辽宁省鞍山市第二十四中学等校2025-2026学年高三上学期9月质量监测数学试题

机密★启用前 科目：数学 （试题卷） 注意事项： 1.答卷前，考生须在答题卡和试题卷上规定的位置，准确填写本人姓名、准考证号，并核对条形码上的信息。确认无误后，将条形码粘贴在答题卡上相应位置。 2.考生须在答题卡上各题目规定答题区域内答题，超出答题区域书写的答案无效。在草稿纸、试题卷上答题无效。 3.考试结束，将本试题卷和答题卡一并交回。 4.本试题卷共6页，如缺页，考生须声明，否则后果自负。 姓 名 准考证号 机密★启用前 普通高中2025-2026学年度高三9月份质量监测 数 学 命题人：鞍山市第二十四中学 东靖翔 审题人：鞍山市第一中学 范珂铭 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题:本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的。 1．下列空间几何体中，名为圆台的是 A. B. C. D. 2．已知，则 A. B. C. D. 3．已知向量，，，，则 A. B. C. D. 4．不等式的解集是 A. B. C. D. 5．已知双曲线与直线无交点，则的取值范围为 A. B. C. D. 6．某校举办化学竞赛，竞赛试卷分为三大部分：无机化学、有机化学、结构化学。试题数目分别为100、80、60。小钟作为参赛者之一，提交试卷后，收到反馈：“有机化学”正确率0.84，“无机化学”正确率0.72，“结构化学”正确率0.44。现从他作答的试卷中随机选择一题，则正确率为 A. B. C. D. 7．已知是偶函数，则 A. B. C. D. 8．在中，，，则 A. B. C. D. 二、选择题:本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题 目要求。全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分。 9．下列函数关于对称的是 A. B. C. D. 10．已知函数，则 A. 当时，有极小值 B. 无论取何值，总存在单调递减区间 C. 当时， D. 若，都有，则 11．已知椭圆，其左右顶点分别为，左右焦点分别为. 是椭圆上一点，的离心率为，则 A. 若在上只存在2处点的位置，使得的面积为，那么 B. 直线的斜率为，那么 C. 若为内切圆圆心，那么直线的斜率之积为 D. 延长交于，若，，那么 三、填空题:本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。 12．的展开式中，各项系数中的最大值为 ． 13．记为数列的前项和，已知，则 ． 14．已知则 ． 四、解答题:本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 为了解某地初中学生电子产品日均使用时长与视力的关系，从该地区名学生中抽取人，得到电子产品日均使用时长与视力的数据如表所示． 电子产品日均使用时长 [0,0.5) [0.5,1) [1,1.5) [1.5,2) [2,2.5] 不近视人数 52 48 31 14 5 近视人数 8 12 66 125 139 （1）该地区40 000名初中学生中电子产品日均使用时长少于1.5小时的人数约有多少； （2）是否有97.5%的把握认为“不近视”与“电子产品日均使用时长少于1小时”有关？ 附：，其中，． 16．（15分） 已知是边长为的等边三角形，为中点，，为靠近的三等分点。连接.将沿折起，使得． （1）若，求翻折前的值； （2）证明：翻折后，； （3）若，求翻折后二面角的正弦值． ( 翻折后 ) ( 翻折前 ) 17．（15分） 已知函数． （1）求函数的单调区间； （2）求证：，； （3）若两个不相等实数满足，求证． 18．（17分） 已知椭圆和圆.是圆上一动点，连接点，延长（不平行于坐标轴）交圆于.是椭圆上顶点，延长分别交椭圆于两点，，椭圆离心率． （1）求椭圆方程和圆方程； （2）求证：直线过定点． 19．（17分） 拉格朗日中值定理又称拉氏定理，其几何表述为：曲线上两端点，间必存在一点，其切线与割线平行。现已知， . ，． （1）证明：当时，； （2）为得到的近似数值，我们使用牛顿-二分法：在上任取一个，使得 ，然后在点处作曲线切线，切线横截距为.重复这一过程， 得到近似数值数列——“牛顿数列” ． （ⅰ）当时，证明：． （ⅱ）由（ⅰ）可证得：“牛顿数列” 为递减数列，且，.在以（ⅰ） 的结论及上述推论为前提条件下，证明：． 拉格朗日中值定理图例 牛顿-二分法图例 高三数学（一模） 第 4 页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 普通高中2025−2026学年度高三9月份质量监测 数学科参考答案 一、选择题： 1~5、DABCB 6~8、ACA 9、BCD 10、ACD 11、ABD 二、填空题： 12、 13、或 14、 三、解答题： 15、（1）·································4分 电子产品日均使用时长 不近视人数 100 50 150 近视人数 20 330 350 总计 120 380 500 （2） ··········9分 ·························12分 有97.5%的把握认为“不近视”与“电子产品日均使用时长少于1小时”有关.·······13分 16、（1）（方案一）过作交于点，如图 因为在中，，， 所以，故， 易知，故， 在中，，，，则.··················3分 （方案二）易知.故. 由余弦定理可得： 解得. （本小题可能存在多种方式解答，计算正确且叙述无误即可给分） （2）为中点，为等边三角形，则，.同理.因为翻折后，又，所以，平面，故.·······························································8分 （本小题可能存在多种方式解答，证明无误即可给分） （3）由（2）得，，，因为，为中点，所以，以为坐标原点，分别以为轴，轴，轴正方向，建立空间直角坐标系，如图所示 ，，， 因为，所以 故 平面的一个法向量 平面的一个法向量.设二面角的大小为，则，·············································15分 （本小题可能存在多种方式解答，计算正确且叙述无误即可给分） 17、（1），求导得····································1分 当时：；当时：. 综上所述，在上单调递增；在上单调递减·············3分 （2），原问题等价于证明，令·································································5分 求导得，即在上单调递减. ，可知·······················································8分 （3）········································9分 令，则······································11分 易知在上单调递减；在上单调递增. 因为，不妨设··········································12分 令，求导得············13分 且当时，，故在上单调递增.故，即在上成立.则有 ，得证························································15分 18、（1） ，所以·······································2分 ，············································4分 （2），设，，，·······························································5分 将直线与圆联立： ····6分 将点坐标代入直线中： 整理得：，同理 故为方程的两个根. ·································7分 将直线与椭圆联立：··················9分 将点坐标代入直线中： 整理得：，同理 故为方程的两个根··························11分 为同解方程，故各项系数成比例，即： 所以，故过定点··················17分 （本小题可能存在多种方式解答，计算正确且叙述无误即可给分） 19、（1）已知在上单调递增，可得对任意，都有 ·············································································1分 由，得，由拉格朗日中值定理，可知存在，使得··························3分 因为，所以，，所以 综上所述，························································5分 （2）（i）证明： 在点处，曲线的切线方程为.令，得，即.由于，在上单调递增，则，而，则，所以，即··········8分 证明： 由于在上单调递增，只需证.曲线的切线方程为.令，得，即，根据的定义可知，令，，则.于是在上单调递减，而.因此，又，即 ，所以·······················································11分 综上所述，. （ii）由在上单调递增，，可得.令，则，则当时， ············································································14分 根据拉格朗日中值定理， ， .即，于是当时：，，…，，累乘可得，所以，当时，， 综上所述，.···················································17分 5 学科网（北京）股份有限公司 $