22.1 比例线段 第3课时 课件 2026-2027学年沪科版九年级数学上册

该初中数学课件聚焦比例的基本性质、合比性质、等比性质及黄金分割，通过回顾等式基本性质搭建学习支架，引导学生从已有知识自然过渡到比例性质的探究，形成完整的知识脉络。 其亮点在于以“思考-探究-证明-应用”为主线，结合等式性质推导比例性质培养数学思维的推理意识，例题融入物理胡克定律、地图比例尺等跨学科与生活实例体现数学语言的应用意识，归纳小结系统梳理知识点。学生能提升逻辑推理和实际应用能力，教师可直接用于课堂教学，提高效率。

第22章 相似形 22.1 比例线段 第3课时 比例的性质与黄金分割 沪科版九年级上册 回顾复习 等式的基本性质: 等式的基本性质1 如果a=b,那么ac=bc. 等式的基本性质2 如果a=b,那么ac=bc或(c≠0). 等式的基本性质3（对称性） 如果a=b,那么b=a. 等式的基本性质4（传递性） 如果a=b,b=c,那么a=c. 探索新知 知识点1：比例的基本性质 思考1:如果四个数a,b,c,d成比例，即，那么ad=bc成立吗？ 根据等式的基本性质1， 在等式两边同时乘以bd，得ad=bc. 由此可得到比例的基本性质： 如果，那么ad=bc. 想一想：如果ad=bc,那么还成立吗？ 在等式中，四个数a,b,c,d可以为任意数，而在分式中，分母不能为0. 由此可得比例的基本性质： 如果ad=bc(b,d ≠0),那么. 思考2：还有别的性质吗？ 如果，在等式两边同时加上1，得, 由此可得比例的合比性质： 如果，那么. 知识点2：比例的合比性质 例题示范 例1 已知：如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，. 求证：(1); (2). 证明: (1)∵，∴. ∴. (2)∵， ∴， ∴=. ∴=， ∴=. 知识点3 等比性质 如果 ，且 ，那么 . 证明： ，则 . 设k法，用k作为“桥梁”将问题转化.当有等比形式时常用此方法. , , . 例题示范 例2 已知 ，且 . 求：(1) ; (2) . 解： ; ; ; . . 例题示范 例3 如图，已知线段AB的长度为a，点P是AB上一点，且AB : AP = AP : PB，求线段AB的长和的值. A P B 解:设AP=x，那么PB=a-x.根据题意，得 a:x=x:(a-x), 整理，得x2+ax-a2=0. 解方程，得x=. 因为线段长不能是负值，所以取 , 即 . 于是 知识点4 黄金分割比 点C把线段AB分成两条线段AC和BC,如果 , 那么称线段AB被点C黄金分割.点C叫作线段AB的黄金分割点,AC与AB的比称为黄金比. A B C 归纳小结 知识点1 比例的基本性质及合比、等比性质 (1)基本性质：如果 ，那么ad=bc(b,d ≠0). 反之也成立，即如果ad=bc(b,d ≠0)，那么 . (2)合比性质：如果 ，那么 . (3)等比性质：如果 ，且 ，那么 . 注意：运用等比性质时，注意各分母的和不为零，否则无意义. 知识点2 黄金分割 把一条线段分成两部分，使其中较长线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分割叫作黄金分割，分割点叫作这条线段的黄金分割点，比值叫作黄金数，又称黄金比. 1.若 ，则mn的值为(　　) C 随堂练习 2．[六安期末]已知ax＝by≠0，那么下列比例式成立的是(　　) B 3.[安庆期中]若 ，则 ＝(　　) C A 5．若5x＝7y，则下列等式不成立的是(　　) C C 7．若 ＝ 3，且b＋d＋f＝2，则a＋c＋e＝_______． 6 8.[淮北月考]地图上淮北到合肥的距离约为2.8 cm.比例尺是1∶10 000 000，那么淮北到合肥的实际距离约为(　　) A．2.8 km B．28 km C．280 km D．2 800 km C 9．一个零件的直径是2 mm，在比例尺是20∶1的图纸上这个零件的直径是________cm. 4 10. 【思维生长】P是线段AB的黄金分割点，且PA＞PB，则有 ＝______≈________(黄金数)． PA PA 0.618 向“实践应用”生长：大自然是美的设计师，即使是一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割”的美. 如图①，P为AB的黄金分割点(AP>PB). 如果BP的长度为4 cm，那么AP的长度为____________cm(结果保留根号)． 向“勾股定理”生长：如图②，这是“安”字在正方形米字格中的书写形态，已知正方形ABCD的边长为2 cm，笔画横钩“乛”与正方形对角线BD交于点E，点E为线段BD的黄金分割点，DE<BE，则DE的长度约为________cm(结果精确到0.1 cm)． 1.1 11.【跨学科·物理】已知施加在弹簧上的力与弹簧的形变量遵循胡克定律：F＝k·x(其中k是劲度系数，x是形变量)．有三个不同的弹簧A，B，C放在水平面上，分别被一个大小和方向均相同的力拉长，它们的形变量之比是3∶8∶9，这三个弹簧的劲度系数分别为k1，k2，k3，则k1∶k2∶k3＝(　　) A．24∶9∶8 B．8∶9∶24 C．9∶8∶3 D．3∶8∶9 A 12.【数形结合思想】如图，已知点C是线段AB的黄金分割点，且BC >AC.若S1表示以BC为边长的正方形的面积，S2表示长为AB、宽为AC的矩形的面积，则S1与S2的大小关系为_________． S1＝S2 13．已知 ≠0，则 的值为_______． 14．如图，已知BD，CE相交于点A，连接BC，DE. 14．如图，已知BD，CE相交于点A，连接BC，DE. 15. 【新趋势·阅读理解】阅读下面的一段文字： 利用比例的等比性质完成下题： (1)在△ABC和△A′B′C′中， ，且A′B′＋ B′C′＋C′A′＝20，求△ABC的周长； 解：根据题意，可分为以下两种情况： ①当a＋b＋c≠0 时，根据比例的等比性质， 得k＝ ②当a＋b＋c＝0时，a＋b＝－c，k＝ ＝－2. 综上所述，k的值为1或－2. ＝ A． B． C．15 D. A.＝ B.＝ C.＝ D.＝ ＝ A. B. C. D. 4．若＝，则的值为(　　) A. B. C.－ D.－ A.＝ B.＝ C.＝ D.＝ 6.已知＝＝(b＋d≠0)，则＝(　　) A. B. C. D. ＝＝ ＝ (2＋2) ＝＝ (1)若＝，求证：＝； 证明：∵＝，∴＝， ∴＝，即＝，∴＝. (2)若＝，求证：＝. 证明：∵＝，∴＝， ∴＝，即＝，∴＝. 设＝＝…＝＝k，则有a1＝b1k，a2＝b2k，…，an＝bnk，当b1＋b2＋…＋bn≠0时，＝＝＝k＝. 从上面的推导过程可得，若＝＝…＝，当b1＋b2＋…＋bn≠0时，＝，我们把它称为比例的等比性质． ＝＝＝ 解：∵ ＝＝＝，且A′B′＋B′C′＋C′A′≠0， ∴ ＝＝， ∴ △ABC的周长＝AB＋BC＋CA＝(A′B′＋B′C′＋C′A′)＝×20＝15. (2)若＝＝＝且2b－d－5f≠0，求的值； 解：∵ ＝＝＝，∴＝＝＝， ∵ 2b－d－5f≠0，∴ ＝＝. (3)已知＝＝＝k，求k的值． ＝1； $