第5讲一元二次方程的解法和根与系数的关系 暑假预习讲义 2026-2027学年度新苏科版九年级数学上册

第5讲 一元二次方程的解法和根与系数的关系 目录 知识点1 一元二次方程常用解法适用条件 2 知识点2 求根公式与根的判别式 2 知识点3 根与系数的关系（韦达定理） 3 知识点4 分式方程化一元二次方程核心 3 知识点5 配方法核心规则 3 题型1 直接开平方法解一元二次方程 3 题型2 配方法解一元二次方程 4 题型3 配方法的应用 5 题型4 因式分解法解一元二次方程 6 题型5 公式法解一元二次方程 7 题型6 换元法解一元二次方程 8 题型7 根据判别式判断一元二次方程根的情况 10 题型8 根据一元二次方程根的情况求参数 10 题型9 解分式方程（化为一元二次方程） 11 题型10 一元二次方程的根与系数的关系 11 计算题和解答题 12 1. 知识目标：掌握直接开平方法、配方法、因式分解法、公式法、换元法五种解方程思路；熟记根的判别式、根与系数关系（韦达定理）核心公式与判定规则。 2. 能力目标：能根据方程形式灵活选最优解法，会利用配方法求值变形、判别式判断根的情况、韦达定理整体求值，掌握分式方程化为一元二次方程的解题流程。 3. 素养目标：掌握转化、整体代换、配方建模思想，熟练规范解方程步骤，规避增根、漏根、计算失误等常见问题，提升方程综合解题能力。 知识点1 一元二次方程常用解法适用条件 解法 适用方程形式 核心特点 直接开平方法 无一次项、完全平方式，最快求解 因式分解法 可分解为两个一次因式乘积=0 优先首选，运算量最小 配方法 所有一元二次方程，多用于代数式变形 通用方法，为公式法奠基 公式法 所有一元二次方程，无法因式分解时使用 万能通用、步骤固定 换元法 高次、重复整体结构的特殊方程 降次简化，化繁为简 知识点2 求根公式与根的判别式 对于一元二次方程 1. 求根公式： 2. 判别式： 3. 根的情况判定： ：方程有两个不相等的实数根； ：方程有两个相等的实数根； ：方程无实数根。 知识点3 根与系数的关系（韦达定理） 若方程 的两根为 ，且方程有实数根： 两根和： 两根积： 拓展常用变形： 知识点4 分式方程化一元二次方程核心 去分母化为整式一元二次方程，必须验根，使分母为0的根为增根，需要舍去。 知识点5 配方法核心规则 二次项系数化为1→移常数项→两边加一次项系数一半的平方→写成完全平方形式。 题型1 直接开平方法解一元二次方程 解题技巧（整体平方、非负开方、双根不丢） 1. 适用场景：纯平方项等于常数、整体括号平方等于常数； 2. 核心前提：右侧常数必须≥0，负数直接判定无实数根； 3. 开方规则：整体开方必须带，得到两个根； 4. 收尾化简：分别计算正负两种情况，化简最简根。 1．方程的根为________． 2．若方程的根为整数，则m的值可以是_________．（只填符合条件的一个即可） 3．利用直接开平方法解下列方程： (1)； (2)． 4．三国时期的数学家赵爽在《勾股圆方图说》中记载了构造几何图形解一元二次方程的方法，以解一元二次方程为例： 将方程写成； 如图1，大正方形由4个小长方形与中间的小正方形组成， 大正方形面积为，4个小长方形与正方形的面积的和为，即． 所以，．易得一个正实数根． 请用构造几何图形方法解决下列问题： (1)一元二次方程的一个正实数根为 ； (2)关于的一元二次方程（为常数），在所构造的图形中大正方形的面积为81，求出该一元二次方程的正实数根及的值．（在图2虚线框中画出构造的几何图形并标出相应的边长）． 题型2 配方法解一元二次方程 解题技巧（标准化四步配方） 1. 化系数：二次项系数化为1； 2. 移常数：常数项移到等式右侧； 3. 配常数：左右同加「一次项系数一半的平方」； 4. 开方求解：左侧写成完全平方，右侧合并，开平方法求双根； 5. 易错点：二次项系数不为1时，严禁直接配方。 5．将一元二次方程配方，得到方程，其中“”表示的数为（     ） A．16 B．4 C．2 D．1 6．用配方法解方程时，若将方程变形为，则_____ ． 7．解方程： (1) (2) 8．解方程 (1)； (2)（用配方法）． 题型3 配方法的应用 解题技巧（配方凑平方、利用非负性求值） 1. 代数式最值：配方化为完全平方加常数，利用平方≥0求最大、最小值； 2. 等式求值：多个平方和为0，直接令每一个平方项为0； 3. 比较大小：配方后作差，判断式子正负； 4. 核心思想：配方消交叉项，构造非负数模型解题。 9．把关于x的一元二次方程配方，得，则的值为（   ） A．1 B．3 C．5 D．10 10．若，则代数式的值为__________． 11．【阅读材料】配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些求代数式的最大值、最小值的问题． 例如：分解因式．又如，求代数式的最小值，我们可以通过配方得到：．因为，所以，则，当时，有最小值，最小值是． 根据阅读材料用配方法解决下列问题： (1)分解因式：； (2)当为何值时，多项式有最大值？并求出这个最大值． (3)若多项式与一个单项式的和能通过配方法因式分解，请直接写出满足条件的所有单项式． 12．【阅读理解】把代数式通过配凑等手段，得到完全平方式，再运用完全平方式的非负性增加问题的条件，这种解题方法叫作配方法．配方法不仅在代数式求值、解方程、求最值问题等有着广泛的应用，也在几何、经济等领域常用来分析最值，求解未知量． 应用一 应用二 用配方法分解因式：． 解： ． 用配方法求代数式的最小值． 解： 的最小值为 请根据上述阅读材料，解决下列问题： (1)因式分解：________； (2)若，运用配方法可求出的最小值为________； (3)如图，在中，，，，点为边上一点（不与点、点重合），连接，以为边在上方构造正方形，连接．则面积的最大值为________． 题型4 因式分解法解一元二次方程 解题技巧（右化0、左分解、零积得根） 1. 先整理：方程右侧化为0，左侧整理为标准二次式； 2. 灵活分解：优先提公因式，再用平方差、完全平方公式、十字相乘； 3. 零积原理：两因式乘积为0，则至少一个因式为0； 4. 快速出根：分别令各因式=0，直接解出两个根； 5. 避坑：切勿直接两边约分，容易丢失根。 13．关于的一元二次方程的一个根为，那么它的另一个根为（     ） A． B．1 C．3 D． 14．已知关于的一元二次方程的两个根分别是5和1，则的值为________． 15．解方程： (1)； (2)． 16．解方程： (1) (2) 题型5 公式法解一元二次方程 解题技巧（定abc、算判别、代公式、化简根） 1. 化一般式：整理为； 2. 确定参数：准确写出a、b、c数值（包含正负号）； 3. 先算判别：计算，＜0直接写无实数根； 4. 代入公式：时代入求根公式； 5. 最终化简：根式约分、分数化简，得到最简两根。 17．解方程：． 18．解方程： (1)； (2) 19．用适当的方法解下列方程 (1) (2) (3)． 20．用适当的方法解下列方程： (1)； (2)； (3)； (4) 题型6 换元法解一元二次方程 解题技巧（找整体、设新元、降次求解、回代） 1. 观察结构：找出重复出现的整体代数式； 2. 设元替换：令整体为新未知数，将复杂方程化为标准一元二次方程； 3. 解新方程：求出新未知数的值； 4. 回代求解：代回原整体，求出原方程未知数； 5. 验根取舍：舍去无意义、增根，保证答案完整。 21．阅读材料： 为解方程，我们可以将视为一个整体，然后设，则，原方程可化为，① 解得，． 当时，，，． 当时，，，． 原方程的解为，，，． 以上方法就叫换元法，体现了转化的思想． 请仿照材料解决问题： (1)解方程：． (2)若四个连续正整数的积为，求出这四个连续的正整数． 22．解方程时，我们可以将看成一个整体，设，则原方程可化为，解得，．当，即，解得；当，即，解得．所以原方程的解，． (1)请你利用这种方法解方程：； (2)已知三条边的长度分别为，，，若满足，且，请判断的形状，并说明理由． 23．在学习解一元二次方程以后，对于某些不是一元二次方程的方程，我们可通过变形将其转化为一元二次方程来解．例如：解方程：． 解：设，则原方程可化为：． 解得：，． 当时，，∴； 当时，，∴． ∴原方程的解是：，，，． 上述解方程的方法叫做“换元法”．请用“换元法”解决下列问题： (1)解方程：； (2)解方程：． 24．小丽在解一元二次方程时发现，对于方程还可以这样解决，她的方法如下： 解：设，则， ，或 ， 类比小丽的方法，解下列关于的一元二次方程： (1)； (2)（为任意常数）． 题型7 根据判别式判断一元二次方程根的情况 解题技巧（算Delta、比大小、定根型） 1. 找准a、b、c，准确代入判别式公式； 2. 化简代数式，判断正负或等于0； 3. 对应结论：正两异、零两等、负无根； 4. 含参数题型：配方判定恒正、恒负范围。 25．k为实数，则关于x的一元二次方程的根的情况是（     ） A．必有实根 B．有两个不相等的实根 C．无实根 D．不能确定根的情况 26．已知三个实数a，b，c满足，，且，则c的最小值为_____． 27．已知关于的一元二次方程，其中为实数． (1)求证：一元二次方程有实数根； (2)设一元二次方程的一个实数根为．若，求的取值范围． 28．关于的代数式，若存在实数，使得，则称为这个代数式的等根值． (1)代数式的等根值为____________； (2)已知关于的代数式． ①求证：无论取何值，此代数式总有两个不相等的等根值； ②已知是此代数式的一个等根值，求的值和这个代数式的另一个等根值． 题型8 根据一元二次方程根的情况求参数 解题技巧（根况列不等、叠加a≠0、解集取舍） 1. 根据题意列判别式不等式：两不等根→、两等根→、无实根→； 2. 叠加硬性条件：一元二次方程必须满足二次项系数a≠0； 3. 联立求解不等式，取公共取值范围； 4. 整数参数题型：在范围中筛选符合条件整数。 29．若关于的方程有实数根，则的取值范围是（     ） A． B． C．且 D．且 30．若关于的方程有两个相等的实数根，则实数的值为__________． 31．新运算：，例如：．若关于x的方程有两个不相等的实数根，解答下列各题： (1)求的取值范围； (2)当时，用配方法解此方程． 32．已知关于x的方程． (1)求证：无论m取任何实数时，方程恒有实数根． (2)若关于x的方程根均为正整数，求整数m的值． 题型9 解分式方程（化为一元二次方程） 解题技巧（去分母化整式、求解、必验根） 1. 找最简公分母，两边同乘公分母，消去分母； 2. 整理得到一元二次方程，用任意方法求解； 3. 强制验根：将根代入原分母，分母为0即为增根，直接舍去； 4. 结论书写：有有效根写根，全为增根则写方程无解。 33．分式方程 的正数解为 （    ） A． B． C． D． 34．解分式方程：． 35．解方程：． 题型10 一元二次方程的根与系数的关系 解题技巧（整体代换、先判有根、再用韦达） 1. 前提优先：使用韦达定理前，必须保证； 2. 整体求值：所求代数式优先变形为含的形式； 3. 代入计算：套用和、积公式整体代入求值，不解单个根； 4. 参数求解：利用韦达等式列方程求参数，最后回代验证根的存在性。 37．已知一元二次方程的两根为，，一元二次方程的两根为，，则值是（    ） A．1 B． C．5 D． 38．已知关于的一元二次方程有两个实数根． (1)求实数的取值范围； (2)若，是该方程的两个根，且满足，求的值． 39．若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． (1)求的取值范围； (2)已知方程的两个实数根分别为，，且，求的值． 40．对于关于的代数式，若存在实数，使得当时，代数式的值等于，则称为这个代数式的“镜像值”．例如：对于代数式，当时，代数式的值等于；当时，代数式的值等于，我们就称和都是这个代数式的“镜像值”． (1)代数式的镜像值是________； (2)判断代数式是否有镜像值．若有，请求出此代数式的镜像值；若没有，则说明理由； (3)关于的代数式，若此代数式有两个镜像值，且两个镜像值的差为整数，求正整数的值． 计算题和解答题 41．解下列方程： (1)； (2)． 42．已知关于的一元二次方程． (1)求证：无论取何值，方程总有实数根； (2)若方程的一个实数根是，求另一个实数根和的值． 43．已知关于x的一元二次方程． (1)求证：无论k取何值，方程都有两个不相等的实数根． (2)如果方程的两个实数根为，，且k与都为整数，求k所有可能的值． 44．我们在探究一元二次方程根与系数关系中发现： 关于的一元二次方程的两个根是，，那么可推出，．请运用这一结论，解决下列问题： 【问题提出】 (1)若，是方程的两根，则 ， ， ； 【问题探究】 (2)如果关于的一元二次方程的两个根是，，那么关于的一元二次方程是否有实数根，如果有实数根，请求出方程的解，如果没有，请说明理由； 【问题解决】 (3)若关于的方程的两根之和是，两根之积是，请求出关于的方程的两根之积的值（用字母，表示）． 45．【阅读理解】 在欧几里得的《几何原本》中，形如关于的一元二次方程（，）的图解法是：如图，作，其中，，，在斜边上截取，则的长就是所求方程的正根． 【推导验证】 对方程进行配方， 得， 因为，所以， …… (1)请你继续完成上述推导． 【尝试应用】 (2)若利用此图解法解方程，那么_____，_____，方程的正根_____． (3)已知关于的一元二次方程（），利用上述图解法求解时，有，求a的值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第5讲 一元二次方程的解法和根与系数的关系 目录 知识点1 一元二次方程常用解法适用条件 2 知识点2 求根公式与根的判别式 2 知识点3 根与系数的关系（韦达定理） 3 知识点4 分式方程化一元二次方程核心 3 知识点5 配方法核心规则 3 题型1 直接开平方法解一元二次方程 3 题型2 配方法解一元二次方程 6 题型3 配方法的应用 9 题型4 因式分解法解一元二次方程 14 题型5 公式法解一元二次方程 16 题型6 换元法解一元二次方程 20 题型7 根据判别式判断一元二次方程根的情况 26 题型8 根据一元二次方程根的情况求参数 29 题型9 解分式方程（化为一元二次方程） 31 题型10 一元二次方程的根与系数的关系 33 计算题和解答题 37 1. 知识目标：掌握直接开平方法、配方法、因式分解法、公式法、换元法五种解方程思路；熟记根的判别式、根与系数关系（韦达定理）核心公式与判定规则。 2. 能力目标：能根据方程形式灵活选最优解法，会利用配方法求值变形、判别式判断根的情况、韦达定理整体求值，掌握分式方程化为一元二次方程的解题流程。 3. 素养目标：掌握转化、整体代换、配方建模思想，熟练规范解方程步骤，规避增根、漏根、计算失误等常见问题，提升方程综合解题能力。 知识点1 一元二次方程常用解法适用条件 解法 适用方程形式 核心特点 直接开平方法 无一次项、完全平方式，最快求解 因式分解法 可分解为两个一次因式乘积=0 优先首选，运算量最小 配方法 所有一元二次方程，多用于代数式变形 通用方法，为公式法奠基 公式法 所有一元二次方程，无法因式分解时使用 万能通用、步骤固定 换元法 高次、重复整体结构的特殊方程 降次简化，化繁为简 知识点2 求根公式与根的判别式 对于一元二次方程 1. 求根公式： 2. 判别式： 3. 根的情况判定： ：方程有两个不相等的实数根； ：方程有两个相等的实数根； ：方程无实数根。 知识点3 根与系数的关系（韦达定理） 若方程 的两根为 ，且方程有实数根： 两根和： 两根积： 拓展常用变形： 知识点4 分式方程化一元二次方程核心 去分母化为整式一元二次方程，必须验根，使分母为0的根为增根，需要舍去。 知识点5 配方法核心规则 二次项系数化为1→移常数项→两边加一次项系数一半的平方→写成完全平方形式。 题型1 直接开平方法解一元二次方程 解题技巧（整体平方、非负开方、双根不丢） 1. 适用场景：纯平方项等于常数、整体括号平方等于常数； 2. 核心前提：右侧常数必须≥0，负数直接判定无实数根； 3. 开方规则：整体开方必须带，得到两个根； 4. 收尾化简：分别计算正负两种情况，化简最简根。 1．方程的根为________． 【答案】， 【详解】解： 移项得 开平方得 解得，． 2．若方程的根为整数，则m的值可以是_________．（只填符合条件的一个即可） 【答案】4（答案不唯一） 【分析】将原方程变形可得，根据平方根的性质，若方程的根为整数，则为非负完全平方数，任取一个满足条件的值即可． 【详解】解：原方程移项得， 开平方得， 因为方程的根为整数， 因此为整数， 即为完全平方数， 取，此时方程的根为，均为整数，符合要求． 3．利用直接开平方法解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【详解】（1）解：， 直接开平方，得， ，； （2）解： 移项，得， 直接开平方，得， ，． 4．三国时期的数学家赵爽在《勾股圆方图说》中记载了构造几何图形解一元二次方程的方法，以解一元二次方程为例： 将方程写成； 如图1，大正方形由4个小长方形与中间的小正方形组成， 大正方形面积为，4个小长方形与正方形的面积的和为，即． 所以，．易得一个正实数根． 请用构造几何图形方法解决下列问题： (1)一元二次方程的一个正实数根为 ； (2)关于的一元二次方程（为常数），在所构造的图形中大正方形的面积为81，求出该一元二次方程的正实数根及的值．（在图2虚线框中画出构造的几何图形并标出相应的边长）． 【答案】(1) (2) ；该一元二次方程的正实数根为； 【分析】（1）根据题意可得，构造边长为的大正方形，再仿照例题求解即可； （2）根据题意可得，构造边长为的大正方形，可求出大正方形的面积为，也为，据此建立方程求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴； 如图所示，大正方形由4个小长方形与中间的小正方形组成， 大正方形面积为，4个小长方形与正方形的面积的和为，即， ∴， ∴或， ∴或， ∴一元二次方程的一个正实数根为； （2）解：∵， ∴， ∴； 如图所示（见答案），大正方形由4个小长方形与中间的小正方形组成， 大正方形面积为，4个小长方形与正方形的面积的和为，即， ∵在所构造的图形中大正方形的面积为81， ∴，， ∴或，， ∴或， ∴该一元二次方程的正实数根为． 题型2 配方法解一元二次方程 解题技巧（标准化四步配方） 1. 化系数：二次项系数化为1； 2. 移常数：常数项移到等式右侧； 3. 配常数：左右同加「一次项系数一半的平方」； 4. 开方求解：左侧写成完全平方，右侧合并，开平方法求双根； 5. 易错点：二次项系数不为1时，严禁直接配方。 5．将一元二次方程配方，得到方程，其中“”表示的数为（     ） A．16 B．4 C．2 D．1 【答案】B 【分析】根据配方法的规则，计算一次项系数一半的平方，即可得到横线上需要填的数. 【详解】解：∵ 对一元二次方程配方时，需要给方程左右两边同时加上一次项系数一半的平方，原方程中一次项系数为， ∴ 一次项系数一半的平方为 ，因此表示的数为. 6．用配方法解方程时，若将方程变形为，则_____ ． 【答案】 【分析】利用完全平方公式配方即可求解． 【详解】解：， ， ， ∴． 7．解方程： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： 解得：； （2）解： 解得：． 8．解方程 (1)； (2)（用配方法）． 【答案】(1) (2)， 【分析】（1）将按照配方法解方程，先将一元二次方程转化为 形式，再利用直接开平方法即可求出答案． （2）将按照配方法解方程，先将一元二次方程转化为 形式，再利用直接开平方法即可求出答案． 【详解】（1）解： ， ， ， ， ， . （2）解：， ， ， ， ，． 题型3 配方法的应用 解题技巧（配方凑平方、利用非负性求值） 1. 代数式最值：配方化为完全平方加常数，利用平方≥0求最大、最小值； 2. 等式求值：多个平方和为0，直接令每一个平方项为0； 3. 比较大小：配方后作差，判断式子正负； 4. 核心思想：配方消交叉项，构造非负数模型解题。 9．把关于x的一元二次方程配方，得，则的值为（   ） A．1 B．3 C．5 D．10 【答案】A 【分析】依题意，把展开得，结合，得出，解得，即可作答．此题考查了解一元二次方程配方法，完全平方公式，正确掌握相关性质内容是解题的关键．． 【详解】解：由得， ∵把关于x的一元二次方程配方，得， 则， 解得， ∴， 故选：A． 10．若，则代数式的值为__________． 【答案】4 【分析】观察x的值以及代入式的特征，将变形为，然后代入计算即可简便求解． 【详解】解： 把代入，得 . 11．【阅读材料】配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些求代数式的最大值、最小值的问题． 例如：分解因式．又如，求代数式的最小值，我们可以通过配方得到：．因为，所以，则，当时，有最小值，最小值是． 根据阅读材料用配方法解决下列问题： (1)分解因式：； (2)当为何值时，多项式有最大值？并求出这个最大值． (3)若多项式与一个单项式的和能通过配方法因式分解，请直接写出满足条件的所有单项式． 【答案】(1) (2)当时，最大值为7． (3)、、． 【分析】（1）仿照材料，利用配方法计算即可得出结果； （2）将所求式子变形为，结合得出，从而即可得出结果； （3）利用配方法，分情况讨论即可得出结果． 【详解】（1）解： ； （2）解： ， ， ， 当时，，取得最大值为7． （3）解：当，需要加单项式； 当，需要加单项式； 当，需要加单项式． 所以满足条件的单项式为：、、． 12．【阅读理解】把代数式通过配凑等手段，得到完全平方式，再运用完全平方式的非负性增加问题的条件，这种解题方法叫作配方法．配方法不仅在代数式求值、解方程、求最值问题等有着广泛的应用，也在几何、经济等领域常用来分析最值，求解未知量． 应用一 应用二 用配方法分解因式：． 解： ． 用配方法求代数式的最小值． 解： 的最小值为 请根据上述阅读材料，解决下列问题： (1)因式分解：________； (2)若，运用配方法可求出的最小值为________； (3)如图，在中，，，，点为边上一点（不与点、点重合），连接，以为边在上方构造正方形，连接．则面积的最大值为________． 【答案】(1) (2) (3)8 【分析】（1）把原式变形为，再利用完全平方公式和平方差公式分解因式即可； （2）仿照例题利用配方法求解即可； （3）过点F作于点H，证明，得到；设，则，则，据此可得答案． 【详解】（1）解： ； （2）解： ， ∵， ∴， ∴， ∴的最小值为； （3）解：如图所示，过点F作于点H， ∴， ∴； ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 设，则， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴的最大值为8． 题型4 因式分解法解一元二次方程 解题技巧（右化0、左分解、零积得根） 1. 先整理：方程右侧化为0，左侧整理为标准二次式； 2. 灵活分解：优先提公因式，再用平方差、完全平方公式、十字相乘； 3. 零积原理：两因式乘积为0，则至少一个因式为0； 4. 快速出根：分别令各因式=0，直接解出两个根； 5. 避坑：切勿直接两边约分，容易丢失根。 13．关于的一元二次方程的一个根为，那么它的另一个根为（     ） A． B．1 C．3 D． 【答案】B 【分析】已知根代入方程求出参数，再解一元二次方程即可得到另一个根． 【详解】解：∵ 是一元二次方程 的根， ∴ 将 代入原方程得：， 解得 ， ∴ 原方程为 ， ， 解得方程的两个根为 ，. ∴ 方程的另一个根为 ． 14．已知关于的一元二次方程的两个根分别是5和1，则的值为________． 【答案】 【详解】解：， ∴或， 解得，， ∵方程的两个根分别是和， ∴． 15．解方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】（1）利用因式分解法求解； （2）利用因式分解法求解． 【详解】（1）解：， ∴， ∴或， 解得：，； （2）解：， ∴， ∴， ∴或， 解得：，． 16．解方程： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）采用因式分解法求解； （2）移项后采用因式分解法求解； 【详解】（1）解：， 因式分解得， ∴或， 解得：； （2）解：， 移项得， 提取公因式得， 整理得， ∴或， 解得：． 题型5 公式法解一元二次方程 解题技巧（定abc、算判别、代公式、化简根） 1. 化一般式：整理为； 2. 确定参数：准确写出a、b、c数值（包含正负号）； 3. 先算判别：计算，＜0直接写无实数根； 4. 代入公式：时代入求根公式； 5. 最终化简：根式约分、分数化简，得到最简两根。 17．解方程：． 【答案】 ， 【详解】解：在方程中，，，， ， ∴， ，． 18．解方程： (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：， ∴， ∴， ∴， 解得：； （2）解：， ∴， ∴， ∴， ∴或， 解得：． 19．用适当的方法解下列方程 (1) (2) (3)． 【答案】(1)， (2)， (3)， 【分析】（1）利用直接开方法求解即可； （2）利用求根公式法求解即可； （3）利用因式分解法求解即可． 【详解】（1）解：， ， ， ，； （2）解：， ， ， ，； （3）解： ， 移项，得， 对提取公因式，变形为， 提取公因式，得， 则或， 解得，． 20．用适当的方法解下列方程： (1)； (2)； (3)； (4) 【答案】(1) (2)， (3) (4) 【分析】利用直接开平方法解答即可； 利用公式法解答即可； 把右式移到左边，再利用因式分解法解答即可； 把方程整理成一般式，再利用因式分解法解答即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：，，， ∵， ∴， ∴，； （3）解：∵， ∴， ∴， 即， ∴或， ∴，； （4）解：方程整理成一般式为 ， ∴， ∴或， ∴． 题型6 换元法解一元二次方程 解题技巧（找整体、设新元、降次求解、回代） 1. 观察结构：找出重复出现的整体代数式； 2. 设元替换：令整体为新未知数，将复杂方程化为标准一元二次方程； 3. 解新方程：求出新未知数的值； 4. 回代求解：代回原整体，求出原方程未知数； 5. 验根取舍：舍去无意义、增根，保证答案完整。 21．阅读材料： 为解方程，我们可以将视为一个整体，然后设，则，原方程可化为，① 解得，． 当时，，，． 当时，，，． 原方程的解为，，，． 以上方法就叫换元法，体现了转化的思想． 请仿照材料解决问题： (1)解方程：． (2)若四个连续正整数的积为，求出这四个连续的正整数． 【答案】(1)原方程的解为，， (2)这四个整数为2，3，4，5 【分析】（1）将原方程整理，设，则原方程可化为，利用因式分解法解方程，再求x． （2）设最小数为，由题意得，即，设，则再利用因式分解法解一元二次方程，最后再求出x即可． 【详解】（1）解：原方程整理得 ， 设， 则原方程可化为， 因式分解得， 解得，， 当时，，配方，得， 解得，， 当时，，配方，得， 解得， 原方程的解为，，． （2）解：设最小数为， 由题意得， 即， 设， 则，即， 因式分解得 ， ，， 为正整数，，即， 因式分解得， 解得， 舍去． 这四个整数为． 22．解方程时，我们可以将看成一个整体，设，则原方程可化为，解得，．当，即，解得；当，即，解得．所以原方程的解，． (1)请你利用这种方法解方程：； (2)已知三条边的长度分别为，，，若满足，且，请判断的形状，并说明理由． 【答案】(1)， (2)是直角三角形；理由如下： 是的三边， ， ， 设， 则原方程可化为， 解得：，（舍去）， 得． 又， ． ． 是直角三角形． 【分析】（1）根据题中方法，设，将原方程可化为，解方程求出，；分别代入求出的值即可； （2）根据题中方法，设，求出，结合，根据勾股定理的逆定理即可求解． 【详解】（1）解：设， 则原方程可变为：， 解得：，， 当即时，解得：； 当即时，解得：； ∴原方程的解为：，； （2）略 23．在学习解一元二次方程以后，对于某些不是一元二次方程的方程，我们可通过变形将其转化为一元二次方程来解．例如：解方程：． 解：设，则原方程可化为：． 解得：，． 当时，，∴； 当时，，∴． ∴原方程的解是：，，，． 上述解方程的方法叫做“换元法”．请用“换元法”解决下列问题： (1)解方程：； (2)解方程：． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设，则原方程可化为，解方程求出m的值，再仿照题意求出x的值即可； （2）设，则原方程可化为，把方程化为整式方程求出n的值，进而得到关于x的方程，解方程即可得到答案． 【详解】（1）解：设，则原方程可化为， ∴， 解得， 当时，，解得， 当时，，解得， ∴原方程的解为； （2）解：设，则原方程可化为， ∴， ∴， 解得， 经检验，都是方程的解， 当时，则， ∴， 此时，方程无实数根； 当时，则， ∴， ∴， 解得或， 经检验，和都是原方程的解； 综上所述，原方程的解为． 24．小丽在解一元二次方程时发现，对于方程还可以这样解决，她的方法如下： 解：设，则， ，或 ， 类比小丽的方法，解下列关于的一元二次方程： (1)； (2)（为任意常数）． 【答案】(1)， (2)当时，，；当时，原方程无实数根． 【分析】此题考查了换元法解一元二次方程，熟练掌握换元法和配方法是解题的关键． （1）设，则原方程变形，解得，则，或，即可求出方程的解； （2）设，则，，得到，分两种情况进行解答即可． 【详解】（1）解： 设，则， ，或 ， （2）解： 设，则， 当时，， ，或 ，， 当时，原方程无实数根． 题型7 根据判别式判断一元二次方程根的情况 解题技巧（算Delta、比大小、定根型） 1. 找准a、b、c，准确代入判别式公式； 2. 化简代数式，判断正负或等于0； 3. 对应结论：正两异、零两等、负无根； 4. 含参数题型：配方判定恒正、恒负范围。 25．k为实数，则关于x的一元二次方程的根的情况是（     ） A．必有实根 B．有两个不相等的实根 C．无实根 D．不能确定根的情况 【答案】A 【分析】计算根的判别式，配方后判断其取值范围，即可确定方程根的情况． 【详解】解：一元二次方程为， ，，， ． 为实数， ，即． 方程必有实根． 26．已知三个实数a，b，c满足，，且，则c的最小值为_____． 【答案】 【分析】将用含和的代数式表示，代入得到关于的一元二次方程，利用一元二次方程有实根时判别式非负，结合求出的取值范围，即可得到的最小值． 【详解】解：由得 ， 将代入得 ， 整理得 ， 两边同除以得 ， 因为为实数，所以关于的一元二次方程有实数根，判别式， 即 ， 因式分解得 ， 因为已知， 所以， 即 故的最小值为． 27．已知关于的一元二次方程，其中为实数． (1)求证：一元二次方程有实数根； (2)设一元二次方程的一个实数根为．若，求的取值范围． 【答案】(1)证明：∵， ∴一元二次方程有实数根． (2) 【分析】（1）计算出即可证明； （2）求出方程的解，代入即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：∵， ∴， ∴，， ∴， 解得． 28．关于的代数式，若存在实数，使得，则称为这个代数式的等根值． (1)代数式的等根值为____________； (2)已知关于的代数式． ①求证：无论取何值，此代数式总有两个不相等的等根值； ②已知是此代数式的一个等根值，求的值和这个代数式的另一个等根值． 【答案】(1)0或1 (2) ①令整理得： 因为 即， 所以有两个不相等的根， 即代数式总有两个不相等的等根值 ②的值为，另一个等根值为2 【分析】（1）根据“等根值”的定义，将问题转化为对应的一元二次方程，解方程即可； （2）①由题得到关于的一元二次方程，计算根的判别式，如果判别式恒大于0，那么方程总有两个不相等的实数根，即代数式总有两个不相等的等根值； ②将已知的等根值代入对应的方程求解的值，再将代回方程，再解方程求出另一个根即可． 【详解】（1）由题可得， 整理得， ， 解得，； （2）①略； ②由题意得 解得： 将代入 得 即： 解得：， 所以，该代数式的另一个等根值为2． 题型8 根据一元二次方程根的情况求参数 解题技巧（根况列不等、叠加a≠0、解集取舍） 1. 根据题意列判别式不等式：两不等根→、两等根→、无实根→； 2. 叠加硬性条件：一元二次方程必须满足二次项系数a≠0； 3. 联立求解不等式，取公共取值范围； 4. 整数参数题型：在范围中筛选符合条件整数。 29．若关于的方程有实数根，则的取值范围是（     ） A． B． C．且 D．且 【答案】A 【分析】当，即时，原方程为一元一次方程，满足题意；当，即时，原方程是一元二次方程，利用判别式求出此时m的取值范围即可得到答案． 【详解】解：当，即时，此时原方程为，解得，有实数根，符合题意； 当，即时，原方程是一元二次方程， ∵原方程有实数根， ∴， ∴， 解得，即此时满足条件的范围是且， 综上所述，的取值范围是． 30．若关于的方程有两个相等的实数根，则实数的值为__________． 【答案】 【分析】根据方程有两个相等的实数根，得到根的判别式的值为，列方程求解即可得到的值. 【详解】解：对于一元二次方程，二次项系数为，一次项系数为，常数项为， ∵方程有两个相等的实数根， ∴根的判别式， 整理得， 解得. 31．新运算：，例如：．若关于x的方程有两个不相等的实数根，解答下列各题： (1)求的取值范围； (2)当时，用配方法解此方程． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先根据新定义将方程化成一般式，再根据根的判别式列不等式求解即可； （2）先将原方程化成再利用配方法求解即可． 【详解】（1）解：根据新定义，方程整理为：，即，     ∵此方程有两个不相等的实数根， ，解得：， 的取值范围为． （2）解：当时，方程整理为：，即， ， ， ， ． 32．已知关于x的方程． (1)求证：无论m取任何实数时，方程恒有实数根． (2)若关于x的方程根均为正整数，求整数m的值． 【答案】(1)证明：当时，原方程为，解得，原方程有实数根； 当时， ∴此方程有两个不相等的实数根， ∴无论m取任何实数时，方程恒有实数根； (2)整数的值为或或 【分析】（1）分为和两种情况，结合一元一次方程的根和一元二次方程根与判别式的关系可得结论； （2）分为和两种情况，解方程得到方程的解，根据题中条件即可求得m的值． 【详解】（1）略 （2）解：当时，由（1）知为正整数，符合题意； 当时，解方程，得，， ∵原方程的根均为正整数，m为整数， ∴或2，对应的或均符合题意， 综上，整数的值为或或． 题型9 解分式方程（化为一元二次方程） 解题技巧（去分母化整式、求解、必验根） 1. 找最简公分母，两边同乘公分母，消去分母； 2. 整理得到一元二次方程，用任意方法求解； 3. 强制验根：将根代入原分母，分母为0即为增根，直接舍去； 4. 结论书写：有有效根写根，全为增根则写方程无解。 33．分式方程 的正数解为 （    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解： 方程两边同乘得：， 整理得：． 因式分解得：． 解得或， 检验：当时，， 当时，， ∴原方程的正数解为或． 34．解分式方程：． 【答案】 【详解】解：方程两边同时乘最简公分母得：， 整理得， 解得，， 检验：把代入最简公分母得：， ∴是原方程的增根， 把代入最简公分母得：， ∴是原方程的解． 35．解方程：． 【答案】 【详解】解：， ， ， ， ， ， ， 经检验，是原方程的增根，舍去， ∴原方程的解为． 36．解方程： 【答案】 【详解】解： 方程两边同乘，得 展开并整理得 化简得 因式分解得 解得或 检验：当时，，当时， 因此原方程的解为． 题型10 一元二次方程的根与系数的关系 解题技巧（整体代换、先判有根、再用韦达） 1. 前提优先：使用韦达定理前，必须保证； 2. 整体求值：所求代数式优先变形为含的形式； 3. 代入计算：套用和、积公式整体代入求值，不解单个根； 4. 参数求解：利用韦达等式列方程求参数，最后回代验证根的存在性。 37．已知一元二次方程的两根为，，一元二次方程的两根为，，则值是（    ） A．1 B． C．5 D． 【答案】D 【分析】先利用一元二次方程根与系数的关系，从第一个方程得到两根和与两根积，再对第二个方程利用根与系数的关系得到的表达式，代入计算即可得到结果． 【详解】解：∵一元二次方程的两根为，， ∴根据根与系数的关系可得，， ∵一元二次方程的两根为，， ∴两根之积满足， ∴． 38．已知关于的一元二次方程有两个实数根． (1)求实数的取值范围； (2)若，是该方程的两个根，且满足，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据根的判别式列不等式求解； （2）根据一元二次方程根与系数的关系求解即可． 【详解】（1）解：∵一元二次方程有两个实数根， ∴， 解得； （2）解：∵，是该方程的两个根， ∴，， ∴， 解得，， 由（1）可知：， ∴． 39．若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． (1)求的取值范围； (2)已知方程的两个实数根分别为，，且，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）一元二次方程有两个不相等实数根，则判别式，代入系数解不等式得到的范围； （2）先由一元二次方程根与系数关系写出两根和、两根积，展开进行代换，得到关于的一元二次方程，求出解后结合第（1）问的取值范围舍去不符合的解． 【详解】（1）解：∵该一元二次方程有两个不相等的实数根， ， 解得； （2）解：由一元二次方程的根与系数的关系，得 ，． ， ， 整理，得， 解得或． 又， ． 40．对于关于的代数式，若存在实数，使得当时，代数式的值等于，则称为这个代数式的“镜像值”．例如：对于代数式，当时，代数式的值等于；当时，代数式的值等于，我们就称和都是这个代数式的“镜像值”． (1)代数式的镜像值是________； (2)判断代数式是否有镜像值．若有，请求出此代数式的镜像值；若没有，则说明理由； (3)关于的代数式，若此代数式有两个镜像值，且两个镜像值的差为整数，求正整数的值． 【答案】(1)和 (2)代数式没有镜像值， 理由：设代数式的镜像值为， 根据定义得， 整理得， ， 计算根的判别式， 方程没有实数根， 代数式没有镜像值． (3)正整数的值为 【分析】（1）根据定义列一元二次方程求解即可得到镜像值； （2）根据定义列一元二次方程，通过判别式判断方程是否有实根，即可得到结论； （3）根据定义整理方程，推导出两个镜像值差的表达式，结合差为整数，a为正整数的条件求解即可． 【详解】（1）解：设代数式的镜像值为，根据定义得， 整理得， 解得， 即代数式的镜像值是和． （2）略 （3）解：设代数式的镜像值为， 根据定义得， 整理得， 为正整数，代数式有两个镜像值， ，方程是一元二次方程，且， 方程的两个根为， 则两个根差的绝对值为， 两个镜像值的差为整数，是正整数， 是正整数， 为正整数， ， 即， 满足条件的整数平方只有，即， 得，符合要求 正整数的值为． 计算题和解答题 41．解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1) ，； (2) 原方程无解. 【分析】（1）用配方法变形方程后开方求解； （2）去分母转化为整式方程求解，检验后舍去增根得到结论． 【详解】（1）解：移项得， 配方得， 即， 开方得， 解得，． （2）解：， 方程变形为． 两边同乘得， 去括号得， 移项合并同类项得， 解得． 检验：当时，． 因此是增根． 所以原方程无解． 42．已知关于的一元二次方程． (1)求证：无论取何值，方程总有实数根； (2)若方程的一个实数根是，求另一个实数根和的值． 【答案】(1)证明：在一元二次方程中，，，， ， ∵无论取何值，，即，∴无论取何值，方程总有实数根； (2)的值为，方程的另一个实数根为． 【分析】（1）根据一元二次方程根的判别式证明即可； （2）将代入求出的值，再利用因式分解法解方程即可． 【详解】（1）略 （2）解：∵方程的一个实数根是， ∴， 解得：， ∴一元二次方程， ∴， 解得：，， ∴方程的另一个实数根为． 43．已知关于x的一元二次方程． (1)求证：无论k取何值，方程都有两个不相等的实数根． (2)如果方程的两个实数根为，，且k与都为整数，求k所有可能的值． 【答案】(1)证明： ∵ = ∴无论k取何值， 方程都有两个不相等的实数根． (2)整数k的所有可能的值为，，，，，. 【分析】（1）计算判别式的值，然后根据判别式的意义得到结论； （2）先利用因式分解法得出方程的两个根，再结合k与都为整数，得出k的值. 【详解】（1）略 （2）∵， ∴， ∴或， ∴，或，， 当，时， ∵k与都为整数， ∴为整数，则或或或， 当，时， ， ∵k与都为整数， ∴为整数，则或． ∴整数k的所有可能的值为，，，，，. 44．我们在探究一元二次方程根与系数关系中发现： 关于的一元二次方程的两个根是，，那么可推出，．请运用这一结论，解决下列问题： 【问题提出】 (1)若，是方程的两根，则 ， ， ； 【问题探究】 (2)如果关于的一元二次方程的两个根是，，那么关于的一元二次方程是否有实数根，如果有实数根，请求出方程的解，如果没有，请说明理由； 【问题解决】 (3)若关于的方程的两根之和是，两根之积是，请求出关于的方程的两根之积的值（用字母，表示）． 【答案】(1)，， (2)有实数根，方程的解为， (3) 【分析】（1）利用题干给出的一元二次方程根与系数关系求解即可； （2）设，则关于的方程可化为，再利用题干给出的一元二次方程根与系数关系求解即可； （3）设原方程两根为，得到，设关于的方程两根为，令，得到，进而进行求解即可． 【详解】（1）解：∵，是方程的两根，，，． ∴根据根与系数关系，得 ∴； （2）解：设，则关于的方程可化为， ∵方程两根为， ∴， 当时，， 解得， 当时，， 解得， ∴该方程有实数根，根为，． （3）解：设原方程两根为， 由题意，得， 设关于的方程两根为，令， 变形得，则 两根之积： ∴两根之积为． 45．【阅读理解】 在欧几里得的《几何原本》中，形如关于的一元二次方程（，）的图解法是：如图，作，其中，，，在斜边上截取，则的长就是所求方程的正根． 【推导验证】 对方程进行配方， 得， 因为，所以， …… (1)请你继续完成上述推导． 【尝试应用】 (2)若利用此图解法解方程，那么_____，_____，方程的正根_____． (3)已知关于的一元二次方程（），利用上述图解法求解时，有，求a的值． 【答案】(1)因为，，， 所以， 因为， 所以， 所以， 取， 所以． (2)1，， (3) 【分析】（1）根据推导思路，将，，代入，得到，结合得出，即可求出； （2）仿照所给方法求解即可； （3）由，得到，根据得到，代入，求出a的值即可． 【详解】（1）略 （2）解：利用此图解法解方程，那么，，， ∴根据勾股定理，， 方程的正根． （3）解：如图， ∵，， ∴， ∵，且， ∴， 由，得， ∵， ∴． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $