第14讲 2.3一元二次方程根与系数的关系暑假预习讲义 2026年苏科版八升九年级数学

苏科版数学九年级上册暑假预习讲义 第14讲　2.3　一元二次方程的根与系数的关系 【学习目标】 1. 经历一元二次方程根与系数关系的探究过程，理解韦达定理的内容。 1. 掌握一元二次方程根与系数的关系，能求已知方程的两根之和与两根之积。 1. 能运用根与系数的关系求方程中的参数、方程的另一个根以及关于两根的代数式的值。 1. 体会从特殊到一般的数学思想方法。 【知识梳理】 一、一元二次方程根与系数的关系（韦达定理） 定理内容：如果一元二次方程 （）的两个实数根为 、，那么： 注意：使用韦达定理的前提条件是 且 。 特殊情况：对于二次项系数为 的方程 ，若两根为 、，则： 二、韦达定理的推导 由求根公式，方程 （）的两根为： 两根之和： 两根之积： 注意：无论方程有无实数根，实系数一元二次方程的根与系数之间都适合韦达定理。但对于有实数根的方程，、 为实数根；对于无实数根的方程，、 为复数根（初中阶段不涉及）。 三、常见的关于两根的代数式变形 代数式 变形结果 做一做（即时练习）： 1. 若一元二次方程 的两根为 、，则 ，。 1. 方程 中，，。 1. 若方程 的两根为 和 ，则 ，。 1. 已知 、 是方程 的两根，则 。 1. 若方程 的一个根为 ，则另一个根为______，。 【典例精讲】 【例1】（求两根之和与两根之积） 求下列方程的两根之和与两根之积： （1）　　（2） 【分析】 先确定 、、 的值，再直接代入韦达定理。 【解答】 （1） ，， 答：两根之和为 ，两根之积为 。 （2） ，， 答：两根之和为 ，两根之积为 。 【例2】（已知一根，求另一根和参数） 已知关于 的方程 的一个根为 ，求另一个根及 的值。 【分析】 设两根为 、，由韦达定理建立方程求解。 【解答】 设两根为 ，。 由韦达定理，， 即 ，解得 。 又 ， 即 ，，解得 。 答：另一个根为 ，。 【例3】（利用韦达定理求代数式的值） 已知 、 是方程 的两根，求下列各式的值： （1）　　（2） 【分析】 先由韦达定理求出 和 ，再用整体代入法求值。 【解答】 由韦达定理，，。 （1） （2） 【例4】（已知两根关系求参数） 已知关于 的方程 的两个实数根为 、，且 ，求 的值。 【分析】 由韦达定理表示出 和 ，再将 用整体代入法表示，建立方程求解 。 【解答】 由韦达定理，，。 ， ， ， ， ，。 答： 的值为 。 【反思】 利用韦达定理求关于两根代数式的值时，关键是将所求代数式转化为 和 的形式，再整体代入。 【跟踪练习1】 1. 求下列方程的两根之和与两根之积： （1）　　（2） 1. 已知方程 的两根为 、，求 的值。 1. 已知关于 的方程 的一个根为 ，求另一个根及 的值。 【举一反三】 1. 方程 的两根之和为______，两根之积为______。 1. 方程 中，，。 1. 若方程 的两根为 和 ，则 。 1. 已知 、 是方程 的两根，则 。 1. 若方程 的两根互为相反数，则 。 1. 已知关于 的方程 的一个根为 ，则另一个根为______，。 1. 若 、 是方程 的两根，则 。 1. 已知方程 的两根为 、，求 的值。 【分层训练】 ◆ A组·基础过关 一、填空题。 1. 一元二次方程 的两根之和为______，两根之积为______。 1. 方程 的两根为 、，则 ，。 1. 若方程 的两根为 和 ，则 ，。 1. 若方程 有两个实数根，则 的取值范围是______。 1. 已知 、 是方程 的两根，则 。 1. 若方程 的一个根为 ，则另一个根为______，。 二、选择题。 1. 方程 的两根之和为（　　） · A. 　　B. 　　C. 　　D. 1. 下列方程中，两根之和为 的是（　　） · A. 　　B. 　　C. 　　D. 1. 若 、 是方程 的两根，则 的值为（　　） · A. 　　B. 　　C. 　　D. 1. 已知方程 的两根为 、，则 的值为（　　） · A. 　　B. 　　C. 　　D. ◆ B组·能力提升 1. 已知 、 是方程 的两根，求下列各式的值： （1）　　（2）　　（3） 1. 已知关于 的方程 的一个根为 ，求另一个根及 的值。 1. 已知关于 的方程 的两个实数根为 、，且 ，求 的值。 1. 已知关于 的方程 的两个实数根的平方和为 ，求 的值。 ◆ C组·思维拓展 15. 阅读下面的材料，回答问题。 已知 ，，且 ，求 的值。 解：因为 ，所以 。由 可化为 。所以 和 是关于 的方程 的两个不相等的实数根。由韦达定理，，所以 。 阅读后请回答：已知 ，，且 ，求 的值。 16.已知关于 的方程 有两个实数根 、。 （1）求 的取值范围； （2）若 ，求 的值。 17. 已知关于 的方程 有两个实数根 、。 （1）求 的取值范围； （2）若 ，求 的值。 【本讲总结】 知识框架 分类 核心内容 关键要点 韦达定理 ， 前提：， 特殊形式 ：， 二次项系数为 常见变形 、、 转化为 和 应用类型 求两根和与积、求参数、求代数式的值、已知一根求另一根 整体代入是关键 常见错误提醒 错误类型 正确理解 忽略 的前提 韦达定理适用于有实数根的情形，使用前应确保 忘记 中的负号 ，负号不能漏掉 将 误算为 确定系数时漏掉符号 将方程化为一般形式后，、、 要连同符号一起确定 学习建议 1. 使用韦达定理前，先确认方程有实数根（）。 1. 牢记公式：，，特别是负号不能丢。 1. 求关于两根的代数式时，先将其化为 和 的形式，再整体代入。 1. 已知一根求另一根时，优先使用两根之积公式（计算更简单）。 【参考答案与详细解析】 知识梳理·做一做 1. 答案：； 1. 答案：； 解析：，，，，。 1. 答案：； 解析：，；。 1. 答案： 解析：，，。 1. 答案：； 解析：设另一根为 ，，；，。 典例精讲·跟踪练习1 1. 答案：（1），；（2）， 1. 答案： 解析：，，。 1. 答案：另一个根为 ， 解析：设另一根为 ，，；。 举一反三 1. 答案：； 1. 答案：； 1. 答案： 解析：，。 1. 答案： 解析：，，。 1. 答案： 解析：两根互为相反数 ，由韦达定理 ，。此时方程为 ，两根为 ，符合题意。 1. 答案：； 解析：设另一根为 ，，；。 1. 答案： 解析：，，。 1. 答案： 解析：，，。 A组·基础过关 1. 答案：； 1. 答案：； 1. 答案：； 解析：，；。 1. 答案： 解析：方程有两个实数根，，。 1. 答案： 解析：，，。 1. 答案：； 解析：设另一根为 ，，；。 1. 答案：B 1. 答案：A 1. 答案：D 1. 答案：A 解析：，，。 B组·能力提升 1. 答案：（1）；（2）；（3） 解析：，。（1）；（2）；（3）。 1. 答案：另一个根为 ， 解析：设另一根为 ，，；。 1. 答案： 解析：，，，，，。 1. 答案： 解析：，，，，，，。又 ，，。 C组·思维拓展 1. 答案： 解析：由 ，两边同乘 得 ，即 。所以 和 是方程 的两个实数根。由韦达定理，，。。且 ，符合题意。 1. 答案：（1）；（2） 解析：（1） 方程有两个实数根，。 ，解得 。 （2）由韦达定理，，。 ， ， ， ， ，， 解得 。 由（1）知 ，。 1. 答案：（1）；（2） 解析：（1），。 （2），，，，，，， 或 。由（1），。 【本讲完成情况】 项目 完成情况（✔） 自我评价 知识梳理阅读 （　） 已理解 / 需再读 做一做（5题） （　） 全对 / 错______题 典例精讲学习 （　） 已掌握 / 需再练 跟踪练习1（3题） （　） 全对 / 错______题 举一反三（8题） （　） 全对 / 错______题 A组·基础过关（10题） （　） 全对 / 错______题 B组·能力提升（4题） （　） 全对 / 错______题 C组·思维拓展（3题） （　） 全对 / 错______题 错题号：________________ 订正笔记： ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ 学科网（北京）股份有限公司 $