第17讲 同角三角函数的基本关系与诱导公式 课件-2027届高三数学一轮复习

该高中数学高考复习课件聚焦“同角三角函数的基本关系与诱导公式”专题，依据课标要求梳理平方关系、商数关系及六组诱导公式的理解与应用，通过教材母题改编和2024辽宁三模等真题分析，明确化简求值、给值求值为高频考点，构建系统备考体系。 课件亮点在于“知识梳理+真题训练+技巧提炼”的备考策略，如例1利用同角关系将齐次式化切求值，培养学生运算能力与数学思维，规律与技巧中总结“知一求二”方程思想，帮助学生掌握答题技巧，教师可据此精准教学，提升复习效率。

专题3　三角函数 1 第17讲　同角三角函数的 基本关系与诱导公式 目 录 课标要求 夯基固本 考点探究 01 03 02 课标要求 返回目录 夯基固本 知识梳理 >> sin2α＋cos2α＝1 sin α cos α tan α 返回目录 －sin α cos α －tan α sin α －cos α －tan α －sin α －cos α tan α 返回目录 cos α sin α cos α －sin α 返回目录 夯基固本 常用结论 >> 返回目录 返回目录 夯基固本 热身练习 >> B 2 3 4 5 1 返回目录 2 3 4 5 1 返回目录 C 2 3 4 5 1 返回目录 2 3 4 5 1 返回目录 B 2 3 4 5 1 返回目录 2 3 4 5 1 返回目录 3 2 3 4 5 1 返回目录 2 3 4 5 1 返回目录 2 3 4 5 1 返回目录 2 3 4 5 1 返回目录 考点探究 探究点1 探究点2 探究点3 返回目录 探究点1　同角三角关系的应用 10 探究点1 探究点2 探究点3 返回目录 探究点1 探究点2 探究点3 返回目录 探究点1 探究点2 探究点3 返回目录 A 探究点1 探究点2 探究点3 返回目录 探究点1 探究点2 探究点3 返回目录 探究点1 探究点2 探究点3 返回目录 规律与技巧 探究点1 探究点2 探究点3 返回目录 变式探究 0 探究点1 探究点2 探究点3 返回目录 探究点1 探究点2 探究点3 返回目录 探究点1 探究点2 探究点3 返回目录 探究点1 探究点2 探究点3 返回目录 变式探究 C 探究点1 探究点2 探究点3 返回目录 探究点1 探究点2 探究点3 返回目录 探究点1 探究点2 探究点3 返回目录 探究点2　诱导公式的应用 探究点1 探究点2 探究点3 返回目录 探究点1 探究点2 探究点3 返回目录 探究点1 探究点2 探究点3 返回目录 探究点1 探究点2 探究点3 返回目录 规律与技巧 探究点1 探究点2 探究点3 返回目录 变式探究 BD 探究点1 探究点2 探究点3 返回目录 探究点1 探究点2 探究点3 返回目录 探究点1 探究点2 探究点3 返回目录 变式探究 探究点1 探究点2 探究点3 返回目录 探究点1 探究点2 探究点3 返回目录 探究点1 探究点2 探究点3 返回目录 探究点3　诱导公式与同角关系的综合应用 探究点1 探究点2 探究点3 返回目录 C 探究点1 探究点2 探究点3 返回目录 探究点1 探究点2 探究点3 返回目录 BCD 探究点1 探究点2 探究点3 返回目录 探究点1 探究点2 探究点3 返回目录 探究点1 探究点2 探究点3 返回目录 探究点1 探究点2 探究点3 返回目录 规律与技巧 探究点1 探究点2 探究点3 返回目录 变式探究 C 探究点1 探究点2 探究点3 返回目录 探究点1 探究点2 探究点3 返回目录 变式探究 A 探究点1 探究点2 探究点3 返回目录 探究点1 探究点2 探究点3 返回目录 探究点1 探究点2 探究点3 返回目录 1.理解并掌握正弦、余弦及正切的诱导公式和同角三角函数的基本关系式． 2.借助单位圆的对称性，利用定义推导诱导公式. 3.能运用诱导公式及同角三角函数关系进行有关化简和求值． tan α＝ eq \f(sin α,cos α) 1．同角三角函数的基本关系式 平方关系：___________． 商数关系：____________． 2．诱导公式 公式一：(其中k∈Z) sin (2kπ＋α)＝__________，cos (2kπ＋α)＝________，tan (2kπ＋α)＝___________． 公式二： sin (π＋α)＝____________，cos (π＋α)＝_________，tan (π＋α)＝____________． 公式三： sin (－α)＝___________，cos (－α)＝___________，tan (－α)＝_____________． 公式四： sin (π－α)＝__________，cos (π－α)＝__________，tan (π－α)＝_________． 公式五： sin ( eq \f(π,2)－α)＝__________，cos ( eq \f(π,2)－α)＝__________． 公式六： sin ( eq \f(π,2)＋α)＝_________，cos ( eq \f(π,2)＋α)＝___________． 1．同角三角函数关系的常用变形 (sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α＝1±sin 2α. (sin α＋cos α)2＋(sin α－cos α)2＝2. (sin α＋cos α)2－(sin α－cos α)2＝4sin αcos α ＝2sin 2α. 2．诱导公式的记忆 (1)2kπ＋α(k∈Z)，－α，π±α，2π－α的三角函数等于α的同名三角函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号． (2) eq \f(π,2)±α， eq \f(3π,2)±α的正弦(余弦)函数值等于α的余弦(正弦)函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号． 可利用口诀“奇变偶不变，符号看象限”进行记忆． 1．(教材母题必修习题5.2T6)已知角α∈(－ eq \f(π,2)，0)，cos α＝ eq \f(2,3)，则tan α＝(　　) A．－ eq \f(\r(13),13) B．－ eq \f(\r(5),2) C． eq \f(\r(5),13) D．－ eq \f(\r(5),3) 解析：因为α∈(－ eq \f(π,2)，0)，所以sin α<0， 所以sin α＝－ eq \r(1－cos2α)＝－ eq \f(\r(5),3)， tan α＝ eq \f(sin α,cos α)＝－ eq \f(\r(5),2).故选B. 2．若cos ( eq \f(π,4)＋x)＝ eq \f(4,5)，则sin ( eq \f(π,4)－x)＝(　　) A． eq \f(3,5) B．－ eq \f(3,5) C． eq \f(4,5) D．－ eq \f(4,5) 解析：因为 eq \f(π,4)－x＝ eq \f(π,2)－( eq \f(π,4)＋x)， 所以sin ( eq \f(π,4)－x)＝sin [ eq \f(π,2)－( eq \f(π,4)＋x)] ＝cos ( eq \f(π,4)＋x)＝ eq \f(4,5).故选C. 3．sin 300°cos 600°＝(　　) A． eq \f(1,4) B． eq \f(\r(3),4) C．－ eq \f(1,4) D．－ eq \f(\r(3),4) 解析：sin 300°cos 600°＝sin (360°－60°)cos (720°－120°) ＝sin (－60°)cos (－120°) ＝(－ eq \f(\r(3),2))×(－ eq \f(1,2))＝ eq \f(\r(3),4)，故选B. 4．(2024·辽宁三模)已知tan α＝ eq \f(1,2)，则 eq \f(sin (α＋\f(π,2))－cos (\f(3π,2)－α),cos (－α)－sin (π－α))＝________． 解析： eq \f(sin (α＋\f(π,2))－cos (\f(3π,2)－α),cos (－α)－sin (π－α)) ＝ eq \f(cos α＋sin α,cos α－sin α)＝ eq \f(1＋tan α,1－tan α)＝ eq \f(1＋\f(1,2),1－\f(1,2))＝3. 5．(教材母题必修习题5.2T17)若 eq \f(sin x,1－cos x)＝ eq \r(3)，则 eq \f(1＋cos x,sin x)＝________． eq \r(3) 解析：由 eq \f(sin x,1－cos x)＝ eq \r(3)知1－cos x≠0， 所以 eq \f(1＋cos x,sin x)＝ eq \f((1＋cos x)(1－cos x),sin x(1－cos x)) ＝ eq \f(1－cos2x,sinx(1－cos x))＝ eq \f(sin2x,sinx(1－cos x)) ＝ eq \f(sin x,1－cos x)＝ eq \r(3). 【例1】(1)(教材母题必修习题5.2T15改编)已知tan α＝2，则 eq \f(1,sin αcos α)＝________； eq \f(1,1－sin α)＋ eq \f(1,1＋sin α)＝________. 解析：(1)因为tan α＝2， 所以 eq \f(1,sin αcos α)＝ eq \f(sin2α＋cos2α,sin αcos α) ＝ eq \f(tan2α＋1,tan α) ＝ eq \f(5,2). 因为tan α＝2， 所以 eq \f(1,1－sin α)＋ eq \f(1,1＋sin α) ＝ eq \f(1＋sin α＋1－sin α,(1－sin α)(1＋sin α)) ＝ eq \f(2,1－sin2α)＝ eq \f(2,cos2α)＝ eq \f(2(sin2α＋cos2α),cos2α) ＝2tan2α＋2＝10. 【例1】(2)已知A为三角形的内角，且sin A＋cos A＝ eq \f(7,13)，则tan A＝(　　) A．－ eq \f(12,5) B．－ eq \f(5,12) C． eq \f(5,12) D． eq \f(12,5) 解析：(2)因为sinA＋cos A＝ eq \f(7,13)， 所以(sin A＋cos A)2＝( eq \f(7,13))2， 计算得2sin A cos A＝－ eq \f(120,169)<0， 又A为三角形的内角， 所以sin A>0，cos A<0， 从而(sin A－cos A)2＝1－2sin A cos A＝ eq \f(289,169)， 所以sin A－cos A＝ eq \f(17,13)， 所以sin A＝ eq \f(12,13)，cos A＝－ eq \f(5,13)， 所以tan A＝ eq \f(sin A,cos A)＝－ eq \f(12,5)，故选A. 利用sin2α＋cos2α＝1可以实现角α的正弦、余弦的互化，利用 eq \f(sinα,cos α)＝tan α可以实现角α的弦切互化，如果没有给出角的范围，则要分类讨论．应用公式时注意方程思想的应用：对于sin α＋cos α，sin αcos α，sin α－cos α这三个式子，利用(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α，可以知一求二．所求式是关于sin α，cos α的齐次式时，分子分母同除以cos α，可化成tan α的函数式求值． 1．已知cos α＝－ eq \f(5,13)，则13sin α＋5tan α＝________． 解析：因为cos α＝－ eq \f(5,13)<0且cos α≠－1， 所以α是第二或第三象限角． ①若α是第二象限角， 则sin α＝ eq \r(1－cos2α) ＝ eq \r(1－(－\f(5,13))2)＝ eq \f(12,13)， 所以tan α＝ eq \f(sin α,cos α)＝ eq \f(\f(12,13),－\f(5,13))＝－ eq \f(12,5). 此时13sin α＋5tan α＝13× eq \f(12,13)＋5×(－ eq \f(12,5))＝0. ②若α是第三象限角， 则sin α＝－ eq \r(1－cos2α)＝－ eq \r(1－(－\f(5,13))2)＝－ eq \f(12,13)， 所以tan α＝ eq \f(sin α,cos α)＝ eq \f(－\f(12,13),－\f(5,13))＝ eq \f(12,5)， 此时，13sin α＋5tan α＝13×(－ eq \f(12,13))＋5× eq \f(12,5)＝0. 综上，13sin α＋5tan α＝0. 2．若 eq \f(sin α＋cos α,sin α－cos α)＝ eq \f(1,2)，则sin2α－sinαcos α－3cos2α＝(　　) A． eq \f(1,10) B． eq \f(3,10) C． eq \f(9,10) D． eq \f(3,2) 解析：由 eq \f(sinα＋cos α,sin α－cos α)＝ eq \f(1,2)可知cos α≠0， 所以 eq \f(sin α＋cos α,sin α－cos α)＝ eq \f(tan α＋1,tan α－1)＝ eq \f(1,2)， 所以tan α＝－3， 所以sin2α－sinαcos α－3cos2α ＝ eq \f(sin2α－sinαcos α－3cos2α,sin2α＋cos2α) ＝ eq \f(tan2α－tan α－3,1＋tan2α) ＝ eq \f(9＋3－3,1＋9)＝ eq \f(9,10). 故选C. 【例2】(1)计算：sin (－1395°)cos 1110°＋cos (－1020°)sin 750°. 解析：(1)原式＝sin (－4×360°＋45°)·cos (3×360°＋30°)＋cos (－3×360°＋60°)·sin (2×360°＋30°) ＝sin 45°cos 30°＋cos 60°sin 30° ＝ eq \f(\r(2),2)× eq \f(\r(3),2)＋ eq \f(1,2)× eq \f(1,2)＝ eq \f(\r(6),4)＋ eq \f(1,4)＝ eq \f(1＋\r(6),4). 【例2】(2)已知f(α)＝ eq \f(2sin (π＋α)cos (π－α)－cos (π＋α),1＋sin2α＋cos(\f(3π,2)＋α)－sin2(\f(π,2)＋α))(sinα≠0且1＋2sin α≠0)，则f(－ eq \f(23π,6))＝________. 解析：(2)因为 f(α)＝ eq \f(2sin (π＋α)cos (π－α)－cos (π＋α),1＋sin2α＋cos(\f(3π,2)＋α)－sin2(\f(π,2)＋α)) ＝ eq \f((－2sinα)(－cos α)＋cos α,1＋sin2α＋sinα－cos2α) ＝ eq \f(2sinαcos α＋cos α,2sin2α＋sinα) ＝ eq \f(cos α(1＋2sin α),sin α(1＋2sin α))＝ eq \f(1,tan α)， 所以f(－ eq \f(23π,6))＝ eq \f(1,tan (－\f(23π,6))) ＝ eq \f(1,tan (－4π＋\f(π,6)))＝ eq \f(1,tan \f(π,6))＝ eq \r(3). (1)应用诱导公式时，需要准确记忆和运用诱导公式，理解“奇变偶不变，符号看象限”是关键． (2)求任意角的三角函数时，一般用诱导公式将其变换为锐角的三角函数进行求解．其一般步骤是“去负—脱周—化锐”． 3．(多选)已知sin ( eq \f(π,4)＋α)＝ eq \f(1,2)，则下列结论正确的是(　　) A．cos ( eq \f(π,4)＋α)＝ eq \f(\r(3),2) B．cos ( eq \f(π,4)－α)＝ eq \f(1,2) C．sin ( eq \f(5π,4)＋α)＝ eq \f(1,2) D．cos ( eq \f(5π,4)－α)＝－ eq \f(1,2) 解析：由sin ( eq \f(π,4)＋α)＝ eq \f(1,2)， 可得cos ( eq \f(π,4)＋α)＝± eq \f(\r(3),2)， cos ( eq \f(π,4)－α)＝cos [ eq \f(π,2)－( eq \f(π,4)＋α)] ＝sin ( eq \f(π,4)＋α)＝ eq \f(1,2)， sin ( eq \f(5π,4)＋α)＝sin (π＋ eq \f(π,4)＋α) ＝－sin ( eq \f(π,4)＋α)＝－ eq \f(1,2)， cos ( eq \f(5π,4)－α)＝cos (π＋ eq \f(π,4)－α) ＝－cos ( eq \f(π,4)－α)＝－ eq \f(1,2).故选BD. 4．已知角x的顶点与原点重合，始边与x轴非负半轴重合，角x的终边经过点P(3，4).则tan (－6π＋α)＝__________； eq \f(sin (α－4π),cos (6π＋α))·sin (α－2π)·cos (2π＋α)＝__________． 解析：由已知得tan α＝ eq \f(4,3)， 所以tan (－6π＋α)＝tan α＝ eq \f(4,3). 因为r＝ eq \r(32＋42)＝5， 则sin α＝ eq \f(4,5)，cos α＝ eq \f(3,5)， 故 eq \f(sin (α－4π),cos (6π＋α))·sin (α－2π)·cos (2π＋α) ＝ eq \f(sin α,cos α)·sin α·cos α ＝sin2α ＝( eq \f(4,5))2＝ eq \f(16,25). 解析：(1)因为cos ( eq \f(π,6)＋α)＝ eq \f(1,3)， 所以cos ( eq \f(5π,6)－α)＝cos [π－( eq \f(π,6)＋α)] ＝－cos ( eq \f(π,6)＋α)＝－ eq \f(1,3). 【例3】(1)已知cos ( eq \f(π,6)＋α)＝ eq \f(1,3)，则cos ( eq \f(5π,6)－α)＝________. － eq \f(1,3) 【例3】(2)若sin 10°＝a sin 100°，则sin 20°＝(　　) A． eq \f(a,a2＋1) B．－ eq \f(a,a2＋1) C． eq \f(2a,a2＋1) D．－ eq \f(2a,a2＋1) 解析：(2)由题意可知a>0，sin 10°＝a sin 100° ＝a sin (90°＋10°)＝a cos 10°， sin210°＋cos210°＝1， 解得sin10°＝ eq \f(a,\r(a2＋1))，cos 10°＝ eq \f(1,\r(a2＋1)). sin 20°＝2sin 10°cos 10° ＝2× eq \f(a,\r(a2＋1))× eq \f(1,\r(a2＋1))＝ eq \f(2a,a2＋1).故选C. 【例3】(3)(多选)已知锐角三角形ABC，则下列说法正确的是(　　) A．sin A＋sin B＋sin C<cos A＋cos B＋cos C B．tan A＋tan B＋tan C>0 C．sin A＝ eq \f(\r(5),5)，tan B＝3，则A<B D．cos A＋cos B< eq \r(2) 解析：(3)对于A，取A＝B＝C＝ eq \f(π,3)， 则sin A＋sin B＋sin C>cos A＋cos B＋cos C，A错误； 对于B，由于△ABC是锐角三角形， 故tan A>0，tan B>0，tan C>0， 故tan A＋tan B＋tan C>0，B正确； 对于C，锐角三角形ABC中， 由sin A＝ eq \f(\r(5),5)知cos A＝ eq \f(2\r(5),5)， 故tan A＝ eq \f(1,2)，则tan A<tan B， 即A<B，C正确； 对于D，△ABC是锐角三角形， 故A＋B> eq \f(π,2)，所以B> eq \f(π,2)－A， 故cos A＋cos B<cos A＋cos ( eq \f(π,2)－A) ＝cos A＋sin A＝ eq \r(2)sin (A＋ eq \f(π,4))≤ eq \r(2)， 即cos A＋cos B< eq \r(2)，D正确．故选BCD. 1．利用同角三角函数关系式和诱导公式求值或化简时，关键是寻求条件、结论间的联系，灵活使用公式进行变形． 2．注意角的范围对三角函数值符号的影响． 5．已知α为锐角，且2tan (π－α)－3cos ( eq \f(π,2)＋β)＋5＝0，tan (π＋α)＋6sin (π＋β)－1＝0，则sin α＝(　　) A． eq \f(3\r(5),5) B． eq \f(3\r(7),7) C． eq \f(3\r(10),10) D． eq \f(1,3) 解析：由已知得 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(3sin β－2tan α＋5＝0，,tan α－6sin β－1＝0.)) 消去sin β，得tan α＝3， 所以sin α＝3cos α，代入sin2α＋cos2α＝1， 化简得sin2α＝ eq \f(9,10)， 又α为锐角，则sinα＝ eq \f(3\r(10),10).故选C. 6．(2025·江苏南通期末)已知x∈[0， eq \f(π,4)]，sin x＋cos x＝ eq \f(3\r(5),5)，则tan (x－ eq \f(3π,4))＝(　　) A．3 B．－3 C．－ eq \r(5) D．2 解析：因为sin x＋cos x＝ eq \f(3\r(5),5)， 所以 eq \r(2)sin (x＋ eq \f(π,4))＝ eq \f(3\r(5),5)，所以sin (x＋ eq \f(π,4))＝ eq \f(3\r(10),10)， 又x∈[0， eq \f(π,4)]，所以x＋ eq \f(π,4)∈[ eq \f(π,4)， eq \f(π,2)]， 所以cos (x＋ eq \f(π,4))＝ eq \r(1－sin2(x＋\f(π,4)))＝ eq \f(\r(10),10)， 所以tan(x＋ eq \f(π,4))＝3， 故tan (x－ eq \f(3π,4))＝tan [(x＋ eq \f(π,4))－π] ＝tan (x＋ eq \f(π,4))＝3.故选A. $