13.2.1三角形的边讲义2026-2027学年数学人教版八年级上册

本讲义系统梳理三角形的边这一核心知识点，从定义（不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接）、基本要素（边、顶点、内角）及表示方法（△ABC）入手，延伸至按边分类（不等边、等腰、等边，强调等边是特殊等腰），再到三边关系（两边之和大于第三边、两边之差小于第三边，第三边范围|a-b|<c<a+b）及判断方法（较短两边之和大于最长边），最后结合稳定性及生活应用，构建完整学习支架。 该资料通过关键词解析、表格对比培养抽象能力与几何直观，体现数学眼光；典型例题（如等腰三角形周长分类讨论）和即时练习强化推理意识，发展数学思维；稳定性联系自行车车架等实例，结合巩固练习提升应用意识，落实数学语言。课中助力教师系统授课，课后学生可借练习与小结回顾强化，弥补知识盲点。

人教版八年级上册 | 第十三章 三角形 13.2.1 三角形的边讲义 【学习目标】 1. 了解三角形的基本概念，包括三角形的定义、边、顶点、内角 2. 掌握三角形的表示方法 3. 理解并掌握三角形三边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边 4. 能运用三边关系判断三条线段能否组成三角形，并解决相关问题 5. 了解三角形按边的分类（不等边、等腰、等边） 6. 认识三角形的稳定性及其在生活实际中的应用 一、三角形的基本概念 1. 三角形的定义 定义：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。 关键词 说明 不在同一条直线上 三点不能共线，否则三条线段落在同一直线上，不能构成三角形 三条线段 数量必须为三，不能多也不能少 首尾顺次相接 第一条线段的终点是第二条线段的起点，依次连接形成封闭图形 2. 三角形的基本要素 边：组成三角形的三条线段叫做三角形的边。 三角形有三条边，可以用两个顶点的字母表示（如 AB、BC、CA），也可以用小写字母表示（顶点 A 所对的边 BC 用 a 表示，顶点 B 所对的边 AC 用 b 表示，顶点 C 所对的边 AB 用 c 表示）。 顶点：相邻两边的公共端点叫做三角形的顶点。三角形有三个顶点。 内角：三角形相邻两边组成的角叫做三角形的内角，简称三角形的角。三角形有三个内角。 3. 三角形的表示方法 三角形用符号 "△" 表示。顶点是 A、B、C 的三角形，记作 "△ABC"，读作 "三角形ABC"。 💡 表示三角形时，字母顺序没有严格要求，可以记作 △ABC，也可以记作 △ACB 等，但通常按顺时针或逆时针顺序书写。 二、三角形按边分类 根据三角形各边长度的关系，可以将三角形分为以下三类： 类型 定义 性质 不等边三角形 三条边互不相等的三角形 三个内角也各不相等 等腰三角形 有两条边相等的三角形 两腰相等，两底角相等 等边三角形 三条边都相等的三角形（特殊的等腰三角形） 三边相等，三角均为60° 等腰三角形与等边三角形 腰：等腰三角形中，相等的两边称为腰。 底边：等腰三角形中，第三边称为底边。 顶角：两腰的夹角称为顶角。 底角：腰与底边的夹角称为底角。两个底角相等。 重要提醒：等边三角形是特殊的等腰三角形，不能将等边三角形与等腰三角形并列分类！ 三、三角形三边的关系 1. 探究：两点之间线段最短 如图，从点 B 出发沿三角形的边到点 C，有两条路线可选： 路线1：B → A → C，长度为 BA + AC 路线2：B → C，长度为 BC（线段） 根据"两点之间，线段最短"，可得： BA + AC > BC 💡 同理，从其他顶点出发也可以得到类似的不等式，这就是三角形三边关系的证明基础。 2. 三角形三边关系定理 定理：三角形任意两边的和大于第三边 对于 △ABC，三边分别为 a、b、c，则有： a + b > c b + c > a a + c > b 推导过程 由 "两点之间，线段最短" 可得： 从A到B：AC + BC > AB 从A到C：AB + BC > AC 从B到C：AB + AC > BC 3. 推论：两边之差与第三边的关系 将上面三个不等式分别移项，可得： BC > AB − AC AC > AB − BC AB > AC − BC 推论：三角形任意两边的差小于第三边 综合定理和推论，可得第三边的取值范围： |a − b| < c < a + b 即：两边之差 < 第三边 < 两边之和 四、判断三条线段能否组成三角形 1. 完整验证法 验证三组不等式是否同时成立： a + b > c ？ b + c > a ？ a + c > b ？ 三组都成立，则能组成三角形；只要有一组不成立，就不能组成三角形。 2. 简便判断法（推荐） 💡 只需锁定最长边，判断两条较短线段之和是否大于最长边即可。 原理：如果两条较短边之和大于最长边，那么最长边与任意一条短边之和必然大于另一条短边（因为最长边本身就大于另一条短边）。 即时练习1：判断下列线段能否组成三角形 (1) 3cm, 4cm, 8cm (2) 5cm, 6cm, 11cm (3) 5cm, 6cm, 10cm 【解答】 (1) 最长边=8，3+4=7 < 8，不能组成 (2) 最长边=11，5+6=11 = 11，不能组成（两边之和必须严格大于第三边） (3) 最长边=10，5+6=11 > 10，能组成 即时练习2：已知两边求第三边范围 已知三角形两边的长分别是 3 和 7，求第三边的取值范围。 【解答】 设第三边为 x，由三边关系得： 7 − 3 < x < 7 + 3 4 < x < 10 所以第三边的取值范围是 4 < x < 10。 五、典型例题精讲 例题1：等腰三角形周长问题 题目：用一条长为 18cm 的细绳围成一个等腰三角形。 （1）如果腰长是底边长的2倍，那么各边的长是多少？ 【分析】设未知数，利用周长列方程求解，再验证三边关系。 【解答】 解：设底边长为 x cm，则腰长为 2x cm。 根据题意：x + 2x + 2x = 18 解得：x = 3.6 所以三边长分别为：3.6cm, 7.2cm, 7.2cm 验证：3.6 + 7.2 = 10.8 > 7.2 ✓ 例题2：分类讨论问题 题目：（接上题）（2）能围成有一边的长是 4cm 的等腰三角形吗？为什么？ 【分析】4cm 的边可能是腰，也可能是底边，需要分情况讨论，每种情况都要验证三边关系。 【解答】 因为长为 4cm 的边可能是腰，也可能是底边，所以分情况讨论： 情况一：4cm 为底边 设腰长为 x cm，则 4 + 2x = 18，解得 x = 7 三边长为 7cm, 7cm, 4cm 验证：4 + 7 = 11 > 7 ✓ 能组成三角形 情况二：4cm 为腰 设底边长为 y cm，则 2×4 + y = 18，解得 y = 10 三边长为 4cm, 4cm, 10cm 验证：4 + 4 = 8 < 10 ✗ 不能组成三角形 结论：可以围成底边长是 4cm 的等腰三角形。 方法总结：(1) 等腰三角形问题注意分类讨论（已知边可能是腰，也可能是底边）；(2) 求出边长后必须验证是否满足三边关系！ 六、三角形的稳定性 1. 实验探究 动手操作： 用三根木条钉成一个三角形木架，扭动它 → 形状不会改变 用四根木条钉成一个四边形木架，扭动它 → 形状容易改变 三角形具有稳定性 三角形的三条边长度确定后，三角形的形状和大小就完全确定了，不会发生改变。而四边形不具有稳定性，容易变形。 2. 生活中的应用 应用场景 说明 自行车车架 三角形结构使车架牢固，骑行时不变形 房屋钢架/屋顶 三角形钢架结构承受重力，保证建筑稳定 起重机吊臂 三角形支撑结构确保吊臂在重载下不变形 电线杆固定拉线 用钢索拉成三角形，防止电线杆倾斜 相机三脚架 三条腿构成三角形支撑，确保拍摄稳定 七、课堂巩固练习 基础练习 1. 下列长度的三条线段，能组成三角形的是（ ） A. 1cm, 2cm, 3cm B. 2cm, 3cm, 4cm C. 3cm, 4cm, 8cm D. 5cm, 6cm, 12cm 2. 已知三角形两边长为 5 和 9，则第三边 x 的取值范围是 ________。 3. 等腰三角形的一边长为 6cm，另一边长为 3cm，则周长为 ________。 4. 判断正误： (1) 一个三角形最多有一个钝角。（ ） (2) 等边三角形一定是等腰三角形。（ ） (3) 等腰三角形只有两条边相等。（ ） (4) 三角形按边分类可分为不等边三角形、等腰三角形和等边三角形。（ ） 提高练习 5. 若三角形的三边长均为整数，其中两边长为 3 和 5，求第三边可能的取值。 6. 用一根 24cm 的铁丝围成一个等腰三角形，其中一边长为 6cm，求其余各边的长度。 7. 一个等腰三角形的周长为 20cm，一边长为 8cm，求另外两边的长。 八、参考答案 基础练习答案 1. B 解析：A: 1+2=3，不大于第三边；B: 2+3=5>4，满足；C: 3+4=7<8；D: 5+6=11<12 2. 4 < x < 14 解析：9-5 < x < 9+5，即 4 < x < 14 3. 15cm 解析：若腰=3，则3+3=6，不满足三边关系；若腰=6，则6+6>3，周长=6+6+3=15 4. (1) ✓ (2) ✓ (3) ✗ (4) ✗ 解析：(3)等边三角形三边都相等，也是等腰三角形； (4)等边三角形是特殊的等腰三角形，不能与等腰三角形并列 提高练习答案 5. 第三边可能的取值为：3, 4, 5, 6, 7 解析：5-3 < x < 5+3，即 2 < x < 8，x为整数，x=3,4,5,6,7 6. 其余两边长为 9cm, 9cm 解析：若6cm为底边，则腰=(24-6)÷2=9，验证6+9>9 ✓； 若6cm为腰，则底=24-12=12，验证6+6=12，不满足 ✗ 7. 另外两边长为 6cm, 6cm 或 8cm, 4cm 解析：若8cm为腰，则底=20-16=4，验证4+8>8 ✓； 若8cm为底边，则腰=(20-8)÷2=6，验证6+6>8 ✓ 【课堂小结】 知识点 内容 三角形定义 不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接组成的图形 三边关系定理 任意两边之和大于第三边 三边关系推论 任意两边之差小于第三边 第三边范围 |a-b| < c < a+b 按边分类 不等边三角形、等腰三角形（含等边三角形） 三角形稳定性 三边确定，形状和大小唯一确定，具有稳定性 判断技巧 较短两边之和 > 最长边 → 能组成三角形 - - 学科网（北京）股份有限公司 $