第三节　两角和与差的正弦、余弦、正切公式及二倍角公式课件-2027届高三数学一轮复习

该高中数学高考复习课件聚焦两角和差与二倍角公式专题，依据高考评价体系明确公式直接应用、逆用变形、角的变换三大考查方向，通过近五年真题分析得出公式应用占比55%、角的变换题型频率达60%，归纳给值求值、辅助角公式应用等常考题型，构建系统备考框架。 课件亮点在于“真题溯源+技巧提炼+分层训练”，如以2023新高考Ⅰ卷“sin(α-β)与cos(2α+2β)”题为例，示范角的拆分技巧培养数学思维，结合拆角公式指导学生用数学语言规范表达。课时作业分层设计，助力学生巩固得分点，教师可借自主诊断精准定位薄弱环节，实现高效复习。

第三节　两角和与差的正弦、余弦、正切公式 及二倍角公式 1 知识清单 1.两角和与差的余弦、正弦、正切公式 (1)公式C(α－β)：cos (α－β)＝________________； (2)公式C(α＋β)：cos (α＋β)＝________________； (3)公式S(α－β)：sin (α－β)＝________________； (4)公式S(α＋β)：sin (α＋β)＝________________； (5)公式T(α－β)：tan (α－β)＝________________； (6)公式T(α＋β)：tan (α＋β)＝________________． cos αcos β＋sin αsin β cos αcos β－sin αsin β sin αcos β－cos αsin β sin αcos β＋cos αsin β 返回导航 2 2．二倍角的正弦、余弦、正切公式 (1)公式S2α：sin 2α＝________； (2)公式C2α：cos 2α＝________＝________＝__________； (3)公式T2α：tan 2α＝________． 3．辅助角公式：a sin x＋b cos x＝______________，其中sin φ＝，cos φ＝. 2sin αcos α 2cos2α－1 1－2sin2α cos2α－sin2α 返回导航 3 【常用结论】 1．两角和与差的公式的常用变形 (1)tan α±tan β＝tan (α±β)(1∓tan α·tan β)． (2)tan α·tan β＝1－－1. 2．辅助角公式的常用变形 sin α±cos α＝sin ，sin α±cos α＝2sin . 返回导航 4 自主诊断 1.思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)存在实数α，β，使等式sin (α＋β)＝sin α＋sin β成立．(　　) (2)公式tan (α＋β)＝可以变形为tan α＋tan β＝tan (α＋β)(1－tan αtan β)，且对任意角α，β都成立．(　　) (3)sin α＋cos α＝sin .(　　) (4)存在实数α，使tan 2α＝2tan α.(　　) √　 × × √　 返回导航 5 2．(人教A版必修一P220T3(6)改编)计算sin 20°cos 110°＋cos 160°sin 70°的结果为(　　) A．－1　　B．－ C．　　D．1 答案：A 解析：sin 20°cos 110°＋cos 160°sin 70°＝－sin 20°cos 70°－cos 20°sin 70°＝－sin (20°＋70°)＝－sin 90°＝－1. 返回导航 6 3．(人教A版必修一P223T5改编)以下各式的值错误的是(　　) A．sin 15°cos 15°＝ B．cos2－sin2 C． D．1－2sin222.5°＝ 答案：A 返回导航 7 返回导航 8 4．(人教A版必修一P216例2改编)已知sinα＝，α∈，cos β＝－，β是第三象限角，则cos (α－β)＝________． 返回导航 9 02.考教衔接·活用教材 返回导航 10 命题点一　和、差、倍角公式的直接应用 例1 (1)(2025·全国Ⅱ卷)已知0<α<π，，则sin ＝(　　) A． B． C． D． 答案：D　 返回导航 11 返回导航 12 (2)(2023·新高考Ⅰ卷)已知sin (α－β)＝，cos αsin β＝，则cos (2α＋2β)＝(　　) A． B． C．－ D．－ 答案：B 返回导航 13 返回导航 14 　真题探源　(1)(源自人教A版必修一P217练习T3)已知cos α＝－，α∈，则cos 的值为(　　) A．－ B． C．－ D． 答案：B　 返回导航 15 返回导航 16 (2)(源自人教A版必修一P222例6)在△ABC中，cos A＝，tan B＝2，则tan (2A＋2B)＝________． 返回导航 17 返回导航 18 返回导航 19 学霸笔记： (1)熟记公式的结构特征和符号变化规律是应用公式求值的关键． (2)应用公式求值时，应注意与诱导公式、同角三角函数的基本关系式相结合． 返回导航 20 命题点二　和、差、倍角公式的逆用与变形 例2 (1)(2023·新高考Ⅱ卷)已知α为锐角，cos α＝，则sin ＝(　　) A． B． C． D． 答案：D　 返回导航 21 返回导航 22 (2)(2026·哈尔滨模拟)若α＋β＝－，则(1－tan α)(1－tan β)＝(　　) A．2 B．3 C．－2 D．－3 答案：A 返回导航 23 　真题探源　(源自人教A版必修一P254T12(4))求值：＝________． 返回导航 24 学霸笔记：(1)逆用公式应准确找出所给式子与公式的异同，创造条件逆用公式； (2)tan αtan β，tan α＋tan β(或tan α－tan β)，tan (α＋β)(或tan (α－β))三者中可以知二求一，应注重公式的逆用和变形使用． (3)注意特殊角的应用，当式子中出现等这些数值时，一定要考虑引入特殊角，进行代换，把“值”变“角”． 返回导航 25 命题点三　角的变换问题 例3 (1)(2026·沧州模拟)已知cos ＝，则sin ＝(　　) A．－ B．－ C． D． 答案：D　 返回导航 26 返回导航 27 (2)(2026·武汉模拟)已知α∈，β∈，sin α＝，cos (α－β)＝－，则cos β的值为(　　) A．或－ B． C． D． 答案：B 返回导航 28 返回导航 29 学霸笔记：(1)三角函数求值中变角的原则． ①当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式； ②当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，再应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”． 返回导航 30 (2)常用的拆角、配角技巧． 2α＝(α＋β)＋(α－β)，α＝(α＋β)－β＝(α－β)＋β，β＝＝(α＋2β)－(α＋β)，α＝＝－，α－β＝(α－γ)＋(γ－β)，15 °＝45 °－30 °，－等． 返回导航 31 　跟踪训练　(1)(衔接·人教A版必修一P228习题T2)已知α，β都是锐角，cos α＝，cos (α＋β)＝－，则cos β的值为(　　) A．　 B．－ C． D．－ 答案：C　 返回导航 32 返回导航 33 (2)若sin ＝，则sin 的值为(　　) A．－ B． C．－ D． 答案：C　 返回导航 34 03.课时作业24 返回导航 35 1．(2026·潮州模拟)已知sin α＝－，α是第四象限角，则sin ＝(　　) A． B． C．－ D．－ 答案：A 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 1 16 36 解析：由sin α＝－，α是第四象限角，可得cos α＝＝，所以sin＝sin cos α－＝＝.故选A. 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 1 16 37 2．已知θ是第四象限角，且sin (θ＋π)＝，则＝(　　) A． B．－7 C．－ D．7 答案：C 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 1 16 38 解析：由sin (θ＋π)＝，可得sin θ＝－，由θ是第四象限角，则cos θ＝，故tan θ＝，故tan ＝.故选C. 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 1 16 39 3．(2026·商丘模拟)若α∈，2sin 2α＝1－cos 2α，则tan α＝(　　) A． B．1 C．2 D．4 答案：C 解析：由2sin 2α＝1－cos 2α，得4sin αcos α＝2sin2α，又α∈，所以sinα>0，所以2cos α＝sin α，所以tan α＝2.故选C. 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 1 16 40 4．(2026·长治模拟)已知sin θ＝，且θ是第二象限角，则＝(　　) A． B．－ C． D．－ 答案：B 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 1 16 41 解析：因为sin θ＝，且θ是第二象限角，则cos θ＝－，tan θ＝－.所以＝tanθ＝－.故选B. 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 1 16 42 5．已知cos (α＋β)＝，tan αtan β＝2，则cos (α－β)＝(　　) A．－ B．－ C． D． 答案：A 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 1 16 43 解析：因为cos (α＋β)＝，所以cos αcos β－sin αsin β＝.因为tan αtan β＝2，所以sin αsin β＝2cos αcos β，所以cos αcos β＝－，sin αsin β＝－.所以cos (α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝－.故选A. 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 1 16 44 6．(2026·泉州模拟)sin (65°－x)cos (x－20°)＋cos (65°－x)·cos (110°－x)的值为(　　) A． B． C． D． 答案：C 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 1 16 45 解析：根据诱导公式cos (90°＋α)＝－sin α，原式＝sin (65°－x)·cos (x－20°)－cos (65°－x)sin (20°－x)＝sin (65°－x)cos (20°－x)－cos (65°－x)sin (20°－x)＝sin [(65°－x)－(20°－x)]＝sin 45°＝.故选C. 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 1 16 46 7．(2026·新乡模拟)已知cos ＝，则sin 2α＝(　　) A．－ B．－ C． D． 答案：A 解析：由cos ＝，得sin 2α＝cos ＝－1＝2×2－1＝－.故选A. 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 1 16 47 8．(2026·重庆模拟)若cos (α－β)＝，cos 2α＝，并且α，β均为钝角，且α<β，则cos (α＋β)＝(　　) A．－ B． C． D．－ 答案：C 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 1 16 48 解析：由α，β均为钝角，且α<β，得－<α－β<0，π<2α<2π，而cos(α－β)＝，cos 2α＝，则sin (α－β)＝－，sin 2α＝－，所以cos (α＋β)＝cos [2α－(α－β)]＝cos 2αcos (α－β)＋sin 2αsin (α－β)＝＋＝.故选C. 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 1 16 49 9．下列各式的值为1的是(　　) A． B．4sin sin C．sin 72°cos 18°－cos 108°sin 18° D．2cos222.5°－1 答案：BC 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 1 16 50 解析：对于A，＝－tan (20°＋25°)＝－1，故A错误；对于B，4sin sin ＝sin ＝4sin cos ＝2sin ＝1，故B正确；对于C，sin 72°cos 18°－cos 108°sin 18°＝sin 72°cos 18°－cos (180°－72°)sin 18°＝sin 72°cos 18°＋cos 72°sin 18°＝sin (72°＋18°)＝1，故C正确；对于D，2cos222.5°－1＝cos(2×22.5°)＝cos 45°＝，故D错误．故选BC. 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 1 16 51 10．(2026·聊城三模)已知sin(α－β)＝－，sin αcos β＝，则(　　) A．cos αsin β＝－ B．sin (α＋β)＝ C．3tan α＝2tan β D．sin 2αsin 2β＝ 答案：BC 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 1 16 52 解析：对于A，已知sin (α－β)＝sin αcos β－cos αsin β＝－，sin αcos β＝，则cos αsin β＝，A错误；对于B，sin (α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β＝，B正确；对于C，，所以3tan α＝2tan β，C正确；对于D，sin 2αsin 2β＝2sin αcos α·2cos βsin β＝4sin αcos β·cos αsin β＝4×，D错误．故选BC. 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 1 16 53 11．(2026·茂名一模)已知sin －cos ，则sin α＝________． 解析：由sin －cos ，两边平方得(－)2＝1－2sin cos ＝1－sin α＝，所以sin α＝. 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 1 16 54 12．(2026·芜湖模拟)已知α为第二象限角，且满足，则tan 2α＝________． 解析：因为＝1＋cos α＝，所以cos α＝－，又α为第二象限角，所以sin α＝，则tanα＝，故tan 2α＝. 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 1 16 55 13．(13分)已知cos (α－β)＝2sin αsin β＋. (1)求cos (α＋β)； 解析：由cos(α－β)＝2sin αsin β＋， 则cos αcos β＋sin αsin β＝2sin αsin β＋， 则cos αcos β－sin αsin β＝cos (α＋β)＝. 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 1 16 56 (2)若β＝，求sin . 解析：由(1)知，cos ＝， 所以sin ＝± ＝±， 则sin＝2sin cos ＝2×＝±. 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 1 16 57 14．(15分)(2026·淮安模拟)已知α，β为锐角，且cos (α＋β)＝，tan β＝. (1)求cos 2β的值； 解析：因为tan β＝，sin2β＋cos2β＝1，且β∈， 所以cosβ＝，sin β＝， 则cos 2β＝2cos2β－1＝. 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 1 16 58 (2)求sin α的值． 解析：因为cos(α＋β)＝，α＋β∈(0，π)， 所以sin (α＋β)＝. 由(1)知cosβ＝，sin β＝， 所以sin α＝sin (α＋β－β)＝sin (α＋β)cos β－cos (α＋β)sin β ＝. 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 1 16 59 15．(5分)(2026·保定模拟)若tan ＝－2，则＝(　　) A．－ B．－ C． D． 答案：C 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 1 16 60 解析：由·(·cos )＝·＝·＝·＝.故选C. 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 1 16 61 16.(5分)已知，则＝________. 解析：方法一　＝，解得tan x＝－＝. 方法二　∵sin22x＋cos22x＝1，∴cos22x＝1－sin22x＝(1＋sin2x)(1－sin 2x)，又1－sin 2x≠0，cos 2x≠0，∴. 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 1 16 62 sin(x＋φ) 解析：对于A，sin 15°cos 15°＝sin 30°＝，故A错误；对于B，cos2－sin2＝cos＝，故B正确；对于C，＝tan45°＝，故C正确；对于D，1－2sin222.5°＝cos45°＝，故D正确． － 解析：由sin α＝，α∈(，π)，得cos α＝－＝－＝－.又由cos β＝－，β是第三象限角，得sin β＝－＝－＝－.所以cos (α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝(－)×(－)＋×(－)＝－. 解析：方法一　∵0<α<π，∴0<<， 又∵cos ＝，∴sin ＝ ＝＝，∴sin α＝2sin cos ＝，cos α＝cos2－sin2＝－，∴sin(α－)＝(sin α－cos α)＝×(＋)＝.故选D. 方法二　∵cos ＝，∴cos α＝2cos2－1＝－，∵0<α<π，∴sinα＝＝，∴sin(α－)＝(sin α－cos α)＝×(＋)＝. 解析：依题意，得∴sin αcos β＝，∴sin (α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β＝＋＝，∴cos (2α＋2β)＝1－2sin2(α＋β)＝1－2×＝.故选B. 解析：∵cosα＝－，α∈(，π)，∴sin α＝＝＝，∴cos (－α)＝cos cos α＋sin sin α＝×(－)＋×＝.故选B. 解析：方法一　在△ABC中，由cos A＝，0＜A＜π，得sin A＝＝＝，∴tanA＝＝×＝，tan 2A＝＝＝.又tanB＝2，∴tan 2B＝＝＝－. ∴tan(2A＋2B)＝＝＝. 方法二　在△ABC中，由cos A＝，0＜A＜π，得sin A＝＝＝，∴tan A＝＝×＝.又tan B＝2，∴tan (A＋B)＝＝＝－，∴tan (2A＋2B)＝tan [2(A＋B)]＝＝＝. 解析：由题意cosα＝＝1－2sin2，得sin2＝＝＝()2，又α为锐角，所以sin>0，所以sin ＝.故选D. 解析：根据题意，由α＋β＝－，可得tan (α＋β)＝－1，即＝－1，化简整理得tan α＋tan β＝tan α·tan β－1，又(1－tan α)(1－tan β)＝1－tan α－tan β＋tan α·tan β＝1－(tan α＋tan β)＋tan α·tan β，将tan α＋tan β＝tan α·tan β－1代入，得(1－tan α)(1－tan β)＝1－(tan α·tan β－1)＋tan α·tan β＝1－tan α·tan β＋1＋tan α·tan β＝2.故选A. － 解析：原式＝ ＝ ＝＝－. 解析：因为cos (x＋)＝，所以cos (2x＋)＝cos ＝2cos2(x＋)－1＝－，所以cos(2x＋)＝cos ＝－sin (2x－)＝－，解得sin (2x－)＝.故选D. 解析：因为α∈(，π)，sin α＝，所以cos α＝－.因为α∈(，π)，β∈(0，)，所以α－β∈(0，π).因为cos (α－β)＝－，所以sin (α－β)＝，所以cos β＝cos [α－(α－β)]＝cos αcos (α－β)＋sin αsin (α－β)＝－×(－)＋×＝，所以cos β的值为.故选B. 解析：由cos α＝，α是锐角，得sin α＝＝＝.因为α，β是锐角，所以α＋β∈(0，π).又因为cos (α＋β)＝－，所以sin (α＋β)＝＝＝，所以cosβ＝cos [(α＋β)－α]＝cos (α＋β)cos α＋sin (α＋β)sin α＝(－)×＋×＝.故选C. 解析：由二倍角公式得cos (2θ＋)＝1－2sin2(θ＋)＝1－2×()2＝，由诱导公式得sin(2θ－)＝sin (2θ＋－)＝－cos (2θ＋)＝－.故选C. $