第14章全等三角形【章节复习】压轴题--全等综合 2026--2027学年人教版八年级数学上册

**基本信息** 以动态几何变换为载体，通过图形变式构建猜想-证明的探究链条，强化几何直观与推理能力 **综合设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |图形旋转综合|1|三图变式递进，含旋转、延长变换|从静态图形性质到旋转后数量关系，体现空间观念| |动点与垂线综合|1|动点位置分类（线段上/延长线）|基于垂线构造全等，渗透分类讨论思想| |中点与旋转线综合|1|直线旋转位置变式|以中点为核心，探究动态中线段关系，强化推理意识|

1. 我们现给出如下结论：“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”图形语言说明：在中，， 由是中线，可得 ． 请结合上述结论解决如下问题： 已知，点是边上一动点（不与，重合）分别过点，向直线作垂线，垂足分别为，，为边的中点． （ 1 ）如图，当点与点重合时，与的位置关系是 ，与的数量关系是 ． 图 （ 2 ）如图，当点在线段上不与点重合时，试判断与的数量关系，并给予证明． 图 （ 3 ）如图，当点在线段的延长线上时，此时（）中的结论是否成立？请画出图形并给予证明． 1 学科网（北京）股份有限公司 图 2. 如图，在等腰 中， ，是线段上一动点（与点、不重合），连接 ，延长至点 ，使 ，过点作于点，交于点 ． （ 1 ）若，求的大小（用含的式子表示）． （ 2 ）在（ ）的条件下，过点 作 于点，试说明与 之间的数量关系，并证明． 3. 已知：如图所示， 和 中， ， ， ，点 是的中点， 与 交于点， 与 交于点 ． （ 1 ）求证：． （ 2 ）求证：． （ 3 ）如图所示，点在线段 上，且，交于点，交于点，猜想，和的数量关系，并证明你的猜想． $ 1. 如图①，在中，、分别是、上的点，，，然后将绕点顺时针旋转一定角度，连接，，得到图②，将、分别延长至 、，使 ， ，连接 ， ， 得到图③，请解答下列问题： 图 图 图 （ 1 ）在图②中，与的数量关系是 ． （ 2 ）在图③中，猜想与的数量关系，与的数量关系，并证明你的猜想． （ 1 ） （ 2 ） （ 1 ）可证明 ， ∵ ∴ ≌ （ 2 ） ，∴ ． ． 在 和 ， ． 中， ， ∴ ∴ ∵ ∴在 ≌ （ ． ）． ， ． ， ． 和 中， 1 学科网（北京）股份有限公司 ， ∴ ∴ ∴ ≌ （ ）． ． ，即 ． 【知识点】全等三角形的对应边与角 2. 在中，，，点为射线上一点，连接，过点作线段的垂线，在直线上，分别在点的两侧截取与线段相等的线段和，连接、． （ 1 ）当点在线段上时（点不与点、重合），如图 ． 图 E C A D B 请你将图形补充完整．1 线段、所在直线的位置关系为 ，线段、的数量关系为 ．2 （ 2 ）当点在线段的延长线上时，如图． C A B D 请你将图形补充完整．1 在（ ）中②问的结论是否仍然成立？如果成立请进行证明，如果不成立，请说明理由．2 （ 1 ）1 画图见解析． 2 垂直 ; 相等 （ 2 ）1 画图见解析． 2 成立，画图见解析． （ 1 ）1 如图所示： l E C F A D B 2 ∵ ， （ 2 ）1 ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ， ∴ ≌ ， ∴ ， ， ∴ ， 即 ． 故答案为：垂直、相等．如图所示： 图 2 成立． ∵ ∴ ∵ ∵ 图 ， ． ， ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ， ． ， ≌ （ ， ）， ， ， ，即 ． 【知识点】旋转型全等 3. 已知中， 为的中点，直线绕点旋转，过、 、分别作于点， 于点．当直线经过点时，如图，可以得到 ．于点 ， 图 （ 1 ）当直线不经过点，旋转到如图，图的位置时，线段， ，之间有怎样的数量关系，请直接写出你的猜想． 图，猜想： ；图，猜想： ． 图 图 （ 2 ）选择第（ ）问中任意一种猜想加以证明． （ 1 ） ; （ 2 ） 证明见解析． （ 1 ）图 的结论为 ． 图 的结论为 ． （ 2 ）图 的结论证明如下： 图 连接 并延长交 的延长线于点 ， ∵ ， ， ∴ ， ∴ ， 又∵ 为 的中点， ∴ ， ∵ ， ， ∴ ≌ （ ）， ∴ ， ， 由（ ）知： ， ∴ ． 图 的结论证明如下： 连接 ∵ ∴ ∴ 又∵ ∴ ∵ ∴ ∴ 图 并延长交 ， ， 于点 ， ， ， 为 的中点， ， ， （ ， ≌ ， 由（ ）知： ∴ ）， ， ， ． 【知识点】ASA $ 1. 如图①，在中，、分别是、上的点，，，然后将绕点顺时针旋转一定角度，连接，，得到图②，将、分别延长至 、，使 ， ，连接 ， ， 得到图③，请解答下列问题： 图 图 图 （ 1 ）在图②中，与的数量关系是 ． （ 2 ）在图③中，猜想与的数量关系，与的数量关系，并证明你的猜想． 2. 在中，，，点为射线上一点，连接，过点作线段的垂线，在直线上，分别在点的两侧截取与线段相等的线段和，连接、． （ 1 ）当点在线段上时（点不与点、重合），如图 ． 图 E C A D B 请你将图形补充完整．1 线段、所在直线的位置关系为 ，线段、的数量关系为 ．2 （ 2 ）当点在线段的延长线上时，如图． C A B D 1 学科网（北京）股份有限公司 请你将图形补充完整．1 在（ ）中②问的结论是否仍然成立？如果成立请进行证明，如果不成立，请说明理由．2 3. 已知中， 为的中点，直线绕点旋转，过、 、分别作于点， 于点．当直线经过点时，如图，可以得到 ．于点 ， 图 （ 1 ）当直线不经过点，旋转到如图，图的位置时，线段， ，之间有怎样的数量关系，请直接写出你的猜想． 图，猜想： ；图，猜想： ． 图 图 （ 2 ）选择第（ ）问中任意一种猜想加以证明． $ 1. 我们现给出如下结论：“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”图形语言说明：在中，， 由是中线，可得 ． 请结合上述结论解决如下问题： 已知，点是边上一动点（不与，重合）分别过点，向直线作垂线，垂足分别为，，为边的中点． （ 1 ）如图，当点与点重合时，与的位置关系是 ，与的数量关系是 ． 图 （ 2 ）如图，当点在线段上不与点重合时，试判断与的数量关系，并给予证明． 图 （ 3 ）如图，当点在线段的延长线上时，此时（）中的结论是否成立？请画出图形并给予证明． 1 学科网（北京）股份有限公司 图 （ 1 ） ; （ 2 ） ． （ 3 ）（ ）中的结论仍然成立． （ 2 ） （ 1 ）∵ ， ∴ ． 可证 ≌ ， ∴ ． ． 如图，延长 交 于 ， ∵ ∴ ， ， 在 和 中， ， ∴ ∴ ≌ ， （）， ∵ ， ∴ 是 斜边上的中线， ∴ ，即 ． （ 3 ）答：（ ）中的结论仍然成立． 如图，延长 、 交于 ， ∵ ∴在 ， ， 和 中， ， ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ≌ （ ）， ， ， 是 斜边 上的中线， ． 【知识点】全等三角形的对应边与角 2. 如图，在等腰中，，是线段上一动点（与点、不重合），连接 ，延长至点，使，过点作于点，交于点 ． （ 1 ）若，求的大小（用含的式子表示）． （ 2 ）在（ ）的条件下，过点 作 于点，试说明与 之间的数量关系，并证明． （ 1 ） （ 2 ） ． ． （ 1 ）∵ ， 是等腰直角三角形， ∴ ， ， ∵ ， ∴ ， ∴在 中， ． （ 2 ）如图，连接 ，作 于点 ， ∵在 与 中， ， ∴ ≌ ， ∴ ， ， ∵在 中， ， ∴ ， ∴ ， ∵由（ ）已知 ， ∴ ， ∵由（ ）已知 ， ∴ ， ∴ ， 在 与 中， ， ∴ ≌ ． ∴ ． 【知识点】多解或多种判定混合 4 学科网（北京）股份有限公司 （ 1 ）求证：． （ 2 ）求证：． （ 3 ）如图所示，点在线段 上，且，交于点，交于点，猜想，和的数量关系，并证明你的猜想． （ 1 ）证明见解析． （ 2 ）证明见解析． （ 3 ） ． （ 1 ）∵ ∴ ， ． ． 又 ∴ ∴ ∴ 为 中点． ． ． ． （ 2 ）作 ∴又 ∴ ∵ ，作 ， ． ，两线交于点 ，连接 ． ． ． ． 5 学科网（北京）股份有限公司 ∴ ． ∴在 和 中， ． ∴ ≌ ． ∴ ． ∵ ， ． ∴ ． 在 和 中， ． ∴ ≌ ． ∴ ． ∵在 中有， ． ∴ ． （ 3 ）延长 到 ，使 ，连接 ．在四边形 中， ∵ ． ∴ ． 又 ． ∴ ． 在 和 中， ． ∴ ≌ ． ∴ ． ． ∵ ． ∴ ． 又 ． ∴ 在 ． 和 中． ． ∴ ∴ ∵ ≌ ． ． ． ∴ ． 【能力】推理论证能力 【知识点】等腰直角三角形的性质 【知识点】全等三角形的对应边与角 【知识点】SAS $