第八单元数学广角：植树问题(教学设计)-2026-2027学年五年级上册数学人教版

该小学数学教学设计聚焦植树问题复习，系统梳理两端都栽、一端栽一端不栽、两端不栽、封闭图形四题型的间隔数与棵数关系。通过校园绿化情境（20米小路隔4米种树）引发认知冲突，衔接学生已有基础，以画图、实操模拟为支架构建知识体系。 以“情境探究—模型建构—迁移应用”为主线，通过分组画图、贴纸模拟培养几何直观（数学眼光），逆向问题推导强化推理意识（数学思维），锯木头等生活问题迁移发展模型意识（数学语言）。助力学生提升规律探究与实际应用能力，为教师提供系统复习框架与分层练习，提升教学效率。

数学广角：植树问题 【教材分析】 植树问题是本册数学广角的重点内容，属于典型的间隔规律问题，是小学数学渗透建模思想的核心内容。本复习课整合了两端都栽、一端栽一端不栽、两端不栽、封闭图形植树四种核心题型，梳理间隔数与棵数的数量关系。教材侧重引导学生通过情境探究、画图分析，抽象出通用数学模型，能运用模型解决路灯、排队、锯木头、花坛围树等生活间隔问题，为后续学习规律探究、几何间隔问题奠定基础。 【学情分析】 学生已经初步学习植树问题的四种基础题型，但普遍存在题型混淆、公式死记硬背的问题，无法灵活区分不同植树场景的数量关系，在变式题、生活情境题中容易混淆间隔数与棵数的公式。同时学生画图分析能力薄弱，不会通过数形结合梳理规律，复杂的多层间隔问题解题思路混乱，需要通过情境对比、题型归类、实操画图强化理解。 【教学目标】 1.知识与技能：系统掌握植树问题四种题型的间隔数与棵数的数量关系，熟记通用公式，能准确区分题型，熟练解决基础题、变式题、生活情境间隔问题。 2.数学思考：经历画图探究、对比归纳、模型建构的过程，渗透数形结合、一一对应、数学建模的思想，提升规律探究与归纳推理能力。 3.问题解决：能识别生活中的植树问题模型，灵活运用公式解决路灯、台阶、锯木头、封闭图形等实际问题，突破易错难点。 4.情感态度：感受数学模型的通用性与简洁性，体会数学与生活的紧密联系，培养主动探究、严谨解题的良好习惯。 【教学重点】 1.梳理四种植树题型的数量关系，熟记核心解题公式。 2.运用植树问题模型解决各类生活间隔实际问题。 【教学难点】 准确区分不同植树场景，灵活运用公式解决变式、逆向、复杂综合间隔问题。 【教学准备】 多媒体课件、线段图教具、小树贴纸、答题卡、题型对比练习单 【教学课时】 1课时 【教学过程】 导入新课 创设校园绿化真实情境：学校要在教学楼前的小路旁种树，小路长20米，每隔4米种一棵树，大家想一想，一共需要种多少棵树？学生答案各不相同，顺势导入：种树的数量和间隔息息相关，不同的栽种方式结果不同，今天我们系统复习植树问题，理清所有题型的解题规律。 环节一：分类梳理，总结四大题型公式 1.教师活动：出示小路种树四种真实场景，引导学生画图分析，小组探究每种场景下间隔数与棵数的关系。场景1：小路两端都种树；场景2：小路一端种树、一端不种；场景3：小路两端都不种树；场景4：圆形花坛周围种树（封闭图形）。 2.学生活动：分组画图、贴纸模拟种树，计算间隔数、数棵数，对比数据找规律。 3.预设学生探究结论：间隔数=总长度÷间距；两端都栽：棵数=间隔数+1；一端栽一端不栽：棵数=间隔数；两端不栽：棵数=间隔数-1；封闭图形：棵数=间隔数。 4.教师活动：板书核心公式，对比四种题型的差异，重点强调易错点：总长度、间距、间隔数、棵数的区别，纠正学生公式混淆问题。 5.教师提问：所有植树问题的通用第一步是什么？ 6.预设学生答案：先计算间隔数，再根据栽种类型求棵数。 [设计意图] 通过实操模拟、画图探究，让学生自主推导公式，摒弃死记硬背，从本质上理解数量关系，夯实基础。 环节二：情境辨析，区分基础题型 1.教师活动：出示4组生活基础情境题，引导学生先判断题型，再列式解答。①公路旁装路灯（两端都装）；②教学楼走廊摆花盆（两端不摆）；③小区直线围栏插彩旗（一端插一端不插）；④正方形池塘边栽树。 2.学生活动：独立判断题型、列式解题，小组互查答案。 3.教师活动：逐题提问，核对答案，重点讲解学生易错的两端不栽题型。 4.预设学生解题示例：小路长20米，间距4米，间隔数=20÷4=5；两端都栽：5+1=6棵；两端不栽：5-1=4棵。 5.教师点拨：判断题型的关键是看两端是否有物体、图形是否封闭。 6.学生整理题型辨析技巧，记录错题要点。 [设计意图] 结合生活基础情境，强化题型辨析能力，熟练运用基础公式解决问题，扫清基础易错点。 环节三：变式探究，突破逆向解题难点 1.教师活动：创设逆向问题情境：一条小路两端都栽树，一共栽了12棵，每隔3米栽一棵，这条小路长多少米？ 2.学生活动：独立思考，反向推导数量关系，尝试列式解答。 3.预设学生答案：间隔数=棵数-1=11，总长度=11×3=33米。 4.教师活动：进阶提问：封闭图形花坛栽树，栽了15棵，间距2米，花坛周长是多少？ 5.学生活动：自主解答，预设答案：间隔数=15，周长=15×2=30米。 6.师生总结逆向解题思路：已知棵数求长度，先反求间隔数，再用“总长度=间隔数×间距”计算。 [设计意图] 突破正向解题思维，训练逆向推理能力，攻克植树问题核心难点，提升解题灵活性。 环节四：模型迁移，解决拓展间隔问题 1.教师活动：创设生活拓展情境：①锯木头：一根木头锯成5段，每锯一次需要2分钟，一共需要多少分钟？②爬楼梯：小明从1楼爬到6楼，每层楼梯有10级，一共走了多少级楼梯？ 2.学生活动：小组讨论，将问题转化为植树模型，画图分析解题。 3.预设学生答案：锯木头属于两端不栽模型，锯成5段需要锯4次，4×2=8分钟；爬楼梯属于两端都栽模型，1到6楼有5个间隔，5×10=50级。 4.教师活动：引导学生总结：锯木头、爬楼梯、排队、敲钟等问题，本质都是植树间隔问题。 5.学生自主归类拓展题型，梳理解题技巧。 6.教师针对性点评纠错，强化模型迁移能力。 [设计意图] 实现数学模型的生活化迁移，让学生学会举一反三，解决各类拓展间隔问题，提升综合应用能力。 【板书设计】 # 第八单元 复习与关联 ## 一、可能性 1.事件分类：确定事件（一定、不可能）、不确定事件（可能） 2.可能性大小：数量越多，可能性越大；数量相等，可能性相等 3.游戏公平：各方获胜可能性相等 ## 二、植树问题 通用公式：间隔数=总长度÷间距 1.两端都栽：棵数=间隔数+1 2.一端栽一端不栽：棵数=间隔数 3.两端不栽：棵数=间隔数-1 4.封闭图形：棵数=间隔数 模型迁移：锯木头、爬楼梯、排队、敲钟 【课堂练习】（含完整答案） 一、填空题 1.掷一枚硬币，正面朝上是（ ）事件，太阳从西边升起是（ ）事件。 答案：可能（不确定）、不可能（确定） 2.一个布袋中有8个白球、3个黑球，任意摸一个，摸到（ ）球的可能性大。 答案：白 3.一条40米的小路，每隔5米栽一棵树（两端都栽），间隔数是（ ），棵数是（ ）。 答案：8、9 4.圆形花坛周长36米，每隔4米栽一棵树，一共栽（ ）棵。 答案：9 二、判断题 1.不确定事件的可能性有大有小。（ ） 2.抛10次硬币，一定有5次正面朝上。（ ） 3.两端不栽树，棵数比间隔数多1。（ ） 4.封闭图形植树，棵数和间隔数相等。（ ） 答案：1.√ 2.× 3.× 4.√ 三、选择题 1.下列事件中，属于确定事件的是（ ） A.明天会下雨 B.掷骰子点数是6 C.地球绕太阳公转 2.一根木头锯成4段，需要锯（ ）次 A.3 B.4 C.5 3.甲乙两人玩游戏，下面规则公平的是（ ） A.抛硬币，正面甲赢，反面乙赢 B.掷骰子，点数大于4甲赢 C.摸球，多数量球一方赢 答案：1.C 2.A 3.A 四、解决问题 1.超市抽奖箱有20张奖券，其中5张中奖、15张不中奖。任意抽一张，抽到中奖券和不中奖券哪种可能性大？怎样调整可以让抽奖公平？ 答案：抽到不中奖券可能性大；调整方案：中奖券和不中奖券数量各10张即可。 2.学校走廊长60米，每隔6米摆一盆绿植（两端不摆），一共需要摆多少盆绿植？ 答案：间隔数=60÷6=10，盆数=10-1=9（盆），答：一共摆9盆。 【课后作业】（含完整答案） 一、变式练习题 1.两端都栽树，共栽21棵，间距4米，小路总长多少米？ 答案：间隔数=21-1=20，总长=20×4=80（米） 2.布袋有红、黄球共10个，摸到红球可能性更大，红球最少有几个？ 答案：红球最少6个。 二、对比练习题 对比两组植树问题，列式解答，区分题型差异： 1.30米小路，每隔5米栽树，两端都栽，栽多少棵？ 2.30米小路，每隔5米栽树，两端不栽，栽多少棵？ 答案：1.间隔数6，棵数7；2.间隔数6，棵数5。 三、生活情境题 1.小区路灯安装，一条道路长80米，两端都装路灯，每隔8米装一盏，一共装多少盏路灯？ 答案：间隔数=80÷8=10，盏数=10+1=11（盏） 2.妈妈炒菜需要敲鸡蛋，敲6个鸡蛋需要敲6次，类比植树问题，这属于什么题型？ 答案：一端栽一端不栽题型，次数=数量。 四、思维拓展选做题 1.正方形草坪边长40米，每隔8米栽一棵树，四个角都栽，一共栽多少棵？ 答案：周长=40×4=160米，间隔数=160÷8=20，封闭图形棵数=20棵。 2.甲乙丙三人玩转盘游戏，转盘平均分成6份，请设计公平的游戏规则。 答案示例：1、2份甲赢，3、4份乙赢，5、6份丙赢，三人获胜可能性相等，规则公平。 1 学科网（北京）股份有限公司 $