精品解析：湖南株洲市第四中学2026年初升高创新拔尖人才选拔考试数学试卷

株洲市第四中学2026年初升高创新拔尖人才选拔考试 数学试题 时间：120分钟 满分：150分 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 的相反数是（ ） A. B. 3 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查相反数．仅符号相反的两个数是相反数，据此解题． 【详解】解：的相反数是3． 故选：B． 2. 3张反面无差别的卡片．它们的正面分别印有等边三角形、平行四边形和正六边形．现将3张卡片的正面朝下放置，混合均匀后从中随机抽取两张．用抽到的卡片正面图形都是轴对称图形的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查列表法求概率、轴对称图形，首先判断各图形是否是轴对称图形，再根据题意列表，然后由列表求得所有等可能的结果与抽到卡片上印有的图案都是轴对称图形的情况，再利用概率公式求解即可求得答案． 【详解】解：∵等边三角形和正六边形是轴对称图形，平行四边形不是轴对称图形， 分别用A、B、C表示等边三角形、平行四边形和正六边形， ∴随机抽取两张，则抽到的卡片正面图形都是轴对称图形的概率为， 故选：A． 3. 如图，点D是正内的一点，，，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】把绕点B顺时针旋转得到，如图，连接，根据旋转的性质得，，，则可判断为等边三角形，所以，，再利用勾股定理的逆定理证明为直角三角形，，从而得到． 【详解】解：∵为等边三角形， ∴，， 把绕点B顺时针旋转得到，如图，连接， ∴，，， ∴为等边三角形， ∴，， 在中，∵，，， ∴， ∴为直角三角形，， ∴． 4. 现在手机导航极大方便了人们的出行，如图，嘉琪一家自驾到风景区游玩，到达地后，导航显示车辆应沿北偏西方向行驶4千米至地，再沿北偏东方向行驶一段距离到达风景区，嘉琪发现风景区在地的北偏东方向，那么B，C两地的距离为（ ） A. 千米 B. 千米 C. 千米 D. 8千米 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，直角三角形性质和计算，方位角的表示，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键；过点B作于点D，根据，，利用三角形内角和定理求出，在得出长度，，利用勾股定理求出，即再次利用勾股定理求出的长． 【详解】如图所示：过点B作于点D， 由题意得：，， ， ， ， ，， （千米），， （千米）， （千米）， 故选：A 5. 若反比例函数的图象位于第二、四象限，则的值（ ） A. B. 或 C. 或 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的图象和性质，解一元二次方程，先根据反比例函数的定义列出方程求出的可能取值，再根据图象经过的象限决定常数的取值范围，进而得出的值，解题的关键是正确理解当时，图象分别位于第一、三象限；当时，图象分别位于第二、四象限；当时，在同一个象限内，随的增大而减小；当时，在同一个象限，随的增大而增大． 【详解】依题意有，解得或， ∵函数图象位于第二、四象限， ∴，即， ∴的值是， 故选：． 6. 两张全等的矩形纸片，按如图方式交叉叠放在一起，，．与相交于，交于，且，，则图中重叠（阴影）部分四边形的周长为（ ） A. 4 B. 8 C. D. 16 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了含30度角的直角三角形的性质，矩形的性质，菱形的性质与判定，证明四边形是菱形，根据含30度角的直角三角形的性质求得的长，即可求解．证明四边形是菱形是解题的关键． 【详解】解：在矩形中，， ，， ， 四边形、四边形是全等的矩形， ，，， ， ， ，， 四边形是菱形， 菱形的周长为， 故选：D． 7. 已知抛物线（是常数，且）与轴正半轴交于点，当时，；当时，．则的值为（　　） A. 4 B. 3 C. 8 D. 6 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的图象与性质，依据题意，由抛物线与轴正半轴交于点，抛物线的对称轴为直线，且当时，，可得当时，，当时，，从而当时，，即，求出即可判断得解．解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键． 【详解】解：抛物线与轴正半轴交于点， 当时，． ． 抛物线的对称轴为直线，且当时，， 当时，． 当时，， 当时，． ． ． 故选：A． 8. 如图，矩形中，，交的延长线于点，交于点，是上一点，，且为的中点，则①；②；③；④若，则，以上结论正确的个数是（ ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 【答案】B 【解析】 【分析】①利用矩形的性质，证明，即可判断①； ②证明四边形为矩形，推出，再证明，推出，即可判断②； ③假设结论成立，可推出，，故矩形必为正方形，不符合题意，即可判断③； ④先证明，推出，垂直平分，求出的长度，再证，求出的长度，最后证明，即可求出的长，即可判断④． 【详解】解：①∵四边形为矩形， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，故结论①正确； ②由①知，， ∵， ∴， ∴四边形为矩形， ∴，， ∴， ∵点为的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 由①知：， ∴， ∴，故结论②正确； ③假设， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴矩形必为正方形，不符合题意，故结论③错误； ④∵， ∴， 由②知：四边形为矩形，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，即， ∴或（负值不符合题意，舍去）， ∵， ∴，， ∴， ∴，即， ∴，故结论④错误， ∴结论正确的个数是个． 故选：B． 【点睛】本题考查矩形的判定和性质，全等三角形的判定，正方形的判定，相似三角形的判定与性质，等腰三角形的判定和性质，垂直平分线的性质等，解题的关键是能够灵活运用矩形的性质和相似三角形的判定和性质． 9. 如图，矩形中，，与边、对角线均相切，过点作的切线，切点为，则切线长的最小值为（ ） A. 6 B. 7 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了矩形的判定与性质、切线的性质、相似三角形的判定与性质，勾股定理，熟练掌握相关性质和判定，作出合适的辅助线是解题的关键．设与、分别相切于点G、H，连接、、、，连接并延长交于E，过点E作于F，过点O作于K，设，则，可证得，得出，即，求得，再运用勾股定理可得，故当时，． 【详解】设与、分别相切于点G、H，连接、、、，连接并延长交于E，过点E作于F，过点O作于K，如图， 则，， ，，， 平分， ， 四边形是矩形， ，，， ，， 平分，，， ， ， ， ， ， 设，则， ，， ， ，即， ， ，， ， 设的半径为r，则， ，， ， ，即， ， ， 四边形是矩形， ，， ， ， 是的切线， ， ， 当时，． 故选：D． 10. 如图，矩形中，，动点和动点以的速度从点出发，分别沿折线和折线运动到点停止，同时，动点和动点也以的速度从点出发，分别沿折线和折线运动到点停止，若点同时出发了，记封闭图形的面积为，则关于的函数图象大致为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】分、、、四个不同时间段，逐次确定函数的表达式，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， 当时，如图所示， 由题意得，，则，， 则， ， ∴ 函数对应的图象为开口向下的抛物线； 当，如下图： 则，而， 故封闭图形为平行四边形， 则， 对应的图象为一次函数； 当时， 同理可得：， 当时， 同理可得：， 函数对应的图象为开口向下的抛物线； 故选：D． 【点睛】本题考查的是动点问题的函数图象，解题的关键是确定不同时间段S与t的函数表达式． 二、填空题：本题共8小题，每小题4分，共32分． 11. 若m2－n2＝6，且m＋n＝3，则m－n等于____． 【答案】2 【解析】 【分析】直接利用平方差公式求出即可． 【详解】∵m2﹣n2=6，m+n=3， ∴（m﹣n）（m+n）=6，则m﹣n的值是2． 故答案为2． 【点睛】本题考查了平方差公式的应用，熟练利用公式法求出是解题的关键． 12. 方程的根是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查分式方程的求解，熟练掌握解分式方程的步骤是解决此题的关键，需先确定分母不为零，再通过分子相等求解，并排除增根即可． 【详解】解：由方程 ，分母 ，即 ， 两边同乘 ，得 ， 解得 或 ． 检验： 使分母为零，为增根，舍去； 满足条件， 故方程根为 ， 故答案为： ． 13. 圆锥的侧面展开图的圆心角是120°，其底面圆的半径为2cm，则其侧面展开图的半径为_______cm． 【答案】6cm 【解析】 【分析】先根据底面半径求出底面周长，即为扇形的弧长，再设出扇形的半径，根据扇形的弧长公式，确定扇形的半径． 【详解】解：∵底面圆的半径为2cm， ∴底面周长为4πcm， ∴侧面展开扇形的弧长为4πcm，设扇形的半径为r， ∵圆锥的侧面展开图的圆心角是120°， ∴ ==4π， 解得：r＝6． 故答案为：6． 【点睛】本题考查了圆锥的有关计算，涉及到的知识点为：圆锥的侧面展开图的弧长等于底面周长；弧长公式为： ． 14. 如图，正方形AFEB和正方形BEDC的边长相等，点A、B、C在同一条直线上．连接AD、BD，那么cos∠ADB的值为____． 【答案】 【解析】 【分析】连接BF交AD于G，设正方形的边长为a，根据正方形的性质得到，根据相似三角形的性质和三角函数的定义即可得到结论． 【详解】解：连接BF交AD于G， 设正方形的边长为a， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵AFEB和BEDC为正方形，BF、BD为对角线， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了正方形的性质，三角函数的定义，勾股定理，相似三角形的性质，利用数形结合的思想是解题的关键． 15. 已知关于的一元二次方程有两个不相等实根、，则的值为__________． 【答案】4 【解析】 【分析】首先利用根与系数的关系式表示出以及，再代入求值即可. 【详解】解：、是一元二次方程的两个不相等的实根， ，， . 故答案为：4. 【点睛】本题考查一元二次方程，根据一元二次方程根与系数的关系，以及代数运算进行分析. 16. 如图，中，，点在上，且，为的中点，若，，则______. 【答案】 【解析】 【分析】延长到点F，使得，连接，并延长交于点N，过点D作，交于点M，利用三角形相似，求得，，根据，得到，得到，确定，设，则，从而得到，求得x的长，过点E作交于点P，利用三角形中位线定理，求得的长，利用勾股定理计算即可. 【详解】延长到点F，使得，连接，并延长交于点N， ∵， ∴直线是线段的垂直平分线， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 过点D作，交于点M， ∴， ∴， ∵，， ∴， 解得； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 设，则， ∴， 解得， 故， 过点E作交于点P， ∴，， ∵为的中点， ∴=1， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了三角形相似的判断和性质，勾股定理，平行线分线段成比例定理，三角形中位线定理，线段的垂直平分线性质，熟练掌握三角形相似的判断和性质，勾股定理，平行线分线段成比例定理，三角形中位线定理是解题的关键． 17. 如图，中，，为延长线上一点，过点作，交延长线于，若，，，则___________. 【答案】 【解析】 【分析】过点作交延长线于点，作于点，延长至点，使得，连接，则垂直平分，可知，，设，则，故，由平行线的性质可得，可知，进而确定，，再证明，可得；设，则，，，，证明，由相似三角形的性质可得，进而可得，在中，由勾股定理可得，代入并整理可得，解得的值，即可求得，的值，然后在中由勾股定理计算的值，即可获得答案． 【详解】解：过点作交延长线于点，作于点，延长至点，使得，连接，如下图， 则垂直平分， ∴， ∴， 设，则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，由勾股定理可得， 即， 整理可得， ∴， ∴，（舍去）， ∴，， ∴在中， ． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了垂直平分线的性质、平行线的性质、相似三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、勾股定理以及一元二次方程的应用等知识，综合性强，难度大，正确作出辅助线，综合运用所学知识是解题关键． 18. 如图是我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形．直线交正方形的两边于点，，记正方形的面积为，正方形的面积为．若，则用含的式子表示的值是___________． 【答案】 【解析】 【分析】作交于点，不妨设，设，通过四边形是正方形，推出，得到，然后证明，利用相似三角形对应边成比例，得到，从而表示出，的长度，最后利用和表示出正方形和的面积，从而得到． 【详解】解：作交于点，不妨设，设 四边形是正方形 在和中，， 由题意可知， 正方形的面积， 正方形的面积 ； 故答案为：. 【点睛】本题考查了弦图，正方形的性质，等腰三角形的性质，相似三角形的判定与性质，正方形的面积，勾股定理，熟练掌握以上知识点并能画出合适的辅助线构造相似三角形是解题的关键． 三、解答题：本题共8小题，共78分． 19. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查特殊角的三角函数，零次幂，乘方，绝对值的运算，掌握实数的运算法则是解题的关键． 先算特殊角的三角函数，零次幂，乘方，绝对值的化简，再根据实数的混合运算即可求解． 【详解】解： ． 20. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的加法法则计算，同时利用因式分解和除法法则变形，约分得到最简结果，把x的值代入计算即可求出值． 【详解】解：原式 ， 当时，原式． 【点睛】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 21. “海上生明月，天涯共此时”．中秋节前夕，某超市购入甲、乙两种月饼礼盒共盒，总共花费元．超市购入甲、乙两种月饼礼盒的价格分别为元/盒，元/盒． （1）甲、乙两种月饼礼盒各购入多少盒？ （2）该超市将这批月饼礼盒加价后进行出售．每盒甲月饼礼盒的售价比乙月饼礼盒的售价少元，消费者用元购入甲月饼礼盒的数量是用元购入乙月饼礼盒数量的．则这批月饼全部售出后，该超市能获利多少元？ 【答案】（1）甲月饼礼盒购入盒，乙月饼礼盒购入盒 （2）该超市能获利元 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组和分式方程的实际应用，正确理解题意是解题关键． （1）设甲、乙两种月饼礼盒各购入盒、盒．据题意得，据此即可求解； （2）设甲月饼礼盒的售价为元，则乙月饼礼盒的售价为元，据题意得：，据此即可求解； 【小问1详解】 解：设甲、乙两种月饼礼盒各购入盒、盒． 据题意得： 解得： 甲月饼礼盒购入盒，乙月饼礼盒购入盒． 【小问2详解】 解：设甲月饼礼盒的售价为元，则乙月饼礼盒的售价为元 据题意得： 解得： 经检验，为原方程的根 总利润为元 该超市能获利元． 22. 如图，四边形为平行四边形，E为边上一点，连接，它们相交于点F，且． （1）求证：； （2）若，求的长． 【答案】（1） 证明：∵四边形为平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴ ， ∴； （2） 【解析】 【分析】（1）利用平行四边形的性质得到，则，然后证明，则利用相似三角形的性质得到结论； （2）先利用计算出，则，再由，利用平行线分线段成比例定理计算出，然后利用，根据相似比求出的长． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ∵，且， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， 解得， ∵， ∴ ， 即， ∴． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质，灵活运用相似三角形的性质表示线段之间的关系是解题的关键． 23. 某单位准备筹建一个新部门，需面向社会招收一批职工，单位组织报名的人员进行考试，便于择优录取，将考试结果评定为A、B、C、D四个等级，并绘制出如下两幅不完整的统计图，其中等级C所对的圆心角为，解答下列问题： （1）本次报名参加考试的有多少人； （2）补全条形统计图： （3）若等级A中只有两位女同志，单位要在等级A中随机选择两人担任部门领导，请用树状图求出恰好选中一男一女的概率． 【答案】（1）40人 （2） 补全条形图如图：     （3） 【解析】 【分析】本题考查条形统计图和扇形统计图的综合应用，列表法求概率： （1）用等级的人数除以所占的百分比，求出总人数即可； （2）求出等级的人数，补全条形图即可； （3）列出表格，利用概率公式进行计算即可． 【小问1详解】 解：本次报名参加考试的人员有（人）； 【小问2详解】 解：等级有人， 等级的人数为：（人）， 【小问3详解】 解：由题意，等级的人员为两男两女，列表如下： 男1 男2 女1 女2 男1 男1，男2 男1，女1 男1，女2 男2 男2，男1 男2，女1 男2，女2 女1 女1，男1 女1，男2 女1，女2 女2 女2，男1 女2，男2 女2，女1 共12种等可能的情况，其中恰好选中一男一女的情况有8种， ∴恰好选中一男一女的概率． 24. 如图1，在⊙中截掉一个圆心角为的扇形，优弧与直线相切于点，且． （1）求点到直线的距离． （2）如图2，优弧上存在一动点，从出发按顺时针方向转动，转动速度为每秒，转动时间为秒．当点运动至点处时，停止转动．过点作直线，直线与优弧交于另一点． ①当直线与优弧相切时，的值为______． ②当时，求阴影部分面积． （3）在（2）的转动过程中，如图3，过点作直线，与直线交于点，则在转动过程中，的最大值为___． 【答案】（1）； （2）①或；②； （3） 【解析】 【分析】本题考查了圆的切线的性质、等边三角形的判定与性质、扇形面积的计算、垂径定理、直角三角形的性质等知识点，关键是熟练掌握圆的相关性质，结合几何图形的特点，通过作辅助线构造直角三角形或特殊三角形，结合图形的运动变化分析求解． （1）先根据圆心角和半径相等判定为等边三角形，得到的长度和的度数，再结合切线的性质得到，进而求出的度数，最后利用直角三角形中角对的直角边是斜边的一半，求出点到的距离． （2）①分直线在左侧和右侧两种相切的情况，结合切线的性质、平行线的性质得到，分别求出两种情况下旋转的角度，再结合转动速度求出对应的值； ②先根据的值求出的度数，结合平行线和切线的性质得到相关角的度数，再利用垂径定理和直角三角形的性质求出的长度和圆心到的距离，最后用扇形的面积减去的面积，得到阴影部分的面积． （3）通过作辅助线构造矩形和直角三角形，将的长度转化为与相关的表达式，再根据垂线段最短的性质得到的最大值，进而求出的最大值． 【小问1详解】 解：如图，连接，过点作于点， ∵，， ∴为等边三角形， ∴，， ∵优弧与直线相切于点， ∴， ∴， ∴， 在中，，， ∴， 即点到直线的距离为； 【小问2详解】 ①解：如图，当直线与优弧相切，且直线在的左侧时， ∵直线与优弧相切， ∴， ∵直线， ∴， ∴， ∵从出发按顺时针方向转动，转动速度为每秒，转动时间为秒， ∴，解得； 当直线与优弧相切，且直线在的右侧时， ∵直线与优弧相切， ∴， ∵直线， ∴， ∴， 此时顺时针旋转的度数为， ∴，解得； 综上，当直线与优弧相切时，的值为或； ②解：如图，连接，过点作于点，设l交于点， ∵， ∴， ∵优弧与直线相切于点， ∴， ∵直线， ∴直线， ∵， ∴四边形为矩形， ∴， ∴， 在中，，，， ∴，， ∵，， ∴，， ∴， ∴阴影部分面积； 【小问3详解】 解：如图，延长交于点，过点作于点，过点作于点， ∵，，， ∴四边形为矩形， ∴，， ∴， 在中，，，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在中，，， ∴，， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴为点到直线的垂线段， ∴， ∵， ∴， 当点与点重合时，取得最大值， 此时的最大值为． 25. 在平面直角坐标系中，点． （1）如图，若，为等腰直角三角形，点在第三象限时，求点的坐标； （2）如图，在（1）的条件下，边交轴于边交轴于是上一点，且，连．求证：； （3）如图，若、两点均在轴上，且的面积为．分别以、为腰在第一、第二象限作等腰、等腰，连接交轴于点，的长度是否发生改变？若不变，求出的值；若变化，求的取值范围． 【答案】（1） （2） 证明：过作交轴于点，则， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， 在和中， ， ， ， ， ； （3）不变，是定值 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质，平行线的性质等内容，熟练掌握相关知识和添加合适的辅助线是解题的关键． （1）构造“一线三垂直”全等即可得解； （2）证明线段的和差关系优先考虑截长补短，根据题干条件过作交轴于点，易证，得到，再通过得到即可得证； （3）根据前述两问的思路本题依然构造全等三角形，点作，交轴于点，先证得到，再证得出，进而求解即可． 【小问1详解】 解：由题干坐标很容易发现为等腰直角三角形时，如果点在第三象限，则此 时，， ， ， 如图，过作轴，过作于点，交轴于点，过作于点，则 ， ， 在和中， ， ， ， ； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：的值不会发生变化．理由如下：过点作，交轴于点，则， ， ， 又， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， 点， ， ， ， ， 又， （定值）， 即的长度始终值是． 26. 已知四个实数，规定新运算：；若一次函数和二次函数满足，则称该一次函数与二次函数互为“和谐函数”； （1）下列关于的二次函数是否与一次函数互为“和谐函数”？如果是，请在相应的括号中打“√”，不是的打“×”； ①（　　）；②（　　）；③（　　） （2）已知一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点（不重合），若二次函数的图象经过点和点，证明：上述一次函数与二次函数互为“和谐函数”； （3）已知二次函数与一次函数互为“和谐函数”，并且二次函数的图象与轴交于两点（在的左边），与轴交于点，记抛物线的顶点为，设的外接圆圆心为与轴的另一个交点为，是否存在四边形为平行四边形？若存在，求此时顶点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）①√；②×；③√ （2） 证明：一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点， ， 又二次函数的图象经过点和点， ， ，即，并且， 一次函数和二次函数满足， 该一次函数与二次函数互为“和谐函数”； （3）存在四边形为平行四边形，或 【解析】 【分析】（1）根据题中新运算：及“和谐函数”定义逐个验证即可得到答案； （2）利用直线图象与性质求出直线与坐标轴交点坐标，将代入二次函数化简后，根据题中新运算：及“和谐函数”定义验证即可得到答案； （3）由“和谐函数”定义得到，从而确定二次函数与轴的交点，由二次函数的图象与轴交于两点，的外接圆圆心为，设出相应点的坐标求解得到，由垂径定理知，点在的中垂线上，求出，当四边形为平行四边形，由平行四边形性质列式求解即可得到答案． 【小问1详解】 解：①与， ，则由新运算，即满足，则与互为“和谐函数”，①√； ②与， ，则由新运算，不满足，则与不是“和谐函数”，②×； ③与， ，则由新运算，即满足，则与互为“和谐函数”，③√； 故答案为：①√；②×；③√； 【小问2详解】 略； 【小问3详解】 解：存在， 理由如下： 二次函数与一次函数互为“和谐函数”， ， 二次函数与轴交于点， 点，即点， 又二次函数， 对称轴为直线， 二次函数的图象与轴交于两点， 令，设点，则， 的外接圆圆心为，则设， ，，，， ，即， ，则，即，解得，即， 如图所示： 与轴的另一个交点为， 由垂径定理知，点在的中垂线上，则， 四边形为平行四边形，则，解得， 又， ，则， 或． 【点睛】本题综合性强，难度较大，涉及新定义运算、新定义函数关系、一次函数与二次函数综合问题、一次函数图象与性质、二次函数图象与性质、三角形外接圆性质、一元二次方程根与系数的关系、垂径定理及平行四边形的性质等知识，读懂题意，理解新定义函数关系，掌握二次函数图象与性质，二次函数综合题型的解法是解决问题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 株洲市第四中学2026年初升高创新拔尖人才选拔考试 数学试题 时间：120分钟 满分：150分 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 的相反数是（ ） A. B. 3 C. D. 2. 3张反面无差别的卡片．它们的正面分别印有等边三角形、平行四边形和正六边形．现将3张卡片的正面朝下放置，混合均匀后从中随机抽取两张．用抽到的卡片正面图形都是轴对称图形的概率为（ ） A. B. C. D. 3. 如图，点D是正内的一点，，，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 4. 现在手机导航极大方便了人们的出行，如图，嘉琪一家自驾到风景区游玩，到达地后，导航显示车辆应沿北偏西方向行驶4千米至地，再沿北偏东方向行驶一段距离到达风景区，嘉琪发现风景区在地的北偏东方向，那么B，C两地的距离为（ ） A. 千米 B. 千米 C. 千米 D. 8千米 5. 若反比例函数的图象位于第二、四象限，则的值（ ） A. B. 或 C. 或 D. 6. 两张全等的矩形纸片，按如图方式交叉叠放在一起，，．与相交于，交于，且，，则图中重叠（阴影）部分四边形的周长为（ ） A. 4 B. 8 C. D. 16 7. 已知抛物线（是常数，且）与轴正半轴交于点，当时，；当时，．则的值为（　　） A. 4 B. 3 C. 8 D. 6 8. 如图，矩形中，，交的延长线于点，交于点，是上一点，，且为的中点，则①；②；③；④若，则，以上结论正确的个数是（ ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 9. 如图，矩形中，，与边、对角线均相切，过点作的切线，切点为，则切线长的最小值为（ ） A. 6 B. 7 C. D. 10. 如图，矩形中，，动点和动点以的速度从点出发，分别沿折线和折线运动到点停止，同时，动点和动点也以的速度从点出发，分别沿折线和折线运动到点停止，若点同时出发了，记封闭图形的面积为，则关于的函数图象大致为（　　） A. B. C. D. 二、填空题：本题共8小题，每小题4分，共32分． 11. 若m2－n2＝6，且m＋n＝3，则m－n等于____． 12. 方程的根是______． 13. 圆锥的侧面展开图的圆心角是120°，其底面圆的半径为2cm，则其侧面展开图的半径为_______cm． 14. 如图，正方形AFEB和正方形BEDC的边长相等，点A、B、C在同一条直线上．连接AD、BD，那么cos∠ADB的值为____． 15. 已知关于的一元二次方程有两个不相等实根、，则的值为__________． 16. 如图，中，，点在上，且，为的中点，若，，则______. 17. 如图，中，，为延长线上一点，过点作，交延长线于，若，，，则___________. 18. 如图是我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形．直线交正方形的两边于点，，记正方形的面积为，正方形的面积为．若，则用含的式子表示的值是___________． 三、解答题：本题共8小题，共78分． 19. 计算：． 20. 先化简，再求值：，其中． 21. “海上生明月，天涯共此时”．中秋节前夕，某超市购入甲、乙两种月饼礼盒共盒，总共花费元．超市购入甲、乙两种月饼礼盒的价格分别为元/盒，元/盒． （1）甲、乙两种月饼礼盒各购入多少盒？ （2）该超市将这批月饼礼盒加价后进行出售．每盒甲月饼礼盒的售价比乙月饼礼盒的售价少元，消费者用元购入甲月饼礼盒的数量是用元购入乙月饼礼盒数量的．则这批月饼全部售出后，该超市能获利多少元？ 22. 如图，四边形为平行四边形，E为边上一点，连接，它们相交于点F，且． （1）求证：； （2）若，求的长． 23. 某单位准备筹建一个新部门，需面向社会招收一批职工，单位组织报名的人员进行考试，便于择优录取，将考试结果评定为A、B、C、D四个等级，并绘制出如下两幅不完整的统计图，其中等级C所对的圆心角为，解答下列问题： （1）本次报名参加考试的有多少人； （2）补全条形统计图： （3）若等级A中只有两位女同志，单位要在等级A中随机选择两人担任部门领导，请用树状图求出恰好选中一男一女的概率． 24. 如图1，在⊙中截掉一个圆心角为的扇形，优弧与直线相切于点，且． （1）求点到直线的距离． （2）如图2，优弧上存在一动点，从出发按顺时针方向转动，转动速度为每秒，转动时间为秒．当点运动至点处时，停止转动．过点作直线，直线与优弧交于另一点． ①当直线与优弧相切时，的值为______． ②当时，求阴影部分面积． （3）在（2）的转动过程中，如图3，过点作直线，与直线交于点，则在转动过程中，的最大值为___． 25. 在平面直角坐标系中，点． （1）如图，若，为等腰直角三角形，点在第三象限时，求点的坐标； （2）如图，在（1）的条件下，边交轴于边交轴于是上一点，且，连．求证：； （3）如图，若、两点均在轴上，且的面积为．分别以、为腰在第一、第二象限作等腰、等腰，连接交轴于点，的长度是否发生改变？若不变，求出的值；若变化，求的取值范围． 26. 已知四个实数，规定新运算：；若一次函数和二次函数满足，则称该一次函数与二次函数互为“和谐函数”； （1）下列关于的二次函数是否与一次函数互为“和谐函数”？如果是，请在相应的括号中打“√”，不是的打“×”； ①（　　）；②（　　）；③（　　） （2）已知一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点（不重合），若二次函数的图象经过点和点，证明：上述一次函数与二次函数互为“和谐函数”； （3）已知二次函数与一次函数互为“和谐函数”，并且二次函数的图象与轴交于两点（在的左边），与轴交于点，记抛物线的顶点为，设的外接圆圆心为与轴的另一个交点为，是否存在四边形为平行四边形？若存在，求此时顶点的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $