 5.54 6.41 7.23 OD/m 3.13 2.53 2.25 n 2.60 3.02 3.50 当AC＝4cm时，无需测量，请直接写出m，n的值．（结果保留两位小数．参考数据：≈1.732） （2）设线段AC的长为自变量x，AD的长为函数y1，OD的长为函数y2，在同一平面直角坐标系中描出以上表中各组对应值为坐标的点，如图所示，请描出剩余的点并画出函数y1，y2的图象． （3）继续在同一坐标系中画出所需的函数图象，并结合图象直接写出：当△AOD为等腰三角形时，线段AC长度的近似值．（结果保留一位小数） 【答案】（1）m≈4.62，n≈2.31； （2）见解析； （3）AC长度的近似值为3.2cm或2.0cm 【解析】 【分析】（1）在Rt△ACD中，AC＝4，∠CAD＝30°，则AD＝＝＝≈4.62cm，CD＝AD≈2.31cm；进而求解； （2）根据表格数据描点连线即可绘制函数； （3）在上述函数图象的基础上画出y＝4的函数图象，再根据函数图象，分类求解即可． 【小问1详解】 解：如图所示，连接OC， ∴AC＝4cm时，， ∴△ACO为等边三角形， ∴∠CAB＝60°， ∵射线AD平分∠CAB，则∠CAD＝∠DAB=30°， ∵AB是直径， ∴∠ACB＝90°， ∴∠ABC＝90°﹣60°＝30°， 在Rt△ACD中，AC＝4cm，∠CAD＝30°， 则AD＝＝＝≈4.62cm，CD＝AD≈2.31cm； ∵∠DAB＝∠DBA＝30°，点O是AB的中点，故DO⊥AB， ∵CD⊥AC，射线AD平分∠CAB， ∴DO＝CD＝2.31cm， 即m≈4.62，n≈2.31； 【小问2详解】 根据表格数据描点连线绘制函数图象如下： 【小问3详解】 解：在上述函数图象的基础上画出y＝4的函数图象，如上图， 当AD＝OA时，即y1＝4，从图象看，此时x≈3.2（cm）； 当AD＝OD时，即y1＝y2，从图象看，此时x≈2.0（cm）； 即线段AC长度的近似值为3.2cm或2.0cm． 【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质与判定，解直角三角形，直径所对的圆周角是直角，画函数图像，等腰三角形的定义，熟知相关知识是解题的关键． 23. 如图1，在中，，，过点作射线于点，点是边上一点（不与点，重合），点是射线上一点，且，连接交于点，过点作交于点，连接． （1）【问题发现】 当点是的中点时，与的数量关系为________，与的位置关系为________． （2）【类比探究】 如图2，当点不是的中点时，判断（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由． （3）【问题解决】 当时，请直接写出的长． 【答案】（1），． （2）（1）中的结论仍然成立．证明见解析 （3）或． 【解析】 【分析】（1）证明，，根据可证明得；再证明可得； （2）证明，，根据可证明得；再证明可得； （3）过点作于点，过点作于点，求出，，设，则，．证明，根据相似三角形的性质列式解答即可． 【小问1详解】 解：，． ∵，， ∴． ∵， ∴． ∴，． ∵， ∴． ∴． ∵， ∴． ∴． ∵， ∴． ∴， ∴． 【小问2详解】 解：（1）中的结论仍然成立．证明如下： ∵，， ∴． ∵， ∴，． ∵， ∴． ∴． ∵， ∴． ∴． ∵， ∴． ∴． ∴． 【小问3详解】 解：或． 过点作于点，过点作于点，如图． 由（2）可知， ∴， ∴． ∴． ∴． ∵， ∴． ∵，， ∴． 设，则，． ∵，， ∴． 又∵， ∴． ∴，即，解得，． ∴的长为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $