精品解析：2022年河南省中考郑州市重点中学第一次联合考试试卷数学

2022年河南省中考郑州市重点中学第一次联考考试试卷 数学 （本卷满分：120分 考试时间：100分钟） 一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个答案，其中只有一个是正确的． 1. 的相反数是（ ） A. B. C. D. 2. 2021年2月22日，农业农村部部长唐仁健强调要坚决遏制耕地“非农化”和防止耕地“非粮化”，牢牢守住18亿亩耕地红线，同时还要确保15.5亿亩永久基本农田主要种植粮食及瓜菜等一年生的作物.将数据“15.5亿“用科学记数法表示为（） A. 0.155 × 1010 B. 15.5× 108 C. 1.55 ×108 D. 1.55× 109 3. 如图，下列四个几何体中，主视图、俯视图和左视图都相同的有（　　） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 4. 如图，已知，将一个等腰直角三角板放置到如图所示位置．若，则∠2的度数为（　　） A. B. C. D. 5. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 小明在一次射击训练中，连续10次的成绩为1次10环，3次9环，6次8环，则小明这10次射击的平均成绩为（） A. 8.5环 B. 8.6环 C. 8.7环 D. 8.8环 7. 定义新运算“a*b”：对于任意实数a，b，都有a*b＝a2＋b2﹣2ab﹣2，其中等式右边是通常的加法、减法、乘法运算，例如：5*6＝52＋62﹣2×5×6﹣2＝﹣1，若方程x*k＝xk（k为实数）是关于x的方程，则方程的根的情况为（ ） A. 只有一个实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 有两个不相等的实数根 D. 没有实数根 8. 如图，平面直角坐标系中，直线分别与轴、轴分别交于点、，点、为线段的三等分点，且、在反比例函数的图象上，若的面积为12，则的值为（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 9. 如图，在▱ABCD中，∠DAB=60°，AB=8，AD=10，BE为∠ABC的平分线.利用尺规在▱ABCD中作图，作图痕迹如图所示，AF交BE于点F，连接FD，则FD的长为（ ） A. 3 B. 3 C. 5 D. 2 10. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，tan∠BAC＝，边AC在x轴上，点A的坐标为（﹣2，0），矩形CDEF的顶点F与点O重合，顶点D在边BC上，且点D的坐标为（2，1），将矩形CDEF沿x轴向左平移，当点D落在AB边上时，点E的坐标为（ ） A. （） B. （） C. （） D. （﹣5，1） 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 请写出一个整数部分为1的无理数 _____． 12. 已知不等式组的解集在数轴上表示如图，写出满足条件的一个m的值________． 13. 一个不透明的袋子中装有4个小球，上面分别标有数字-2，-1，1，2，小球除所标数字不同外，其他完全相同.摇匀后从中随机摸出一球，记下数字为a，不放回，再随机摸出一球，记下数字为b，以此来确定点M的坐标为（a，b），则点M落在直线y＝x+1上的概率为_____ 14. 如图，在等腰三角形中，，，将绕点逆时针旋转得到，其中点的运动轨迹为，连接，则图中阴影部分的面积是___． 15. 如图，在矩形ABCD中，∠ADB=60°，BC=4，点E在边AB上，且AE=AB，点F在边AD上运动，连接EF，将△AEF沿EF折蓝，点A落在点A'处，则点A'到直线BD的最短距离是_____ 三、解答题（本大题共8个小题，满分75分） 16. 下面是小明同学进行分式化简的过程，请认真阅读并解答问题． ＝……第一步 ＝……第二步 ＝……第三步 ＝……第四步 ＝……第五步 （1）填空： ①以上化简步骤中，第 　　步是进行分式的通分，通分的依据是 　　； ②第 　　步开始出现错误，这一步错误的原因是 　　． （2）请从出现错误的步骤开始继续进行该分式的化简． （3）除纠正上述错误外，请你根据平时的学习经验，就分式化简时还需要注意的事项给其他同学提一条建议． 17. 某校在第五届全国学生“学宪法讲宪法”活动中，举办了宪法知识竞赛，现从初三A班和B班中各抽取20名学生的竞赛成绩（单位：分，百分制）进行调查分析，成绩如下： A班 90 89 100 96 97 98 89 97 87 100 95 99 98 77 87 93 92 84 94 98 B班 78 86 92 95 97 86 76 91 90 99 100 97 89 97 85 91 100 95 100 96 [整理数据] 成绩x 频数 班 级 76≤x≤80 81≤x≤85 86≤x≤90 91≤x≤95 96≤x≤100 A班 1 1 5 4 9 B班 2 1 4 5 8 [分析数据]根据以上数据进行统计分析： 统计量 班级 平均数 中位数 众数 方差 A班 93 94.5 b 35.3 B班 92 a 97，100 46.9 根据以上信息，解答下列问题： （1）表格中的a＝　　，b＝　　． （2）请你根据以上统计信息，分析哪个班在本次活动中整体水平较高且稳定， （3）若全校九年级共有学生800人，请你估计本次宪法知识竞赛中分数在90分以上的人数，若想更全面地推断全市九年级学生在本次活动中成绩达到90分以上的人数，还应该怎样做，请你给出合理化的建议.（写出一条即可） 18. 五一期间，小明跟父母去乌镇旅游，欣赏乌镇水乡的美景.如图，当小明走到乌镇古桥的C处时，发现远处有一瞍船匀速行驶过来，当船行驶到A处时，小明测得船头的俯角为30°，同时小明开始计时，船在航行过小明所在的桥之后，继续向前航行到达B处，此时测得船尾的俯角为45°；从小明开始计时到船行驶至B处，共用时15min；已知小明所在位置距离水面6m，船长3m，船到水面的距离忽略不计，请你帮助小明计算一下船的航行速度（结果保留根号） 19. 某学习用品商店销售某种黑色签字笔和某种文具盒，进价和售价保持不变，其中黑色签字笔的进价为2元/个，文具盒的进价为12元/个，下表是前两个月黑色签字笔和文具盒的销售情况： 时间 销售数量（个） 销售收入（元） （销售收入＝售价×销售数量） 黑色签字笔 文具盒 第一个月 230 120 2490 第二个月 340 150 3 270 （1）求黑色签字笔和文具盒的售价． （2）第三个月该学习用品商店想再购进黑色签字笔、文具盒共650个，但预算成本不超过2700元，且黑色签字笔最多购进550个，在购进的黑色签字笔和文具盒全部售完的情况下，设购进黑色签字笔a个，利润为w元，写出w与a之间的函数关系式，并求出第三个月所能获得的最大利润 20. 复习巩固 切线：直线和圆只有一个公共点，这时这条直线和圆相切，我们把这条直线叫做圆的切线，这个点叫做切点.如图1，直线l1为⊙O的切线 割线：直线和圆有两个公共点，这时这条直线和圆相交，我们把这条直线叫做圆的割线.如图1，直线l2为⊙O的割线 切线长：过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间线段的长，叫做这点到圆的切线长. 阅读材料 《几何原本》是古希腊数学家欧几里得所普的一部数学著作.它是欧洲数学的基础，总结了平面几何五大公设，被广泛地认为是历史上学习数学几何部分最成功的教科书其中第三卷命题36一2圆幂定理（切割线定理）内容如下： 切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项.为了说明材料中定理的正确性，需要对其进行证明，下面已经写了不完整的“已知”和“求证”，请补充完整，并写出证明过程 已知：如图2，A是⊙O外一点，　　． 求证：　　 [提示]辅助线可先考虑作⊙O的直径DE． 21. 在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2+bx﹣6与x轴交于A，B两点 （1）若抛物线经过点C（4，﹣6），求抛物线的解析式，并写出函数值y随x的增大而增大时x的取值范围 （2）当x≤0时，若抛物线y＝x2+bx﹣6的最低点到直线y=b的距离为6，求b的值 22. 如图，是半圆O的直径，点C是直径上一动点，点D是直径下方一定点，且，，，连接并延长交于点P，连接，．设，，． 小明同学根据学习函数的经验，分别对，随自变量x的变化而变化的规律进行了探究．下面是小明同学的探究过程，请补充完整： （1）根据点C在直径上的不同位置，画出相应的图形，测量线段，，的长度，得到了，与x的几组对应值，如下表所示： 0 1 2 3 4 5 6 0 1.98 3.95 5.19 5.77 5.97 6.00 a 4.55 5.68 6.00 5.83 5.51 5.20 请补全表格：a的值为______． （2）在同一平面直角坐标系中，描出补全后的表中各组数值所对应的点，，并画出函数，的图象． （3）结合函数图象，解决问题：当为等腰三角形时，的长度约为______．（结果保留一位小数） 23. （1）问题发现 如图1，在等腰直角三角形ABC和等腰直角三角形ADE中，∠ABC=∠ADE=90°，连接BD，交CE的延长线于点F， 填空：的值为 　　，∠BFC的度数为 　　． （2）类比探究 如图2，在矩形ABCD和矩形AEFG中，∠BAC=∠EAF=30°，连接BE，CF，BE的延长线和CF的延长线交于点H.请求出的值及∠BHC的度数 （3）拓展延伸 在（2）的条件下，将柜形AEFG绕点A在平面内自由旋转，BE，CF所在直线交于点H.若AB=，请直接写出BH的最大值 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2022年河南省中考郑州市重点中学第一次联考考试试卷 数学 （本卷满分：120分 考试时间：100分钟） 一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个答案，其中只有一个是正确的． 1. 的相反数是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据相反数的定义，即可得到答案． 【详解】解：的相反数是； 故选：D． 【点睛】本题考查了相反数的定义，解题的关键是熟记定义进行解题． 2. 2021年2月22日，农业农村部部长唐仁健强调要坚决遏制耕地“非农化”和防止耕地“非粮化”，牢牢守住18亿亩耕地红线，同时还要确保15.5亿亩永久基本农田主要种植粮食及瓜菜等一年生的作物.将数据“15.5亿“用科学记数法表示为（） A. 0.155 × 1010 B. 15.5× 108 C. 1.55 ×108 D. 1.55× 109 【答案】D 【解析】 【分析】15.5亿用科学记数法表示成的形式，其中，，代入可得结果． 【详解】解：15.5亿，的绝对值大于表示成的形式 ∵， ∴表示成 故选D． 【点睛】本题考查了科学记数法．解题的关键在于确定的值． 3. 如图，下列四个几何体中，主视图、俯视图和左视图都相同的有（　　） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 【答案】B 【解析】 【分析】主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形． 【详解】解：①长方体主视图、俯视图、左视图都是长方形，但长和宽不一定相同； ②四圆锥主视图、左视图都是三角形，俯视图是四边形； ③圆柱主视图、左视图都是长方形，俯视图是圆； ④球主视图、俯视图、左视图都是圆， 故选：B． 【点睛】本题考查了几何体的三种视图，掌握定义是关键．注意所有的看到的棱都应表现在三视图中． 4. 如图，已知，将一个等腰直角三角板放置到如图所示位置．若，则∠2的度数为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查平行线的性质，对顶角的性质，直角三角形的性质，掌握相关性质是解题的关键．由平行线的性质及对顶角的性质可求解∠5的度数，利用直角三角形的性质及对顶角的性质可求解∠2的度数． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：A． 5. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了整式的加减，单项式乘以单项式、积的乘方、平方差公式．根据整式的加减，单项式乘以单项式、积的乘方、平方差公式等计算法则计算即可． 【详解】解：A、与不是同类项，不能合并，本选项不符合题意； B、，本选项不符合题意； C、，本选项符合题意； D、，本选项不符合题意； 故选：C． 6. 小明在一次射击训练中，连续10次的成绩为1次10环，3次9环，6次8环，则小明这10次射击的平均成绩为（） A. 8.5环 B. 8.6环 C. 8.7环 D. 8.8环 【答案】A 【解析】 【分析】根据题目中的数据和平均数的计算方法，可以求得小华这10次射击的平均成绩． 【详解】解：＝8.5（环）， 故小华这10次射击的平均成绩为8.5环， 故选：A． 【点睛】本题考查平均数的计算方法，熟练掌握计算公式是关键． 7. 定义新运算“a*b”：对于任意实数a，b，都有a*b＝a2＋b2﹣2ab﹣2，其中等式右边是通常的加法、减法、乘法运算，例如：5*6＝52＋62﹣2×5×6﹣2＝﹣1，若方程x*k＝xk（k为实数）是关于x的方程，则方程的根的情况为（ ） A. 只有一个实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 有两个不相等的实数根 D. 没有实数根 【答案】C 【解析】 【分析】利用新运算把方程x*k＝xk（k为实数）化为x2+k2﹣2xk﹣2＝xk，整理得到x2﹣3kx+k2﹣2＝0，再计算判别式的值得到，即可判断方程根的情况． 【详解】解：∵x*k＝x2+k2﹣2xk﹣2， ∴关于x的方程x*k＝xk（k为实数）化为x2+k2﹣2xk﹣2＝xk， 整理为x2﹣3kx+k2﹣2＝0， ∵， ∴方程有两个不相等的实数根． 故选：C． 【点睛】本题考查了新定义运算，一元二次方程根的判别式，理解题意，灵活运用一元二次方程根的判别式是解决本题的关键． 8. 如图，平面直角坐标系中，直线分别与轴、轴分别交于点、，点、为线段的三等分点，且、在反比例函数的图象上，若的面积为12，则的值为（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 【答案】D 【解析】 【分析】作轴于M，设，则，由题意可知,然后利用三角形面积公式得到，求得． 【详解】作轴于M，则， 设，则 ∵， ∴， ∵点、为线段的三等分点， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴， 故选：D． 【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，相似三角形的判定与性质，三角形面积，表示出A的坐标以及的长是解题的关键． 9. 如图，在▱ABCD中，∠DAB=60°，AB=8，AD=10，BE为∠ABC的平分线.利用尺规在▱ABCD中作图，作图痕迹如图所示，AF交BE于点F，连接FD，则FD的长为（ ） A. 3 B. 3 C. 5 D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】通过分析作图痕迹的除相应的作图，可分析出图中做的是角的角平分线，根据角平分线的性质，结合平行四边形的性质，三角函数，即可解决本题． 【详解】解：过点作于点，如题所示， 由作图痕迹可知，为的平分线， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， 又∵为的平分线， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴为等边三角形， ∴，，且， ∴， ∴在中，，， ∴， 在中，， 故选D． 【点睛】本题考查尺规作图，平行四边的性质，角平分线的性质，等边三角形的性质和判定，锐角三角函数，勾股定理，能够再图中构造合适的辅助线是解决本题的关键． 10. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，tan∠BAC＝，边AC在x轴上，点A的坐标为（﹣2，0），矩形CDEF的顶点F与点O重合，顶点D在边BC上，且点D的坐标为（2，1），将矩形CDEF沿x轴向左平移，当点D落在AB边上时，点E的坐标为（ ） A. （） B. （） C. （） D. （﹣5，1） 【答案】B 【解析】 【分析】首先根据已知条件求出点B的坐标，进而根据待定系数法可求直线AB的解析式，再求出当y=1时x的值，即可求解． 【详解】∵点A的坐标为（﹣2，0），点D的坐标为（2，1）， ∴AO＝2，CD＝1，OC＝2， ∴AC＝4. ∵， ∴BC＝5， ∴点B（2，5）． 设直线AB解析式为y＝kx+b， 由题意可得：， 解得：， ∴直线AB解析式为， 当y＝1时，， 可知点E的横坐标是， ∴平移后点E坐标为． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了待定系数法求一次函数关系式，矩形的性质，锐角三角函数等，求出直线AB的关系式是解题的关键． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 请写出一个整数部分为1的无理数 _____． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】直接写出大于1且小于2的无理数即可． 【详解】解：（答案不唯一） 故答案为：（答案不唯一） 【点睛】本题主要考查了对无理数的理解，注意写出的无理数必须大于1且小于2． 12. 已知不等式组的解集在数轴上表示如图，写出满足条件的一个m的值________． 【答案】-1（答案不唯一） 【解析】 【分析】先把m当作已知条件求出各不等式的解集，再根据已知数轴上表示的不等式的解集列出关于m的不等式，求出m的取值范围，写出符合条件的一个m的值即可． 【详解】解：， 由①得，x＜2m+1， 由②得，x＜﹣2， ∵由数轴上不等式的解集可知x＜﹣2， ∴2m+1≥﹣2，， ∴m可以等于-1． 故答案为：-1（答案不唯一）． 【点睛】本题考查了利用不等式组的解集求参数的取值，理解题意结合图形求得m的取值范围是解决本题的关键． 13. 一个不透明的袋子中装有4个小球，上面分别标有数字-2，-1，1，2，小球除所标数字不同外，其他完全相同.摇匀后从中随机摸出一球，记下数字为a，不放回，再随机摸出一球，记下数字为b，以此来确定点M的坐标为（a，b），则点M落在直线y＝x+1上的概率为_____ 【答案】 【解析】 【分析】通过列表得出所有等可能结果即可，找出落在直线上的情况数，再根据概率公式计算即可． 【详解】解：列表如下： -2 -1 1 2 -2 (-1，-2) (1，-2) (2，-2) -1 (-2，-1) (1，-1) (2，-1） 1 (-2，1) (-1，1) (2，1) 2 (-2，2) (-1，2) (1，2) 由表知，共有12种等可能结果，在直线上的情况有：(-2，-1)，(1，2)，共2中， 所以满足条件的概率为：， 故答案为：． 【点睛】此题主要考查的是用列表法或树状图法求概率，以及判断点是否在一次函数图象上．理解题意，综合运用这些知识点是解题关键． 14. 如图，在等腰三角形中，，，将绕点逆时针旋转得到，其中点的运动轨迹为，连接，则图中阴影部分的面积是___． 【答案】 【解析】 【分析】本题解题的关键是将阴影部分的面积转化为．先利用等腰三角形的性质与三角函数求出的面积，再根据旋转性质推导角度关系，分别计算出的面积和扇形的面积，最后通过割补法求出阴影部分的面积． 【详解】解：是等腰三角形， ， ． 如图，过点作，垂足为， 在中， ， ， 是等腰三角形，， 为的中点， ， ． 由旋转的性质可知，，旋转角，且， ， ， 为等腰直角三角形， ． 扇形的圆心角，半径， ， ． 15. 如图，在矩形ABCD中，∠ADB=60°，BC=4，点E在边AB上，且AE=AB，点F在边AD上运动，连接EF，将△AEF沿EF折蓝，点A落在点A'处，则点A'到直线BD的最短距离是_____ 【答案】 【解析】 【分析】由题意可知，点A'在以E为圆心，EA为半径的圆上，作EG⊥BD于G，EG与圆的交点即为A'，利用图形及条件即可求出A'G． 【详解】解：如图所示，以E为圆心，EA为半径做圆，EG⊥BD于G，EG与圆的交点即为A'， ∵矩形ABCD中，∠DAB=90°，∠ADB=60°，BC=4， ∴AD=BC=4，BD=8，AB=， ∵AE=AB， ∴AE=，BE=， ∴EA'= AE=， ∵∠EAB=30°， ∴EG==， ∴A'G= EG- EA'=， 即A'到直线BD的最短距离是， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查的是矩形与折叠的综合问题，掌握动点的规律，建出正确的模型是解题的关键． 三、解答题（本大题共8个小题，满分75分） 16. 下面是小明同学进行分式化简的过程，请认真阅读并解答问题． ＝……第一步 ＝……第二步 ＝……第三步 ＝……第四步 ＝……第五步 （1）填空： ①以上化简步骤中，第 　　步是进行分式的通分，通分的依据是 　　； ②第 　　步开始出现错误，这一步错误的原因是 　　． （2）请从出现错误的步骤开始继续进行该分式的化简． （3）除纠正上述错误外，请你根据平时的学习经验，就分式化简时还需要注意的事项给其他同学提一条建议． 【答案】（1）①一，分式的基本性质；②二，去括号没有变号； （2）答案见解析； （3）分式的混合运算，一般按常规运算顺序，但有时应先根据题目的特点，运用乘法的运算律运算，会简化运算过程． 【解析】 【分析】（1）①根据分式的基本性质即可判断；②根据分式的加减运算法则即可判断； （2）依据分式加减运算法则计算可得； （3）答案不唯一，只要合理即可． 【小问1详解】 ①以上化简步骤中，第一步是进行分式的通分，通分的依据是分式的基本性质；②第二步开始出现错误，这一步错误的原因是括号前面是“-”，去掉括号后，括号里面的第二项没有变号； 故答案为①一；分式的基本性质；②二；去括号没有变号； 【小问2详解】 原式＝……第二步 ＝……第三步 ＝……第四步 ＝……第五步 【小问3详解】 答案不唯一，如：分式的混合运算，一般按常规运算顺序，但有时应先根据题目的特点，运用乘法的运算律运算，会简化运算过程． 【点睛】本题主要考查分式的混合运算，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则及分式的基本性质．同时考查了有理数的混合运算． 17. 某校在第五届全国学生“学宪法讲宪法”活动中，举办了宪法知识竞赛，现从初三A班和B班中各抽取20名学生的竞赛成绩（单位：分，百分制）进行调查分析，成绩如下： A班 90 89 100 96 97 98 89 97 87 100 95 99 98 77 87 93 92 84 94 98 B班 78 86 92 95 97 86 76 91 90 99 100 97 89 97 85 91 100 95 100 96 [整理数据] 成绩x 频数 班 级 76≤x≤80 81≤x≤85 86≤x≤90 91≤x≤95 96≤x≤100 A班 1 1 5 4 9 B班 2 1 4 5 8 [分析数据]根据以上数据进行统计分析： 统计量 班级 平均数 中位数 众数 方差 A班 93 94.5 b 35.3 B班 92 a 97，100 46.9 根据以上信息，解答下列问题： （1）表格中的a＝　　，b＝　　． （2）请你根据以上统计信息，分析哪个班在本次活动中整体水平较高且稳定， （3）若全校九年级共有学生800人，请你估计本次宪法知识竞赛中分数在90分以上的人数，若想更全面地推断全市九年级学生在本次活动中成绩达到90分以上的人数，还应该怎样做，请你给出合理化的建议.（写出一条即可） 【答案】（1）93.5，98； （2）A班； （3）520，应分层抽样并加大样本容量． 【解析】 【分析】（1）由B班第10、11个数据可得其中位数a的值，根据众数的概念一组数据中出现次数最多的数据叫做众数可得b的值； （2）从平均数和方差的意义求解即可； （3）用两个班成绩达到90分以上的人数除以抽查的总人数可得百分率，再乘800即可得本次活动中成绩达到90分以上的人数，若想推断全市九年级学生在本次活动中成绩达到90分以上的人数，应分层抽样并加大样本容量； 【小问1详解】 ，根据数据可得b=98； 【小问2详解】 根据以上统计信息可得，A班的平均数大于B班的平均数，A班的方差小于B班的方差，故A班的成绩整体水平较高且稳定； 【小问3详解】 （人） ∴本次宪法知识竞赛中分数在90分以上的大概有520人，若想推断全市九年级学生在本次活动中成绩达到90分以上的人数，应分层抽样并加大样本容量． 【点睛】本题考查数据的收集与整理，整理测试数据得到两个年级的平均数、中位数和众数并进行分析是解题关键． 18. 五一期间，小明跟父母去乌镇旅游，欣赏乌镇水乡的美景.如图，当小明走到乌镇古桥的C处时，发现远处有一瞍船匀速行驶过来，当船行驶到A处时，小明测得船头的俯角为30°，同时小明开始计时，船在航行过小明所在的桥之后，继续向前航行到达B处，此时测得船尾的俯角为45°；从小明开始计时到船行驶至B处，共用时15min；已知小明所在位置距离水面6m，船长3m，船到水面的距离忽略不计，请你帮助小明计算一下船的航行速度（结果保留根号） 【答案】船的航行速度为m/min． 【解析】 【分析】连接AB，过点C作CD⊥AB交于点D，根据题意得出，，CD=6米，利用锐角三角函数得出米，米，结合图形及速度求法即可得出结果． 【详解】解：如图所示，连接AB，过点C作CD⊥AB交于点D，根据题意可得： ，，CD=6米， 在中， （米）， 在中， 米， ∴ 米， ∵船长为3米， ∴船航行距离为：米， ∴船的速度为：， 答：船的航行速度为m/min． 【点睛】本题主要考查锐角三角函数的实际应用，理解题意，构建直角三角形是解题关键． 19. 某学习用品商店销售某种黑色签字笔和某种文具盒，进价和售价保持不变，其中黑色签字笔的进价为2元/个，文具盒的进价为12元/个，下表是前两个月黑色签字笔和文具盒的销售情况： 时间 销售数量（个） 销售收入（元） （销售收入＝售价×销售数量） 黑色签字笔 文具盒 第一个月 230 120 2490 第二个月 340 150 3 270 （1）求黑色签字笔和文具盒的售价． （2）第三个月该学习用品商店想再购进黑色签字笔、文具盒共650个，但预算成本不超过2700元，且黑色签字笔最多购进550个，在购进的黑色签字笔和文具盒全部售完的情况下，设购进黑色签字笔a个，利润为w元，写出w与a之间的函数关系式，并求出第三个月所能获得的最大利润 【答案】（1）黑色签字笔售价为3元/个，文具盒售价为15元/个 （2）930元 【解析】 【分析】（1）根据表格中的数据可以列出相应的二元一次方程组，从而可以求得甲、乙两种型号水杯的销售单价； （2）先求出a的取值范围，再根据题意，得到w与a的函数关系式，最后根据一次函数的性质求解即可． 【小问1详解】 解：设黑色签字笔和文具盒售价分别为x元/个，y元/个， 根据题意，得， 解得， 答：黑色签字笔售价为3元/个，文具盒售价为15元/个； 【小问2详解】 解：由题意知， ， 解得， 由题意，知， ∵，且w是a的一次函数， ∴w随a的增大而减少， ∴当a＝510时，w有最大值，最大值为， ∴第三个月所能获得的最大利润为930元． 【点睛】本题考查一次函数的应用、二元一次方程组的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质解答． 20. 复习巩固 切线：直线和圆只有一个公共点，这时这条直线和圆相切，我们把这条直线叫做圆的切线，这个点叫做切点.如图1，直线l1为⊙O的切线 割线：直线和圆有两个公共点，这时这条直线和圆相交，我们把这条直线叫做圆的割线.如图1，直线l2为⊙O的割线 切线长：过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间线段的长，叫做这点到圆的切线长. 阅读材料 《几何原本》是古希腊数学家欧几里得所普的一部数学著作.它是欧洲数学的基础，总结了平面几何五大公设，被广泛地认为是历史上学习数学几何部分最成功的教科书其中第三卷命题36一2圆幂定理（切割线定理）内容如下： 切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项.为了说明材料中定理的正确性，需要对其进行证明，下面已经写了不完整的“已知”和“求证”，请补充完整，并写出证明过程 已知：如图2，A是⊙O外一点，　　． 求证：　　 [提示]辅助线可先考虑作⊙O的直径DE． 【答案】AD是⊙O的切线，直线ABC为⊙O的割线；；证明见解析． 【解析】 【分析】按照题设要求，写出“已知”和“求证”，然后证明△ABD∽△ADC，即可求解． 【详解】解：（已知：如图，A是⊙O外一点，）AD是⊙O的切线，直线ABC为⊙O的割线． 求证：． 故答案为：AB是⊙O的切线，直线ACD为⊙O的割线，． 证明：连接BD，连接DO并延长交⊙O于点E，连接BE， ∵AD是⊙O的切线， ∴， ∵DE是圆的直径， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴△ABD∽△ADC， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了切线的性质、同弧或等弧所对的圆周角相等以及相似三角形的判定和性质等知识，正确作出辅助线是解决本题的关键． 21. 在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2+bx﹣6与x轴交于A，B两点 （1）若抛物线经过点C（4，﹣6），求抛物线的解析式，并写出函数值y随x的增大而增大时x的取值范围 （2）当x≤0时，若抛物线y＝x2+bx﹣6的最低点到直线y=b的距离为6，求b的值 【答案】（1）；． （2）或． 【解析】 【分析】(1)把点C的坐标代入二次函数解析式求出b的值，再根据对称轴求出二次函数y随x的增大而增大． (2)根据二次函数求出对称轴，根据b的取值范围分类讨论即可． 【小问1详解】 解：由抛物线的解析式，可知抛物线经过点(0，-6)． 又∵抛物线经过点C(4，-6)， ∴抛物线的对称轴为直线，即，解得： ∴抛物线的解析式为， ∴当时，函数值y随x的增大而增大． 【小问2详解】 解：由抛物线的解析式可知的对称轴为直线 由题意，可知需分以下两种情况讨论， ①当时， ∵抛物线开口向上，， ∴抛物线的最低点的坐标为顶点坐标 ∵最低点到直线的距离为6， ∴，解得或． ②当时，， ∵抛物线开口向上，， ∴抛物线的最低点的坐标为顶点坐标 ∵最低点到直线的距离为6， ∴ ∵ ∴， 解得：或 ∴此种情况不成立． 综上所述，或． 【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，解题的关键是熟练运用二次函数的对称轴讨论函数的单调性，还需要根据取值范围运用分类讨论． 22. 如图，是半圆O的直径，点C是直径上一动点，点D是直径下方一定点，且，，，连接并延长交于点P，连接，．设，，． 小明同学根据学习函数的经验，分别对，随自变量x的变化而变化的规律进行了探究．下面是小明同学的探究过程，请补充完整： （1）根据点C在直径上的不同位置，画出相应的图形，测量线段，，的长度，得到了，与x的几组对应值，如下表所示： 0 1 2 3 4 5 6 0 1.98 3.95 5.19 5.77 5.97 6.00 a 4.55 5.68 6.00 5.83 5.51 5.20 请补全表格：a的值为______． （2）在同一平面直角坐标系中，描出补全后的表中各组数值所对应的点，，并画出函数，的图象． （3）结合函数图象，解决问题：当为等腰三角形时，的长度约为______．（结果保留一位小数） 【答案】（1） （2）见解析 （3）或 【解析】 【分析】（1）当时，点P与点A重合，此时，由此可得结论； （2）在坐标系描出各点，并用光滑曲线画图即可； （3）分情况讨论，即三种情况． 【小问1详解】 解：当时，点P与点A重合，此时，即； 【小问2详解】 解：作图如下： 【小问3详解】 解：当时，即， 根据图象可得当时，； 当时，即， 根据图象可得当时，； 当时，即， 根据图象可得当时，，此时无法构成三角形； 综上，当为等腰三角形时，的长度约为或． 23. （1）问题发现 如图1，在等腰直角三角形ABC和等腰直角三角形ADE中，∠ABC=∠ADE=90°，连接BD，交CE的延长线于点F， 填空：的值为 　　，∠BFC的度数为 　　． （2）类比探究 如图2，在矩形ABCD和矩形AEFG中，∠BAC=∠EAF=30°，连接BE，CF，BE的延长线和CF的延长线交于点H.请求出的值及∠BHC的度数 （3）拓展延伸 在（2）的条件下，将柜形AEFG绕点A在平面内自由旋转，BE，CF所在直线交于点H.若AB=，请直接写出BH的最大值 【答案】（1），；（2），；（3）2 【解析】 【分析】（1）设与相交于点，根据等腰直角三角形的性质得到，，利用角度关系推出，即可证明，利用三角形相似得到，，再根据角度关系，即可得解； （2）设与相交于点，利用矩形的性质和角度关系可得，∠BAC=∠EAF=30°， ，，进而即可证明，利用三角形相似可得，，再根据角度关系，即可得解； （3）由（2）可知，，利用圆周角定理及其推论可知 点在以为直径的圆上，连接，可知点与点重合时，此时取得最大值，利用三角函数即可得到的值． 【详解】（1）设与相交于点，如图所示， ∵和均是等腰直角三角形， ∴，， ∴，即， ∴， ∴，， 又∵， ∴； （2）设与相交于点，如图所示， ∵四边形和四边形均是矩形，且∠BAC=∠EAF=30°， ∴，，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴，； （3）由题意可知，点在以为直径的圆上，连接，如图所示， ∴当点与点重合时，此时取得最大值，的最大值为的长， ∵，四边形是矩形， ∴， ∴的最大值为2． 【点睛】本题主要考查了等腰直角三角形的性质、相似三角形的判定与性质、矩形的性质、圆周角定理及其推论和三角函数等知识点，解答本题的关键是利用角度关系找到相等的角，证明三角形相似，进而得出结果． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $