第18讲 两角和与差的正弦、余弦和正切公式，二倍角公式 课件-2027届高三数学一轮复习

该高中数学高考复习课件聚焦“两角和与差及二倍角公式”专题，依据课标要求梳理公式推导、内在联系及恒等变换三大考查要点，结合近三年高考真题分析公式应用、角的拆分等高频考点，归纳求值、化简等常考题型，体现备考针对性。 课件亮点在于“真题解析+技巧提炼+变式训练”策略，如例1通过角的拆分（α-π/3=(α+β)-(β+π/3)）应用余弦差角公式，培养数学思维（推理能力）和数学眼光（抽象能力）。特设“规律与技巧”总结“三看”原则，帮助学生掌握公式逆用等方法，教师可据此精准教学，提升复习效率。

专题3　三角函数 1 第18讲　两角和与差的正弦、余弦和正切公式，二倍角公式 目 录 课标要求 夯基固本 考点探究 01 03 02 课标要求 返回目录 夯基固本 知识梳理 >> cos αcos β－sin αsin β cos αcos β+sin αsin β sin αcos β＋cos αsin β sin αcos β－cos αsin β 返回目录 2sin αcos α cos2α－sin2α 2sin2α 2cos2α 返回目录 夯基固本 常用结论 >> 返回目录 夯基固本 热身练习 >> A 2 3 4 5 1 返回目录 2 3 4 5 1 返回目录 C 2 3 4 5 1 返回目录 D 2 3 4 5 1 返回目录 2 3 4 5 1 返回目录 A 2 3 4 5 1 返回目录 2 3 4 5 1 返回目录 2 3 4 5 1 返回目录 2 3 4 5 1 返回目录 考点探究 探究点1 探究点2 探究点3 返回目录 探究点1　两角和与差公式及应用 B 探究点1 探究点2 探究点3 返回目录 探究点1 探究点2 探究点3 返回目录 C 探究点1 探究点2 探究点3 返回目录 探究点1 探究点2 探究点3 返回目录 探究点1 探究点2 探究点3 返回目录 D 探究点1 探究点2 探究点3 返回目录 探究点1 探究点2 探究点3 返回目录 规律与技巧 探究点1 探究点2 探究点3 返回目录 变式探究 探究点1 探究点2 探究点3 返回目录 探究点1 探究点2 探究点3 返回目录 变式探究 C 探究点1 探究点2 探究点3 返回目录 探究点1 探究点2 探究点3 返回目录 变式探究 B 探究点1 探究点2 探究点3 返回目录 探究点1 探究点2 探究点3 返回目录 探究点1 探究点2 探究点3 返回目录 探究点2　二倍角公式及应用 C 探究点1 探究点2 探究点3 返回目录 探究点1 探究点2 探究点3 返回目录 C 探究点1 探究点2 探究点3 返回目录 探究点1 探究点2 探究点3 返回目录 探究点1 探究点2 探究点3 返回目录 探究点1 探究点2 探究点3 返回目录 探究点1 探究点2 探究点3 返回目录 探究点1 探究点2 探究点3 返回目录 规律与技巧 探究点1 探究点2 探究点3 返回目录 变式探究 B 探究点1 探究点2 探究点3 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2α＝________________． eq \f(tan α＋tan β,1－tan αtan β) eq \f(tan α－tan β,1＋tan αtan β) eq \f(2tan α,1－tan2α) 1．辅助角公式 asin α＋bcos α＝ eq \r(a2＋b2)sin (α＋φ)， 其中cos φ＝ eq \f(a,\r(a2＋b2))，sin φ＝ eq \f(b,\r(a2＋b2)). 2．T(α±β)的常用变形 tan α＋tan β＝tan (α＋β)(1－tan αtan β). tan α－tan β＝tan (α－β)(1＋tan αtan β). 1．(教材母题必修5.5.1练习T3改编)已知sin (α－ eq \f(π,2))＝2sin α，则tan 2α＝(　　) A．－ eq \f(4,3) B．－ eq \f(3,4) C． eq \f(16,5) D． eq \f(1,2) 解析：由sin (α－ eq \f(π,2))＝－cos α＝2sin α， 可得tan α＝－ eq \f(1,2)， 故tan 2α＝ eq \f(2tan α,1－tan2α)＝－ eq \f(4,3).故选A. 2．(2025·广东肇庆阶段练习)cos50°cos 70°＋sin 50°cos 160°＝(　　) A．－ eq \f(\r(3),2) B． eq \f(\r(3),2) C．－ eq \f(1,2) D． eq \f(1,2) 解析：原式＝cos 50°cos 70°＋sin 50°cos (90°＋70°) ＝cos 50°cos 70°－sin 50°sin 70° ＝cos (50°＋70°)＝cos 120°＝－ eq \f(1,2).故选C. 3．(教材母题必修5.5.1练习T2改编)若sin ( eq \f(5π,4)＋θ)＝－ eq \f(3,5)，则sin 2θ＝(　　) A． eq \f(7,25) B． eq \f(1,5) C．－ eq \f(1,5) D．－ eq \f(7,25) 解析：由sin ( eq \f(5π,4)＋θ)＝－ eq \f(3,5)，可得sin ( eq \f(π,4)＋θ)＝ eq \f(3,5)， 所以sin 2θ＝－cos (2θ＋ eq \f(π,2)) ＝2sin2(θ＋ eq \f(π,4))－1＝ eq \f(18,25)－1 ＝－ eq \f(7,25).故选D. 4．(2024·新课标Ⅰ卷)已知cos(α＋β)＝m，tan αtan β＝2，则cos (α－β)＝(　　) A．－3m B．－ eq \f(m,3) C． eq \f(m,3) D．3m 解析：因为cos (α＋β)＝m， 所以cos αcos β－sin αsin β＝m， 而tan αtan β＝2，所以sin αsin β＝2cos αcos β， 故cos αcos β－2cos αcos β＝m， 即cos αcos β＝－m， 从而sin αsin β＝－2m， 故cos (α－β)＝－3m，故选A. 5．(教材母题必修复习参考题5T12)tan 10°＋tan 50°＋ eq \r(3)tan 10°tan 50°＝________. eq \r(3) 解析：因为tan 60°＝tan (10°＋50°) ＝ eq \f(tan 10°＋tan 50°,1－tan 10°tan 50°)， 所以tan 10°＋tan 50°＝tan 60°(1－tan 10°tan 50°) ＝ eq \r(3)－ eq \r(3)tan 10°tan 50°， 所以原式＝ eq \r(3)－ eq \r(3)tan 10°tan 50°＋ eq \r(3)tan 10°tan 50° ＝ eq \r(3). 【例1】 (1) eq \f(cos 15°＋sin 15°,cos 15°－sin 15°)＝(　　) A． eq \f(\r(3),3) B． eq \r(3) C．－ eq \f(\r(3),3) D．－ eq \r(3) 解析：(1)原式＝ eq \f(1＋tan 15°,1－tan 15°) ＝ eq \f(tan 45°＋tan 15°,1－tan 45°tan 15°) ＝tan (45°＋15°)＝ eq \r(3)，故选B. 【例1】(2)已知α，β均为锐角，cos (α＋β)＝－ eq \f(5,13)，sin (β＋ eq \f(π,3))＝ eq \f(4,5)，则cos (α－ eq \f(π,3))＝(　　) A． eq \f(33,65) B．－ eq \f(33,65) C． eq \f(63,65) D． eq \f(33,65)或 eq \f(63,65) 解析：(2)因为α，β为锐角， 所以α＋β∈(0，π)，β＋ eq \f(π,3)∈( eq \f(π,3)， eq \f(5π,6))， 所以sin (α＋β)>0，cos (β＋ eq \f(π,3))∈(－ eq \f(\r(3),2)， eq \f(1,2))， 因为cos (α＋β)＝－ eq \f(5,13)，所以sin (α＋β)＝ eq \f(12,13)， 又因为sin (β＋ eq \f(π,3))＝ eq \f(4,5)，所以cos (β＋ eq \f(π,3))＝－ eq \f(3,5)( eq \f(3,5)舍去)， 所以cos (α－ eq \f(π,3))＝cos [(α＋β)－(β＋ eq \f(π,3))] ＝cos (α＋β)cos (β＋ eq \f(π,3))＋sin (α＋β)sin (β＋ eq \f(π,3)) ＝－ eq \f(5,13)×(－ eq \f(3,5))＋ eq \f(12,13)× eq \f(4,5)＝ eq \f(63,65).故选C. 【例1】(3)(2024·河南三模)若sin (α－β)＝ eq \f(1,6)，且tan α＝2tan β，则sin (α＋β)＝(　　) A． eq \f(\r(3),2) B． eq \f(\r(2),2) C． eq \f(2,3) D． eq \f(1,2) 解析：(3)因为sin (α－β)＝sin αcos β－cos αsin β＝ eq \f(1,6)， 又tan α＝2tan β，即 eq \f(sin α,cos α)＝ eq \f(2sin β,cos β)， 则sin αcos β＝2cos αsin β，所以sin αcos β＝ eq \f(1,3)， cos αsin β＝ eq \f(1,6)，故sin (α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β ＝ eq \f(1,3)＋ eq \f(1,6)＝ eq \f(1,2).故选D. 在三角函数的求值、化简时，注意观察函数名、所求角与已知角之间的差异，再选择适当的三角公式恒等变换．求角问题的关键在于选择恰当的三角函数，选择的标准是在角的范围内根据函数值，确定角的值，避免增解．在进行简单的三角恒等变换时，既要注意公式“正用”，又要注意公式“逆用”． 1．(教材母题必修复习参考题5T15)已知cos α－ cos β＝ eq \f(1,2)，sin α－sin β＝ eq \f(1,3)，则cos (α－β)＝________. 解析：由cos α－cos β＝ eq \f(1,2)，sin α－sin β＝ eq \f(1,3)， 得(cos α－cos β)2＝ eq \f(1,4)，(sin α－sin β)2＝ eq \f(1,9)， 所以cos2α＋cos2β＋sin2α＋sin2β－2(cosαcos β＋sin α·sin β) ＝ eq \f(13,36)，即2－2cos (α－β)＝ eq \f(13,36)⇒cos (α－β)＝ eq \f(59,72). 2．(2024·江西九江三模)若2sin (α＋ eq \f(π,3))＝cos (α－ eq \f(π,3))，则tan (α－ eq \f(π,6))＝(　　) A．－4－ eq \r(3) B．－4＋ eq \r(3) C．4－ eq \r(3) D．4＋ eq \r(3) 解析：令β＝α－ eq \f(π,6)，则α＝β＋ eq \f(π,6)， 所以由2sin (α＋ eq \f(π,3))＝cos (α－ eq \f(π,3))，得2sin (β＋ eq \f(π,2))＝cos (β－ eq \f(π,6))， 即2cos β＝ eq \f(\r(3),2)cos β＋ eq \f(1,2)sin β，即sin β＝(4－ eq \r(3))cos β， 得tan β＝4－ eq \r(3)，所以tan (α－ eq \f(π,6))＝tan β＝4－ eq \r(3)，故选C. 3．若0<α< eq \f(π,2)，0<β< eq \f(π,2)，sin ( eq \f(π,3)－ eq \f(α,2))＝ eq \f(\r(5),5)，cos ( eq \f(β,2)－ eq \f(π,3))＝ eq \f(4,5)，则cos eq \f(α－β,2)＝(　　) A． eq \f(\r(5),5) B． eq \f(11\r(5),25) C． eq \f(2\r(5),5) D． eq \f(7\r(5),25) 解析：因为0<α< eq \f(π,2)，0<β< eq \f(π,2)， 所以 eq \f(π,12)< eq \f(π,3)－ eq \f(α,2)< eq \f(π,3)，－ eq \f(π,3)< eq \f(β,2)－ eq \f(π,3)<－ eq \f(π,12). 因为sin ( eq \f(π,3)－ eq \f(α,2))＝ eq \f(\r(5),5)，所以cos ( eq \f(π,3)－ eq \f(α,2))＝ eq \f(2\r(5),5). 因为cos ( eq \f(β,2)－ eq \f(π,3))＝ eq \f(4,5)，所以sin ( eq \f(β,2)－ eq \f(π,3))＝－ eq \f(3,5). 所以cos eq \f(α－β,2)＝cos [( eq \f(β,2)－ eq \f(π,3))＋( eq \f(π,3)－ eq \f(α,2))] ＝cos ( eq \f(β,2)－ eq \f(π,3))cos ( eq \f(π,3)－ eq \f(α,2))－sin ( eq \f(β,2)－ eq \f(π,3))·sin ( eq \f(π,3)－ eq \f(α,2)) ＝ eq \f(4,5)× eq \f(2\r(5),5)－(－ eq \f(3,5))× eq \f(\r(5),5)＝ eq \f(11\r(5),25).