精品解析：贵州省遵义市播州区新蓝学校2021-2022学年八年级上学期期中质量检测数学试题

2021－2022学年度播州区新蓝学校期中试卷 八年级数学 考试时间：120分钟 满分：150分 一、单选题（共48分） 1. 垃圾分类能有效减少占地、减少污染以及节约资源，以下为垃圾分类的四种标志，其中不是轴对称图形的是（　　） A. B. C. D. 2. 2020年6月23日，我国北斗卫星导航系统最后一颗组网卫星发射成功，中国北斗卫星导航系统是中国自行研制的全球导航系统，可为用户提供定位、导航、授时服务，定位精度10米，测速精度0.2米/秒，授时精度0.000 000 01秒，数据0.000 000 01用科学记数法表示为（ ） A. 0.1×10－7 B. 1×10－8 C. 1×10－9 D. 10×10－8 3. 下列二次根式中，最简二次根式是（ ） A. B. C. D. 4. 下列条件中，不能判断四边形是平行四边形的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 5. 如图，已知点的坐标为，则线段的长为(　　) A. B. C. D. 3 6. 下列从左到右的变形中，属于因式分解的是（ ） A. B. x2﹣4y2＋3z＝（x＋2y）（x﹣2y）＋3z C. （x＋4）（x﹣4）＝x2﹣16 D. 2ab＋2a＋b＋1＝（2a＋1）（b＋1） 7. 如图，《九章算术》中的“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去高六尺，折高者几何？意思是：一根竹子，原高一丈（一丈＝十尺），一阵风将竹子折断，竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部6尺远，求折断处离地面的高度．设竹子折断处离地面x尺，根据题意，可列方程为（ ） A. B. C. D. 8. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，将长方形纸片ABCD折叠，使边DC落在对角线AC上，折痕为CE，且D点落在对角线D′处．若AB=3，AD=4，则ED的长为 A. B. 3 C. 1 D. 10. 如图，在矩形中无重叠地放入面积分别为和的两张正方形纸片，则图中空白部分的面积为（ ） A. B. C. D. 11. 下列图形都是由同样大小的平行四边形按一定的规律组成，其中第①个图形中一共有10个平行四边形，第②个图形中一共有14个平行四边形，第③个图形中一共有19个平行四边形，……按此规律排列下去，则第⑥个图形中平行四边形的个数为（ ） A. 39 B. 40 C. 41 D. 42 12. 如图，的对角线AC，BD交于点O，AE平分，交BC于点E，且，连接OE，下列结论①；②OD=AB；③；④；其中成立的个数是（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题（共16分） 13. 计算的结果是____________． 14. 若二次根式有意义，则x的取值范围是_____． 15. 如图，在直角坐标系中，矩形ABCO的边OA在x轴上，边OC在y轴上，点B的坐标为（1，3），将矩形沿对角线AC翻折，B点落在D点的位置，且AD交y轴于点E．那么点E的坐标_____． 16. 如图，在中，是的平分线．若P、Q分别是，上的动点，则的最小值是___________． 三、解答题（共86分） 17. 计算： （1）． （2）解方程． 18. 先化简再求值（﹣a﹣1）÷，其中a＝﹣4． 19. 如图，点O是△ABC内一点，连接OA、OB、OC，并将AB、OB、OC、AC的中点D、E、F、G依次连接，得到四边形DEFG． （1）求证：四边形DEFG是平行四边形； （2）若BO⊥CO，M为EF的中点，且OA＝8，OM＝3，求四边形DEFG的周长． 20. 如图，在一条绷紧的绳索一端系着一艘小船．河岸上一男孩拽着绳子另一端向右走，绳端从C移动到E，同时小船从A移动到B，且绳长始终保持不变．回答下列问题： （1）根据题意可知：AC______（填“＞”、“＜”、“＝”）． （2）若米，米，米，求小男孩需向右移动的距离．（结果保留根号） 21. 在学了二次根式后，老师布置了这样一道题：化简并求值其中，小红的解法如下： 解：原式 第一步 第二步 第三步 第四步 显然，小红的解法不正确． （1）小红的解法是从第______步开始出现错误的？ （2）请你帮她写出正确的解答过程的． 22. 如图，在平面直角坐标系xOy中，正方形OABC的顶点A，C分别在x轴，y轴的正半轴上，B（2，2），点D在CB边上，E是AB的中点，连接OD，DE，并延长DE交x轴于点P，设CD＝m． （1）求点P的坐标（用含m的式子表示）； （2）当OD＝PD时，求m的值； （3）在第（2）题的条件下，作EF∥x轴交OD于点F，连接CF， ①求证：四边形CDEF是平行四边形； ②四边形CDEF能否为菱形？请说明理由． 23. 如图，在的方格纸中，每个小正方形的边长都为1，的三个顶点都在格上，已知． （1）画出． （2）判断的形状，并说明理由． （3）边的高是 ． 24. 如图1，将矩形ABOC放置于第一象限，使其顶点O位于原点，且点B，C分别位于x轴，y轴上．若满足． （1）求点A的坐标； （2）取AC中点M，连接MO，△CMO与△NMO关于MO所在直线对称，连AN并延长交x轴于P点．求证：点P为OB的中点； （3）如图2，在（2）的条件下，点D位于线段AC上，且CD＝8．点E为平面内一动点，满足DE⊥OE，连接PE．请你直接写出线段PE长度的最大值______． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2021－2022学年度播州区新蓝学校期中试卷 八年级数学 考试时间：120分钟 满分：150分 一、单选题（共48分） 1. 垃圾分类能有效减少占地、减少污染以及节约资源，以下为垃圾分类的四种标志，其中不是轴对称图形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据轴对称图形的概念逐项分析即可，轴对称图形：平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形． 【详解】A.是轴对称图形，故该选项不符合题意； B. 是轴对称图形，故该选项不符合题意； C. 不是轴对称图形，故该选项符合题意； D. 是轴对称图形，故该选项不符合题意． 故选C． 【点睛】本题考查了轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，掌握轴对称图形的概念是解题的关键． 2. 2020年6月23日，我国北斗卫星导航系统最后一颗组网卫星发射成功，中国北斗卫星导航系统是中国自行研制的全球导航系统，可为用户提供定位、导航、授时服务，定位精度10米，测速精度0.2米/秒，授时精度0.000 000 01秒，数据0.000 000 01用科学记数法表示为（ ） A. 0.1×10－7 B. 1×10－8 C. 1×10－9 D. 10×10－8 【答案】B 【解析】 【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数n由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 【详解】解：0.000 000 01用科学记数法表示为：， 故选：B． 【点睛】本题主要考查科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，n由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 3. 下列二次根式中，最简二次根式是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据最简二次根式的定义逐一判断即可； 【详解】解：A．是不能开方的整数，因此是最简二次根式，本选项符合题意； B．是分数，因此不最简二次根式，本选项不符合题意； C．，，因此不最简二次根式，本选项不符合题意； D．，因此不最简二次根式，本选项不符合题意； 故选：A． 【点睛】本题考查最简二次根式的定义，注意：被开方数不能含开的尽方的因数或因式；被开方数的因数是整数，因式是整式；解题关键熟记最简二次根式的定义． 4. 下列条件中，不能判断四边形是平行四边形的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的判定，解题关键是熟练掌握平行四边形的判定定理． 根据平行四边形的判定定理对选项进行逐一判断即可． 【详解】∵，，， ∴，， ∴，， ∴四边形是平行四边形， 故选项A不符合题意； ∵，， ∴四边形是平行四边形， 故选项B不符合题意； ∵，， ∴四边形是平行四边形， 故选项D不符合题意； 由，，无法得到四边形是平行四边形， ∴选项C符合题意． 故选：C． 5. 如图，已知点的坐标为，则线段的长为(　　) A. B. C. D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】根据勾股定理计算即可． 【详解】解：OA= ， 故选：B． 【点睛】本题考查的是勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2． 6. 下列从左到右的变形中，属于因式分解的是（ ） A. B. x2﹣4y2＋3z＝（x＋2y）（x﹣2y）＋3z C. （x＋4）（x﹣4）＝x2﹣16 D. 2ab＋2a＋b＋1＝（2a＋1）（b＋1） 【答案】D 【解析】 【分析】分别将各选项分解因式进而分析得出即可． 【详解】解：A、m2+3，无法分解因式，故此选项错误； B、x2﹣4y2＋3z，无法分解因式，故此选项错误； C、（x＋4）（x﹣4）＝x2﹣16，属于因式分解的逆运算，故此选项错误； D、2ab＋2a＋b＋1＝（2a＋1）（b＋1），正确． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了因式分解的应用，熟练掌握因式分解的意义并正确分解因式是解题关键． 7. 如图，《九章算术》中的“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去高六尺，折高者几何？意思是：一根竹子，原高一丈（一丈＝十尺），一阵风将竹子折断，竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部6尺远，求折断处离地面的高度．设竹子折断处离地面x尺，根据题意，可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了利用勾股定理建立方程解决实际问题，熟记勾股定理，理清题目中的条件和数量关系是解决本题的关键． 根据题目设出的未知数，将直角三角形的斜边的长度表示为，再利用勾股定理建立方程． 【详解】解：∵竹子原高十尺，竹子折断处离地面x尺， ∴图中直角三角形的斜边长尺， 根据勾股定理建立方程得：． 故选：D． 8. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据二次根式的运算法则即可求解． 【详解】A、，所以A选项错误； B、，所以B选项错误； C、，所以C选项错误； D、，所以D选项正确． 故选：D． 【点睛】本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍． 9. 如图，将长方形纸片ABCD折叠，使边DC落在对角线AC上，折痕为CE，且D点落在对角线D′处．若AB=3，AD=4，则ED的长为 A. B. 3 C. 1 D. 【答案】A 【解析】 【分析】首先利用勾股定理计算出AC的长，再根据折叠可得△DEC≌△D′EC，设ED=x，则D′E=x，AD′=AC﹣CD′=2，AE=4﹣x，再根据勾股定理可得方程22+x2=（4﹣x）2，再解方程即可 【详解】∵AB=3，AD=4，∴DC=3 ∴根据勾股定理得AC=5 根据折叠可得：△DEC≌△D′EC， ∴D′C=DC=3，DE=D′E 设ED=x，则D′E=x，AD′=AC﹣CD′=2，AE=4﹣x， 在Rt△AED′中：（AD′）2+（ED′）2=AE2，即22+x2=（4﹣x）2， 解得：x= 故选A. 10. 如图，在矩形中无重叠地放入面积分别为和的两张正方形纸片，则图中空白部分的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了算术平方根的应用，化简二次根式．根据正方形的面积求出两个正方形的边长，从而求出，的长，再根据空白部分的面积等于长方形的面积减去两个正方形的面积列式计算即可得解． 【详解】解：两张正方形纸片的面积分别为和 它们的边长分别为 ， 空白部分的面积 ． 故选：D． 11. 下列图形都是由同样大小的平行四边形按一定的规律组成，其中第①个图形中一共有10个平行四边形，第②个图形中一共有14个平行四边形，第③个图形中一共有19个平行四边形，……按此规律排列下去，则第⑥个图形中平行四边形的个数为（ ） A. 39 B. 40 C. 41 D. 42 【答案】B 【解析】 【分析】观察图形的变化可得10+4=14，14+5=19，19+6=25，25+7=32，32+8=40，即可得结果． 【详解】解：观察图形的变化可知： 第①个图形中一共有10个平行四边形， 第②个图形中一共有14个平行四边形， 第③个图形中一共有19个平行四边形， 第④个图形中一共有25个平行四边形， 第⑤个图形中一共有32个平行四边形， 则第⑥个图形中平行四边形的个数为40． 故选：B． 【点睛】本题考查的是平行四边形的认识，规律型：图形的变化类，本题是一道根据图形进行数字猜想的问题，关键是通过归纳与总结，得到其中的规律，然后利用规律解决一般问题． 12. 如图，的对角线AC，BD交于点O，AE平分，交BC于点E，且，连接OE，下列结论①；②OD=AB；③；④；其中成立的个数是（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】结合平行四边形的性质可证明△ABE为等边三角形，由可判定①，证明∠BAC=90°，可判定②；由平行四边形的面积公式可判定③；利用三角形中线的性质结合三角形的面积可求解判定④． 【详解】解：∵四边形ABCD为平行四边形，∠ADC=60°， ∴AD∥BC，∠ABC=∠ADC=60°，∠CAD=∠EAC，OB=OD， ∴∠DAE=∠AEB，∠BAC=∠BCD=120°， ∵AE平分∠BAD， ∴∠BAE=∠DAE， ∴∠BAE=∠AEB ∴△ABE为等边三角形， ∴∠BAE=∠AEB=60°，AB=BE=AE， ∵ ∴EC=AE， ∴∠EAC=∠ECA=30°， ∴∠CAD=30°，故①正确； ∵∠BAD=120°，∠CAD=30°， ∴∠BAC=90°， ∴BO＞AB， ∴OD＞AB，故②错误； ∴S▱ABCD=AB•AC=AC•CD，故③正确； ∵∠BAC=90°，BC=2AB， ∴E是BC的中点， ∴S△BEO：S△BCD=1：4， ∴S四边形OECD：S△BCD=3：4， ∴S四边形OECD：S▱ABCD=3：8， ∵S△AOD：S▱ABCD=1：4， ∴故④正确． 故选：C． 【点睛】本题主要考查平行四边形的性质，直角三角形的性质，三角形的面积，等边三角形的性质和判定，灵活运用三角形的面积解决问题是解题的关键． 二、填空题（共16分） 13. 计算的结果是____________． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次根式的性质化简即可． 【详解】解：， 故答案为：． 【点睛】本题考查的是二次根式的化简，掌握二次根式的化简方法是解题的关键． 14. 若二次根式有意义，则x的取值范围是_____． 【答案】x≤2021 【解析】 【分析】 根据二次根式的性质求解． 【详解】解：要使二次根式有意义，必须有： 2021-x≥0，即x≤2021， ∴x的取值范围是x≤2021， 故答案为x≤2021． 【点睛】本题考查二次根式的基础知识，熟练掌握二次根式有意义的条件是解题关键． 15. 如图，在直角坐标系中，矩形ABCO的边OA在x轴上，边OC在y轴上，点B的坐标为（1，3），将矩形沿对角线AC翻折，B点落在D点的位置，且AD交y轴于点E．那么点E的坐标_____． 【答案】（0，） 【解析】 【分析】首先过D作DF⊥AO于F，根据折叠可以证明△CDE≌△AOE，然后利用全等三角形的性质得到OE=DE，OA=CD=1，设OE=x，那么CE=3-x，DE=x，利用勾股定理即可求出OE的长度，即可求出点E的坐标. 【详解】如图，过D作DF⊥AO于F， ∵点B的坐标为(1,3)， ∴BC=AO=1，AB=OC=3， 根据折叠可知：CD=BC=OA=1，AD=AB=3， 在△CDE和△AOE中， ∴△CDE≌△AOE， ∴OE=DE，OA=CD=1，AE=CE， 设OE=x，那么CE=3−x，DE=x， ∴在Rt△DCE中, ∴ ∴ ∴ 点E的坐标为： 故答案为 【点睛】考查翻折变换（折叠问题）,全等三角形的判定与性质，矩形的性质，勾股定理等，掌握翻折变换的性质是解题的关键. 16. 如图，在中，是的平分线．若P、Q分别是，上的动点，则的最小值是___________． 【答案】 【解析】 【分析】在边上截取，连接，，过点作交于点，证得，于是有，因而，再根据垂线段最短，得到当点与点重合时，最小，等积法求出的长即可． 【详解】解：如图，在边上截取，连接，，过点作交于点， ∵， ∴． 是的平分线， ， 在和中， ， ， ， ， ∴当三点共线时，，最小， ∵垂线段最短， ∴当点与点重合时，最小， ∵，， ∴， ∴， ∴， 的最小值为． 三、解答题（共86分） 17. 计算： （1）． （2）解方程． 【答案】（1）3；（2）x＝3． 【解析】 【分析】（1）原式利用乘方的意义，负整数指数幂、零指数幂法则，以及算术平方根定义计算即可求出值； （2）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解． 【详解】解：（1）原式＝﹣1﹣（﹣3）+﹣+1 ＝﹣1+3+1 ＝3； （2）去分母，得2x﹣3＝3x﹣6， 移项，得2x﹣3x＝﹣6+3， 解得：x＝3， 检验：把x＝3代入（x﹣2）（2x﹣3）≠0， ∴x＝3是原分式方程的解． 【点睛】本题考查了解分式方程，以及实数的运算，解分式方程利用了转化的思想，注意检验． 18. 先化简再求值（﹣a﹣1）÷，其中a＝﹣4． 【答案】﹣a2+a，-20． 【解析】 【分析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将a的值代入计算即可． 【详解】解：（﹣a﹣1）÷ ＝（﹣）÷ ＝÷ ＝• ＝﹣a（a﹣1） ＝﹣a2+a， 当a＝﹣4时， 原式＝﹣（﹣4）2﹣4＝﹣16﹣4＝﹣20． 【点睛】此题主要考查分式化简求值，解题的关键是熟知分式的运算法则． 19. 如图，点O是△ABC内一点，连接OA、OB、OC，并将AB、OB、OC、AC的中点D、E、F、G依次连接，得到四边形DEFG． （1）求证：四边形DEFG是平行四边形； （2）若BO⊥CO，M为EF的中点，且OA＝8，OM＝3，求四边形DEFG的周长． 【答案】（1）见解析 （2）20 【解析】 【分析】( 1 )根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得且，且，从而得到，再利用一-组对边平行且相等的四边形是平行四边形证明即可． ( 2 )利用直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，求出EF，再利用三角形中位线定理得出DE的长即可得出答案． 【小问1详解】 证明: ∵D，G分别是AB，AC的中点， ∴E，F分别是OB，OC的中点， ∴四边形DEFG是平行四边形． 【小问2详解】 ，M为EF的中点，， 由（1）有四边形DEFG是平行四边形， ∵D是AB的中点，E是BO的中点， ∴四边形DEFG的周长为: 4+4+6+6=20． 【点睛】此题主要考查了平行四边形的判定和性质，三角形的中位线，直角三角形的性质，解本题的关键是判定四边形DEFG是平行四边形． 20. 如图，在一条绷紧的绳索一端系着一艘小船．河岸上一男孩拽着绳子另一端向右走，绳端从C移动到E，同时小船从A移动到B，且绳长始终保持不变．回答下列问题： （1）根据题意可知：AC______（填“＞”、“＜”、“＝”）． （2）若米，米，米，求小男孩需向右移动的距离．（结果保留根号） 【答案】（1）= （2）米 【解析】 【分析】（1）由绳长始终保持不变即可求解； （2）由勾股定理求出、的长，然后根据即可求解． 【小问1详解】 ∵的长度是男孩未拽之前的绳子长，的长度是男孩拽之后的绳子长，绳长始终保持不变， ∴， 故答案为：=； 【小问2详解】 连接，则点A、B、F三点共线， 在中，（米）， ∵（米）， ∴在中，（米）， ∵， ∴（米）， ∴男孩需向右移动的距离为米． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，根据勾股定理求出、的长是解题的关键． 21. 在学了二次根式后，老师布置了这样一道题：化简并求值其中，小红的解法如下： 解：原式 第一步 第二步 第三步 第四步 显然，小红的解法不正确． （1）小红的解法是从第______步开始出现错误的？ （2）请你帮她写出正确的解答过程的． 【答案】（1）三；（2）见解析 【解析】 【分析】（1）根据题意得小红的解法是从第三步开始出现错误的； （2）先根据，可得 ， ，从而去掉绝对值，即可求解． 【详解】解：（1）小红的解法是从第三步开始出现错误的； （2）原式 ∵ ， ∴ ， ， ∴， ， ∴原式 ， 把代入得： 原式 ． 【点睛】本题主要考查了二次根式的性质，二次根式的运算，绝对值的意义，根据题意得到 ， ，是解本题的关键． 22. 如图，在平面直角坐标系xOy中，正方形OABC的顶点A，C分别在x轴，y轴的正半轴上，B（2，2），点D在CB边上，E是AB的中点，连接OD，DE，并延长DE交x轴于点P，设CD＝m． （1）求点P的坐标（用含m的式子表示）； （2）当OD＝PD时，求m的值； （3）在第（2）题的条件下，作EF∥x轴交OD于点F，连接CF， ①求证：四边形CDEF是平行四边形； ②四边形CDEF能否为菱形？请说明理由． 【答案】（1）（4﹣m，0） （2） （3）①见解析 ②四边形CDEF不能为菱形，理由见解析 【解析】 【分析】（1）由正方形的性质证得△PEA≌△DEB，进而求得点P坐标． （2）作DH⊥OP于点H，求得OH的长，进的求得m的值． （3）①证得CD平行EF且CD=EF，进而证得四边形CDEF是平行四边形． ②证得四边形CDEF不满足菱形的判定即可． 【小问1详解】 解：（1）如图1，∵四边形OABC是正方形，B（2，2）， ∴OA＝BC＝AB＝OC＝2，∠EAP＝∠B＝90°， ∵AE＝BE，∠PEA＝∠DEB， ∴△PEA≌△DEB（ASA）， ∵CD＝m， ∴AP＝BD＝BC﹣CD＝2﹣m， ∴OP＝2+2﹣m＝4﹣m， ∴点P的坐标为（4﹣m，0）． 【小问2详解】 解：如图1，作DH⊥OP于点H， ∵D（m，2）， ∴H（m，0）， ∵OD＝PD， ∴OH＝PH＝OP， ∴m＝（4﹣m）， 解得m＝， 【小问3详解】 解：如图2，①∵OD＝PD， ∴∠DOP＝∠DPO， ∵EF∥x轴， ∴∠DFE＝∠DOP，∠DEF＝∠DPO， ∴∠DFE＝∠DEF， ∴DF＝DE， ∵DE＝PE＝PD， ∴DF＝PD＝OD， ∴DF＝OF， ∴EF＝OP＝（4﹣m）， ∴CD＝m＝，EF＝（4﹣m）＝（4﹣）＝， ∴CD＝EF， ∵CD∥x轴，EF∥x轴， ∴CD∥EF， ∴四边形CDEF是平行四边形． ②四边形CDEF不能为菱形， 理由：∵∠OCD＝90°，CD＝，OC＝2， ∴OD＝， ∵F为OD的中点， ∴CF＝OD＝， ∵CD＝m＝， ∴CF≠CD， ∴四边形CDEF不能为菱形． 【点睛】本题考查正方形的性质、平行四边形的判定、菱形的判定、点坐标求解；熟练掌握相关知识是解题的关键． 23. 如图，在的方格纸中，每个小正方形的边长都为1，的三个顶点都在格上，已知． （1）画出． （2）判断的形状，并说明理由． （3）边的高是 ． 【答案】（1）见解析；（2）直角三角形，理由见解析（3）2 【解析】 【分析】（1）利用数形结合的思想画出△ABC即可． （2）利用勾股定理的逆定理判断即可． （3）利用面积法构建方程解决问题即可． 【详解】解：（1）如图，△ABC即为所求； （2）△ABC是直角三角形； ∵，， ∴在中，， 为直角三角形． （3）设AB边上的高为h． ∵， ∴． 故答案为：2． 【点睛】本题考查作图-应用与设计，勾股定理以及逆定理等知识，解题关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 24. 如图1，将矩形ABOC放置于第一象限，使其顶点O位于原点，且点B，C分别位于x轴，y轴上．若满足． （1）求点A的坐标； （2）取AC中点M，连接MO，△CMO与△NMO关于MO所在直线对称，连AN并延长交x轴于P点．求证：点P为OB的中点； （3）如图2，在（2）的条件下，点D位于线段AC上，且CD＝8．点E为平面内一动点，满足DE⊥OE，连接PE．请你直接写出线段PE长度的最大值______． 【答案】（1）点A的坐标为 （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）根据二次根式的性质：被开方数一定大于等于0，去列出不等式组并求解，即可求出点A的坐标； （2）利用对称的性质、等腰三角形等边对等角的性质和三角形内角和定理，就可得出NC和AP垂直，再得出两组对边分别平行证出平行四边形，由平行四边形性质即可得出求证； （3）利用勾股定理和直角三角形斜边中线的性质求出和的长，再利用三角形三边关系得出当P、Q、E三点共线时PE的长度最大，进而求出答案． 【小问1详解】 解：由二次根式的性质， 可得：m－10≥0且20－2m≥1， 解得m＝10， 当m＝10时， ， 解得n＝6， 故点A的坐标为， 【小问2详解】 如图，连接NC， ∵△CMO与△NMO关于MO所在直线对称， ∴MO⊥NC， ∴CM＝MN， ∴∠MCN＝∠MNC， 又M为AC中点， ∴AM＝CM， ∴AM＝MN， ∴∠MAN＝∠MNA， 又在△ACN中， ∠ACN＋∠CAN＋∠ANC＝∠ACN＋∠CAN＋∠ANM＋∠MNC＝180°， 即2∠MNC＋2∠ANM＝180°， ∴∠ANC＝∠MNC＋∠ANM＝90°， 即NC⊥AP， ∴MO∥AP 又AM∥OP， ∴四边形MOPA为平行四边形， ∴， ∴点P为OB的中点； 【小问3详解】 如图，连接OD，取OD的中点Q， 连接EQ、PQ． 由（2）知，点P坐标为 ∵CD＝8，OC＝6， ∴， ∴点Q的坐标为， 则， 又∵∠OED＝90°， ∴， 三角形两边之和大于第三边， 即， ∴当P、Q、E三点共线时， ， 此时PE的长度最大， 则PE的最大值． 【点睛】本题主要考查了二次根式的性质、对称图形的性质、平行四边形的判定与性质、勾股定理和三角形三边关系等知识点，牢固掌握以上知识点并能综合应用是做出本题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $