第3课《配方法解一元二次方程》课件2026-2027学年九年级数学上册人教版

该初中数学课件聚焦“用配方法解一元二次方程”，通过温故知新（完全平方公式填空、直接开平方法回顾）搭建学习支架，衔接完全平方公式与直接开平方法，引导学生从旧知自然过渡到配方转化方程形式的新知。 其亮点在于以“移常数、配常数、写平方、开方解”口诀化步骤梳理方法，结合系数为1与非1的例题及无实根判断，培养运算能力与推理意识。分层练习与结构化课堂小结助力学生掌握，教师可高效实施教学。

第二十五章 一元二次方程 25.2降次——解一元二次方程 第2课时 用配方法解一元二次方程 学习目标： 1.掌握将一元二次方程通过配方转化为 (x+m)2=n（n≥0）的形式，实现 “降次” 求解.（重点） 2.能求解二次项系数为 1 或不为 1 的一元二次方程，并判断方程是否有实数根.（难点） 填空： （1）x2 + 10x + ___ = ( x + ___ )2； （2）x2 – 12x + ___ = ( x – ___ )2； （3）x2 + 5x + ___ = ( x + ___ )2； 25 5 36 6 观察这几个式子，你发现了什么规律？ x2±2mx+(m)2=(x±m)2 温故知新1 二次项系数为1的完全平方式：常数项等于一次项系数一半的平方. 01 经典回顾 · 直接开平方法 解方程：(x - 2)2 = 9 解：根据平方根的定义，两边同时开平方 x - 2 = 3或-3 ∴ x1 = 5，x2 = -1 02 深度思考 · 形式转化 核心设问：如何构造“完全平方式”？ 这就是我们今天要探究的核心方法——配方法！它是解一元二次方程的通法，也是理解二次函数图像性质的重要桥梁。 温故知新2 如果方程不是特殊的平方形式呢？ 例如：x2 + 6x + 5 = 0 如何将其转化为可直接开平方的完全平方式？这是解决一般一元二次方程的关键钥匙。 1.7.2013 我们已经会解像$(x-2)^2=9$这样的方程了，直接开平方就能得到解。但是，如果方程不是这种形式，比如$x^2+6x+5=0$，我们该怎么办呢？能不能把它变成可以直接开平方的形式呢？这就是我们今天要学习的配方法的核心思想。 ‹#› 新知探究 解方程: x2+6x+5=0. （1）方程x2+6x+5=0怎样变成（x+n)2=p的形式呢？ 解： x2+6x+5=0 x2+6x=-5 移项 x2+6x+9=-5+9 两边都加上9 （x+3）2=4 左边写成完 成平方形式 二次项系数为1的完全平方式：常数项等于一次项系数一半的平方. 新知小结1.二次项系数为1配方核心口诀 01 移常数 将方程中的常数项移至等号右侧，使左边仅保留二次项和一次项。这是配方的基础准备，目的是为后续构造完全平方式腾出空间。 02 配常数 在方程两边同时加上“一次项系数一半的平方”。这是配方的核心关键，通过此操作让方程左边凑成完全平方式，同时保持方程两边的平衡。 03 写成平方形式 将方程左边整理为“(x + m)²”的完全平方结构，使方程转化为“平方项 = 常数项”的简洁形式，这一步实现了方程形式的本质简化。 04 开方求解 对变形后的方程两边同时开平方，得到两个一元一次方程，分别解这两个方程，即可求出原一元二次方程的两个根，完成最终的求解过程。 1.7.2013 我们来总结一下刚才的步骤。对于二次项系数为1的方程，配方法可以概括为四步口诀：一移常数，二配常数，三写成平方形式，四开方求解。大家一定要记住这个顺序。 ‹#› 新知小结2 像上面那样，通过配成完全平方式来解一元二次方程的方法，叫作配方法. 基本思路：把方程化为 (x+n)2=p 的形式，用直接开平方法将一元二次方程降次，转化为一元一次方程求解. 方法：在方程两边都加上一次项系数一半的平方. 注意：在二次项系数为1的前提下进行的，那么当二次项系数为1的时候，怎么办呢？且看例题分析 例题分析 例1 解下列方程： （1）x2 – 8x+1 = 0； （2）2x2 +1=3x； （3）3x2 – 6x+4=0. 解：（1）移项，得 x2 – 8x = –1. 配方，得 x2 – 8x+42 = –1+42， (x – 4)2 = 15. 例题分析 例1 解下列方程： （1）x2 – 8x+1 = 0； （2）2x2 +1=3x； （3）3x2 – 6x+4=0. 解：（2）移项，得 2x2 – 3x = – 1. 解：（3）移项，得 3x2 – 6x = – 4. 因为实数的平方不会是负数，所以 x 取任何实数时， (x – 1)2都是非负数，上式都不成立，所以原方程无实数根. 例题分析 例1 解下列方程： （1）x2 – 8x+1 = 0； （2）2x2 +1=3x； （3）3x2 – 6x+4=0. 易错点警示 01 勿忘同加 配方的核心是保持等式平衡。若仅在方程左边添加常数项，而忽略在右边同步操作，会直接破坏等式成立的基础，导致后续所有计算结果无效。 02 先化系数为1 当二次项系数 a≠1 时，必须先将方程两边同时除以 a，将系数化为 1 后再进行配方。这是凑成完全平方式的必要前提，切勿直接移项操作。 03 慎漏正负解 对完全平方式进行开平方运算时，结果必然包含正负两个值。遗漏任何一个符号都会丢失一半的解，这是解方程中最易疏忽的细节，需格外警惕。 核心口诀：系数先化 1，两边同加减，开方莫忘 ±，三步不走样，解题稳又准！ 1.7.2013 在使用配方法时，有几个易错点需要大家特别注意。第一，配方时一定要两边同时加，不能只加一边。第二，二次项系数不是1时，一定要先化1。第三，开平方时千万不要忘记正负两个解。这三点大家一定要牢记。 ‹#› 一般地，一元二次方程可以通过配方转化为 (x+n)2=p 的形式. （2）当 p=0 时，方程有两个相等的实数根 x1 = x2 = – n ； （3）当 p<0 时，因为对任意实数x，都有(x+n)2 ≥ 0，所以方程无实数根. 新知小结3 分层练习 1.将方程x2-6x+2=0 配方后，所得方程正确的是（ ） A.(x-3)2=7 B.(x-3)2=11 C.(x-6)2=34 D.(x-3)2=-2 A 2.用配方法解方程x2+6x=2，变形后结果正确的是（ ） A.(x-3)2=11 B.(x-3)2=8 C.(x+3)2=11 D.(x+3)2=8 C 分层练习 3.用配方法解方程x2-2x-99=0时，原方程变形为（　　） A.(x+1)2=100 B.(x-1)2=100 C.(x+1)2=98 D.(x-1)2=98 4.方程x2-4x+1=0配方后的形式是（ ） A.(x-2)2=1 B.(x+2)2=1 C.(x-2)2=3 D.(x+2)2=3 B C 分层练习 5.解下列方程： （1）x2+10x+9=0； 解：移项，得 x2+10x = –9. 配方，得x2+10x+52= –9+52， (x+5)2=16. 由此可得 x+5=±4， x1= –1，x2= –9. 分层练习 （3）3x2+6x–4=0； （4）4x2–6x–3=0； 分层练习 （5）x2+4x–9=2x–11； （6）x(x+4)=8x+4； 解：移项，得 x2+2x= –2. 配方，得x2+2x+12= –2+12， (x+1)2= –1. 因为实数的平方不会是负数，所以x取任何实数时，(x+1)2都是非负数，上式都不成立，所以原方程无实数根. 课堂小结 用配方法解 一元二次方程 一移 将常数项移到方程的右边 二化 二次项系数化为1 三配 方程左、右两边同时加上一次项系数一半的平方 四开 利用平方根的意义直接开平方 五解 解两个一元一次方程 $