故选B. 【例2】(1)已知α∈(－ eq \f(π,2)， eq \f(π,2))，cos (α＋ eq \f(π,6))＝ eq \f(1,5)，则sin (2α＋ eq \f(π,3))＝(　　) A． eq \f(\r(6),5) B． eq \f(2\r(6),5) C． eq \f(4\r(6),25) D．－ eq \f(4\r(6),25) 解析：(1)由α∈(－ eq \f(π,2)， eq \f(π,2))，可得α＋ eq \f(π,6)∈(－ eq \f(π,3)， eq \f(2π,3))， 又cos (α＋ eq \f(π,6))＝ eq \f(1,5)< eq \f(1,2)＝cos eq \f(π,3)， 所以α＋ eq \f(π,6)∈( eq \f(π,3)， eq \f(2π,3))，所以sin (α＋ eq \f(π,6))＝ eq \r(1－(\f(1,5))2)＝ eq \f(2\r(6),5)， 所以sin (2α＋ eq \f(π,3))＝2sin (α＋ eq \f(π,6))cos (α＋ eq \f(π,6))＝ eq \f(4\r(6),25).故选C. 【例2】(2)(2024·辽宁一模)若tan 2α＝ eq \f(4,3)，则 eq \f(2＋2cos 2α－3sin 2α,1－cos 2α)＝(　　) A．－ eq \f(1,2)或2 B．－2或 eq \f(1,2) C．2 D．－ eq \f(1,2) 解析：(2)tan 2α＝ eq \f(4,3)⇒ eq \f(2tan α,1－tan2α)＝ eq \f(4,3)⇒tan α＝ eq \f(1,2)或－2， eq \f(2＋2cos 2α－3sin 2α,1－cos 2α) ＝ eq \f(2＋2(2cos2α－1)－6sinαcos α,1－(1－2sin2α)) ＝ eq \f(4cos2α－6sinαcos α,2sin2α)＝ eq \f(2－3tan α,tan2α)， 代入tan α求得值均为2.故选C. 【例2】(3)已知α，β均为锐角，cos α＝ eq \f(2\r(7),7)，sin β＝ eq \f(3\r(3),14)，则cos 2α＝________，2α－β＝________． 解析：(3)因为cos α＝ eq \f(2\r(7),7)， 所以cos 2α＝2cos2α－1＝ eq \f(1,7). 又因为α，β均为锐角，sin β＝ eq \f(3\r(3),14)， 所以sin α＝ eq \f(\r(21),7)，cos β＝ eq \f(13,14)， 因此sin 2α＝2sin αcos α＝ eq \f(4\r(3),7)， 所以sin (2α－β)＝sin 2αcos β－cos 2αsin β ＝ eq \f(4\r(3),7)× eq \f(13,14)－ eq \f(1,7)× eq \f(3\r(3),14)＝ eq \f(\r(3),2). 因为α为锐角，所以0<2α<π. 又cos 2α>0，所以0<2α< eq \f(π,2)， 又β为锐角，所以－ eq \f(π,2)<2α－β< eq \f(π,2)， 又sin (2α－β)＝ eq \f(\r(3),2)，所以2α－β＝ eq \f(π,3). 三角函数式的恒等变换要注意以下三点：①看角之间的差别与联系，把角进行合理的拆分，正确使用公式；②看函数名称之间的差异，确定使用的公式，常见的有“切化弦”；③看结构特征，找到变形的方向，常见的有“遇到分式要通分”“遇到根式一般要升幂”． 4．已知α∈( eq \f(π,3)， eq \f(5π,6))，且sin (α＋ eq \f(π,6))＝ eq \f(1,3)，则cos (2α－ eq \f(π,6))＝(　　) A．－ eq \f(8,9) B．－ eq \f(4\r(2),9) C． eq \f(4\r(2),9) D． eq \f(8,9) 解析：因为α∈( eq \f(π,3)， eq \f(5π,6))，所以α＋ eq \f(π,6)∈( eq \f(π,2)，π)， 则cos (α＋ eq \f(π,6))＝－ eq \r(1－sin2(α＋\f(π,6))) ＝ eq \f(－2\r(2),3)， 因为2(α＋ eq \f(π,6))－(2α－ eq \f(π,6))＝ eq \f(π,2)， 所以cos(2α－ eq \f(π,6))＝cos [2(α＋ eq \f(π,6))－ eq \f(π,2)] ＝sin [2(α＋ eq \f(π,6))]＝2sin (α＋ eq \f(π,6))cos (α＋ eq \f(π,6)) ＝2× eq \f(1,3)×(－ eq \f(2\r(2),3))＝－ eq \f(4\r(2),9)，故选B. 5．已知tan α＝－3，则sin 2α－2cos 2α＝(　　) A．－ eq \f(1,2) B．－1 C．1 D．2 解析：因为tan α＝－3， 所以sin 2α－2cos 2α＝2sin αcos α－2cos2α＋2sin2α ＝ eq \f(2sinαcos α－2cos2α＋2sin2α,cos2α＋sin2α)＝ eq \f(2tan α－2＋2tan2α,1＋tan2α) ＝ eq \f(2×(－3)－2＋2×(－3)2,1＋(－3)2)＝1.故选C. 6．已知α，β为锐角，tan(α＋ eq \f(π,6))＝ eq \f(1,3)，tan ( eq \f(π,12)－β)＝ eq \f(1,2)，则tan (α＋2β)＝(　　) A．－ eq \f(9,13) B．－ eq \f(13,9) C． eq \f(13,9) D． eq \f(9,13) 解析：因为tan ( eq \f(π,6)－2β)＝tan [2( eq \f(π,12)－β)] ＝ eq \f(2tan (\f(π,12)－β),1－tan2(\f(π,12)－β))＝ eq \f(1,1－\f(1,4))＝ eq \f(4,3)， 所以tan(α＋2β)＝tan [(α＋ eq \f(π,6))－( eq \f(π,6)－2β)] ＝ eq \f(tan (α＋\f(π,6))－tan (\f(π,6)－2β),1＋tan (α＋\f(π,6))tan (\f(π,6)－2β))＝ eq \f(\f(1,3)－\f(4,3),1＋\f(1,3)×\f(4,3))＝－ eq \f(9,13).故选A. 【例3】(1)(2023·新课标Ⅰ卷)已知sin (α－β)＝ eq \f(1,3)，cos αsin β＝ eq \f(1,6)，则cos (2α＋2β)＝(　　) A． eq \f(7,9) B． eq \f(1,9) C．－ eq \f(1,9) D．－ eq \f(7,9) 解析：(1)因为sin (α－β)＝sin αcos β－cos αsin β ＝ eq \f(1,3)，而cos αsin β＝ eq \f(1,6)，因此sin αcos β＝ eq \f(1,2)， 则sin (α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β＝ eq \f(2,3)， 所以cos (2α＋2β)＝cos [2(α＋β)] ＝1－2sin2(α＋β)＝1－2×( eq \f(2,3))2＝ eq \f(1,9).故选B. 【例3】(2)(2024·辽宁丹东二模)已知sin α＋sin (α＋ eq \f(π,3))＝ eq \f(\r(3),3)，则cos (2α＋ eq \f(π,3))＝(　　) A． eq \f(7,9) B．－ eq \f(7,9) C． eq \f(2,9) D．－ eq \f(2,9) 解析：(2)(方法1)由sin α＋sin (α＋ eq \f(π,3))＝ eq \f(\r(3),3)， 得sin [(α＋ eq \f(π,6))－ eq \f(π,6)]＋sin [(α＋ eq \f(π,6))＋ eq \f(π,6)]＝ eq \f(\r(3),3)， 得sin (α＋ eq \f(π,6))cos eq \f(π,6)－cos (α＋ eq \f(π,6))sin eq \f(π,6)＋sin (α＋ eq \f(π,6))·cos eq \f(π,6)＋cos (α＋ eq \f(π,6))sin eq \f(π,6)＝ eq \f(\r(3),3)， 得 eq \r(3)sin (α＋ eq \f(π,6))＝ eq \f(\r(3),3)，所以sin (α＋ eq \f(π,6))＝ eq \f(1,3)， 所以cos (2α＋ eq \f(π,3))＝1－2sin2(α＋ eq \f(π,6))＝ eq \f(7,9).故选A. (方法2)将sin α＋sin (α＋ eq \f(π,3))＝ eq \f(\r(3),3)展开得 sin α＋sin αcos eq \f(π,3)＋cos αsin eq \f(π,3)＝ eq \f(\r(3),3)， 整理得 eq \f(\r(3),2)sin α＋ eq \f(1,2)cos α＝ eq \f(1,3)， 即sin (α＋ eq \f(π,6))＝ eq \f(1,3)， 所以cos (2α＋ eq \f(π,3))＝1－2sin2(α＋ eq \f(π,6))＝ eq \f(7,9).故选A. 【例3】(3)已知3cos 2α－4sin2β＝1，3sin2α－2sin 2β＝0，且α为锐角，则sin α＝(　　) A． eq \f(1,3) B． eq \f(\r(3),3) C． eq \f(7,9) D． eq \f(\r(7),3) 解析：(3)由3cos2α－4sin2β＝1， 及sin2β＝ eq \f(1－cos2β,2)得 3cos 2α＋2cos 2β＝3，① 由3sin 2α－2sin 2β＝0， 得(3sin 2α－2sin 2β)(3sin 2α＋2sin 2β)＝0， 则9sin22α－4sin22β＝0， 从而有9cos22α－4cos22β＝5， 得(3cos2α－2cos 2β)(3cos 2α＋2cos 2β)＝5， 得3cos 2α－2cos 2β＝ eq \f(5,3).② 由①②解得cos 2α＝ eq \f(7,9)，则1－2sin2α＝ eq \f(7,9)， 因为α为锐角，所以sin α＝ eq \f(1,3).故选A. (1)三角函数式的变形要遵循“三看”原则：一看角，二看名，三看式子结构与特征． (2)三角函数式的化简要注意观察条件中角之间的联系(和、差、倍、互余、互补等)，寻找式子和三角函数公式之间的共同点． 7．(2025·四川绵阳阶段练习)已知x∈[0， eq \f(π,4)]，sin x＋cos x＝ eq \f(3\r(5),5)，则tan (x－ eq \f(3π,4))＝________． 解析：sin x＋cos x＝ eq \r(2)sin (x＋ eq \f(π,4))＝ eq \f(3\r(5),5)， 故sin (x＋ eq \f(π,4))＝ eq \f(3\r(10),10)， 由x∈[0， eq \f(π,4)]，则x＋ eq \f(π,4)∈[ eq \f(π,4)， eq \f(π,2)]， 故cos (x＋ eq \f(π,4))＝ eq \r(1－(\f(3\r(10),10))2)＝ eq \f(\r(10),10)， tan (x－ eq \f(3π,4))＝tan (x－ eq \f(3π,4)＋π) ＝tan (x＋ eq \f(π,4)) ＝ eq \f(sin (x＋\f(π,4)),cos (x＋\f(π,4)))＝ eq \f(\f(3\r(10),10),\f(\r(10),10))＝3. 8．(2024·新课标Ⅱ卷)已知α为第一象限角，β为第三象限角，tan α＋tan β＝4，tan αtan β＝ eq \r(2)＋1，则sin (α＋β)＝________． 解析：(方法1)由题意得tan (α＋β)＝ eq \f(tan α＋tan β,1－tan αtan β) ＝ eq \f(4,1－(\r(2)＋1))＝－2 eq \r(2)， 因为α∈(2kπ，2kπ＋ eq \f(π,2))，β∈(2mπ＋π，2mπ＋ eq \f(3π,2))，k，m∈Z， 则α＋β∈((2m＋2k)π＋π，(2m＋2k)π＋2π)，k，m∈Z， 又因为tan (α＋β)＝－2 eq \r(2)<0， 则α＋β∈((2m＋2k)π＋ eq \f(3π,2)，(2m＋2k)π＋2π)，k，m∈Z， 则sin (α＋β)<0，则 eq \f(sin (α＋β),cos (α＋β))＝－2 eq \r(2)， 联立sin2(α＋β)＋cos2(α＋β)＝1， 解得sin(α＋β)＝－ eq \f(2\r(2),3). (方法2)因为α为第一象限角，β为第三象限角， 则cos α>0，cos β<0， cos α＝ eq \f(cos α,\r(sin2α＋cos2α))＝ eq \f(1,\r(1＋tan2α))， cos β＝ eq \f(cos β,\r(sin2β＋cos2β))＝ eq \f(－1,\r(1＋tan2β))， 则sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β ＝cos αcos β(tan α＋tan β) ＝4cos αcos β＝ eq \f(－4,\r(1＋tan2α)\r(1＋tan2β)) ＝ eq \f(－4,\r((tan α＋tan β)2＋(tan αtan β－1)2)) ＝ eq \f(－4,\r(42＋2))＝－ eq \f(2\r(2),3). $