6.4 平面向量的应用专项训练-2027届高考数学一轮复习

**基本信息** 以向量工具为核心，系统整合平面几何判断与物理量合成问题，通过题型分层构建“概念应用—运算推理—实际建模”的逻辑链条，培养数学眼光与应用意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |平面几何中的向量方法|5题（含三角形形状判断、线段长度计算）|向量数量积判断垂直、模长公式求长度、线性运算分解线段|从图形性质判断到量化计算，体现向量对几何问题的代数化转化| |向量在物理中的应用举例|9题（含渡河问题、力的平衡）|速度合成求最短航程、力的分解解决平衡问题、向量模长计算功|从简单运动到复杂力系，构建物理情境的向量模型，强化数学思维的迁移应用|

6.4 平面向量的应用 知识点一 平面几何中的向量方法 1．已知的三个顶点分别是，，，则的形状是（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．斜三角形 D．等腰直角三角形 2．四边形中，，，则这个四边形是（    ） A．菱形 B．矩形 C．正方形 D．等腰梯形 3．如图，在中，，，，D是BC的中点，，AD与CE交于点F.则（   ） A． B． C． D． 4．已知向量，，则（    ） A．30° B．150° C．60° D．120° 5．已知中，，，点在边上，，则的长为（   ） A． B． C． D． 知识点二 向量在物理中的应用举例 6．如图，一条河两岸平行，河的宽度，一艘船从河岸边的地出发，向河对岸航行．已知船的速度的大小为，水流速度的大小为，那么当航程最短时，这艘船行驶完全程需要的时间（    ） A． B． C． D． 7．在日常生活中，我们会看到两个人共提一个行李包的情况（如图所示）．假设行李包所受的重力为G，所受的两个拉力分别为，，且，与的夹角为θ，则以下结论不正确的是（   ） A．的最小值为 B．θ的范围为 C．当时， D．当时， 8．（多选）一条东西方向的小河，河两岸平行，河宽，一艘小船在河南岸向河北岸航行．已知小船在静水中的速度大小为，河水的流速大小为，关于这艘船的渡河情况，下列说法正确的是（    ） A．当小船以北偏西方向航行时，小船实际航向垂直河岸 B．当小船垂直河岸航行时，小船实际速度的大小为 C．当小船航程最短时，小船到达河北岸的时间为 D．当小船渡河时间最短时，小船垂直河岸方向航行 9．（多选）关于向量的描述，下列说法错误的是（    ） A． B．向量与向量的单位向量方向相同或相反 C．零向量没有大小，没有方向 D．一物体在力的作用下由点移动到点，已知，则力对该物体所做的功为 10．长江某段南北两岸平行，如图，江面宽度.一艘游船从南岸头A出发航行到北岸.已知游船在静水中的航行速度的大小为，水流的速度的大小为.设和的夹角为（），北岸的点在A的正北方向.    (1)当时，试判断游船航行到达北岸的位置是在的左侧还是右侧，并说明理由. (2)当多大时，游船能到达处？需要航行多长时间？（不必近似计算） (3)当时，游船航行到达北岸的实际航程是多少？ 11．今有一小船位于宽的河边处，从这里起，在下游处河流有一瀑布，如图所示，若河水流速方向由上游指向下游（与河岸平行），水速大小为，为了使小船能安全渡河，船的划速大小不能小于多少？当划速最小时，划速方向如何？（） 12．一条东西方向的河流两岸平行，河宽250m，河水的速度为向东．一艘小货船准备从河的这一边的码头处出发，航行到位于河对岸（与河的方向垂直）的正西方向并且与相距的码头处卸货．若水流的速度与小货船航行的速度的合速度的大小为，则当小货船的航程最短时，求此时小货船航行速度大小为多少？ 13．一条东西方向的河流两岸平行，河宽800m，水流的速度为向东.河南岸有一码头A，码头A正对面有一货站B（AB与河的方向垂直），B的正西方向且与B相距600m另有货站C，已知一货船匀速航行，当货船自码头A航行到货站C航程最短时，合速度为. (1)求货船航行速度的大小； (2)若货船从A出发垂直到达正对岸的货站B处，求货船到达B处所需时间. 14．若平面上的三个力作用于一点，且处于平衡状态，已知,,与的夹角为，求： (1)的大小； (2)与夹角的大小. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 答案 B A D B C B B BCD BC 1．B 【分析】利用向量数量积的坐标表示即可求得，由模长公式计算可得，即可得出结论. 【详解】易知， 可得，即，且， 所以可得的形状是直角三角形. 故选：B 2．A 【分析】由可得，且，即四边形为平行四边形，又，即四边形为菱形，即得解 【详解】由题意， 即，且 故四边形为平行四边形 又 故 即四边形为菱形 故选：A 3．D 【分析】先根据三角函数的定义求出和的长度，再利用向量的加法的长度，再利用向量的乘法求出，进而利用向量夹角的余弦公式即可求得的值． 【详解】由，则， 且，得， 又是的中点，即是中线，则， 则，得， 所以 故选：D． 4．B 【分析】根据向量夹角的坐标表示求出向量夹角，进而求解几何角. 【详解】因为向量，， 所以， 又，所以，所以， 所以. 故选：B. 5．C 【分析】利用角平分线定理得到，利用平面向量的线性运算结合数量积的运算计算即可. 【详解】 根据题意，因为，，所以为的平分线， 根据角平分线定理，可得，则 所以， 两边平方可得 ， 所以. 故选：C. 6．B 【详解】设船垂直河岸实际渡河速度的大小为，， 所以，解得， . 7．B 【分析】根据向量的线性运算法则、数量积公式，逐一分析各个选项，即可得答案. 【详解】如图，对于A，当、方向同向时，有，此时取得最小值，且最小值为，故A正确； 对于B，当时，有，行李包不会处于平衡状态，即，故B错误； 对于C，当行李包处于平衡时，，若，则有，变形得，，即，故C正确； 对于D，若，则有，变形可得，故D正确. 8．BCD 【分析】根据向量数量积的运算性质及模的运算判断ABC，根据船垂直河岸方向航行用时最短判断D. 【详解】设小船在静水中的速度为为，水流的速度为， 则 ，小船的实际速度为，则有， 对于A，由小船以北偏西方向航行可知，船速的方向与垂直于河岸方向的夹角为， 若小船实际航向垂直河岸，则在平行于河岸方向的分速度大小与水速大小相等， 即，而，所以假设不成立，错误； 对于B，由题意，所以， 所以，正确； 对于C，因为，所以，所以， 所以， 所以小船到达河北岸的时间为h，正确； 对于D，当小船渡河时间最短时，垂直河岸的分速度最大， 即船垂直河岸方向航行（船头指向正北），此时分速度等于船在静水中的速度， 所以最短时间为 h，正确. 9．BC 【分析】由向量的相关概念可判断ABC，由向量的数量积可判断D. 【详解】选项A，相反向量模相等，故，所以A选项正确； 选项B，根据单位向量的概念可知： 向量的单位向量为：，向量的单位向量为：， 所以向量与向量的单位向量方向相反，不可能相同，故B选项不正确； 选项C，零向量大小为0，方向任意，故C选项不正确； 选项D，由， 所以力对该物体所做的功为： ，故D选项正确. 故选：BC. 10．(1)左侧，理由见解析 (2)， (3) 【分析】（1）求出沿河岸方向的分速度方向与大小即可. （2）利用沿河岸方向的分速度大小等于，再求出夹角的余弦及航行时间. （3）求出垂直河岸及沿河岸方向的航程，再利用勾股定理求解. 【详解】（1）由题设，在反方向上的分速度为， 所以游船航行到达北岸的位置是在的左侧. （2）要能到达处，则在反方向上的分速度为， 解得，即，而，则， 因此垂直河岸方向上的速度为， 所以当时，游船能到达处，用时. （3）由（1）知，垂直河岸方向的航行速度为，则航行时间为， 因此水平方向航行距离， 所以游船航行到达北岸的实际航程. 11．，方向与上游河岸的夹角为53°． 【分析】设船的划速为，方向与上游河岸成角，将正交分解为，，根据三角函数得，再利用辅助角公式求解. 【详解】设船的划速为，方向与上游河岸成角，将正交分解为，， ，，由物理学知识， 可知，所以． 令 即，即． 所以当时，，所以． 此时． 故划速最小为，方向与上游河岸的夹角为53°． 12． 【分析】根据平行向量的几何性质，结合向量数量积的运算性质，即可求解. 【详解】如图所示：， 设合速度为，小货船航行速度为，水流的速度为，则有， 所以有. 所以此时小货船航行速度为. 13．(1) (2) 【分析】（1）建立坐标系，利用向量的运算与分解，利用坐标法计算向量的长度，进而求得；（2）货船要垂直到达正对岸B，需使合速度的东向分量为0，进而计算求解. 【详解】（1）以为坐标原点，以东向方向为轴，以垂直对岸的方向为轴建立直角坐标系如图所示. 货船从码头航行到货站的最短路径要求合速度方向由指向. 设货船在静水中的速度为 ，水流速度为4 km/h向东，即, 合速度为水流速度与船速的矢量和： 由题意，合速度方向与向量同向，且大小为. 设合速度为，则： 因此，合速度为 . 联立方程： 货船速度大小为：    （2）货船要垂直到达正对岸，需使合速度的东向分量为0. 设船速为，则： 由（1）知船速大小为 ，故： 合速度的北向分量为 ，河宽，所需时间为： 14．(1)（1+）N. (2) 【分析】（1）根据力的平衡．利用数量积进行求解的大小； （2）解法一，根据力的平衡，利用数量积求解夹角；解法二，利用数量积进行求解夹角. 【详解】（1）因为三个力平衡，所以， 所以 , 故的大小为. （2）解法一：设与的夹角为θ， 则， 即=，解得， 因为，所以. 解法二：设与的夹角为θ，得， 因为，所以. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $