第4章 第22讲 同角三角函数的基本关系与诱导公式(Word练习)-【金版新学案】2027年高考数学高三总复习大一轮复习（广东专版）

**基本信息** 聚焦同角三角函数关系与诱导公式，以题载法构建“公式化简-关系转化-综合应用”三阶方法体系，强化数学思维中的推理能力与运算能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |诱导公式应用|2题（题1、6）|利用周期性、奇偶性化简（如cos(-θ)=cosθ）|从公式记忆到符号判断，形成“角变换-公式选⽤-结果化简”链条| |同角关系转化|6题（题2、3、5等）|平方关系变形（sin⁴x+cos⁴x=1-2sin²xcos²x）、弦切互化|以sin²α+cos²α=1为核心，构建“已知值-求关系-得结论”推理路径| |综合应用与创新|8题（题7、10、12等）|方程思想（sinα+cosα=t求sinαcosα）、开放探究|融合函数、方程知识，实现从单一知识点到跨情境应用的拓展|

课时分层测评32　同角三角函数的基本关系与诱导公式 (时间：60分钟　满分：80分) (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！) (每小题5分，共50分) 1.cos(－)＝(　　) A.－ B.－ C. D. 答案：C 解析：cos(－)＝cos＝cos(6π＋)＝cos＝.故选C. 2.设sin 25°＝a，则sin 65°cos 115°tan 205°＝(　　) A. B.－ C.－a2 D.a2 答案：C 解析：因为sin 65°＝cos 25°，cos 115°＝cos(90°＋25°)＝－sin 25°，tan 205°＝tan(180°＋25°)＝tan 25°＝，所以sin 65°cos 115°tan 205°＝－sin225°＝－a2.故选C. 3.(2025·山东烟台一模)已知tan α＝－2，则＝(　　) A.－ B. C.－2 D.2 答案：C 解析：＝＝＝＝－2.故选C. 4.若sin ＝，且0＜x＜，则sin(＋x)＝(　　) A. B.－ C. D.－ 答案：A 解析：由0＜x＜得－＜－x＜0，则－＜－x＜.因为sin ＝，所以cos＝＝，所以sin ＝sin［－］＝cos＝.故选A. 5.已知x∈(－，0)，sin4x＋cos4x＝，则sin x－cos x＝(　　) A. B.－ C. D.－ 答案：B 解析：因为sin4x＋cos4x＝(sin2x＋cos2x)2－2sin2xcos2x＝1－2sin2xcos2x＝，所以sin2xcos2x＝.又x∈(－，0)，所以sin x＜0，cos x＞0，即sin xcos x＝－，sin x－cos x＝－＝－＝－＝－.故选B. 6.已知函数f(x)＝asin(πx＋α)＋bcos(πx＋β)＋4，x∈R，且f(2 025)＝3，则f(2 026)＝(　　) A.3 B.4 C.5 D.6 答案：C 解析：由f(x)＝asin(πx＋α)＋bcos(πx＋β)＋4，得f(2 025)＝asin(2 025π＋α)＋bcos(2 025π＋β)＋4＝－asin α－bcos β＋4＝3，即asin α＋bcos β＝1，则f(2 026)＝asin(2 026π＋α)＋bcos(2 026π＋β)＋4＝asin α＋bcos β＋4＝1＋4＝5.故选C. 7.(多选)若＝1，则角θ的取值范围可能为(　　) A. B. C. D. 答案：BD 解析：原式＝＝＝＝1，即＝1.由给定选项知，角θ的终边不在坐标轴上，则cos θ与sin θ异号，角θ为第二象限角或第四象限角.若角θ为第二象限角，则＝＝1，cos θ＋sin θ＜0，θ∈；若角θ为第四象限角，则＝＝1，cos θ＋sin θ＞0，θ∈.故选BD. 8.(多选)已知＝3，－＜α＜，则(　　) A.tan α＝2 B.sin α－cos α＝－ C.sin4α－cos4α＝ D.＝ 答案：ACD 解析：因为＝＝3，所以tan α＝2，故A正确；因为tan α＝＝2＞0，且－＜α＜，所以0＜α＜，所以sin α＞0，cos α＞0.由＝3＞0，可得sin α－cos α＞0，故B错误；sin4α－cos4α＝(sin2α－cos2α)·(sin2α＋cos2α)＝sin2α－cos2α＝＝＝＝，故C正确；＝＝＝，故D正确.故选ACD. 9.(双空题)已知tan α＝cos α，则cos2α＋cos4α＝　　　　，－＝　　　　. 答案：1　1 解析：因为tan α＝＝cos α，故sin α＝cos2α，所以sin2α＝cos4α，所以cos2α＋cos4α＝cos2α＋sin2α＝1.所以－＝＝＝＝＝1. 10.(开放题)若实数α，β满足方程组则β的一个值可以是　　　　　　.(写出满足条件的一个值即可) 答案：(答案不唯一，满足β＝＋2kπ，k∈Z即可) 解析：由题意可得9sin2α＋9cos2α＝(2cos β)2＋(2sin β＋1)2，即9＝4＋4sin β＋1，所以sin β＝1，所以β＝＋2kπ，k∈Z，可取k＝0，β＝. (每小题5分，共20分) 11.(2025·山东日照一模)已知α是第一象限角，且sin α＋cos α＝3cos αtan α，则sin的值为(　　) A.－ B.－ C. D. 答案：D 解析：因为sin α＋cos α＝3cos αtan α，所以sin α＋cos α＝3sin α，所以cos α＝2sin α，左右两侧平方得cos2α＝4sin2α＝4，所以5cos2α＝4.又因为α是第一象限角，所以cos α＝，则sin(α＋)＝cos α＝.故选D. 12.(多选)已知sin θ＋cos θ＝t，θ∈，t∈(－1，]，函数f(θ)＝sin θ＋cos θ－sin θcos θ，则下列选项正确的是(　　) A.当t＝时，sin θcos θ的值为 B.当t＝时，sin3θ－cos3θ的值为－ C.函数f(θ)的值域为(－1，] D.函数f(θ)的值域为(－1，1] 答案：BD 解析：对于A，当t＝时，sin θ＋cos θ＝，两边平方，可得1＋2sin θcos θ＝，可得sin θcos θ＝－＜0，故A错误；对于B，由选项A的解答知θ∈，所以sin θ－cos θ＝－＝－＝－，可得sin3θ－cos3θ＝(sin θ－cos θ)(sin2θ＋cos θsin θ＋cos2θ)＝×＝－，故B正确；对于C、D，因为sin θ＋cos θ ＝t，t∈(－1，]，两边平方，可得1＋2sin θcos θ＝t2，可得sin θcos θ＝，所以sin θ＋cos θ－sin θcos θ＝t－＝1－(t－1)2，因为t∈(－1，]，所以f(θ)＝sin θ＋cos θ－sin θcos θ∈(－1，1]，故C错误，D正确.故选BD. 13.已知角α为锐角，且2tan－3cos(＋β)＋5＝0，tan(π＋α)＋6sin(π＋β)－1＝0，则sin α＝　　　　. 答案： 解析：由已知得消去sin β，得tan α＝3，所以sin α＝3cos α，代入sin2α＋cos2α＝1，化简得sin2α＝.因为α为锐角，所以sin α＝. 14.(多题同解)(1)(一题多解)已知2sin α＋cos α＝，则tan α＝　　　　. (2)已知2cos2α－3sin αcos α＝，则tan α＝　　　　. 答案：(1)2　 (2)或－ 解析：(1)法一(解方程法)：因为cos α＝－2sin α且sin2α＋cos2α＝1，所以sin2α＋(－2sin α)2＝1，整理得5sin2α－4sin α＋4＝0，所以(sin α－2)2＝0，所以sin α＝，所以cos α＝，所以tan α＝2. 法二：(弦切互化法)：因为2sin α＋cos α＝，所以(2sin α＋cos α)2＝5，所以4sin2α＋4sin αcos α＋cos2α＝5，所以sin2α－4sin αcos α＋4cos2α＝0，所以tan2α－4tan α＋4＝0，所以tan α＝2. 法三(逆向探讨法)：令tan α＝＝t(t≠1)，则sin α＝tcos α，代入2sin α＋cos α＝，得sin α＝，cos α＝，所以()2＋()2＝1，整理得t2－4t＋4＝0，解得t＝2. (2)显然cos α≠0，所以＝＝，整理得9tan2α＋30tan α－11＝0，解得tan α＝或tan α＝－. (每小题5分，共10分) 15.(多选)已知角θ和φ都是任意角，若满足θ＋φ＝＋2kπ，k∈Z，则称θ与φ广义互余.若sin(π＋α)＝－，则下列角β中，可能与角α广义互余的有(　　) A.sin β＝ B.cos＝ C.tan β＝ D.tan β＝ 答案：AC 解析：若α与β广义互余，则α＋β＝＋2kπ(k∈Z)，即β＝＋2kπ－α.又由sin＝－，可得sin α＝.若α与β广义互余，则sin β＝sin(＋2kπ－α)＝cos α＝±＝±，故A正确；若α与β广义互余，则cos β＝cos(＋2kπ－α)＝sin α＝，而由cos＝，可得cos β＝－，故B错误；由A、B可知sin β＝±，cos β＝，所以tan β＝＝±，故C正确，D错误.故选AC. 16.已知tan α，是关于x的方程x2＋kx＋k2－8＝0的两个实根，且3π＜α＜π，则cos α＋sin α＝　　　　　. 答案：－ 解析：因为tan α，是关于x的方程x2＋kx＋k2－8＝0的两个实根，所以tan α·＝k2－8＝1，tan α＋＝－k.又3π＜α＜π，所以tan α＞0，故－k＞0，所以k＝－3，tan2α－3tan α＋1＝0，所以tan2α＋1＝3tan α，所以＝＝1＋＝1＋＝.因为3π＜α＜π，所以cos α＜0，sin α＜0，故cos α＋sin α＜0，所以cos α＋sin α＝－. 学生用书⬇第103页 学科网（北京）股份有限公司 $