精品解析：2022年山东省枣庄市洪绪中学九年级中考数学考前适应性练习 (2)

洪绪中学九年级中考数学考前适应性练习 一．选择题 1. 下列根式中，与是同类二次根式的为（ ） A. ； B. ； C. ； D. . 2. 一副三角板如图就置，两三角板的斜边互相平行，每个三角板的直角顶点都在另一个三角板的斜边上，图中的度数为（ ） A. 45° B. 60° C. 75° D. 85° 3. 如图，从一个大正方形中截去面积为和的两个小正方形，若随机向大正方形内投一粒米，则米粒落在图中阴影部分的概率为（ ） A. B. C. D. 4. 以下历届冬奥会图标中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 5. 下列垃圾分类标识的图案既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在矩形中，，，以点A为圆心，长为半径画弧交于点，连接，则阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 7. 已知点，，都在反比例函数（a是常数）的图象上，且，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 8. 某商场准备改善原有楼梯的安全性能，把坡角由37°减至30°，已知原楼梯长为5米，调整后的楼梯会加长（　　）（参考数据：，） A. 6米 B. 3米 C. 2米 D. 1米 9. 如图，点A在反比例函数的图象上，过点A作轴，垂足为B，交反比例函数的图象于点C．P为y轴上一点，连接，．则的面积为（ ） A. 5 B. 6 C. 11 D. 12 10. 如图①，正方形中，，相交于点，是的中点，动点从点出发，沿着的路径以每秒1个单位长度的速度运动到点，在此过程中线段的长度随着运动时间的函数关系如图②所示，则的长为（ ） A. B. 4 C. D. 二．填空题 11. 函数中，自变量的取值范围是__________． 12. 如图，将周长为的沿方向平移个单位得到，则四边形的周长为_______ 13. 如图，在边长为2的正方形ABCD中，对角线AC的中点为O，分别以点A，C为圆心，以AO的长为半径画弧，分别与正方形的边相交．则图中的阴影部分的面积为__________．（结果保留） 14. 对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形，对角线交于点O．若，则__________． 15. 竖直上抛物体时，物体离地而的高度与运运动时间之间的关系可以近似地用公式表示，其中是物体抛出时高地面的高度，是物体抛出时的速度．某人将一个小球从距地面的高处以的速度竖直向上抛出，小球达到的离地面的最大高度为___m． 16. 下列图案均是用长度相同的小木棒按一定的规律拼搭而成：拼搭第1个图案需4根小木棒，拼搭第2个图案需10根小木棒，…，依次规律，拼搭第6个图案需小木棒______根． 三．解答题 17. 解分式方程：． 18. 2021年是中国共产党建党100周年华诞.“五一”后某校组织了八年级学生参加建党100周年知识竞赛，为了了解学生对党史知识的掌握情况，学校随机抽取了部分同学的成绩作为样本，把成绩按不及格、合格、良好、优秀四个等级分别进行统计，并绘制了如下不完整的条形统计图与扇形统计图： 请根据图中提供的信息解答下列问题： （1）根据给出的信息，将这两个统计图补充完整（不必写出计算过程）； （2）该校八年级有学生650人，请估计成绩未达到“良好”及以上的有多少人？ （3）“优秀”学生中有甲、乙、丙、丁四位同学表现突出，现从中派2人参加区级比赛，求抽到甲、乙两人的概率． 19. 如图，在矩形ABCD中，点E在边BC上，点F在BC的延长线上，且． 求证：（1）； （2）四边形AEFD是平行四边形． 20. 某市垃圾处理厂利用焚烧垃圾产生的热能发电，有，两个焚烧妒，每个焚烧炉每天焚烧垃圾均为100吨，每焚烧一吨垃圾，焚烧炉比焚烧炉多发电50度，，焚烧炉每天共发电55000度． （1）求焚烧一吨垃圾，焚烧炉和焚烧炉各发电多少度？ （2）若经过改进工艺，与改进工艺之前相比每焚烧一吨垃圾，焚烧炉和焚烧炉的发电量分别增加%和%，则，焚烧炉每天共发电至少增加%，求的最小值． 21. 如图1，是我区某村修建于清光绪年间的一座城门，某节假日随父亲回家的张菲同学想利用所学的数学知识测量此城门的高度． 如图2，她站在城门前方点D处，正好看到了城门顶端A点在地面小水潭（近似看成平面镜）里的倒影点C，此时他测得DC的长度为1米；接着她抬起头，目测城门顶端A点的仰角∠α的度数为39°，已知张菲同学的眼睛到地面的距离为1.5米，请你计算城门高度AB（结果精确到1米，sin39°≈0.63，cos39°≈0.78，tan39°≈0.81）． 22. 如图，一次函数＝k x ＋ b （k≠0）与反比例函数（m≠0）的图象交于点A（1，2）和B（－2，a），与y轴交于点M． （1）求一次函数和反比例函数的解析式； （2）在y轴上取一点N，当△AMN的面积为3时，求点N的坐标； （3）将直线向下平移2个单位后得到直线y3，当函数值时，求x的取值范围． 23. 在一个三角形中，如果有两个内角与满足，那么我们称这样的三角形为“亚直角三角形”．根据这个定义，显然，则这个三角形的第三个角为，这就是说“亚直角三角形”是特殊的钝角三角形． （1）【尝试运用】:若某三角形是“亚直角三角形”，且一个内角为，请求出它的两个锐角的度数； （2）【尝试运用】:如图1，在中，，，，点在边上，连接，且不平分．若是“亚直角三角形”，求线段的长； （3）【素养提升】:如图2，在钝角中，，，，的面积为15，求证：是“亚直角三角形”． 24. 如图，抛物线交轴于，两点，交轴于点，动点在抛物线的对称轴上． （1）求抛物线的关系式； （2）当以，，为顶点的三角形周长最小时，求点的坐标及的周长； （3）若点是直线上方抛物线上一点，当为直角三角形时，求出点的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 洪绪中学九年级中考数学考前适应性练习 一．选择题 1. 下列根式中，与是同类二次根式的为（ ） A. ； B. ； C. ； D. . 【答案】B 【解析】 【分析】把A、B、D选项化为最简二次根式，然后根据同类二次根式的定义判断即可． 【详解】A．与不是同类二次根式，故本选项错误； B． 与是同类二次根式，故本选项正确； C．与不是同类二次根式，故本选项错误； D．与不是同类二次根式，故本选项错误． 故选B． 【点睛】本题考查了同类二次根式的定义：化成最简二次根式后，被开方数相同，这样的二次根式叫做同类二次根式． 2. 一副三角板如图就置，两三角板的斜边互相平行，每个三角板的直角顶点都在另一个三角板的斜边上，图中的度数为（ ） A. 45° B. 60° C. 75° D. 85° 【答案】C 【解析】 【分析】过顶点M作MN平行于直角三角形的斜边，则根据两直线平行内错角相等即可求得的度数． 【详解】如图，设两块三角板分别为△ABC、△DEF，DE与BC的交点为M，过点M作MN∥AB 则∠BMN=∠B=30゜ ∵AB∥CD，MN∥AB ∴MN∥CD ∴∠NME=∠E=45゜ ∴∠α=∠BMN+∠NME=30゜+45゜=75゜ 故选：C． 【点睛】本题考查了平行线的两个性质：两直线平行内错角相等，平行于同一条直线的两条直线平行，作平行线是难点，平行线性质的应用是关键． 3. 如图，从一个大正方形中截去面积为和的两个小正方形，若随机向大正方形内投一粒米，则米粒落在图中阴影部分的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】求出阴影部分的面积占大正方形的份数即可判断． 【详解】解：∵两个小正方形的面积为和， ∴两个小正方形的边长为和， ∴大正方形的边长为， ∴大正方形的面积为， ∴阴影部分的面积为， ∴米粒落在图中阴影部分的概率为， 故选：A． 【点睛】本题主要考查了几何概率，熟练掌握正方形边长与面积的关系是解题关键． 4. 以下历届冬奥会图标中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据中心对称图形的定义判断即可． 【详解】A不是中心对称图形， 故A不符合题意； B不是中心对称图形， 故B不符合题意； C是中心对称图形， 故C符合题意； D不是中心对称图形， 故D不符合题意； 故选C． 【点睛】本题考查了中心对称图形即将一个图形沿着某点旋转180°后与原图形完全重合，正确理解定义是解题的关键． 5. 下列垃圾分类标识的图案既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念逐项判断即可． 【详解】A．不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不符合题意； B．是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意； C．是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项符合题意； D．不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不符合题意， 故选：C． 【点睛】本题考查轴对称图形、中心对称图形，理解轴对称图形和中心对称图形是解答的关键． 6. 如图，在矩形中，，，以点A为圆心，长为半径画弧交于点，连接，则阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用矩形的性质求出，利用余弦求出BE，利用阴影部分的面积，求出各部分面积作差即可． 【详解】解：四边形是矩形，， ，， ， ， ，， ， 阴影部分的面积 ． 故选：． 【点睛】本题考查矩形性质，余弦，扇形面积，解题的关键是熟练掌握矩形性质和利用余弦解三角形，理解阴影部分的面积． 7. 已知点，，都在反比例函数（a是常数）的图象上，且，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据，判断反比例函数的图象所在位置，结合图象分析函数增减性，利用函数增减性比较自变量的大小． 【详解】解：∵， ∴反比例函数（a是常数）的图象在一、三象限， 如图所示： 当时，， 故选：D． 【点睛】本题考查反比例函数的自变量大小的比较，解题的关键是结合图象，根据反比例函数的增减性分析自变量的大小． 8. 某商场准备改善原有楼梯的安全性能，把坡角由37°减至30°，已知原楼梯长为5米，调整后的楼梯会加长（　　）（参考数据：，） A. 6米 B. 3米 C. 2米 D. 1米 【答案】D 【解析】 【分析】根据正弦三角函数的定义先求出楼梯的高度，然后因为楼梯的高度不变，再根据正弦三角函数的定义求出调整后楼梯的长度，则可调整后的楼梯的长度变化． 【详解】由题意得：sin37°=， ∴h=5×=3， ∴调整后的楼梯长==6， ∴调整后的楼梯会加长：6-5=1m． 故答案为：D． 【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用，坡度坡角问题，掌握坡角的概念，熟记三角函数的定义是解题的关键． 9. 如图，点A在反比例函数的图象上，过点A作轴，垂足为B，交反比例函数的图象于点C．P为y轴上一点，连接，．则的面积为（ ） A. 5 B. 6 C. 11 D. 12 【答案】B 【解析】 【分析】连接OA和OC，利用三角形面积可得△APC的面积即为△AOC的面积，再结合反比例函数中系数k的意义，利用S△AOC=S△OAB-S△OBC，可得结果. 【详解】解：连接OA和OC， ∵点P在y轴上，则△AOC和△APC面积相等， ∵A在上，C在上，AB⊥x轴， ∴S△AOC=S△OAB-S△OBC=6， ∴△APC的面积为6， 故选B. 【点睛】本题考查了反比例函数的性质，熟练掌握反比例函数的系数k的几何意义是解题的关键. 10. 如图①，正方形中，，相交于点，是的中点，动点从点出发，沿着的路径以每秒1个单位长度的速度运动到点，在此过程中线段的长度随着运动时间的函数关系如图②所示，则的长为（ ） A. B. 4 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】如图（见解析），先根据函数图象可知，再设正方形的边长为，从而可得，然后根据线段中点的定义可得，最后在中，利用勾股定理可求出a的值，由此即可得出答案． 【详解】如图，连接AE 由函数图象可知， 设正方形ABCD的边长为，则 四边形ABCD是正方形 ， 是的中点 则在，由勾股定理得： 因此有 解得 则 故选：A． 【点睛】本题考查了正方形的性质、勾股定理、函数图象等知识点，根据函数图象得出是解题关键． 二．填空题 11. 函数中，自变量的取值范围是__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了分式有意义的条件和求函数自变量的范围，明确分式的分母不为0是解题的关键．根据分式的分母不能为零，得，可得答案． 【详解】解：当时，有意义， ， 解得． 自变量x的取值范围是． 12. 如图，将周长为的沿方向平移个单位得到，则四边形的周长为_______ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查平移的性质，根据平移的性质可得，，将四边形的周长转化为的周长与、的和，即可求解． 【详解】解：由平移的性质得，，， 的周长为，  ， ， 四边形的周长       ． 13. 如图，在边长为2的正方形ABCD中，对角线AC的中点为O，分别以点A，C为圆心，以AO的长为半径画弧，分别与正方形的边相交．则图中的阴影部分的面积为__________．（结果保留） 【答案】 【解析】 【分析】根据图形可得，由正方形的性质可求得扇形的半径，利用扇形面积公式求出扇形的面积，即可求出阴影部分面积． 【详解】由图可知， ， ， ∵四边形ABCD是正方形，边长为2， ∴， ∵点O是AC的中点， ∴OA=， ∴, ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了求阴影部分面积，扇形面积公式，正方形的性质，解题的关键是观察图形得出． 14. 对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形，对角线交于点O．若，则__________． 【答案】34 【解析】 【分析】在和中，根据勾股定理得，进一步得，再根据，，然后根据等量代换即可解答． 【详解】解：∵， ∴， 在和中，根据勾股定理得：， ∴， ∵， ∴ ． 15. 竖直上抛物体时，物体离地而的高度与运运动时间之间的关系可以近似地用公式表示，其中是物体抛出时高地面的高度，是物体抛出时的速度．某人将一个小球从距地面的高处以的速度竖直向上抛出，小球达到的离地面的最大高度为___m． 【答案】21.5 【解析】 【分析】根据题意可得到h关于t的函数关系式，再将其化为顶点式，按照二次函数的性质可得答案． 【详解】解：由题意得： h＝﹣5t2+20t+1.5 ＝﹣5（t﹣2）2+21.5， ∵a＝﹣5＜0， ∴当t＝2时，h取得最大值，此时h＝21.5． 故答案为：21.5． 【点睛】本题考查了二次函数在实际问题中的应用，明确题意并熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 16. 下列图案均是用长度相同的小木棒按一定的规律拼搭而成：拼搭第1个图案需4根小木棒，拼搭第2个图案需10根小木棒，…，依次规律，拼搭第6个图案需小木棒______根． 【答案】54 【解析】 【分析】由题意，分别求出前面几个的小木棒数量，然后得到数量的规律，再求出第6个图形的数量即可． 【详解】解：根据题意可知： 第1个图案需4根小木棒，， 第2个图案需10根小木棒，， 第3个图案需18根小木棒，， ……， 第n个图案需根小木棒， 则第6个图案需：（根）． 三．解答题 17. 解分式方程：． 【答案】 【解析】 【详解】解：方程两边同时乘最简公分母得：， 整理得， 解得，， 检验：把代入最简公分母得：， ∴是原方程的增根， 把代入最简公分母得：， ∴是原方程的解． 18. 2021年是中国共产党建党100周年华诞.“五一”后某校组织了八年级学生参加建党100周年知识竞赛，为了了解学生对党史知识的掌握情况，学校随机抽取了部分同学的成绩作为样本，把成绩按不及格、合格、良好、优秀四个等级分别进行统计，并绘制了如下不完整的条形统计图与扇形统计图： 请根据图中提供的信息解答下列问题： （1）根据给出的信息，将这两个统计图补充完整（不必写出计算过程）； （2）该校八年级有学生650人，请估计成绩未达到“良好”及以上的有多少人？ （3）“优秀”学生中有甲、乙、丙、丁四位同学表现突出，现从中派2人参加区级比赛，求抽到甲、乙两人的概率． 【答案】（1）补全统计图如图所示： （2）成绩未达到“良好”及以上的有195人；（3）抽到甲、乙两人的概率为． 【解析】 【分析】（1）由统计图可得不及格的人数为2人，所占百分比为5％，则可求出随机抽取的总人数，然后问题可求解； （2）由（1）可直接列式进行求解即可； （3）由题意可画出树状图，然后再进行求解概率即可． 【详解】解：（1）由题意得： 2÷5％=40人， ∴“良好”的人数为40-2-10-12=16人， “优秀”所占百分比为12÷40×100％=30％，“合格”所占百分比为10÷40×100％=25％， 图略； （2）由（1）可得： 650×（5％+25％）=195（人）； 答：成绩未达到“良好”及以上的有195人 （3）由题意可得： ∴抽到甲、乙两人的概率为． 【点睛】本题主要考查统计与调查及概率，熟练掌握统计与调查及概率的求法是解题的关键． 19. 如图，在矩形ABCD中，点E在边BC上，点F在BC的延长线上，且． 求证：（1）； （2）四边形AEFD是平行四边形． 【答案】 （1）证明：∵四边形ABCD是矩形， ∴AB=DC，∠B=∠DCB=90°， ∴∠DCF=90°， 在△ABE和△DCF中， ， ∴（SAS）． （2）证明：∵四边形ABCD是矩形， ∴AD∥BC，AD=BC， 即AD=BE+EC， ∵BE=CF， ∴AD=CF+EC， 即AD=EF， ∵点F在BC的延长线上， ∴AD∥EF， ∴四边形AEFD是平行四边形． 【解析】 【分析】（1）根据矩形的性质可得AB=DC，∠B=∠DCF=90°，根据全等三角形的判定即可得到； （2）根据矩形的性质可得AD∥BC，AD=BC，根据可得AD=EF，根据平行四边形的判定即可得到四边形AEFD是平行四边形． 【详解】证明：（1）略 （2）略 【点睛】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定，平行四边形的判定．熟记各个图形的性质和判定是解题的关键． 20. 某市垃圾处理厂利用焚烧垃圾产生的热能发电，有，两个焚烧妒，每个焚烧炉每天焚烧垃圾均为100吨，每焚烧一吨垃圾，焚烧炉比焚烧炉多发电50度，，焚烧炉每天共发电55000度． （1）求焚烧一吨垃圾，焚烧炉和焚烧炉各发电多少度？ （2）若经过改进工艺，与改进工艺之前相比每焚烧一吨垃圾，焚烧炉和焚烧炉的发电量分别增加%和%，则，焚烧炉每天共发电至少增加%，求的最小值． 【答案】（1）焚烧一吨垃圾，焚烧炉和焚烧炉各发电300、250度；（2）a最小值为11 【解析】 【分析】（1）设B焚烧炉每吨发电x度，则A焚烧炉每吨发电（x+50）度，根据题意列出方程，求解即可． （2）根据（1）中的数据，表示出改进后的发电量，列出不等式并求解即可． 【详解】（1）设B焚烧炉每吨发电x度，则A焚烧炉每吨发电（x+50）度， 100（x+50）+100x=55000， 解方程得x=250， 则B焚烧炉每吨发电250度，则A焚烧炉每吨发电300度； （2）由（1）可知改进后A、B发电量分别为300（1+%），250（1+%）， 根据题意列式：100×300（1+%）+100×250（1+%）≥55000+55000×%， 解不等式得：a≥11， 则a的最小值为11． 【点睛】本题主要考查了一元一次方程解决实际问题、一次不等式求最值等相关知识点，理解题意的等量关系是解决问题的关键． 21. 如图1，是我区某村修建于清光绪年间的一座城门，某节假日随父亲回家的张菲同学想利用所学的数学知识测量此城门的高度． 如图2，她站在城门前方点D处，正好看到了城门顶端A点在地面小水潭（近似看成平面镜）里的倒影点C，此时他测得DC的长度为1米；接着她抬起头，目测城门顶端A点的仰角∠α的度数为39°，已知张菲同学的眼睛到地面的距离为1.5米，请你计算城门高度AB（结果精确到1米，sin39°≈0.63，cos39°≈0.78，tan39°≈0.81）． 【答案】2米 【解析】 【分析】作EF⊥AB于F，则EF＝DB，BF＝DE＝1.5，证△CDE∽△CAB，得出，代入数值并化简得2AB＝3BC，设AB＝3x，则BC＝2x，EF＝DB＝CD＋BC＝1＋2x，AF＝AB﹣BF＝3x﹣1.5，由三角函数的定义得到＝0.81，解得x≈2，即可得到AB． 【详解】解：作EF⊥AB于F，如图， 则EF＝DB，BF＝DE＝1.5， 由题意得：∠DCE＝∠ACB，∠EDC＝∠ABC＝90°， ∴△CDE∽△CAB， ∴， 即， ∴2AB＝3BC， 设AB＝3x，BC＝2x， 则EF＝DB＝CD＋BC＝1＋2x，AF＝AB﹣BF＝3x﹣1.5， 在Rt△AEF中，tan∠AEF＝tan39°≈0.81＝， 即＝0.81， 解得：x≈2， ∴AB≈2. 答：算城门高度AB约2米． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，相似三角形的判定与性质，解题的关键是正确的构造直角三角形并选择正确的边角关系解直角三角形． 22. 如图，一次函数＝k x ＋ b （k≠0）与反比例函数（m≠0）的图象交于点A（1，2）和B（－2，a），与y轴交于点M． （1）求一次函数和反比例函数的解析式； （2）在y轴上取一点N，当△AMN的面积为3时，求点N的坐标； （3）将直线向下平移2个单位后得到直线y3，当函数值时，求x的取值范围． 【答案】（1）y1＝x＋1；；（2）N（0，7）或（0，－5）；（3）－2＜x＜－1或1＜x＜2 【解析】 【分析】（1）先用待定系数法求反比例函数解析式，再求出B点坐标，再求一次函数解析式即可； （2）根据面积求出MN长，再根据M点坐标求出N点坐标即可； （3）求出直线y3解析式，再求出它与反比例函数图象的交点坐标，根据图象，可直接写出结果． 【详解】解：（1）∵过点A（1，2）， ∴m＝1×2＝2， 即反比例函数：， 当x＝－2时，a＝－1，即B（－2，－1） y1＝kx＋b过A（1，2）和B（－2，－1） 代入得，解得， ∴一次函数解析式为y1＝x＋1， （2）当x＝0时，代入y＝x＋1中得，y＝1，即M（0，1） ∵S△AMN＝1 ∴MN＝6， ∴N（0，7）或（0，－5）， （3）如图，设y2与y3的图像交于C，D两点 ∵y1向下平移两个单位得y3且y1＝x＋1 ∴y3＝x－1， 联立得解得或 ∴C（－1，－2），D（2，1）， 在A、D两点之间或B、C两点之间时，y1＞y2＞y3， ∴－2＜x＜－1或1＜x＜2． 【点睛】本题考查了一次函数和反比例函数综合，解题关键是熟练运用待定系数法求出解析式，利用数形结合思想解决问题． 23. 在一个三角形中，如果有两个内角与满足，那么我们称这样的三角形为“亚直角三角形”．根据这个定义，显然，则这个三角形的第三个角为，这就是说“亚直角三角形”是特殊的钝角三角形． （1）【尝试运用】:若某三角形是“亚直角三角形”，且一个内角为，请求出它的两个锐角的度数； （2）【尝试运用】:如图1，在中，，，，点在边上，连接，且不平分．若是“亚直角三角形”，求线段的长； （3）【素养提升】:如图2，在钝角中，，，，的面积为15，求证：是“亚直角三角形”． 【答案】（1）， （2） （3）证明见详解 【解析】 【分析】（1）根据方程组求出α，β即可． （2）证明△ACD∽△BCA，推出，可得结论． （3）过点A作AD⊥BC，交CB的延长线于点D．利用三角形面积求出AD，再利用勾股定理求出BD，再证明△ADB∽△CAD，可得结论． 【小问1详解】 解：由题意，， 解得， ∴它的两个锐角的度数为，． 【小问2详解】 解：∵， ∴， 又∵， ∴， ∵是“亚直角三角形”， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，． 【小问3详解】 证明：过点作，交的延长线于点． ∵，， ∴， 在中， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴是“亚直角三角形”． 【点睛】本题属于三角形综合题，考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理，“亚直角三角形”的定义等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，属于中考常考题型． 24. 如图，抛物线交轴于，两点，交轴于点，动点在抛物线的对称轴上． （1）求抛物线的关系式； （2）当以，，为顶点的三角形周长最小时，求点的坐标及的周长； （3）若点是直线上方抛物线上一点，当为直角三角形时，求出点的坐标． 【答案】（1） （2）;周长 （3）点的坐标为或 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法即可求出a，b，即可求出抛物线的关系式； （2）当最小时，的周长最小．点、关于对称轴对称，连接交对称轴于点，则点为所求的点．再求出的周长最小值以及点P的坐标； （3）设的坐标为，分当时及当时两种情况进行讨论，分别求出点Q的坐标． 【小问1详解】 ∵抛物线交轴于，两点， ∴，解得：， ∴该抛物线的解析式为； 【小问2详解】 在中，令，得， ∴， ∵的周长为：，是定值， ∴当最小时，的周长最小． 点、关于对称轴对称，连接交对称轴于点，则点为所求的点． ∵， ∴周长的最小值是， ∵，，， ∴，． ∴周长的最小值是：． 抛物线对称轴为直线， 设直线的解析式为，将，代入，得： ，解得：， ∴直线的解析式为， ∴； 【小问3详解】 设的坐标为，如图①，当时，过点作轴于点， 则，， ，， ∴， ∴， ∴， ∴， 即， 解得：（舍）或， ∴点的坐标为； 如图②，当时，过点作轴于点，过点作，交的延长线于点， 则，， ，， ∴， ∴， ∴， ∴， 即， 解得：或（舍）， ∴点的坐标为； 当时，显然不成立； 综上所述，点的坐标为或． 【点睛】本题考查二次函数综合题、一次函数、最小值问题、直角三角形的性质、相似三角形的判定与性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会利用对称解决最短问题，学会分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $