13.2.1 三角形的边（讲义）数学新教材人教版八年级上册

本讲义聚焦初中数学“三角形的边”核心内容，以“两点之间线段最短”为依据推导三角形三边关系，系统梳理第三边取值范围求解、等腰三角形分类讨论、绝对值化简等应用题型，衔接三角形稳定性定义及生活实例。 资料通过“解题贴士+典例+变式”分层设计，突出易错点（如等腰三角形腰底分类需检验），结合自行车车架等实例培养几何直观，强化推理能力与模型意识。课中辅助教师突破重难点，课后助力学生通过基础到创新练习查漏补缺。

第十三章 三角形 13.2.1 三角形的边 课标要点 1.理解三角形三边关系推导依据，熟记两边和、两边差与第三边的不等式公式。 2.会用简便方法判断三条线段能否构成三角形，能求出第三边的取值范围。 3.掌握等腰三角形结合三边关系的题型解法，能分类讨论并检验取值合理性。 4.理解三角形稳定性定义，区分三角形与多边形的特性，能说出生活实例。 学习重难点 重点： 掌握三角形两边之和大于第三边、两边之差小于第三边，熟练求解第三边范围。 理解三角形稳定性含义，能运用三边关系解决化简、证明、分类讨论类习题。 难点： 等腰三角形边长未指明腰底时，完整分类讨论，并用三边关系舍去无效情况。 利用三边关系判断绝对值内式子符号，准确化简含三角形边长的绝对值算式。 知识点1三角形的三边关系 1.依据“两点之间，线段最短”，可得三角形三边关系： （1）三角形任意两边之和大于第三边，若三边长为，则 （2）三角形任意两边之差小于第三边，即 2.解题的简化结论：设三角形三边满足，只需验证最短两边之和大于最长边，即可判定三条线段能组成三角形。 易错提醒 判定三边能否组成三角形时，易错只验证一组两边之和大于第三边，忽略需满足最短两边之和大于最长边的核心条件。 即学即练 1．下列各组长度的线段中，不能组成三角形的是（     ） A．2、4、5 B．3、3、6 C．5、5、5 D．3、4、5 【答案】B 【详解】解：A、，故能组成三角形； B、，不满足两边之和大于第三边，故不能组成三角形； C、，故能组成三角形； D、，故能组成三角形． 2．已知一个三角形的两边长分别是和，则它的第三边长可以是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：设第三边为x，根据三角形三边关系：，即， 故只有符合． 知识点2三角形的稳定性 1.定义：只要三角形三条边的长度固定，这个三角形的形状和大小就完全确定，这一性质叫做三角形的稳定性。 2.补充说明 1.三角形稳定性为三角形独有；四边形、五边形等多边形不具备稳定性，容易变形。 2.生活应用：自行车车架、屋顶三角支架、桥梁支架等均利用三角形稳定性。 即学即练 3．下列正多边形中，具有稳定性的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：根据三角形和多边形（边数大于3）的性质可知， 只有三角形具有稳定性． 4．如图，太阳能热水器的支架形状通常为三角形，其中蕴含的数学原理是（     ） A．三角形具有稳定性 B．垂线段最短 C．两点之间，线段最短 D．两点确定一条直线 【答案】A 【分析】 【详解】解：由题意得，这样设计依据的数学道理是三角形具有稳定性． 题型01 构成三角形的条件 解题贴士 简便判断技巧：先将三条边长从小到大排序，只需验证最短两边之和大于最长边，满足即可围成三角形。 典｜例｜精｜析 【例1】下列长度的三条线段，能组成三角形的是（     ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】C 【详解】解：选项A：∵，不满足两边之和大于第三边，∴不能组成三角形； 选项B：∵，不满足两边之和大于第三边，∴不能组成三角形； 选项C：∵，满足两边之和大于第三边，∴能组成三角形； 选项D：∵，不满足两边之和大于第三边，∴不能组成三角形． 【例2】现有4根木条、长度分别为（单位：）：，从中取出三根连成一个三角形__________________ ．（任写一种即可） 【答案】，，（或，，） 【详解】解：从长度为，，，的4根木条中任取3根，所有组合为：，，；，，；，，；，，． ∵，不满足三边关系， 故不能构成三角形； ∵，不满足三边关系， 故不能构成三角形， ∵，，，满足三边关系， ∴构成三角形， ∵，，，满足三边关系， ∴构成三角形 综上：，，；，，这两种组合能构成三角形． 变｜式｜巩｜固 【变式1-1】下列各组线段，无法构成三角形的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A、∵ ，∴ 可以构成三角形. B、∵ ，，∴ 可以构成三角形. C、∵ ，，∴ 可以构成三角形. D、∵ ，不满足三边关系，∴ 无法构成三角形． 【变式1-2】在下面的四个盒子中，每个盒子里都有两根小棒，把其中的一根小棒用剪刀按图中所示的位置剪成两段，这两段小棒再与另一根小棒首尾相接，能够围成一个三角形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】A选项中小棒被剪刀剪成两段，这两段之差比上面那根小棒还长，不符合三角形的三边关系，无法围成三角形，不符合题意； B选项中小棒被剪刀剪成两段，这两段之和比下面那根小棒短，不符合三角形的三边关系，无法围成三角形，不符合题意； C选项中小棒被剪刀剪成两段，这两段之和比上面那根小棒长，这两段之差比上面那根小棒短，符合三角形的三边关系，可以围成三角形，符合题意； D选项中小棒被剪刀剪成两段，这两段之和与上面那根小棒长度相等，不符合三角形的三边关系，无法围成三角形，不符合题意． 【变式1-3】有四根细木棒，长度分别为，，，，哪三根木棒可以摆成一个三角形？有几种可能的情况？实际摆一摆，验证你的结论． 【答案】共有3种符合要求的情况，分别为：、、；、、；、、， 从四根细木棒中随机抽出三根木棒，有四种可能： 证明：①、、；∵，∴可以摆成一个三角形； ②、、，∵，∴不能摆成一个三角形； ③、、，∵，∴可以摆成一个三角形； ④、、，∵，∴可以摆成一个三角形； 【详解】解：略 题型02 求第三边的值或取值范围 解题贴士 1.已知两边长（），设第三边为，根据三边差与和关系列不等式：。 2.求整数边长：先算出取值区间，再找出区间内所有整数；求周长范围：两边长相加再分别加上区间两端数值。 3.注意边界：不能等于与，等于时三点共线，无法构成三角形。 典｜例｜精｜析 【例3】若三角形的两边长分别为6和8，则第三边的长度可能是（     ） A．1 B．2 C．7 D．15 【答案】C 【详解】解：设三角形第三边的长度为， ∵ 三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，已知两边长为和， ∴ ，即 ， 对比选项，只有在该范围内，因此选C． 【例4】已知三角形的三边长分别是5，7，x，且x为整数，请写出一个满足条件的x的值：______． 【答案】（答案不唯一） 【详解】解：根据三角形任意两边之差小于第三边，任意两边之和大于第三边，可得 化简得． 因为为整数， 所以在内的整数均满足条件， 此处取． 故答案为（答案不唯一）． 变｜式｜巩｜固 【变式2-1】一个衣架的示意图如图所示，若，则衣架底部横杆的长可能为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：由三角形三边关系得：，即， ∴衣架底部横杆的长可能为 ． 【变式2-2】一个三角形的三边长分别为，，，则的取值范围是_____． 【答案】 【详解】解：由三角形的三边关系得到：， ∴， ∴． 【变式2-3】若、、为三角形的三边，且、满足，则第三边的取值范围是______． 【答案】 【详解】解：， ，， 解得：， 为三角形的三边， ． 题型03 三边关系与等腰三角形 解题贴士 等腰三角形有两条边长相等，题目未说明腰与底时，分两种情况讨论，再用三边关系检验是否成立。 典｜例｜精｜析 【例5】等腰三角形的底边长与其腰长的比值称为这个等腰三角形的“优美比”，若等腰的周长为10，其中一条边长是3，则它的“优美比”是（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【详解】解：分两种情况讨论： ①当为腰长时， ∵等腰的周长为， ∴底边长 ， ∵，满足三角形三边关系， ∴“优美比”为； ②当为底边长时， ∵等腰的周长为， ∴腰长， ∵，满足三角形三边关系， ∴“优美比”为； 综上，该等腰三角形的“优美比”是或． 【例6】若等腰三角形的底边和腰不等，它的两边长是不等式的正整数解．则等腰三角形的周长为（   ） A．3 B．4 C．5 D．4或5 【答案】C 【详解】解：解不等式，移项得． ．不等式的正整数解为和． 等腰三角形的底边和腰不等，三边长可能为和， 分两种情况讨论：①若腰长为，底边长为，三边长为． ，不满足三角形两边之和大于第三边，不能构成三角形，舍去． ②若腰长为，底边长为，三边长为，满足三角形三边关系， 此时周长为． 因此等腰三角形的周长为， 故选C． 变｜式｜巩｜固 【变式3-1】若是一个等腰三角形的两边长，且满足，则该等腰三角形的周长是______． 【答案】或 【详解】解：， ∴，， ∴，， 当6为底边长时，腰长为4， ，则能组成三角形， 此时，该等腰三角形的周长为； 当4为底边长时，腰长为6， ，则能组成三角形， 此时，该等腰三角形的周长为； 综上，该等腰三角形的周长为或． 【变式3-2】（1）等腰三角形的两条边长分别为9和12，则这个等腰三角形的周长是______． （2）若等腰三角形的周长为，一条边长为，则这个等腰三角形的底边长为______． 【答案】 30或33 【分析】 【详解】（1）解：①当9为腰时，满足构成三角形的条件， 故此三角形的周长； ②当12为腰时，满足构成三角形的条件， 故此三角形的周长， 故这个等腰三角形的周长是30或33； （2）解：①当4为腰时，底边长为，，不符合三角形三边关系； ②当4为底边时，腰长为，，符合三角形三边关系． 故这个等腰三角形的底边长为． 故答案为：30或33；． 【变式3-3】（1）等腰三角形的一边长是，另一边长是，则该等腰三角形的周长是__________． （2）若等腰三角形的周长是，则它的腰长的取值范围是__________． 【答案】 25 【分析】 【详解】解：（1）当等腰三角形三边为5，5，10时， ∵， ∴此三角形不存在； 当等腰三角形三边为10，10，5时， ∵， ∴此三角形存在， ∴改等腰三角形的周长为， 故答案为：25； （2）∵等腰三角形的周长是，腰长为， ∴底边长为， ∴， 解得， 故答案为：． 题型04 利用三角形的三边关系化简 解题贴士 化简含三角形边长的绝对值式子，先根据三边关系判断绝对值内代数式正负，然后根据正负去掉绝对值符号，再去括号合并同类项，得到最简结果。 典｜例｜精｜析 【例7】已知三角形的三边长分别为1，a，4，则化简的结果等于（） A．6 B．7 C．8 D． 【答案】A 【分析】 【详解】解：∵三角形三边长分别为，，， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， 故选：A． 【例8】已知、、分别为的三边长，化简：_________． 【答案】 【详解】解：∵a、b、c分别为的三边长， ，， ， ． 变｜式｜巩｜固 【变式4-1】已知a，b，c是的三条边长，化简的结果为____． 【答案】 【详解】解：∵a，b，c是的三条边长， ∴， ∴， ∴ ． 【变式4-2】已知的三边长为a，b，c，化简：． 【答案】 【详解】解：根据三角形三边关系，任意两边之和大于第三边，即， 得 则 【变式4-3】已知的三边长分别为3、5、a，化简． 【答案】． 【分析】 【详解】的三边长分别为3、5、a， ，即， ，，， ∴ ， ． 题型05 利用三角形的三边关系证明 解题贴士 1.线段不等关系证明，优先构造三角形，借助“两边之和大于第三边”推导。 2.多条线段比较时，拆分线段放入不同三角形，列出多个不等式，再通过不等式相加、代换完成证明。 典｜例｜精｜析 【例9】如图所示，D是内任意一点，连接，，证明：． 【答案】见解析 【详解】证明：如图所示，延长交于点E， 在中，． 在中，． 上述两式相加，得， ， ． 【例10】如图，P为中任意一点．证明：． 【答案】见解析 【分析】 【详解】证明：如图：延长交于D， ∵在中，，在中，， ∴， ∴， 同理：， ∴，即． 变｜式｜巩｜固 【变式5-1】 如图，是四边形的对角线，且相交于点O．求证：； 【答案】证明见解析 【详解】证明：在和中， ， ，即， ． 【变式5-2】四边形是任意四边形，与交点O．    求证：． 证明：在中有 在中有________， 在中有________． 在________中有________， ∴ 即：________， 即： 【答案】；；OBC；； 【详解】解：在中有， 在中有， 在中有， 在中有， ∴， 即， ∴． 【变式5-3】如图，已知O为内任意一点，求证 (1) ； (2) 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】 【详解】（1）证明：在中，①， 在中，②， 在中，③， 得2， 即； （2）证明：如图，延长交于点D． 在中，①， 在中，②， ，得； ∵，， ∴， ∴③， 同理可证④，⑤， ，得， ∴． 题型06 三角形的稳定性及其应用 典｜例｜精｜析 【例11】如图，一扇窗户打开后，用窗钩可将其固定，这里所运用的几何原理是（     ） A．垂线段最短 B．两点之间线段最短 C．两点确定一条直线 D．三角形的稳定性 【答案】D 【详解】解：由题意得，这里所运用的几何原理是三角形的稳定性． 【例12】劳动实践课上，小明用4根木棒钉成一个四边形木架，它容易变形，现需增加一根木棒，使其具有稳定性，则下列做法不能使其具有稳定性的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：对于选项A，两个四边形不具有稳定性，所以A选项符合题意； 对于B选项，如下图，三角形将原四边形的两条邻边,固定住，所以,,三点也是相对固定的，所以B选项不符合题意； 对于C选项，如下图，三角形将原四边形的两条邻边,固定住，所以,,三点也是相对固定的，所以C选项不符合题意； 对于D选项，如下图，四边形分成了两个三角形，所以它具有稳定性，所以D选项不符合题意． 变｜式｜巩｜固 【变式6-1】如图，跪姿射击的动作，由左手、左肘、左肩构成的托枪姿势，可以使射击者在射击过程中保持枪的稳定性，这里所运用的几何知识是________． 【答案】三角形的稳定性 【详解】解：由题意可知：所运用的几何知识是三角形的稳定性． 【变式6-2】列生活实物中，没有应用到三角形的稳定性的是（    ） A．活动衣架 B．拉杆 C．三脚架 D．太阳能热水器 【答案】A 【详解】解：A．没有应用到三角形的稳定性，故该选项符合题意， B．应用到三角形的稳定性，故该选项不符合题意， C．应用到三角形的稳定性，故该选项不符合题意， D．应用到三角形的稳定性，故该选项不符合题意． 【变式6-3】下面图形是用木条钉成的支架，其中不容易变形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：三角形具有稳定性，四边形、六边形等多边形具有不稳定性， 选项B（平行四边形）、选项C（含长方形）、选项D（六边形）均为易变形的图形，选项A中含有三角形结构，具有稳定性，不易变形．故其中不容易变形的是选项A． 基础通关 1．北盘江第一桥是世界上最高的桥梁，原名是尼珠河大桥，位于云贵两省交界处．这座宏伟的桥梁一共设计了112对224根斜拉索，设计斜拉索所运用的几何原理是（     ）． A．垂线段最短 B．两点之间线段最短 C．两点确定一条直线 D．三角形的稳定性 【答案】D 【详解】解：斜拉桥的斜拉索、桥塔和桥面构成了三角形结构， 设计斜拉索所运用的几何原理是三角形的稳定性． 2．（ 2025·26七年级下·上海普陀·期末）用下列长度的三根木条首尾顺次连接（不计接头处损耗），不能做成三角形框架的是（     ） A．、、 B．、、 C．、、 D．、、 【答案】A 【分析】详解】解：A选项中，较短两边为和，最长边为，，不满足两边之和大于第三边，不能构成三角形， B选项中，，满足三边关系，能构成三角形， C选项中，，满足三边关系，能构成三角形， D选项中，，满足三边关系，能构成三角形， 3．若等腰三角形的两边长分别是和，则它的周长为（     ） A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】详解】解：分两种情况讨论： 当为腰长，为底边长时 ∵，符合三角形三边关系 ∴该三角形周长为 ； 当为腰长，为底边长时 ∵，符合三角形三边关系 ∴该三角形周长为 因此等腰三角形的周长为或． 4．下列图形中，具有稳定性的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】 解：根据三角形的稳定性可得，具有稳定性的是． 5．已知的三边长分别是a，b，c，化简的结果为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】详解】解：∵的三边长分别为，，， 根据三角形三边关系，可得，， ∴，， ∴ ． 6．（ 2025·26七年级下·上海普陀·期末）已知等腰三角形的周长是，如果其中一条边长为，那么底边长为_______． 【答案】 【分析】详解】解：∵等腰三角形的周长是，其中一条边长为， ∴当底边长为时，腰长为，此时三边长分别为，，，由可得满足三角形三边关系，符合题意； 当腰长为时，底边长为，此时三边长分别为，，，由可得不满足三角形三边关系，不符合题意； 综上所述，那么底边长为． 7．已知三角形的三边长分别为2，5，a（a为整数），则a的值可以为________．（填一个即可） 【答案】 4（答案不唯一） 【分析】详解】解：根据三角形三边关系可得 ，即， 为整数， 的值可以为4（答案不唯一）． 8．（ 2024·25八年级上·四川眉山·期末）实数、满足，则以，为边的等腰三角形的周长为__________． 【答案】7或8 【分析】详解】解：将原式变形可得， 因为，，且它们的和为0， 所以，， 解得，， ①若腰长为3，底边长为2，则三角形三边为3、3、2， 因为，，满足三角形三边关系， 周长为； ②若腰长为2，底边长为3，则三角形三边为2、2、3， 因为，，满足三角形三边关系， 周长为， 故答案为：7或8． 9．已知的边，边的长度分别是不等式组的最大整数解与最小整数解，且的周长为奇数，则的第三条边的长度的最小值为_____． 【答案】3 【详解】解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴不等式组的解集为， 则不等式组最大的整数解为8，最小整数解为6． ∵的周长是奇数，是偶数， 且， 则的第三条边的长度的最小值为3， 故答案为：3． 10．已知两根木条的长分别为，，现再选一根木条，用这三根木条围成一个三角形木架，请写出所选木条的长度x（单位：）应满足的不等式组，并求出这个不等式组的解集． 【答案】不等式组为，解集为． 【分析】详解】解：∵两根木条的长分别为，， ∴ 解得． 11．已知的三边长均为整数，且和满足． (1)求的值． (2)求满足条件的的值． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ∵ ∴ 解得； （2）解：∵的三边长均为整数， ∴ ∴， 可取． 12．已知、、分别是的三边长，化简：． 【答案】 【分析】详解】解：、、分别是的三边长， ，， ，， 则原式 ． 素养提升 13．已知a，b是等腰三角形的两边长，且，则此等腰三角形的周长是（     ） A．8 B．6或8 C．7 D．7或8 【答案】D 【分析】详解】解：∵，且，， ∴， 解得， ①当是这个等腰三角形的腰长时，则它的三边长分别为，满足三角形的三边关系，此时它的周长为； ②当是这个等腰三角形的腰长时，则它的三边长分别为，满足三角形的三边关系，此时它的周长为； 综上，此等腰三角形的周长是7或8． 14．下列长度的四条线段，能作为四边形四边的是（     ） A．1，1，1，3 B．2，2，2，3 C．1，3，2，6 D．2，2，2，7 【答案】B 【分析】详解】解：A．最长边为， ，故不能构成四边形，不符合题意； B．最长边为，，故能构成四边形，符合题意； C．最长边为， ，故不能构成四边形，不符合题意； D．最长边为， ，故不能构成四边形，不符合题意． 15．小宇想把一根吸管剪成3段来围成一个三角形，如图，点是这根吸管的中点，下面点（     ）不能作为第一刀的切点． A．A B．B C．C D．D 【答案】A 【详解】解：依题意，如图所示： ∵点是这根吸管的中点， ∴， 观察图，得， 即， ∵把一根吸管剪成3段来围成一个三角形， ∴当点A作为第一刀的切点，剩下的任意两段线段的和值都不大于，不满足三角形的三边关系：两边之和大于第三边． 故点A不能作为第一刀的切点． 16．小红在学习完《三角形》后，她对各边长都是整数的三角形的个数进行了研究，结果如下表： 最长的边长 1 2 3 … n 三角形的个数 1 2 4 … m 若，则m的值是（     ） A．16 B．18 C．20 D．22 【答案】C 【详解】设三角形另外两边长为,，满足 ∵最长边为，根据三角形三边关系得 按的取值枚举所有情况： 当时，，可取，共个； 当时，，可取，共个； 当时，，可取，共个； 当时，，可取，共个； 当时，不存在满足条件的整数； ∴总个数． 17．如图，图中三角形有一个是等腰三角形，则的值是（    ） A．5 B．7 C．8 D．14 【答案】D 【详解】解：由题意，且， 故， 又∵图中三角形有一个是等腰三角形， 故. 18．如图，，两点在数轴上，点所对应的数是，若的长为个单位长度，的长为个单位长度，则点对应的数可能是（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【详解】解：设点对应的数为，则 ，， ， ， ． 由得或， ∴或． 由|得 ∴． ∴（不符合题意，舍去）或 结合选项，只有满足． 19．等腰三角形的周长为，若其中一条边长为，则该等腰三角形的腰长是______． 【答案】 【详解】解：分两种情况讨论： 情况：若边长为腰长，则底边长为， 此时三角形三边长为，，， ∵， ∴不满足三角形两边之和大于第三边，不能构成三角形，舍去这种情况； 情况：若边长为底边长，则腰长为， 此时三角形三边长为，，， ∵， ∴满足三角形两边之和大于第三边，可以构成三角形， ∴腰长为， 故答案为． 20．已知a、b、c是三角形的三边，化简___________． 【答案】 【详解】，，是三角形的三边， 根据三角形三边关系可得，， ，，， ． 迁移创新 21．等腰三角形的两边长为和，周长为28，则底边的长度可能为（     ） A．8 B． C．8或 D．8或或4 【答案】D 【详解】解：若为腰长，则三边长为，列方程得： ， 解得， 此时三边长为， ，满足三边关系，此时底边长为； 若为腰长，则三边长为，列方程得： ， 解得， 此时三边长为， ，满足三边关系，此时底边长为； 若，即已知两边都是腰， 解得，此时两腰长均为， 则底边长为， 三边长为， ，满足三边关系，此时底边长为； 综上，底边长度可以为或或． 22．已知三边长分别为，，，（，，为正整数），且． （1）若则______． （2）若从，，，，，，，这个数中取个不同的数，且这个数中，总存在三个不同的数作为，，的值，则的最小值＝______． 【答案】 【分析】 【详解】（1）解： ，，，，为正整数， ， 将代入，得， 又， ， 且是整数， ； （2）解：若个数中不存在三个能作为三角形三边长， 则其中任意从小到大排列的三个数 ，且都满足， 要得到满足该条件的数的个数，构造从小到大的序列： 取第一个数为，第二个数为， 第三个数满足，取， 第四个数满足，取， 第五个数满足，取， 第六个数需要满足， ，超出到的范围， 不存在三个可构成三角形的集合最多有个元素， 当取个不同数时，任意个数中一定存在三个不同数可作为三角形三边长． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 第十三章 三角形 13.2.1 三角形的边 课标要点 1.理解三角形三边关系推导依据，熟记两边和、两边差与第三边的不等式公式。 2.会用简便方法判断三条线段能否构成三角形，能求出第三边的取值范围。 3.掌握等腰三角形结合三边关系的题型解法，能分类讨论并检验取值合理性。 4.理解三角形稳定性定义，区分三角形与多边形的特性，能说出生活实例。 学习重难点 重点： 掌握三角形两边之和大于第三边、两边之差小于第三边，熟练求解第三边范围。 理解三角形稳定性含义，能运用三边关系解决化简、证明、分类讨论类习题。 难点： 等腰三角形边长未指明腰底时，完整分类讨论，并用三边关系舍去无效情况。 利用三边关系判断绝对值内式子符号，准确化简含三角形边长的绝对值算式。 知识点1三角形的三边关系 1.依据“两点之间，线段最短”，可得三角形三边关系： （1）三角形任意两边之和________第三边，若三边长为，则 （2）三角形任意两边之差________第三边，即 2.解题的简化结论：设三角形三边满足，只需验证________两边之和大于________边，即可判定三条线段能组成三角形。 易错提醒 判定三边能否组成三角形时，易错只验证一组两边之和大于第三边，忽略需满足最短两边之和大于最长边的核心条件。 即学即练 1．下列各组长度的线段中，不能组成三角形的是（     ） A．2、4、5 B．3、3、6 C．5、5、5 D．3、4、5 2．已知一个三角形的两边长分别是和，则它的第三边长可以是（     ） A． B． C． D． 知识点2三角形的稳定性 1.定义：只要三角形三条边的长度固定，这个三角形的________和________就完全确定，这一性质叫做三角形的稳定性。 2.补充说明 1.三角形稳定性为三角形独有；四边形、五边形等多边形________稳定性，容易________。 2.生活应用：自行车车架、屋顶三角支架、桥梁支架等均利用三角形稳定性。 即学即练 3．下列正多边形中，具有稳定性的是（     ） A． B． C． D． 4．如图，太阳能热水器的支架形状通常为三角形，其中蕴含的数学原理是（     ） A．三角形具有稳定性 B．垂线段最短 C．两点之间，线段最短 D．两点确定一条直线 题型01 构成三角形的条件 解题贴士 简便判断技巧：先将三条边长从小到大排序，只需验证最短两边之和大于最长边，满足即可围成三角形。 典｜例｜精｜析 【例1】下列长度的三条线段，能组成三角形的是（     ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【例2】现有4根木条、长度分别为（单位：）：，从中取出三根连成一个三角形__________________ ．（任写一种即可） 变｜式｜巩｜固 【变式1-1】下列各组线段，无法构成三角形的是（     ） A． B． C． D． 【变式1-2】在下面的四个盒子中，每个盒子里都有两根小棒，把其中的一根小棒用剪刀按图中所示的位置剪成两段，这两段小棒再与另一根小棒首尾相接，能够围成一个三角形的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】有四根细木棒，长度分别为，，，，哪三根木棒可以摆成一个三角形？有几种可能的情况？实际摆一摆，验证你的结论． 题型02 求第三边的值或取值范围 解题贴士 1.已知两边长（），设第三边为，根据三边差与和关系列不等式：。 2.求整数边长：先算出取值区间，再找出区间内所有整数；求周长范围：两边长相加再分别加上区间两端数值。 3.注意边界：不能等于与，等于时三点共线，无法构成三角形。 典｜例｜精｜析 【例3】若三角形的两边长分别为6和8，则第三边的长度可能是（     ） A．1 B．2 C．7 D．15 【例4】已知三角形的三边长分别是5，7，x，且x为整数，请写出一个满足条件的x的值：______． 变｜式｜巩｜固 【变式2-1】一个衣架的示意图如图所示，若，则衣架底部横杆的长可能为（     ） A． B． C． D． 【变式2-2】一个三角形的三边长分别为，，，则的取值范围是_____． 【变式2-3】若、、为三角形的三边，且、满足，则第三边的取值范围是______． 题型03 三边关系与等腰三角形 解题贴士 等腰三角形有两条边长相等，题目未说明腰与底时，分两种情况讨论，再用三边关系检验是否成立。 典｜例｜精｜析 【例5】等腰三角形的底边长与其腰长的比值称为这个等腰三角形的“优美比”，若等腰的周长为10，其中一条边长是3，则它的“优美比”是（   ） A． B． C．或 D．或 【例6】若等腰三角形的底边和腰不等，它的两边长是不等式的正整数解．则等腰三角形的周长为（   ） A．3 B．4 C．5 D．4或5 变｜式｜巩｜固 【变式3-1】若是一个等腰三角形的两边长，且满足，则该等腰三角形的周长是______． 【变式3-2】（1）等腰三角形的两条边长分别为9和12，则这个等腰三角形的周长是______． （2）若等腰三角形的周长为，一条边长为，则这个等腰三角形的底边长为______． 【变式3-3】（1）等腰三角形的一边长是，另一边长是，则该等腰三角形的周长是__________． （2）若等腰三角形的周长是，则它的腰长的取值范围是__________． 题型04 利用三角形的三边关系化简 解题贴士 化简含三角形边长的绝对值式子，先根据三边关系判断绝对值内代数式正负，然后根据正负去掉绝对值符号，再去括号合并同类项，得到最简结果。 典｜例｜精｜析 【例7】已知三角形的三边长分别为1，a，4，则化简的结果等于（） A．6 B．7 C．8 D． 【例8】已知、、分别为的三边长，化简：_________． 变｜式｜巩｜固 【变式4-1】已知a，b，c是的三条边长，化简的结果为____． 【变式4-2】已知的三边长为a，b，c，化简：． 【变式4-3】已知的三边长分别为3、5、a，化简． 题型05 利用三角形的三边关系证明 解题贴士 1.线段不等关系证明，优先构造三角形，借助“两边之和大于第三边”推导。 2.多条线段比较时，拆分线段放入不同三角形，列出多个不等式，再通过不等式相加、代换完成证明。 典｜例｜精｜析 【例9】如图所示，D是内任意一点，连接，，证明：． 【例10】如图，P为中任意一点．证明：． 变｜式｜巩｜固 【变式5-1】 如图，是四边形的对角线，且相交于点O．求证：； 【变式5-2】四边形是任意四边形，与交点O．    求证：． 证明：在中有 在中有________， 在中有________． 在________中有________， ∴ 即：________， 即： 【变式5-3】如图，已知O为内任意一点，求证 (1) ； (2) 题型06 三角形的稳定性及其应用 典｜例｜精｜析 【例11】如图，一扇窗户打开后，用窗钩可将其固定，这里所运用的几何原理是（     ） A．垂线段最短 B．两点之间线段最短 C．两点确定一条直线 D．三角形的稳定性 【例12】劳动实践课上，小明用4根木棒钉成一个四边形木架，它容易变形，现需增加一根木棒，使其具有稳定性，则下列做法不能使其具有稳定性的是（   ） A． B． C． D． 变｜式｜巩｜固 【变式6-1】如图，跪姿射击的动作，由左手、左肘、左肩构成的托枪姿势，可以使射击者在射击过程中保持枪的稳定性，这里所运用的几何知识是________． 【变式6-2】列生活实物中，没有应用到三角形的稳定性的是（    ） A．活动衣架 B．拉杆 C．三脚架 D．太阳能热水器 【变式6-3】下面图形是用木条钉成的支架，其中不容易变形的是（   ） A． B． C． D． 基础通关 1．北盘江第一桥是世界上最高的桥梁，原名是尼珠河大桥，位于云贵两省交界处．这座宏伟的桥梁一共设计了112对224根斜拉索，设计斜拉索所运用的几何原理是（     ）． A．垂线段最短 B．两点之间线段最短 C．两点确定一条直线 D．三角形的稳定性 2．（ 2025·26七年级下·上海普陀·期末）用下列长度的三根木条首尾顺次连接（不计接头处损耗），不能做成三角形框架的是（     ） A．、、 B．、、 C．、、 D．、、 3．若等腰三角形的两边长分别是和，则它的周长为（     ） A． B． C． D．或 4．下列图形中，具有稳定性的是（    ） A． B． C． D． 5．已知的三边长分别是a，b，c，化简的结果为（    ） A． B． C． D． 6．（ 2025·26七年级下·上海普陀·期末）已知等腰三角形的周长是，如果其中一条边长为，那么底边长为_______． 7．已知三角形的三边长分别为2，5，a（a为整数），则a的值可以为________．（填一个即可） 8．（ 2024·25八年级上·四川眉山·期末）实数、满足，则以，为边的等腰三角形的周长为__________． 9．已知的边，边的长度分别是不等式组的最大整数解与最小整数解，且的周长为奇数，则的第三条边的长度的最小值为_____． 10．已知两根木条的长分别为，，现再选一根木条，用这三根木条围成一个三角形木架，请写出所选木条的长度x（单位：）应满足的不等式组，并求出这个不等式组的解集． 11．已知的三边长均为整数，且和满足． (1)求的值． (2)求满足条件的的值． 12．已知、、分别是的三边长，化简：． 素养提升 13．已知a，b是等腰三角形的两边长，且，则此等腰三角形的周长是（     ） A．8 B．6或8 C．7 D．7或8 14．下列长度的四条线段，能作为四边形四边的是（     ） A．1，1，1，3 B．2，2，2，3 C．1，3，2，6 D．2，2，2，7 15．小宇想把一根吸管剪成3段来围成一个三角形，如图，点是这根吸管的中点，下面点（     ）不能作为第一刀的切点． A．A B．B C．C D．D 16．小红在学习完《三角形》后，她对各边长都是整数的三角形的个数进行了研究，结果如下表： 最长的边长 1 2 3 … n 三角形的个数 1 2 4 … m 若，则m的值是（     ） A．16 B．18 C．20 D．22 17．如图，图中三角形有一个是等腰三角形，则的值是（    ） A．5 B．7 C．8 D．14 18．如图，，两点在数轴上，点所对应的数是，若的长为个单位长度，的长为个单位长度，则点对应的数可能是（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 19．等腰三角形的周长为，若其中一条边长为，则该等腰三角形的腰长是______． 20．已知a、b、c是三角形的三边，化简___________． 迁移创新 21．等腰三角形的两边长为和，周长为28，则底边的长度可能为（     ） A．8 B． C．8或 D．8或或4 22．已知三边长分别为，，，（，，为正整数），且． （1）若则______． （2）若从，，，，，，，这个数中取个不同的数，且这个数中，总存在三个不同的数作为，，的值，则的最小值＝______． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $