专题09 乘法公式重难点题型汇编(八大题型）-2025-2026学年八年级数学上册高频考点题型归纳与满分必练（人教版新教材）

专题09 乘法公式重难点题型汇编 【题型1: 平方差公式运算】.................................................................................................1 【题型2:平方差公式的几何背景】........................................................................................2 【题型3:完全平方公式】.......................................................................................................4 【题型4: 完全平方公式下得几何背景】.............................................................................5 【题型5: 完全平方公式的逆运算】......................................................................................7 【题型6 求完全平方式中的字母系数】...............................................................................8 【题型7 整式的混合运算】..................................................................................................8 【题型8 完全平方公式与不等式之最值问题】...................................................................9 【题型1: 平方差公式运算】 1.下列各式中，能用平方差公式计算的是（    ） A． B． C． D． 2.计算 的结果是（    ） A． B． C． D． 3.下列整式的乘法中，不能用平方差公式计算的是（   ） A． B． C． D． 4.下列四个式子中，能用平方差公式计算的是（   ） A． B． C． D． 【题型2:平方差公式的几何背景】 1.如图1，边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形，把图1中的阴影部分拼成一个长方形（如图2所示） (1)比较左、右两图的阴影部分面积，可以得到公式______． (2)请应用这个公式完成下列各题： ①已知，，求的值； ②计算： 2.乘法公式的探究与应用： (1)如图甲，边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形，请你写出阴影部分的面积是_______． (2)小颗将阴影部分剪下来，重新拼成一个长方形，如图乙，则长方形的面积是_______（写成多项式乘法的形式）． (3)比较甲乙两图阴影部分的面积，可以得到恒等式_______． (4)若，求的值． 3.如图1，边长为a的大正方形有一个边长为b的小正方形，把图1中的阴影部分拼成一个长方形（如图2所示） (1)比较左、右两图的阴影部分面积，可以得到公式 ． (2)请应用这个公式完成下列各题： ①已知  ，，则 ． ②计算：． ③计算： 4.【探究】如图①，边长为的大正方形中有一个边长为b的小正方形，把图①中的阴影部分拼成一个长方形（如图②所示），通过观察比较图②与图①中的阴影部分面积，可以得到乘法公式___________． （用含a，b的等式表示） 【应用】请应用这个公式完成下列各题： （1）已知，，则的值为___________． （2）计算：． 【扩展】计算： 【题型3:完全平方公式】 1．（2025七年级下·全国·专题练习）计算的结果等于（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·云南昆明·期中） ． 3．（24-25八年级上·山东滨州·期中）已知，，则的值为 ． 4．（24-25九年级上·北京朝阳·期末）若代数式可以配方为，则 ． 5．（24-25八年级上·甘肃张掖·阶段练习）化简：． 6．（24-25八年级上·甘肃张掖·阶段练习）运用乘法公式计算：． 17．（2025七年级下·全国·专题练习）已知，求下列代数式的值： (1)； (2)． 7．（2025七年级下·全国·专题练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【题型4: 完全平方公式下的几何背景】. 1.如图是由4个长为m，宽为n的长方形纸片围成的大正方形． (1)通过计算大正方形的面积写出一个代数恒等式：______． (2)若长方形纸片的面积为12，且长比宽长4，求长方形的周长． 2.如图1是一个长为b、宽为a的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成一个“回形”正方形（如图2）． (1)观察图2请你写出之间的等量关系是______________． (2)根据（1）中的结论，若，求的值． (3)变式应用：若，求的值． 3.为了让学生们能更直观地理解乘法公式，李老师上了一节拼图实验课，她用四张长为，宽为的小长方形（如图①所示），拼成了一个边长为的正方形（如图②所示），观察图形，回答下列问题： (1)图②中，阴影部分的面积是　　． (2)观察图①②，请你写出三个式子：，，之间的关系：　　． (3)应用：已知，，求，． 4.现有长与宽分别为的小长方形若干个，用两个相同的小长方形拼成图1的图形，用四个相同的小长方形拼成图2的图形，请认真观察图形，解答下列问题： (1)根据图中条件，请写出图1和图2所验证的关于的关系式；（用含的代数式表示出来）； 图1表示：________；图2表示：________． (2)根据上面的解题思路与方法，解决下列问题： ①若，求的值； ②如果，求的值． 5．（24-25九年级上·河北廊坊·期中）完全平方公式：经过适当变形后可解决很多的数学问题． 例如：若，，求的值． 解：∵，，∴，， ∴． 【探究】（1）若，，求的值； 【延伸】（2）若，求的值； 【应用】（3）如图，点C在线段上，以，为边向两边作正方形，若，两正方形的面积之和，求阴影部分的面积． 【题型5: 完全平方公式的逆运算】 1．已知，．求： (1)的值； (2)的值． 2．已知，．求： (1)的值； (2)的值． 3．已知，．求： (1)； (2)的值． 【题型6 求完全平方式中的字母系数】 1.若关于x的二次三项式是完全平方式，则常数k的值为（    ） A．12 B．或12 C．36 D．或36 2.若可以用完全平方公式进行因式分解，则m的值为（    ） A．5 B．－5或7 C．－7 D．－7或5 3.如果多项式是一个完全平方式，那么m的值是（    ） A．36或 B．13 C．12 D．12或 4.若是完全平方式，则的值为（   ） A．7或 B．或5 C．11或 D．或13 【题型7 整式的混合运算】 1．（24-25八年级上·吉林松原·阶段练习）先化简，再求值  ，其中， 2．（2023·吉林松原·模拟预测）先化简，再求值：，其中，． 3．（24-25八年级上·青海海东·阶段练习）先化简，再求值：，其中． 4．（24-25八年级上·福建泉州·期中）先化简，再求值：，其中，． 5．（24-25七年级下·全国·课后作业）先化简，再求值：，其中． 【题型8 完全平方公式与不等式之最值问题】 1．（24-25八年级上·北京门头沟·期末）阅读下列材料： 利用完全平方公式，可以把多项式（）变形为的形式，进而解决多项式的最大值或最小值问题． 例如：①, ∵,      ∴. ∴当时，多项式的最小值为； ②, ∵,     ∴. ∴当时，多项式的最大值为． 根据上述材料解决下列问题： (1)求多项式的最小值，并求出相应的x的值； (2)如果多项式的最小值是，那么p的值为________； (3)如图，某学校打算用20米长的篱笆围成一个长方形的花坛，如果设花坛的一边AB = x米，那么当x =________时，该花坛的面积最大，最大面积是________平方米． 2．（24-25九年级上·江苏扬州·期中）利用我们学过的完全平方公式及不等式知识能解决代数式一些问题．观察下列式子： ①， ； ； 代数式有最小值； ②， ； ； 代数式有最大值4； 阅读上述材料并完成下列问题： (1)代数式的最小值为______；代数式的最大值为______； (2)求代数式的最小值； (3)如图，在四边形中，对角线、相交于点，且，若，求四边形面积的最大值． 3．（22-23八年级上·山东东营·期中）上数学课时，王老师在讲完乘法公式的多种运用后，要求同学们运用所学知识解答：求代数式的最小值？同学们经过交流、讨论，最后总结出如下解答方法： 解： ， 当时，的值最小，最小值是0， ． 当时，的值最小，最小值是1， 的最小值是1． 请你根据上述方法，解答下列各题 (1)知识再现：当__________时，代数式有最小值是 ； (2)知识运用：若，判断y有最大值还是有最小值，并求x为何值时，y的最值． (3)知识拓展：若，求的最小值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题09 乘法公式重难点题型汇编 【题型1: 平方差公式运算】.................................................................................................1 【题型2:平方差公式的几何背景】........................................................................................3 【题型3:完全平方公式】......................................................................................................7 【题型4: 完全平方公式下得几何背景】..............................................................................11 【题型5: 完全平方公式的逆运算】......................................................................................16 【题型6 求完全平方式中的字母系数】................................................................................18 【题型7 整式的混合运算】....................................................................................................20 【题型8 完全平方公式与不等式之最值问题】...................................................................22 【题型1: 平方差公式运算】 1.下列各式中，能用平方差公式计算的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查平方差公式，，其特点是：①两个二项式相乘，②有一项相同，另一项互为相反数，③a和b既可以代表单项式，也可以代表多项式．熟记公式结构是解题的关键． 根据平方差公式的特点逐项分析即可． 【详解】解：A. 中没有相同的项，故不能用平方差公式计算； B. 中没有相反的项，故不能用平方差公式计算； C. 中没有相同的项，故不能用平方差公式计算； D. ，能用平方差公式计算； 故选：D． 2.计算 的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平方差公式的应用．利用平方差公式直接计算． 【详解】解：∵ ， 其中，， ∴． 故选：A． 3.下列整式的乘法中，不能用平方差公式计算的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了平方差公式，熟知平方差公式是解题的关键． 根据平方差公式逐项分析即可． 【详解】解：A、，能用平方差公式计算，故不符合题意； B、，能用平方差公式计算，故不符合题意； C、，不符合平方差公式结构特征，不能用平方差公式计算，故符合题意； D、，能用平方差公式计算，故不符合题意； 故选：C． 4.下列四个式子中，能用平方差公式计算的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了平方差公式，熟知平方差公式的结构：是解题的关键，根据平方差公式的特点逐项判断即可． 【详解】A．，不能用平方差公式计算，不符合题意； B．，不能用平方差公式计算，不符合题意； C．，可以用平方差公式计算，符合题意； D．，不能用平方差公式计算，不符合题意； 故选：C． 【题型2:平方差公式的几何背景】 1.如图1，边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形，把图1中的阴影部分拼成一个长方形（如图2所示） (1)比较左、右两图的阴影部分面积，可以得到公式______． (2)请应用这个公式完成下列各题： ①已知，，求的值； ②计算： 【答案】(1) (2)①3；②4 【分析】本题主要考查了平方差公式的几何背景及其应用与拓展，计算具有一定的难度，属于中档题． （1）分别求出两个图中阴影部分面积，可得公式； （2）①根据平方差公式，已知代入即可求出答案；②将变形为，然后利用平方差公式求解即可； 【详解】（1）解：由图1可得，阴影部分的面积是， 由图2可得，阴影部分的宽是，长是，面积是， 故答案为：； （2）①， ， ， ， ； ② 2.乘法公式的探究与应用： (1)如图甲，边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形，请你写出阴影部分的面积是_______． (2)小颗将阴影部分剪下来，重新拼成一个长方形，如图乙，则长方形的面积是_______（写成多项式乘法的形式）． (3)比较甲乙两图阴影部分的面积，可以得到恒等式_______． (4)若，求的值． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查平方差公式的几何背景及其在简算中和代数式求值中的应用，熟悉公式及理解情景是解题的关键． （1）由图形可知长和宽的值，再根据正方形面积公式可得答案； （2）根据长方形面积公式即可得答案； （3）由（1）（2）可直接得出答案； （4）先将左边用平方差公式展开，再将代入可得答案． 【详解】（1） （2） （3） （4） ， ． 3.如图1，边长为a的大正方形有一个边长为b的小正方形，把图1中的阴影部分拼成一个长方形（如图2所示） (1)比较左、右两图的阴影部分面积，可以得到公式 ． (2)请应用这个公式完成下列各题： ①已知  ，，则 ． ②计算：． ③计算： 【答案】(1) (2)①；②4；③ 【分析】本题主要考查了平方差公式的几何背景及其应用与拓展，计算具有一定的难度，属于中档题． （1）分别求出两个图中阴影部分面积，可得公式； （2）①根据平方差公式，，已知代入即可求出答案； ②将变形为，然后利用平方差公式求解即可； ③先利用平方差公式变形，再约分即可得到答案． 【详解】（1）解：如图1，大正方形面积，小正方形面积， 阴影部分面积大正方形面积小正方形面积， 如图2，长方形的宽，长方形的长， 长方形的面积， 由拼接可知：阴影部分面积相等，可以得到公式； （2）解：①，， ； ② ； ③ ． 4.【探究】如图①，边长为的大正方形中有一个边长为b的小正方形，把图①中的阴影部分拼成一个长方形（如图②所示），通过观察比较图②与图①中的阴影部分面积，可以得到乘法公式___________． （用含a，b的等式表示） 【应用】请应用这个公式完成下列各题： （1）已知，，则的值为___________． （2）计算：． 【扩展】计算： 【答案】【探究】【应用】（1）3，（2）；【扩展】 【分析】本题主要考查了平方差公式，解题的关键是掌握平方差公式的灵活应用． 探究：利用图形的面积得出平方差公式； 应用：（1）利用平方差公式进行求解即可； （2）利用平方差公式进行求解即可； 扩展：先利用平方差公式进行整理，再进行计算即可． 【详解】解：【探究】， 故答案为：； 【应用】（1）由得，， 即， 将代入上式得，； 故答案为：3； （2）原式 ； 【扩展】 ． 【题型3:完全平方公式】 1．（2025七年级下·全国·专题练习）计算的结果等于（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了完全平方公式，熟记完全平方公式是解题关键．利用完全平方公式计算即可得． 【详解】解： ， 故选：C． 2．（24-25八年级上·云南昆明·期中） ． 【答案】 【分析】本题考查了完全平方公式，解题的关键是掌握，进行解答，即可． 【详解】解：． 故答案为：． 3．（24-25八年级上·山东滨州·期中）已知，，则的值为 ． 【答案】26 【分析】此题考查了完全平方公式，正确掌握完全平方公式是解题的关键．利用完全平方公式展开然后代入求解即可． 【详解】∵，， ∴ ． 故答案为：26． 4．（24-25九年级上·北京朝阳·期末）若代数式可以配方为，则 ． 【答案】 【分析】本题考查的是配方法的应用，利用配方法原式变形，根据题意分别求出a、b，计算即可． 【详解】解：， 由题意得：，， ，， ， 故答案为：． 5．（24-25八年级上·甘肃张掖·阶段练习）化简：． 【答案】 【分析】本题主要考查了整式的混合运算，利用完全平方公式，平方差公式进行计算，即可得出结果． 【详解】解： ． 6．（24-25八年级上·甘肃张掖·阶段练习）运用乘法公式计算：． 【答案】400 【分析】本题考查完全平方公式知识点，解题的关键是将原式变形为完全平方公式的形式． 观察原式发现它符合完全平方公式的形式，通过对应找出a，b的值，再代入公式计算． 【详解】解： ． 17．（2025七年级下·全国·专题练习）已知，求下列代数式的值： (1)； (2)． 【答案】(1)8 (2)0 【分析】本题考查的是利用完全平方公式求解代数式的值； （1）把代入，再计算即可； （2）把代入，再计算即可； 【详解】（1）解：∵， ∴． （2）解：∵， ∴． 7．（2025七年级下·全国·专题练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了完全平方公式，熟记完全平方公式是解题关键． （1）先将改写成，再利用完全平方公式计算即可得； （2）先将改写成，再利用完全平方公式计算即可得； （3）先将改写成，再利用完全平方公式计算即可得； （4）先将改写成，再利用完全平方公式计算即可得． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． （3）解：原式 ． （4）解：原式 ． 【题型4: 完全平方公式下的几何背景】. 1.如图是由4个长为m，宽为n的长方形纸片围成的大正方形． (1)通过计算大正方形的面积写出一个代数恒等式：______． (2)若长方形纸片的面积为12，且长比宽长4，求长方形的周长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了完全平方公式与几何图形面积． （1）根据大正方形的面积为或，再建立恒等式即可； （2）由题意可得，，代入，进一步计算即可． 【详解】（1）解：由题意可得：大正方形的面积为或， ∴． （2）解：∵长方形纸片的面积为12，且长比宽长4， ∴，， 而， ∴， ∵， ∴， ∴长方形的周长为． 2.如图1是一个长为b、宽为a的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成一个“回形”正方形（如图2）． (1)观察图2请你写出之间的等量关系是______________． (2)根据（1）中的结论，若，求的值． (3)变式应用：若，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】此题考查了数形结合与完全平方公式的变形应用能力，关键能将公式变形应用． （1）由观察图形可得，； （2）由（1）题结论可得，将代入，可求得的值，最后就可求出结果； （3）设，分别求出和，根据完全平方公式求解即可． 【详解】（1）解：由题意得图1中长方形面积为，图2中阴影部分面积是，整体面积是， ∴， 故答案为：； （2）解：由（1）题结论可得， ∴， 当时， ∴， ∴； （3）解：设， ， 则，， 因为， 所以 所以 ． 3.为了让学生们能更直观地理解乘法公式，李老师上了一节拼图实验课，她用四张长为，宽为的小长方形（如图①所示），拼成了一个边长为的正方形（如图②所示），观察图形，回答下列问题： (1)图②中，阴影部分的面积是　　． (2)观察图①②，请你写出三个式子：，，之间的关系：　　． (3)应用：已知，，求，． 【答案】(1) (2) (3)， 【分析】本题考查了完全平方公式的应用，熟练掌握面积公式与完全平方公式是解题的关键． （1）利用面积公式列式即可； （2）根据面积的和差关系列式即可； （3）根据完全平方公式的变形求解即可； 【详解】（1）解：阴影部分是边长为的正方形， 阴影部分的面积是； 故答案为：； （2）由图可得， 故答案为：； （3）∵，， ∴， ∴． 4.现有长与宽分别为的小长方形若干个，用两个相同的小长方形拼成图1的图形，用四个相同的小长方形拼成图2的图形，请认真观察图形，解答下列问题： (1)根据图中条件，请写出图1和图2所验证的关于的关系式；（用含的代数式表示出来）； 图1表示：________；图2表示：________． (2)根据上面的解题思路与方法，解决下列问题： ①若，求的值； ②如果，求的值． 【答案】(1)； (2)①；② 【分析】本题考查了完全平方公式的几何背景及完全平方公式的变形应用，平方差公式，解题的关键是熟练掌握完全平方公式和平方差公式． （1）图1中由两个长与宽分别为a、b的小长方形与一大一小两个正方形构成一个大的正方形，利用边长为正方形的面积等于两个长方形的面积加边长分别为a，b的正方形的面积可得；图2中利用大正方形的面积等于4个长方形的面积加小正方形的面积可得； （2）①将根据完全平方公式用含有的式子表示出来，然后代入求值即可． ②利用完全平方公式先求出，再根据平方差公式求解即可． 【详解】（1）解：图1表示； 图2表示； 故答案为：；； （2）解：①∵， ∴， ∵， ∴， 即； ②∵，， ∴ ， ∴， 当时，； 当时，； 综上分析可知：． 5．（24-25九年级上·河北廊坊·期中）完全平方公式：经过适当变形后可解决很多的数学问题． 例如：若，，求的值． 解：∵，，∴，， ∴． 【探究】（1）若，，求的值； 【延伸】（2）若，求的值； 【应用】（3）如图，点C在线段上，以，为边向两边作正方形，若，两正方形的面积之和，求阴影部分的面积． 【答案】（1）；（2）23；（3） 【分析】本题主要完全平方公式的几何背景，掌握完全平方公式的结构特征是解题的关键． （1）根据完全平方公式得出，然后再整体代入求值即可； （2）根据完全平方公式将转化为，然后再整体代入求值即可； （3）设， ，可得，，再根据完成平方公式可得求出，进而完成解答． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴； （3）解：， ， ∵， ∴， 又∵， ∴， 由完全平方公式可得，， ∴，解得： ∴阴影部分的面积． 【题型5: 完全平方公式的逆运算】 1．已知，．求： (1)的值； (2)的值． 【答案】(1)32 (2)28 【分析】本题考查了完全平方公式的变形，代数式求值．解题的关键在于熟练掌握完全平方公式的变形． （1）由题意知，代值求解即可； （2）由题意知，代值求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴ ． （2）解：∵，， ∴ ． 2．已知，．求： (1)的值； (2)的值． 【答案】(1)7 (2) 【分析】本题考查完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解题的关键． （1）利用完全平方公式变形求解即可； （2）先将完全平方公式展开，利用整体思想代入求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴； （2）解： ． 3．已知，．求： (1)； (2)的值． 【答案】(1)5 (2)1 【分析】本题考查了完全平方公式，掌握完全平方公式的变形是解题关键． （1）根据完全平方公式得再把两式子相加，进行计算即可． （2）根据完全平方公式得再把两式子相减，进行计算即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴ 上两式子相加得， ∴． （2）解：∵，， ∴ 上两式子相减得， ∴． 【题型6 求完全平方式中的字母系数】 1.若关于x的二次三项式是完全平方式，则常数k的值为（    ） A．12 B．或12 C．36 D．或36 【答案】C 【分析】本题主要考查完全平方的应用，理解完全平方式的常数项是平方数，总为非负是解题的关键，根据完全平方式的定义，二次三项式应能写成的形式，通过比较系数求出k． 【详解】解：设完全平方式为， ∵ 是完全平方式， ∴ ，解得 ， ∴ ． 因此，k的值为36， 故选：C． 2.若可以用完全平方公式进行因式分解，则m的值为（    ） A．5 B．－5或7 C．－7 D．－7或5 【答案】D 【分析】本题考查完全平方公式，解题的关键是掌握完全平方公式，需要注意有正负两种情况． 根据二次项系数是1和常数项是9得到一次项系数应该是，求出m的值． 【详解】解：根据完全平方公式，原式写成完全平方的性质应该是， ∴，即或． 故选：D． 3.如果多项式是一个完全平方式，那么m的值是（    ） A．36或 B．13 C．12 D．12或 【答案】D 【分析】此题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键． 利用完全平方公式的结构特征判断即可得到m的值． 【详解】解：∵是完全平方式， ∴ ∴， ， 故选：D． 4.若是完全平方式，则的值为（   ） A．7或 B．或5 C．11或 D．或13 【答案】D 【分析】本题主要考查完全平方式，解决问题的关键是根据两平方项确定出这两个数，再根据乘积二倍项求解． 依据完全平方公式，这里首末两项分别是和3的平方，那么中间项为加上或减去和3的乘积的2倍． 【详解】解：∵是完全平方式， ∴， ∴ 解得或． 故选D． 【题型7 整式的混合运算】 1．（24-25八年级上·吉林松原·阶段练习）先化简，再求值  ，其中， 【答案】； 【分析】本题考查了整式乘法的混合运算，完全平方公式和平方差公式，整式的化简求值，解题的关键是熟练掌握整式混合运算的运算法则进行运算． 先利用完全平方公式和平方差公式进行化简，得到最简代数式，再把x、y的值代入计算，即可得到答案． 【详解】 ∵， ∴原式． 2．（2023·吉林松原·模拟预测）先化简，再求值：，其中，． 【答案】， 【分析】本题考查了整式的混合运算﹣化简求值，先按运算顺序把整式化简，再把对应字母的值代入求整式的值．有乘方、乘除的混合运算中，要按照先乘方后乘除的顺序运算，其运算顺序和有理数的混合运算顺序相似．首先利用完全平方公式以及平方差公式计算，然后去括号、合并同类项即可化简，然后代入数值计算． 【详解】解：原式 ， 当，时，原式． 3．（24-25八年级上·青海海东·阶段练习）先化简，再求值：，其中． 【答案】，6 【分析】本题考查了多项式乘多项式—化简求值，平方差公式，完全平方公式，先根据单项式乘多项式，以及乘法公式进行展开，合并同类项得，然后把分别代入进行计算，即可作答． 【详解】解： ， 当时，原式． 4．（24-25八年级上·福建泉州·期中）先化简，再求值：，其中，． 【答案】，0 【分析】此题考查了整式的化简求值，正确掌握整式的混合运算法则及计算步骤正确计算是解题的关键． 根据完全平方公式及多项式乘以多项式的法则去括号，再合并同类项化简，最后代入字母的值计算，即可求解． 【详解】解： ， 把，代入， 即. 5．（24-25七年级下·全国·课后作业）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题考查了整式的化简求值，熟练掌握多项式乘多项式法则，合并同类项法则进行计算，是解题的关键． 根据多项式乘多项式的法则展开，然后合并同类项，最后x=7代入即可． 【详解】解：原式 ． 当时， 原式． 【题型8 完全平方公式与不等式之最值问题】 1．（24-25八年级上·北京门头沟·期末）阅读下列材料： 利用完全平方公式，可以把多项式（）变形为的形式，进而解决多项式的最大值或最小值问题． 例如：①, ∵,      ∴. ∴当时，多项式的最小值为； ②, ∵,     ∴. ∴当时，多项式的最大值为． 根据上述材料解决下列问题： (1)求多项式的最小值，并求出相应的x的值； (2)如果多项式的最小值是，那么p的值为________； (3)如图，某学校打算用20米长的篱笆围成一个长方形的花坛，如果设花坛的一边AB = x米，那么当x =________时，该花坛的面积最大，最大面积是________平方米． 【答案】(1)当时，代数式的最小值为 (2) (3)5米，25 【分析】本题考查了配方法的应用和非负数的性质，熟练掌握完全平方公式和平方差公式是解题的关键． （1）根据阅读材料即可求出答案； （2），根据阅读材料和已知条件即可求出答案； （3）由题意得到长方形的面积，根据阅读材料和已知条件即可求出答案． 【详解】（1）解：， ∵， ∴． ∴当时，代数式的最小值为4； （2）解：， ∵， ∴， ∴当时，代数式的最小值为， ∵多项式的最小值是， ∴， ∴， ∴． 故答案为：； （3）解：∵米， ∴（米）， ∴长方形的面积， ∵， ∴长方形的面积， ∴当时，长方形的面积的最大值为25， 即米时，该花坛的面积最大，最大面积是25平方米． 故答案为：5米，25． 2．（24-25九年级上·江苏扬州·期中）利用我们学过的完全平方公式及不等式知识能解决代数式一些问题．观察下列式子： ①， ； ； 代数式有最小值； ②， ； ； 代数式有最大值4； 阅读上述材料并完成下列问题： (1)代数式的最小值为______；代数式的最大值为______； (2)求代数式的最小值； (3)如图，在四边形中，对角线、相交于点，且，若，求四边形面积的最大值． 【答案】(1)2；13 (2) (3)18 【分析】本题考查了完全平方公式的应用，偶次方的非负性，灵活运用完全平方公式进行变形是解题的关键． （1）利用材料中的方法进行求解即可； （2）利用完全平方公式对代数式变形，然后根据偶次方的非负性求出式子的最小值即可； （3），由面积公式，将其转化为，设，则，代入化简计算，转化为上述求解方法计算即可． 【详解】（1）解：， ； ； 代数式有最小值2； ， ； ； 代数式有最大值13； 故答案为：2；13． （2）解： ， ∵，， ∴， ∴代数式的最小值为； （3）解：根据题意得 ， ∵， ∴， ， ， ∵，设，则， ， ∵， ， ∴四边形面积的最大值为18． 3．（22-23八年级上·山东东营·期中）上数学课时，王老师在讲完乘法公式的多种运用后，要求同学们运用所学知识解答：求代数式的最小值？同学们经过交流、讨论，最后总结出如下解答方法： 解： ， 当时，的值最小，最小值是0， ． 当时，的值最小，最小值是1， 的最小值是1． 请你根据上述方法，解答下列各题 (1)知识再现：当__________时，代数式有最小值是 ； (2)知识运用：若，判断y有最大值还是有最小值，并求x为何值时，y的最值． (3)知识拓展：若，求的最小值． 【答案】(1)3，3 (2)有最大值，当时，有最大值 (3) 【分析】本题考查了偶次方的非负性，完全平方公式的应用，灵活运用完全平方公式进行变形是解答本题的关键． （1）利用完全平方公式对代数式变形，然后根据偶次方的非负性可得答案； （2）利用完全平方公式对变形，然后根据可得答案； （3）移项可得然后根据偶次方的非负性可得答案． 【详解】（1）解：， 当时，代数式有最小值3； 故答案为：3，3； （2）解：， 当时，有最大值． 即有最大值，此时； （3）解：， 当时，的最小值为． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $