阶段测试卷（范围：集合与简易逻辑、不等式、一元函数导数及其应用）2027届高三数学一轮复习

**基本信息** 聚焦集合与逻辑、不等式、导数三大模块，以题载法构建“概念理解-方法迁移-综合应用”逻辑链，强化数学思维与问题解决能力。 **综合设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |集合与逻辑|选择1-2、填空15|命题否定规则、集合运算技巧|逻辑命题与集合运算的关联性| |不等式|选择3-6、填空13|恒成立问题分类讨论、均值不等式应用|不等式解法与函数最值的转化| |导数应用|选择7-8、填空12/14、解答17-19|分离参数法、导数几何意义、极值分析|导数与函数单调性、零点问题的综合应用|

2027高三一轮复习阶段测试卷 （范围：集合与简易逻辑、不等式、一元函数导数及其应用） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知集合，则（    ） A． B． C． D． 2．命题“，”的否定是（    ） A．， B．， C．， D．， 3．已知关于的不等式的解集为，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 4．不等式对一切实数x都成立，则k的取值范围为（   ） A． B． C． D． 5．设，，，则，，的大小关系为（   ） A． B． C． D． 6．函数的图象恒过定点A，若点A坐标满足方程，且，则的最小值为（ ） A．4 B．6 C． D．8 7．设是定义在上的奇函数，且．若在上单调递减，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 8．已知函数，若函数有个不同的零点，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．若，且，则下列说法正确的是（     ） A． B． C． D． 10．已知函数，则下列结论正确的是（   ） A．的单调减区间是 B．在定义域内无最小值，无最大值 C． D．函数有2个零点 11．已知定义在上的函数满足，且，则（    ） A． B． C．的图象关于直线对称 D． 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知函数在处取得极值0，则________． 13．若正实数满足，则的最小值为______． 14．对于函数，若存在，使得，则称点与是的一对“隐对称点”．已知的图象上恰有一对“隐对称点”，则的取值范围是__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．已知集合，． (1)若，求及； (2)若，求实数的取值范围； (3)若是的充分不必要条件，求实数的取值范围． 16．已知函数． (1)若，都有，求实数的取值范围； (2)若，使得，求实数的取值范围． 17．已知函数，． (1)求函数在点处的切线方程； (2)若恒成立，求正实数的取值范围． 18．将药物注射进患者的血液中，药物在血液中释放某有效治疗因子，该因子在血液中的浓度随着时间（单位：小时）的变化情况如图所示，其函数模型可以用函数近似，其中． (1)根据图象求参数，，的值； (2)当浓度时药物才有疗效，求注射该药物一次的有效治疗时长（保留两位小数）． （参考数据：，） 19．已知函数（且）. (1)若，求a； (2)若，且对于任意，在区间上总存在极值，求的取值范围. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A C D C D C B B BC BCD 题号 11 答案 BCD 1．A 【分析】先化简集合A，再根据并集的定义计算即可得到结果. 【详解】首先化简集合：已知，其中指正整数集，不等式两边平方得， 结合，可得的取值为1,2,3，即. 已知，根据并集的定义可得. 【点睛】 2．C 【详解】命题“，”为全称命题， 则其否定为“，”. 3．D 【分析】先根据一元二次不等式的解集结合韦达定理求出参数的值，再代入分式不等式，移项通分转化为整式不等式求解，注意排除分母为0的情况。 【详解】由不等式的解集为，可知，且、是方程的两个实根， 根据韦达定理：，解得，，代入得，解得， 将、代入，得 ， 移项通分： ， 该不等式等价于，即，解二次不等式，得或， 结合，最终解集为. 4．C 【分析】分和两种情况讨论，时直接验证不等式成立，时利用一元二次不等式恒成立的条件求解，最终合并得到的取值范围. 【详解】分两种情况进行讨论： 当时，原不等式化为，该式对任意实数恒成立，符合题意； 当时，原不等式为关于的一元二次不等式，若要对一切实数恒成立，需同时满足： （1）二次项系数小于0，即，解得； （2）判别式，代入系数得，解不等式得； 综上所述，的取值范围为. 5．D 【分析】根据指数函数、对数函数的单调性，判断与的大小关系，结合幂函数的单调性即可确定的关系. 【详解】， ， 因为单调递增，所以， 因为单调递减，所以， 所以，综上, 故选：D. 6．C 【分析】令指数为，可得定点坐标，将其坐标代入到方程中，可得，由，，利用均值不等式求解即可. 【详解】由题，令，可得，则， 所以函数图象恒过定点， 代入方程，可得，则， 因为， 所以， 当且仅当时，可得的最小值为， 7．B 【分析】利用函数的奇偶性和函数的单调性求解即可. 【详解】由题意可知的解集是 的解集是． 因为不等式等价于不等式组或 所以不等式的解集是． 故选：B. 8．B 【分析】利用导数作出函数的图象，转化条件为的图象与直线有个交点，数形结合即可得解. 【详解】由题当时，，所以， 所以当时，，当时，； 所以在区间上单调递增，在上单调递减， 当时，当时，； 当时，； 所以可作出函数的图象，如下图， 若要使函数有个不同的零点， 所以的图象与直线有个交点， 即，解得. 即实数的取值范围是. 9．BC 【详解】选项A，因为，所以，错误. 选项B，因为，所以，又，因此，正确. 选项C，因为，所以，又因为，所以，正确. 选项D，，若，正负性无法确定，错误. 10．BCD 【详解】由题意得，且，， 当且时，， 当，即时，，单调递增； 当，即且时 ，，即单调递减. 所以的单调减区间为和，故A错误； 当时，单调递减，且时，故此时； 当时，在处取极小值， 且时，故此时. 综上，在定义域内无最小值，也无最大值，故B正确； 因为，， 且，当时，单调递增， 故，即，故C正确； 即，令， 则，即，化简得， 令，因为， 故在单调递减，单调递增， 且，， ，故有2个零点， 分别为，， 即有两个解，分别为，. 当且时，得到或，故此方程无解； 当且时， 当时，单调递减且时，此时方程有1个解； 当，单调递增且时， 此时方程也有1个解，故方程有2个解. 综上，函数有2个零点，故D正确. 11．BCD 【分析】根据题意，令即可判断A；令即可判断B；先令求出，再分别令和令即可判断C；由可判断的周期是，求出一个周期的和即可求解. 【详解】已知定义在上的函数满足，且， 对于A，令，则，即，由于，解得，故A错误； 对于B，已知，令，则，化简得，即， 对任意，都可以令，则，故B正确； 对于C，已知，，令，则，化简得，解得， 再令，则，化简得，变形得， 再令，则，化简得，所以是一个偶函数， 结合，可得，所以，所以的图象关于直线对称，故C正确； 对于D，已知，进一步可得，所以的周期是， 已知，，，， 所以每个周期内和为， 前项可拆分为个完整周期加剩余项， 所以，故D正确. 12．512 【分析】利用极值与导数关系求出的值即可求解. 【详解】在处有极值，且，， 即，解得：，或． 当时，， 函数在R上为增函数，无极值，舍去； 当时，， 当时，,函数在上单调递减， 当时，,函数在上单调递增，故函数在处取得极小值， 所以，，． 13．6 【分析】将代换后使用基本不等式求解. 【详解】因为正实数满足，所以，解得，则， 可得， 当且仅当时取等号，所以的最小值为6. 14． 【分析】先根据“隐对称点”的定义将问题转化为时的方程有唯一解问题，分离参数后构造新函数，通过导数分析新函数的单调性与值域，结合函数趋势确定参数的取值范围. 【详解】根据“隐对称点”的定义，存在使得，不妨设，则，代入分段函数解析式得： ，化简得， 题目要求恰有一对“隐对称点”，等价于方程在上恰有1个解. 当 时，得， 令， ， 令，                                 ， 令 ， ∵ 时，∴ 在上单调递增， ∴ ， ∴在恒成立， ∴ 在上单调递增， ∴ ， ∵ 时，∴ ，即在上单调递增. 由洛必达法则，， 当时，指数函数增长速度远快于多项式函数，故， ∴ 的值域为， ∴ 要使在上恰有1个解，需. 即的取值范围是. 【点睛】方法归纳： 分离参数法求解方程零点个数问题步骤：①将方程中的参数与变量分离，转化为与构造的函数交点问题；②通过导数分析构造函数的单调性、极值与值域；③结合函数单调性与值域，确定参数的取值范围，可避免复杂的分类讨论. 15．(1)， (2) (3) 【分析】（1）求出集合，根据并集的定义可求得集合，根据补集和交集的定义可求得集合； （2）分析可得，分、两种情况讨论，根据题意以及集合的包含关系可得出关于实数的不等式（组），综合可得出实数的取值范围； （3）由题意可知集合是集合的真子集，可得出关于实数的不等式组，由此可得出实数的取值范围. 【详解】（1）由，解得，所以． 当时，，所以， 或，所以． （2）因为，所以， ①当时，，解得； ②当时，则，解得． 综上所述，实数的取值范围为． （3）由是的充分不必要条件，知集合是集合的真子集， 所以，解得， 当时，，此时是的真子集，符合题意. 故实数的取值范围是． 16．(1)； (2) 【分析】（1）分和两种情况，结合函数单调性得到不等式，求出的取值范围； （2）变形，令，将其看作关于的一次函数，，使得，从而得到不等式，求出答案 【详解】（1） 当时，，符合题意； 当时，的对称轴为，故在区间上单调， 当时，开口向上，在区间上单调递减，只需， 即，解得，故； 当时，开口向下，在区间上单调递增，只需， 即，解得，故， 综上，且， 综上所述，实数的取值范围是． （2），即，， ，令， 将其看作关于的一次函数，，使得， 只需或， 由可得，解得， 由可得，解得， 因为，所以实数的取值范围是． 17．(1) (2) 【分析】（1）根据导数的几何意义求出斜率即可； （2）分离参数后，利用导数求出函数的最值即可得解. 【详解】（1）由题意得，.，， ∴函数在点处的切线方程为； （2）， ∴代入得，，， 设，，令解得， ∴可得函数在上单调递增，在上单调递减， ∴函数的最大值为，，解得． ∴综上，的取值范围为． 18．(1) ，， (2) 小时 【分析】（1）根据及待定系数法求解析式中的参数值； （2）应用分类讨论研究时对应的自变量范围，即可得. 【详解】（1）由， 由图象知， 联立得，得，则， 由， 综上，； （2）由（1）知， 当时，，则， 所以，因此第一段满足条件的范围是， 当时，，则， 所以，因此第二段满足条件的范围是， 综上，总有效时长为小时. 19．(1)1 (2) 【分析】（1）分和，确定的符号，可确定的值. （2）把问题转化成为有两个不相等的实根，且必有一根在区间内，在根据二次函数的零点分布求参数的取值范围. 【详解】（1）当时，，由得：（），所以. 当时，，由得：（），所以. 所以. （2）时，. 所以，（）. 所以，（） 对于任意，在区间上总存在极值就是： 有两个不相等的实根，且必有一根在区间内. 因为函数是开口向上的二次函数，且， 所以必有：. 由， 设，则在上单调递减，所以，所以， 由. 综上可知：. 所以，所求的取值范围是： 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $