精品解析：山东省枣庄市滕州市洪绪中学2022年九年级中考数学冲刺试卷 (4)

洪绪中学九年级中考数学冲刺试卷 一．选择题 1. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用合并同类项、积的乘方、单项式乘单项式、多项式乘多项式直接计算判断即可． 【详解】解：A. ，选项错误； B. ，选项错误； C. ，选项正确； D. ，选项错误； 故选：C． 【点睛】本题考查了整式的运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 2. 将一个正方体截去一个角，得到的几何体如图所示，则该几何体的主视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：该几何体的主视图是． 3. 有理数，在数轴上的对应点如图所示，则下列式子正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据绝对值的意义，判断|m|，|n|，-n，-m的位置，利用数轴上右边的数大于左边的数 【详解】由图可知：， 则，，， 故D选项正确． 故选：． 【点睛】本题考查了有理数大小比较．解题关键是理解有理数大小比较方法． 4. 甲、乙两地相距，提速前动车的速度为，提速后动车的速度是提速前的倍，提速后行车时间比提速前减少，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】行驶路程都是600千米；提速前后行驶时间分别是：；因为提速后行车时间比提速前减少，所以，提速前的时间-提速后的时间=． 【详解】根据提速前的时间-提速后的时间=，可得 即 故选：A 【点睛】应用题中一般有三个量，求一个量，明显的有一个量，一定是根据另一量来列等量关系的．本题考查分式方程的应用，分析题意，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键． 5. 顺次连接四边形各边中点，，，，如果四边形是矩形，那么四边形的对角线和一定满足的关系是（ ） A. 互相平分 B. 相等 C. 互相垂直 D. 互相垂直平分 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意画出图形，由四边形是矩形，得出，又根据点，分别是边，的中点，得出是的中位线，从而得出，同理可得，即可解决问题． 【详解】解：根据题意画出图形如下： 证明：四边形是矩形， ， 又点，分别是边，的中点， 是的中位线， ∴， ， 又点，分别是，边的中点， 是的中位线， ∴， ， 即， 故选：C． 【点睛】本题考查了矩形的性质，三角形的中位线定理，以及平行线的性质，熟练掌握矩形的性质，三角形的中位线定理，以及平行线的性质，借助图形充分抓住已知条件，围绕结论环环相加，步步逼近，结论便会得出来． 6. 有两个直角三角形纸板，一个含45°角，另一个含30°角，如图①所示叠放，先将含30°角的纸板固定不动，再将含45°角的纸板绕顶点A顺时针旋转，使BC∥DE，如图②所示，则旋转角∠BAD的度数为（　　） A. 15° B. 30° C. 45° D. 60° 【答案】B 【解析】 【分析】由平行线的性质可得∠CFA＝∠D＝90°，由外角的性质可求∠BAD的度数． 【详解】解：如图，设AD与BC交于点F， ∵BC∥DE， ∴∠CFA＝∠D＝90°， ∵∠CFA＝∠B+∠BAD＝60°+∠BAD， ∴∠BAD＝30° 故选：B． 【点睛】本题考查了平行线的性质以及外角的性质，熟知以上知识点是解题的关键． 7. 如图1，点P从△ABC的顶点B出发，沿B→C→A匀速运动到点A，图2是点P运动时，线段BP的长度y随时间x变化的关系图象，其中M是曲线部分的最低点，则△ABC的面积是（ ） A. 12 B. 24 C. 36 D. 48 【答案】D 【解析】 【详解】由图2知，AB＝BC＝10，当BP⊥AC时，y的值最小，即△ABC中，BC边上的高为8（即此时BP＝8），即可求解． 【解答】解：由图2知，AB＝BC＝10，当BP⊥AC时，y的值最小，即△ABC中，BC边上的高为8（即此时BP＝8），当y＝8时，PC＝＝＝6，△ABC的面积＝×AC×BP＝×8×12＝48， 故选：D． 【点评】本题是运动型综合题，考查了动点问题的函数图象、解直角三角形、图形面积等知识点．解题关键是深刻理解动点的函数图象，了解图象中关键点所代表的实际意义，理解动点的完整运动过程． 8. 若不等式组无解，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】求出第一个不等式的解集，根据口诀：大大小小找不到可得关于m的不等式，解之可得． 【详解】解不等式，得：x＞8， ∵不等式组无解， ∴4m≤8， 解得m≤2， 故选A． 【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． 9. 如图，菱形的对角线相交于点，过点作于点，连接，若，，则菱形的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了菱形的性质、直角三角形的斜边上的中线性质和菱形的面积公式，熟练掌握以上知识是解题的关键． 由菱形的性质得，根据题意得，再由直角三角形斜边上的中线性质求出的长度，然后由菱形的面积公式求解即可． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴菱形的面积， 故选：． 10. 如图所示，已知二次函数的图象与轴交于两点，与轴交于点，，对称轴为直线，则下列结论：①；②；③；④是关于的一元二次方程的一个根．其中正确的有（　　） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】根据抛物线的开口方向、对称轴、与y轴交点的位置可得a、b、c的取值范围，由此可判断①；根据结合c的取值范围可对②进行判断；由OA=OC可得A的坐标，代入解析式可判断③；由点A坐标结合对称轴可得点B坐标，据此可判断④. 【详解】∵抛物线开口向下， ∴， ∵抛物线的对称轴为直线， ∴， ∵抛物线与轴的交点在轴上方， ∴， ∴，所以①正确； ∵， ∴， ∵， ∴，所以②错误； ∵，， ∴， 把代入得， ∴，所以③正确； ∵，对称轴为直线， ∴， ∴是关于x的一元二次方程的一个根，所以④正确； 综上正确的有3个， 故选C. 【点睛】本题考查了抛物线与x轴交点及与二次函数图象与系数的关系，做好本题要知道以下几点：①当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；②当a与b同号时(即ab＞0)，对称轴在y轴左； 当a与b异号时(即ab＜0)，对称轴在y轴右．(简称：左同右异)；③常数项c决定抛物线与y轴交点，抛物线与y轴交于(0，c)．④抛物线与x轴交点的横坐标就是一元二次方程的根.注意利用数形结合的思想． 二．填空题 11. 冠状病毒的直径约为80～120纳米，1纳米＝米，110纳米用科学记数法表示________． 【答案】米## 【解析】 【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 【详解】解：110纳米= 米=米． 故答案为：米． 【点睛】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 12. 已知一元二次方程的两根为、，则_____． 【答案】 【解析】 【详解】解：一元二次方程的两根为、， ，， ． 13. 在一个不透明的袋中装有若干个红球，为了估计袋中红球的个数，小明在袋中放入3个黑球（每个球除颜色外其余都与红球相同），摇匀后每次随机从袋中摸出一个球，记下颜色后放回袋中，通过大量重复摸球试验后发现，摸到红球的频率稳定在0.85左右，则袋中红球约有_____个． 【答案】17 【解析】 【分析】根据口袋中有3个黑球，利用小球在总数中所占比例得出与实验比例应该相等求出即可． 【详解】解：通过大量重复摸球试验后发现，摸到红球的频率稳定在0.85左右，口袋中有3个黑球， ∵假设有x个红球， ∴＝0.85， 解得：x＝17， 经检验x＝17是分式方程的解， ∴口袋中有红球约有17个． 故答案为：17． 【点睛】此题主要考查了用样本估计总体，根据已知得出小球在总数中所占比例得出与实验比例应该相等是解决问题的关键． 14. 如图，AB是半圆O的直径，AC＝AD，OC＝2，∠CAB＝30°，E为线段CD上一个动点，连接OE，则OE的最小值为___． 【答案】 【解析】 【分析】过O点作OF⊥CD于F，如图，利用等腰三角形的性质和三角形内角和计算出∠ACD=∠ADC=75°，再利用圆周角定理得到∠BOC=2∠A=60°，则∠OCD=45°，利用等腰直角三角形的性质得到OF，然后根据垂线段最短求解． 【详解】解：过O点作OF⊥CD于F，如图， ∵AC=AD， ∴， ∵∠BOC=2∠A=60°， ∴∠OCD=180°−∠DOC−∠ODC=180°−60°−75°=45°， ∴△COF为等腰直角三角形， ∴， ∴OE的最小值为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了圆周角定理，解直角三角形，等腰三角形的判定与性质，根据垂线段最短，找到最短的点是解决本题的关键． 15. 如图，将一把矩形直尺和一块等腰直角三角板摆放在平面直角坐标系中，在x轴上，点G与点A重合，点F在上，交于点M，反比例函数的图象恰好经过点F，M，若直尺的宽，三角板的斜边，则___． 【答案】 【解析】 【分析】利用等腰直角三角形的特殊性质，可分别求出线段、、的长度，设，用含有的代数式表示点和点的坐标，再将两点坐标分别代入反比例函数关系式，即可建立方程求出的值，进而确定反比例函数中的系数． 【详解】解：过点M作，垂足为N，则， 在中，， ∴， 又∵， ∴， 设，则， ∴点，， 又∵反比例函数的图象恰好经过点F，M， ∴， 解得， ∴． 【点睛】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，构造直角三角形，利用等腰直角三角形性质确定点、点的坐标是解决问题的关键． 16. 如图，小明在P处测得A处的俯角为15°，B处的俯角为60°，PB＝30m．若斜面AB坡度为，则斜坡AB的长是______m． 【答案】30 【解析】 【分析】根据斜面AB坡度为，求出，再利用角之间的关系求出，，进一步得到． 【详解】解：∵斜面AB坡度为， ∴，即， ∵在P处测得A处的俯角为15°，B处的俯角为60°， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：30 【点睛】此题主要考查了解直角三角形的应用，正确得出PB=AB是解题关键． 三．解答题 17. （1）计算：（）﹣2﹣|﹣3|+2tan45°﹣（2020﹣π）0； （2）先化简，再求值：（﹣a+1）÷，其中a从﹣1，2，3中取一个你认为合适的数代入求值． 【答案】（1）2+；（2）﹣a﹣1，-4 【解析】 【分析】（1）先算负整数指数幂、绝对值、特殊角的三角函数值、零指数幂、然后再算加减法即可； （2）先运用分式的相关运算法则化简，最后确保分式有意义的前提下，选择一个a的值代入计算即可． 【详解】解：（1）（）﹣2﹣|﹣3|+2tan45°﹣（2020﹣π）0 ＝4+﹣3+2×1﹣1 ＝4+﹣3+2﹣1 ＝2+； （2）（﹣a+1）÷ ＝× ＝ ＝﹣a﹣1， 要使原式有意义，只能a＝3， 则当a＝3时，原式＝﹣3﹣1＝﹣4． 【点睛】本题考查了实数的混合运算、特殊角的三角函数值以及分式的化简求值，掌握实数的相关知识以及分式四则运算的法则是解答本题的关键． 18. 某校对九年级学生进行一次综合文科中考模拟测试，成绩x分（x为整数）评定为优秀、良好、合格、不合格四个等级（优秀、良好、合格、不合格分别用A、B、C、D表示），A等级：90≤x≤100，B等级：80≤x＜90，C等级：60≤x＜80，D等级：0≤x＜60．该校随机抽取了一部分学生的成绩进行调查，并绘制成如图不完整的统计图表． 等级 频数（人数） 频率 A a 20% B 16 40% C b m D 4 10% 请你根据统计图表提供的信息解答下列问题： （1）上表中的a　 　，b＝　 　，m＝　 　． （2）本次调查共抽取了多少名学生？请补全条形图． （3）若从D等级的4名学生中抽取两名学生进行问卷调查，请用画树状图或列表的方法求抽取的两名学生恰好是一男一女的概率． 【答案】（1）8，12，30%； （2）40名，补全条形图如图所示； （3） 【解析】 【分析】（1）根据题意列式计算即可得到结论； （2）用D等级人数除以它所占的百分比即可得到调查的总人数； （3）列表将所有等可能的结果列举出来，利用概率公式求解即可． 【详解】解：（1）a＝16÷40%×20%＝8，b＝16÷40%×（1﹣20%﹣40%﹣10%）＝12，m＝1﹣20%﹣40%﹣10%＝30%； 故答案为：8，12，30%； （2）本次调查共抽取了4÷10%＝40名学生； （3）将男生分别标记为A，B，女生标记为a，b， A B a b A （A，B） （A，a） （A，b） B （B，A） （B，a） （B，b） a （a，A） （a，B） （a，b） b （b，A） （b，B） （b，a） ∵共有12种等可能的结果，恰为一男一女的有8种， ∴抽得恰好为“一男一女”的概率为＝． 【点睛】此题考查了树状图法与列表法求概率以及条形统计图、扇形统计图的应用．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． 19. 在边长为1的正方形网格中如图所示： （1）以点C为位似中心，作出的位似图形，使其位似比为．且位于点C的异侧，并表示出的坐标； （2）作出绕点C顺时针旋转后的图形，并表示出的坐标； （3）在（2）的条件下求出点B经过的路径长（结果保留π）． 【答案】（1）解：如图，即为所求： ， 点的坐标为； （2）如图，即为所求： ， 点的坐标为； （3） 【解析】 【分析】（1）延长到使，延长到使，则满足条件； （2）利用网格特点和旋转的性质画出A、B的对应点、，从而得到，即可解答． （3）先计算出的长，然后根据弧长公式计算点B经过的路径长． 【小问1详解】 解：图略，点的坐标为； 【小问2详解】 解：图略，点的坐标为； 【小问3详解】 解：， 点B经过的路径长． 20. 如图，某无人机爱好者在一小区外放飞无人机，当无人机飞行到一定高度D点处时，无人机测得操控者A的俯角为，测得小区楼房顶端点C处的俯角为．已知操控者A和小区楼房之间的距离为45米，小区楼房的高度为米． （1）求此时无人机的高度； （2）在（1）条件下，若无人机保持现有高度沿平行于的方向，并以5米/秒的速度继续向前匀速飞行．问：经过多少秒时，无人机刚好离开了操控者的视线？（假定点A，B，C，D都在同一平面内．参考数据：，．计算结果保留根号） 【答案】（1）米；（2）秒 【解析】 【分析】（1）通过作辅助线构造直角三角形，解直角三角形即可求出DE的值，进而得到DH的值； （2）先利用特殊角的三角函数值求出∠BAC的度数，接着求出∠GFA的度数，作辅助线构造直角三角形求出DG和GF，进而得到DF的值，最后除以无人机速度即可． 【详解】解：如图1，过D点作DH⊥AB，垂足为点H，过C点作CE⊥DH，垂足为点E， 可知四边形EHBC为矩形， ∴EH=CB，CE=HB， ∵无人机测得小区楼房顶端点C处的俯角为，测得操控者A的俯角为，DM∥AB， ∴∠ECD=45°，∠DAB=75°， ∴∠CDE=∠ECD=45°， ∴CE=DE， 设CE=DE=HB=x， ∴AH=45-x，DH=DE+EH=x+， 在Rt△DAH中，DH=tan75°×AH=， 即， 解得：x=30， ∴DH= ∴此时无人机的高度为米； （2）如图2所示，当无人机飞行到图中F点处时，操控者开始看不见无人机，此时AF刚好经过点C， 过A点作AG⊥DF，垂足为点G，此时，由（1）知，AG=（米）， ∴； ∵， ∴ ∵DF∥AB， ∴∠DFA=∠CAB=30°， ∴, ∴, 因为无人机速度为5米/秒， 所以所需时间为（秒）； 所以经过秒时，无人机刚好离开了操控者的视线． 【点睛】本题综合考查了解直角三角形的应用，涉及到了等腰直角三角形的性质、矩形的判定与性质、特殊角的三角函数值、解直角三角形等知识，解决本题的关键是读懂题意，能从题意与图形中找出隐含条件，能构造直角三角形求解等，本题蕴含了数形结合的思想方法等． 21. 如图，一次函数的图像与反比例函数的图像相交，其中一个交点的横坐标是2． （1）求反比例函数的表达式； （2）将一次函数的图像向下平移2个单位，求平移后的图像与反比例函数图像的交点坐标； （3）直接写出一个一次函数，使其过点，且与反比例函数的图像没有公共点． 【答案】（1）；（2）；（3）（答案不唯一） 【解析】 【分析】（1）将x=2代入一次函数，求出其中一个交点是，再代入反比例函数即可解答； （2）先求出平移后的一次函数表达式，联立两个函数解析式得到一元二次方程即可解答； （3）设一次函数为y=ax+b（a≠0），根据题意得到b=5，联立一次函数与反比例函数解析式，得到，若无公共点，则方程无解，利用根的判别式得到，求出a的取值范围，再在范围内任取一个a的值即可． 【详解】解：（1）∵一次函数的图像与反比例函数的图像的一个交点的横坐标是2， ∴当时，， ∴其中一个交点是． ∴． ∴反比例函数的表达式是． （2）∵一次函数的图像向下平移2个单位， ∴平移后的表达式是． 联立及，可得一元二次方程， 解得，． ∴平移后的图像与反比例函数图像的交点坐标为 （3）设一次函数为y=ax+b（a≠0）， ∵经过点，则b=5， ∴y=ax+5， 联立y=ax+5以及可得：， 若一次函数图像与反比例函数图像无交点， 则，解得：， ∴（答案不唯一）． 【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数图像交点问题以及函数图像平移问题，解题的关键是熟悉函数图像上点的特征，第（3）问需要先确定a的取值范围． 22. 如图，在平行四边形ABCD中，∠D＝60°，对角线AC⊥BC，⊙O经过点A，B，与AC交于点M，连接AO并延长与⊙O交于点F，与CB的延长线交于点E，AB＝EB． （1）求证：EC是⊙O的切线； （2）若AD＝2，求的长（结果保留π）． 【答案】 （1）证明：连接OB， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴∠ABC＝∠D＝60°， ∵AC⊥BC， ∴∠ACB＝90°， ∴∠BAC＝30°， ∵BE＝AB， ∴∠E＝∠BAE， ∵∠ABC＝∠E+∠BAE＝60°， ∴∠E＝∠BAE＝30°， ∵OA＝OB， ∴∠ABO＝∠OAB＝30°， ∴∠OBC＝30°+60°＝90°， ∴OB⊥CE， ∴EC是⊙O的切线； （2） 【解析】 【分析】（1）证明：连接OB，根据平行四边形的性质得到∠ABC＝∠D＝60°，求得∠BAC＝30°，根据等腰三角形的性质和三角形的外角的性质得到∠ABO＝∠OAB＝30°，于是得到结论； （2）根据平行四边形的性质得到BC＝AD＝2，过O作OH⊥AM于H，则四边形OBCH是矩形，解直角三角形即可得到结论． 【详解】（1）略 （2）∵四边形ABCD是平行四边形， ∴BC＝AD＝2， 过O作OH⊥AM于H， 则四边形OBCH是矩形， ∴OH＝BC＝2， ∴OA＝＝4，∠AOM＝2∠AOH＝60°， ∴的长度＝＝． 【点睛】本题考查了切线的判定，锐角三角函数，平行四边形的性质，矩形的判定和性质，弧长的计算，正确的作出辅助线是解题的关键． 23. 如图，在矩形ABCD中，AD＝kAB（k＞0），点E是线段CB延长线上的一个动点，连接AE，过点A作AF⊥AE交射线DC于点F． （1）如图1，若k＝1，则AF与AE之间的数量关系是　　； （2）如图2，若k≠1，试判断AF与AE之间的数量关系，写出结论并证明；（用含k的式子表示） （3）若AD＝2AB＝4，连接BD交AF于点G，连接EG，当CF＝1时，求EG的长． 【答案】（1）AF＝AE； （2）AF＝kAE． 证明：∵四边形ABCD是矩形， ∴∠BAD＝∠ABC＝∠ADF＝90°， ∴∠FAD+∠FAB＝90°， ∵AF⊥AE， ∴∠EAF＝90°， ∴∠EAB+∠FAB＝90°， ∴∠EAB＝∠FAD， ∵∠ABE+∠ABC＝180°， ∴∠ABE＝180°﹣∠ABC＝180°﹣90°＝90°， ∴∠ABE＝∠ADF． ∴△ABE∽△ADF， ∴， ∵AD＝kAB， ∴， ∴， ∴AF＝kAE． （3）EG的长为或 【解析】 【分析】（1）证明△EAB≌△FAD（AAS），由全等三角形的性质得出AF＝AE； （2）证明△ABE∽△ADF，由相似三角形的性质得出，则可得出结论； （3）①如图1，当点F在DA上时，证得△GDF∽△GBA，得出，求出AG＝．由△ABE∽△ADF可得出，求出AE＝．则可得出答案； ②如图2，当点F在DC的延长线上时，同理可求出EG的长． 【详解】解：（1）AE＝AF． ∵AD＝AB，四边形ABCD矩形， ∴四边形ABCD是正方形， ∴∠BAD＝90°， ∵AF⊥AE， ∴∠EAF＝90°， ∴∠EAB＝∠FAD， ∴△EAB≌△FAD（AAS）， ∴AF＝AE； 故答案为：AF＝AE． （2）略 （3）解：①如图1，当点F在DA上时， ∵四边形ABCD是矩形， ∴AB＝CD，AB∥CD， ∵AD＝2AB＝4， ∴AB＝2， ∴CD＝2， ∵CF＝1， ∴DF＝CD﹣CF＝2﹣1＝1． 在Rt△ADF中，∠ADF＝90°， ∴AF＝， ∵DF∥AB， ∴∠GDF＝∠GBA，∠GFD＝∠GAB， ∴△GDF∽△GBA， ∴ ∵AF＝GF+AG， ∴AG＝ ∵△ABE∽△ADF， ∴， ∴AE＝＝ 在Rt△EAG中，∠EAG＝90°， ∴EG＝， ②如图2，当点F在DC的延长线上时，DF＝CD+CF＝2+1＝3， 在Rt△ADF中，∠ADF＝90°， ∴AF＝． ∵DF∥AB， ∵∠GAB＝∠GFD，∠GBA＝∠GDF， ∴△AGB∽△FGD， ∴， ∵GF+AG＝AF＝5， ∴AG＝2， ∵△ABE∽△ADF， ∴， ∴， 在Rt△EAG中，∠EAG＝90°， ∴EG＝． 综上所述，EG的长为或． 【点睛】本题是相似形综合题，考查了全等三角形的判定与性质，正方形的性质，矩形的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理等知识，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 24. 如图，抛物线与x轴交于A（2，0），B（-1，0）两点，与y轴交于点C，连接BC，D为第一象限内抛物线上一动点，过点D作DE⊥OA于点E，与AC交于点F，设点D的横坐标为m． （1）求抛物线的表达式； （2）当线段DF的长度最大时，求D点的坐标； （3）抛物线上是否存在点D，使得以点O，D，E为顶点的三角形与△BOC相似？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）；（2）D(1，2)；（3）存在，或． 【解析】 【分析】（1）根据待定系数法求解即可； （2）求点的坐标，根据待定系数法求出的解析式，设点D的横坐标为m，则点D(，)，则点F（，），则，根据二次函数性质求解即可； （3）点D(，)()，则，，以点O，D，E为顶点的三角形与△BOC相似，分两种情况：①当时两三角形相似；②当时两三角形相似，求解即可． 【详解】解：（1）因为过点A（2，0）、B（-1，0）， 则， 解得：， 故抛物线的表达式为：； （2）对于，令，则，故点C(0，2)， 设直线AC的解析式为，由直线过点A、C的坐标得， 解得 直线AC的表达式为：， 设点D的横坐标为m，则点D(，)，则点F（，）， 则， ∵，故DF有最大值， 此时，点D(1，2)； （3）存在，理由： 点D(，)()，则，， 以点O，D，E为顶点的三角形与△BOC相似， ①当时两三角形相似，即 则解得：或（舍去） 经检验，是原分式方程的解， ②当时两三角形相似，即 则解得：或（舍去） 经检验，是分式方程的解， 故或． 【点睛】本题考查了二次函数综合问题，相似三角形的判定与性质，熟练掌握二次函数的性质，相似三角形的性质并正确计算是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 洪绪中学九年级中考数学冲刺试卷 一．选择题 1. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 将一个正方体截去一个角，得到的几何体如图所示，则该几何体的主视图是（ ） A. B. C. D. 3. 有理数，在数轴上的对应点如图所示，则下列式子正确的是（　　） A. B. C. D. 4. 甲、乙两地相距，提速前动车的速度为，提速后动车的速度是提速前的倍，提速后行车时间比提速前减少，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 5. 顺次连接四边形各边中点，，，，如果四边形是矩形，那么四边形的对角线和一定满足的关系是（ ） A. 互相平分 B. 相等 C. 互相垂直 D. 互相垂直平分 6. 有两个直角三角形纸板，一个含45°角，另一个含30°角，如图①所示叠放，先将含30°角的纸板固定不动，再将含45°角的纸板绕顶点A顺时针旋转，使BC∥DE，如图②所示，则旋转角∠BAD的度数为（　　） A. 15° B. 30° C. 45° D. 60° 7. 如图1，点P从△ABC的顶点B出发，沿B→C→A匀速运动到点A，图2是点P运动时，线段BP的长度y随时间x变化的关系图象，其中M是曲线部分的最低点，则△ABC的面积是（ ） A. 12 B. 24 C. 36 D. 48 8. 若不等式组无解，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，菱形的对角线相交于点，过点作于点，连接，若，，则菱形的面积为（ ） A. B. C. D. 10. 如图所示，已知二次函数的图象与轴交于两点，与轴交于点，，对称轴为直线，则下列结论：①；②；③；④是关于的一元二次方程的一个根．其中正确的有（　　） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二．填空题 11. 冠状病毒的直径约为80～120纳米，1纳米＝米，110纳米用科学记数法表示________． 12. 已知一元二次方程的两根为、，则_____． 13. 在一个不透明的袋中装有若干个红球，为了估计袋中红球的个数，小明在袋中放入3个黑球（每个球除颜色外其余都与红球相同），摇匀后每次随机从袋中摸出一个球，记下颜色后放回袋中，通过大量重复摸球试验后发现，摸到红球的频率稳定在0.85左右，则袋中红球约有_____个． 14. 如图，AB是半圆O的直径，AC＝AD，OC＝2，∠CAB＝30°，E为线段CD上一个动点，连接OE，则OE的最小值为___． 15. 如图，将一把矩形直尺和一块等腰直角三角板摆放在平面直角坐标系中，在x轴上，点G与点A重合，点F在上，交于点M，反比例函数的图象恰好经过点F，M，若直尺的宽，三角板的斜边，则___． 16. 如图，小明在P处测得A处的俯角为15°，B处的俯角为60°，PB＝30m．若斜面AB坡度为，则斜坡AB的长是______m． 三．解答题 17. （1）计算：（）﹣2﹣|﹣3|+2tan45°﹣（2020﹣π）0； （2）先化简，再求值：（﹣a+1）÷，其中a从﹣1，2，3中取一个你认为合适的数代入求值． 18. 某校对九年级学生进行一次综合文科中考模拟测试，成绩x分（x为整数）评定为优秀、良好、合格、不合格四个等级（优秀、良好、合格、不合格分别用A、B、C、D表示），A等级：90≤x≤100，B等级：80≤x＜90，C等级：60≤x＜80，D等级：0≤x＜60．该校随机抽取了一部分学生的成绩进行调查，并绘制成如图不完整的统计图表． 等级 频数（人数） 频率 A a 20% B 16 40% C b m D 4 10% 请你根据统计图表提供的信息解答下列问题： （1）上表中的a　 　，b＝　 　，m＝　 　． （2）本次调查共抽取了多少名学生？请补全条形图． （3）若从D等级的4名学生中抽取两名学生进行问卷调查，请用画树状图或列表的方法求抽取的两名学生恰好是一男一女的概率． 19. 在边长为1的正方形网格中如图所示： （1）以点C为位似中心，作出的位似图形，使其位似比为．且位于点C的异侧，并表示出的坐标； （2）作出绕点C顺时针旋转后的图形，并表示出的坐标； （3）在（2）的条件下求出点B经过的路径长（结果保留π）． 20. 如图，某无人机爱好者在一小区外放飞无人机，当无人机飞行到一定高度D点处时，无人机测得操控者A的俯角为，测得小区楼房顶端点C处的俯角为．已知操控者A和小区楼房之间的距离为45米，小区楼房的高度为米． （1）求此时无人机的高度； （2）在（1）条件下，若无人机保持现有高度沿平行于的方向，并以5米/秒的速度继续向前匀速飞行．问：经过多少秒时，无人机刚好离开了操控者的视线？（假定点A，B，C，D都在同一平面内．参考数据：，．计算结果保留根号） 21. 如图，一次函数的图像与反比例函数的图像相交，其中一个交点的横坐标是2． （1）求反比例函数的表达式； （2）将一次函数的图像向下平移2个单位，求平移后的图像与反比例函数图像的交点坐标； （3）直接写出一个一次函数，使其过点，且与反比例函数的图像没有公共点． 22. 如图，在平行四边形ABCD中，∠D＝60°，对角线AC⊥BC，⊙O经过点A，B，与AC交于点M，连接AO并延长与⊙O交于点F，与CB的延长线交于点E，AB＝EB． （1）求证：EC是⊙O的切线； （2）若AD＝2，求的长（结果保留π）． 23. 如图，在矩形ABCD中，AD＝kAB（k＞0），点E是线段CB延长线上的一个动点，连接AE，过点A作AF⊥AE交射线DC于点F． （1）如图1，若k＝1，则AF与AE之间的数量关系是　　； （2）如图2，若k≠1，试判断AF与AE之间的数量关系，写出结论并证明；（用含k的式子表示） （3）若AD＝2AB＝4，连接BD交AF于点G，连接EG，当CF＝1时，求EG的长． 24. 如图，抛物线与x轴交于A（2，0），B（-1，0）两点，与y轴交于点C，连接BC，D为第一象限内抛物线上一动点，过点D作DE⊥OA于点E，与AC交于点F，设点D的横坐标为m． （1）求抛物线的表达式； （2）当线段DF的长度最大时，求D点的坐标； （3）抛物线上是否存在点D，使得以点O，D，E为顶点的三角形与△BOC相似？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $