专题08 全等三角形的辅助线问题 专项练习-2026-2027学年人教版八年级上册数学

**基本信息** 聚焦全等三角形辅助线五大核心模型，以题载法构建从基础构造到综合应用的方法体系，培养几何直观与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |连接两点构造全等|4道|通过连线补全图形构造全等|从基础图形补形入手，建立全等条件直观认知| |倍长中线模型|4道|延长中线至等长构造全等三角形|利用中点性质实现线段转移，培养空间观念| |旋转模型|4道|利用旋转性质转化边与角关系|结合等边、等腰直角条件，训练动态几何推理| |垂线模型|4道|构造直角三角形证全等|通过垂直条件建立角相等关系，强化逻辑推理| |证线段和差|4道|截长或补短法转化线段关系|综合应用前序方法，提升复杂问题解决能力|

2026-2027学年八年级上册数学《典例全解：题型通关》 专题08全等三角形的辅助线问题（五大题型20道题) 目录 知识点一连接两点构造全等三角形 知识点二倍长中线模型. 知识点三旋转模型 知识点四垂线模型 。。。。。。。。。 知识点五证一条线段等于两条线段和差 6 知识点一连接两点构造全等三角形 1.如图，已知：AB=AC,BD=CD,∠A=60°，∠D=140°，则∠B=( 0 A.50 B.40 C.40°或70° D.30 2.如图，在△ABC和△DBE中，AB=BC,DB=EB,∠ABC=∠DBE=50°.若∠BDC-25°， AD=4,DE=3,则CD的长为( ) 13 A.√2 B.3 C.2 D.2 3.如图，在4×4的正方形网格中，点A,B,C均在格点上，则∠α+∠B= 度 ””” B 4.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，在RtAECD中，∠ECD=90°，BC=CD,∠BAC=∠DEC C C B 图1 图2 (I)求证：AB=DE; (2)连接AD,连接BE交AC于点F,若点F恰好是BE的中点，求证：AD=2CF. 2/10 知识点二倍长中线模型 5.如图，AD是△ABC的中线，E是AD上一点，连接BE并延长，与AC交于点F,若EF=AF ,BE=7,CF=5,则EF的值为( B D A.1 B.1.5 C.2 D.2.5 6.如图，点P是四边形ABCD内一点，连接AP,B,CP,DP,已知PA=PD,PB=PC,且 ∠APD+∠BPC=180°，若E是MB的中点，则下列结论中一定正确的是（） A. △APC≌ADPB B.ZCPD-APR C.PE-CD D.AD-Bc 7.如图，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠BAC=∠DAE=90°，连接CE交AD于点F,连接 BD交CE于点G,连接BE,CD,点H是CD的中点，延长H交BE于点K,下列结论： ① CE=BD②AADC 是等腰直角三角形： ③∠ADB=∠AEB,④BE=2AH,⑤R⊥BE:其中正 确的是一 (填序号) 3/10 K 8.在通过构造全等三角形解决的问题中，有一种方法叫倍长中线法： A B E D 图(1) 图(2) (I)如图1，AD是△ABC的中线，AB=8,AC=5,求AD的取值范围.我们可以延长AD到点E, 使DE=AD,连接BE,根据SAS可证△ADC≌△EDB,所以BE=AC.接下来，在△ABE中利用 三角形的三边关系可求得AE的取值范围，从而得到中线AD的取值范围是： (2)如图2，AB=AE,AC=AF,∠BAE=∠CAF=90°，点D为BC的中点，连接AD.求证： EF=2AD 4110 知识点三旋转模型 9.数知图。在五边形cCDE中，∠B∠E-0,∠CD-号BL,B=AE,且CD=3,AE=4 ,则五边形ABCDE的面积为( A.6 B.8 C.10 D.12 10.如图，Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，AB=20,点P是AC边上的一个动点，将线段 BP绕点°顺时针旋转心得到线段吧，连接”，则在点'运动过程中，线段C”的最小值为 A.5 B.10 C.20 D.25 I1.如图，C为线段AE上一动点（点C不与点A、E重合），在AE同侧分别作等边△ABC和 等边△CDE,AD与BE交于O,AD与BC相交于P,BE与CD交于点，连结PO,以下五个 结论： ①AD=BE;②PO∥AE;③∠AOB=60°；④DE=DP;⑤OC平分∠AOE,其中正确的结论有 5/10 （只填序号). B 12.(1)如图1，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC,点D,E在BC边上且不与点B,C重 合，∠DAE=45°，猜想BD,DE,CE之间的数量关系，并说明理由. (2)如图2，在△ABC中，∠BAC=120°，AB=AC,点D,E在BC边上且不与点B,C重合， ∠DAE=60°∠ADE=45° BD,DE,CE ,猜想 之间的数量关系，并说明理由， 图1 图2 知识点四垂线模型 13.如图，四边形ABCD中，AB∥CD,AB=4,CD=10,AD=AE,BF=BC,∠DAE=∠CBF=90°，则 四边形AFBE的面积为（) 6/10 B E A.6 B.7 C.12 D.20 14.如图，△ABC是边长为3的等边三角形，点9是AC边上一点，QD1AB于点D,点E为 边CB延长线上一点，且满足A0=BE,连接QE交AB于点F,则DF的长为( ) Q B D 3 3w5 A. B.5 C.1 D.2 15.如图，在△ABC中，以AB,AC为腰作等腰直角三角形ABE和等腰直角三角形ACF,连接 EF,4D为BC边上的高线，延长D4交EF于点N,下列结论：O∠EMN=∠ABC, ② EAN≌BMD,③=S:④BN=RV,其中正确的有 (写上序号) 7110 A B D 16.如图，在△ABC中，AC=BC,直线I经过顶点C,过A,B两点分别作I的垂线AE,BF, E,F为垂足，且ME=CF,求证： E A B (I)AC⊥BC; (2)AE+BF=EF. 知识点五证一条线段等于两条线段和差 17.如图，在△ABC中，∠A=60°，∠ABC和∠ACB的平分线BD、CE相交于点O,BD交AC于 点D,CE交AB于点E,若已知△ABC周长为20，BC=7,AE:AD=5:4,则AE长为 8/10 E D B 0 A. 3 B.3 C. D.4 18.如图，在四边形ABCD中，AB/ICD,AE是∠BAC的平分线，且AE⊥CE.若AC=a,BD=b ,则四边形ABDC的周长为( E B A.1.5(a+b) B.2a+b C.3a-b D.a+2b I9.如图，点E是CD上的一点，Rt△ACD≌Rt△EBC,则下结论：①AC=BC,②ADBE, ③∠ACB=90°，④AD+DE=BE, 成立的有个 E 9/10 20.如图1，在四边形ABCD中，AB=AD,点E,点F分别在边BC,CD上，己知 LEAF= ∠DAB 2 ∠ABC+∠ADC=180°· D A D A E B F B F 图1 图2 (I)求证：EF=BE+DF; (2)如图2，若点E,点F分别在边CB,DC的延长线上，其它条件不变，(1)中的结论还成 立吗？若成立，请写出证明过程；若不成立，请写出新的结论，并说明理由. 10/102026-2027学年八年级上册数学《典例全解·题型通关》 专题08 全等三角形的辅助线问题（五大题型20道题） 目录 知识点一连接两点构造全等三角形 1 知识点二倍长中线模型 6 知识点三旋转模型 13 知识点四垂线模型 19 知识点五证一条线段等于两条线段和差 25 知识点一连接两点构造全等三角形 1．如图，已知：，，，，则（    ） A． B． C．或 D． 【答案】B 【分析】连接，可证≌，根据全等三角形对应角相等可以得到，，代入角度即可求出和的度数，最后利用三角形内角和定理即可求解． 【详解】连接，如图， 在与中 ， ≌， ，， ， ， ， ， ， ． 故选：B． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理，添加正确的辅助线是解题的关键． 2．如图，在△ABC和△DBE中，AB=BC，DB=EB，∠ABC=∠DBE=50°．若∠BDC=25°，AD=4，DE=，则CD的长为（    ） A． B． C． D．2 【答案】B 【分析】连接CE，根据已知和全等三角形的判定可证得△ABD≌△CBE，则CE=AD=4，由等腰三角形的性质可求得∠BDE=65°，进而求得∠CDE=90°，由勾股定理即可求得CD的长． 【详解】解：连接CE， ∵∠ABC=∠DBE， ∴∠ABC+∠CBD=∠DBE+∠CBD， 即∠ABD=∠CBE， 又∵AB=BC，DB=EB， ∴△ABD≌△CBE（SAS）， ∴CE=AD=4， ∵DB=EB，∠ABC=∠DBE=50°， ∴∠BDE==65°，又∠BDC=25°， ∴∠CDE=65°+25°=90°， 在Rt△CDE中，由勾股定理得： CD=， 故选：B． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、勾股定理，熟练掌握全等三角形的判定与性质，连接CE证得∠CDE=90°是解答的关键． 3．如图，在的正方形网格中，点，，均在格点上，则______度． 【答案】 【分析】连接，利用平行线的性质和全等三角形的判定得出、及是等腰直角三角形，最后根据等腰直角三角形的性质即可求解． 【详解】解：如图，连接， ， ， 和中， ， ，， ， ， 即， 是等腰直角三角形， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查的知识点是根据平行线判定与性质求角度、连接两点作辅助线、等腰三角形的性质和判定，解题关键是利用辅助线构造等腰三角形． 4．如图，在中，，在中，． (1)求证：； (2)连接，连接交于点，若点恰好是的中点，求证：． 【答案】(1) 证明：，， ， 在和中， ， ； (2) 证明：过点作交于点，如图所示， ， 是的中点， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ． 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用全等三角形的性质和判定解决问题． （1）运用全等三角形的性质和判定，证明和全等，即可求得； （2）作辅助线构建全等三角形，运用全等三角形的性质和判定，证明， ，进而求得． 【详解】（1）略 （2）略 知识点二倍长中线模型 5．如图，是的中线，是上一点，连接并延长，与交于点，若，，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】延长，使，连接，由“”可证，可得，，由等腰三角形的性质可得，进而得到，即可求解． 【详解】解：如图，延长，使，连接， ∵是的中线， ∴, ∵， ∴， ∴， ， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 6．如图，点是四边形内一点，连接，已知，，且，若是的中点，则下列结论中一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理的知识的综合，掌握全等三角形的判定和性质，合理作出辅助线是解题的关键． 连接，根据全等三角形的判定，结合题意与不一定相等可判定A选项；根据题意，不能得出，可判定B选项；根据倍长中线，三角形内角和定理等知识证明可判定C选项；由题意不一定等于，可判定D选项，由此即可求解． 【详解】解：连接， ，， 要使，需， 与不一定相等， 与不一定全等，故A不符合题意； ， ， ∴不能得出，故B不符合题意； 作交的延长线于点，则， 点是的中点， ，且， ∴， ，，， ，，， ∴， 又， ， ， ，故C符合题意； 不一定等于，故D不符合题意． 故选：C． 7．如图，和都是等腰直角三角形，，连接交于点，连接交于点，连接，，点是的中点，延长交于点，下列结论：；是等腰直角三角形；；；；其中正确的是______．（填序号） 【答案】①④⑤ 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，根据已知找到全等的三角形及掌握倍长中线辅助线做法是解题的关键． ①由和都是等腰直角三角形得，，，进而得，可证，即可得，故结论①正确； ②题目中没有给出证的条件，故结论②错误； ③点的位置不一定使得，故结论③错误； ④延长到，使，连接，可证，可得，，，进而得，，，得，由得，可证，得，等量代换即可得，故结论④正确； ⑤由，得，而，由，得，可得，即，故结论⑤正确． 【详解】解：∵和都是等腰直角三角形， ∴，，， ∴， 即， 在和中， ， ∴， ∴ ， ∴结论①正确； ∵题目中没有给出的条件，只有和是等腰直角三角形，即 ，， ∴和不一定相等， ∴不一定是等腰直角三角形， ∴结论②错误； ∵点的位置不一定使得， ∴结论③错误； 如图，延长到，使，连接， ∵是的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴ ，，， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴结论④正确； ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ ， ∴结论⑤正确． 综上，正确的是①④⑤． 故答案为：①④⑤． 8．在通过构造全等三角形解决的问题中，有一种方法叫倍长中线法． (1)如图，是的中线，，求的取值范围．我们可以延长到点，使，连接，根据可证，所以．接下来，在中利用三角形的三边关系可求得的取值范围，从而得到中线的取值范围是：________； (2)如图，，点为的中点，连接．求证：． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（）由可得，再根据三角形三边关系解答即可求解； （）延长至，使，连接，则，同理可证，即得，，再证明，得到，即可求证； 本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形的三边关系，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】（1）解：∵是的中线， ∴， 又∵，， ∴， ∴， 在中，∵， ∴， ∴， 故答案为：； （2）解：如图，延长至，使，连接，则， 同理可证， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 即， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴． 知识点三旋转模型 9．如图，在五边形中，，，，且，，则五边形的面积为（    ） A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】D 【分析】本题考查了旋转的性质、全等三角形的判定与性质、三点共线，解题的关键是利用全等的性质将面积进行转化． 将绕点A逆时针旋转至，首先证明点D，E，F三点共线，证明，得到，，再将所求面积转化为进行计算即可． 【详解】如图，将绕点A逆时针旋转至， ，， 则，， ，即点D，E，F三点共线， ， ， 即， 在和中 ， ， ， ， 五边形的面积为： ， ， ． 故选：D． 10．如图，中，，，，点是边上的一个动点，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，则在点运动过程中，线段的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】如图，取AB的中点T，连接PT，过点T作TH⊥AC于H．证明△TBP≌△CBQ（SAS），推出CQ=PT，根据垂线段最短可知，当点P与H重合时，PT的值最小，最小值=TH=AT=5． 【详解】解：如图，取AB的中点T，连接PT，过点T作TH⊥AC于H． ∵∠ACB=90°，∠A=30°， ∴AB=2BC，∠ABC=60°， ∵AT=TB， ∴BC=BT， ∵BP=BQ，∠CBT=∠PBQ， ∴∠CBT-∠PBC=∠PBQ-∠PBC，即∠TBP=∠CBQ， ∴△TBP≌△CBQ（SAS）， ∴CQ=PT， 根据垂线段最短可知，当点P与H重合时，PT的值最小，最小值=TH=AT=AB=5， ∴CQ的最小值为5． 故选A 【点睛】本题考查旋转变换，垂线段最短，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题型． 11．如图，为线段上一动点（点不与点、重合），在同侧分别作等边和等边，与交于，与相交于，与交于点，连结，以下五个结论： ①；②；③；④；⑤平分，其中正确的结论有______（只填序号）． 【答案】①②③⑤ 【分析】利用手拉手模型证明再进一步推理各个结论，然后运用排除法，对各个结论进行验证从而确定最后的答案． 【详解】解：①等边和等边， ，， ，， 在和中， ， ， ，， 故①正确； ②，，， ， ， ∵， 是等边三角形， ， ， ∴； 故②正确； ③等边， ， ∴， ， ； 故③正确； ④，， ， ，故④错误； ⑤如图，过点作，垂足为，作，垂足为，则， ∵，， ， ， 平分，故⑤正确． 综上所述，正确的结论有：①②③⑤， 故答案为：①②③⑤． 【点睛】本题考查等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，平行线的判定，三角形的外角，证明是解题的关键． 12．（1）如图1，在中，，，点D，E在边上且不与点B，C重合，，猜想之间的数量关系，并说明理由． （2）如图2，在中，，，点D，E在边上且不与点B，C重合，，，猜想之间的数量关系，并说明理由．    【答案】（1），理由见解析；（2），理由见解析 【分析】（1）将绕点A顺时针旋转90°后得，连接，先证明再证明即可得到，再在中利用勾股定理得到，最后等量代换得到； （2）将绕点A顺时针旋转120°后得，连接，证明得到，再在中利用勾股定理得到，最后等量代换得到． 【详解】解：（1）． 理由：如图，将绕点A顺时针旋转90°后得，连接．   在中，，， ， 由旋转的性质可知，， ，， ． （旋转角），又， 故． ∴， ∴， 在中，由勾股定理得 即． （2）． 理由：如图2，将绕点A顺时针旋转120°后得，连接．    在中，，， ， 由旋转的性质可知，， ，， ， ∴， ∴， ∴，， ． 在中，由勾股定理得， ． 【点睛】本题考查旋转的性质，勾股定理，全等三角形的“半角旋转”模型，熟练利用模型构造全等是解题的关键． 知识点四垂线模型 13．如图，四边形中，，则四边形的面积为（   ） A．6 B．7 C．12 D．20 【答案】C 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，解题的关键是正确添加辅助线构造“三垂直”全等模型． 过点分别作，交直线于点，证明，则设，，则，则，求出，再由四边形的面积，然后整体代入求解即可． 【详解】解：过点分别作，交直线于点， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 设， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵四边形的面积， ∴四边形的面积 ， 故选：C． 14．如图，是边长为3的等边三角形，点Q是边上一点，于点D，点E为边延长线上一点，且满足，连接交于点F，则的长为（    ） A． B． C．1 D． 【答案】A 【分析】本题考查了等边三角形的性质、全等三角形的性质与判定，熟练掌握以上知识点，添加适当的辅助线构造全等三角形是解题的关键．作交的延长线于点，利用全等三角形判定证出，得到，，再证出，得到，再利用线段和差即可求出的长． 【详解】解：作交的延长线于点， 是边长为3的等边三角形， ，， ， ， ，， ， 又， ， ，， 又，， ， ， ． 故选：A． 15．如图，在中，以，为腰作等腰直角三角形和等腰直角三角形，连接，为边上的高线，延长交于点N，下列结论：①；②；③；④，其中正确的有________（写上序号） 【答案】①③④ 【分析】此题主要考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质的应用，先作，交于点H，，交延长线于点K，构造三对全等三角形：，，，根据全等三角形的面积相等，即可得出，，，根据，即可得出结论③；最后根据，得出即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴，故①正确； ∵与不一定相等， ∴与不一定全等，故②错误； 作，交于点H，，交延长线于点K， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， 同理可得：， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴ ， 即，故③正确； ∵， ∴，故④正确． 故答案为：①③④． 16．如图，在中，，直线经过顶点，过，两点分别作的垂线，，，为垂足，且．求证： (1)； (2)． 【答案】(1)证明：，， . 在和中， ， . ， ， 即. (2) 证明：， . 又，， . 【分析】本题考查了全等三角形的常见模型：垂线模型，熟悉模型的构成及相关结论是解题关键． （1）证即可求证； （2）由（1）可得，据此即可求证． 【详解】（1）略 （2）略 知识点五证一条线段等于两条线段和差 17．如图，在中，，和的平分线、相交于点O，交于点D，交于点E，若已知周长为20，，，则长为（   ） A． B． C． D．4 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定、角平分线的定义、三角形外角的性质，添加适当的辅助线构造全等三角形是解题的关键． 在上截取点使得，连接，根据角平分线的定义得到，，进而得到，先证明，得到，再证明，推出，再利用三角形的周长公式求出的长，即可得出答案． 【详解】解：如图，在上截取点使得，连接， ∵， ∴， ∵和的平分线、相交于点O， ∴，， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴设，， ∵周长为20，， ∴， 即， 解得， ∴， 故选：B． 18．如图，在四边形中，是的平分线，且．若，则四边形的周长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】在线段AC上作AF=AB，证明△AEF≌△AEB可得∠AFE=∠B，∠AEF=∠AEB，再证明△CEF≌△CED可得CD=CF，即可求得四边形的周长． 【详解】解：在线段AC上作AF=AB， ∵AE是的平分线， ∴∠CAE=∠BAE， 又∵AE=AE， ∴△AEF≌△AEB（SAS）， ∴∠AFE=∠B，∠AEF=∠AEB， ∵AB∥CD， ∴∠D+∠B=180°， ∵∠AFE+∠CFE=180°， ∴∠D=∠CFE， ∵， ∴∠AEF+∠CEF=90°，∠AEB+∠CED=90°， ∴∠CEF=∠CED， 在△CEF和△CED中 ∵, ∴△CEF≌△CED（AAS） ∴CD=CF， ∴四边形的周长=AC+AB+BD+CD=AC+AF+CF+BD=2AC+BD=， 故选：B． 【点睛】本题考查全等三角形的性质和判断．能正确作出辅助线构造全等三角形是解题关键． 19．如图，点E是CD上的一点，Rt△ACD≌Rt△EBC，则下结论：①AC＝BC，②AD∥BE，③∠ACB＝90°，④AD+DE＝BE， 成立的有 _____个．    【答案】1 【分析】根据全等三角形的性质可以得出AC=BE，CD=BC， ，根据以上结论可以推导出 ，，即可求解． 【详解】解：∵Rt△ACD≌Rt△EBC， ∴AC＝BE， ∵在Rt△BEC中，BE＜BC， ∴AC＜BC， ∴①错误； ∵∠CAD＝∠CEB＝∠BED＝90°，∠D＜∠CAD， ∴∠D≠∠BED， ∴AD和BE不平行， ∴②错误； ∵Rt△ACD≌Rt△EBC， ∴∠ACD＝∠CBE，∠D＝∠BCE， ∵∠CAD＝90°， ∴∠ACD+∠D＝90°， ∴∠ACB＝∠ACD+∠BCE＝90°， ∴③正确； ∵Rt△ACD≌Rt△EBC， ∴AD＝CE，CD＝BC， CD＝CE+DE＝AD+DE＝BC， ∵BE＜BC， ∴AD+DE＞BE， ∴④错误； 故答案为：1． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质，直角三角形斜边大于直角边等知识，熟练掌握全等三角形的性质是解题关键． 20．如图1，在四边形中，，点，点分别在边，上，已知，． (1)求证：； (2)如图2，若点，点分别在边，的延长线上，其它条件不变，（1）中的结论还成立吗？若成立，请写出证明过程；若不成立，请写出新的结论，并说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)不成立，，理由见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，熟练掌握利用半角模型去截长补短是解题的关键． （1）延长至点，使，构造，得出，，再利用，得出，证明，得出，再利用线段的和差即可证明； （2）在上截取，构造，得出，，再利用，得出，证明，得出，再利用线段的和差即可证明． 【详解】（1）证明：如图，延长至点，使， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）解：如图，在上截取， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， 即， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 即：． 学科网（北京）股份有限公司 $