精品解析：浙江省宁波市北仑区长江中学2021-2022学年九年级下学期模拟考试数学试题

长江中学2022年初中毕业生学业水平模拟考试 数学试题 考生须知： 1．全卷分试题卷Ⅰ、试题卷Ⅱ和答题卷，试题卷共有三个大题，24个小题，满分为150分，考试时长为120分钟． 2．请将姓名、准考证号分别填写在试题卷和答题卷的规定位置上． 3．答题时，把试题卷Ⅰ的答案在答题卷Ⅰ上对应的选项位置用2B铅笔涂黑、涂满，将试题卷Ⅱ的答案用黑色字迹的钢笔或签字笔书写，答案必须按照题号顺序在答题卷Ⅱ各题目规定区域内作答，做在试题卷上或超出答题卷区域书写的答案无效． 4．不允许使用计算器，没有近似计算要求的试题，结果都不能用近似数表示． 试题卷Ⅰ 一、选择题（每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1. 在下列4个实数中，最小的数是（ ） A. B. 0 C. D. 2 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 2021年，宁波旅游总收入达到838.8亿元，逐步恢复疫情前水平，将该数用科学记数法表示是（ ） A. B. C. D. 4. 下列几何体中，主视图、左视图、俯视图完全相同的是（ ） A. 球 B. 圆锥 C. 圆柱 D. 长方体 5. 如图，阶梯型平面图形的面积可以表示为（ ） A. B. C. D. 6. 北仑区某中学十位学生在体育中考中的中长跑项目成绩记录如下表，则这些学生的中长跑成绩的中位数和众数分别为（ ） 得分（分） 7 8 9 10 人数 2 3 4 1 A. 8和9 B. 和10 C. 和9 D. 9和9 7. 证明命题“带根号的数一定是无理数”是假命题的一个反例可以是（ ） A. B. C. D. 8. 我国古代数学名著《算法统宗》中记载：“今有绫七尺，罗九尺，共价适等；只云罗每尺价比绫每尺少钱三十六文，问各钱价若干?”意思是：现在有一匹7尺长的绫布和一匹9尺长的罗布恰好一样贵，只知道每尺罗布比绫布便宜36文，问两种布每尺各多少钱?设绫布每尺文，罗布每尺文，那么可列方程组为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，过原点的直线与反比例函数的图象交于点，，分别过，作轴，轴的垂线，垂足分别为，．若四边形的面积为，则（ ）． A. B. C. D. 10. 如图，将矩形的四个角向内折起，恰好拼成一个无缝隙、无重叠的四边形，若，则下列的值能达成这一翻折的是（　　） A. B. C. D. 试题卷Ⅱ 二、填空题（每小题5分，共30分） 11. 计算：的值是________． 12. 分解因式：________． 13. 如图，以BC为直径的圆与AC相切于点C，交AB于点D，若，，则tan∠ABC＝________． 14. 如图，在⊙O中，AE是直径，半径OC垂直于弦AB于D，连接BE，若AB=2,CD=1,则BE的长是______． 15. 如图，矩形中，，，分别与边相切，点M，N分别在上，，将四边形沿着翻折，使点B、C分别落在处，若射线恰好与相切，切点为G，则线段的长为 ____________________ ． 16. 如图，在中，，．分别以、为斜边，向三角形外作等腰直角三角形和等腰直角三角形，则和面积之和为____________；连接，则线段的最大值为____________． 三、解答题（本大题共有8题，共80分，其中17、18、19题各8分，20、21、22题各10分，23题12分，24题14分） 17. 解答下列各题： （1）计算：． （2）解方程：． 18. 如图，在的方格纸中，A，B是方格纸中的两格点，请按要求作图. （1）在图1中，以为一边作一个矩形，要求C，D两点也在格点上. （2）在图2中，以为一边作一个菱形，要求E，F两点也在格点上. 19. 如图，C岛在A岛的北偏东方向，在B岛的北偏西方向． （1）直接写出∠ACB的度数是 ； （2）测量发现，A岛与C岛之间的距离海里，求A岛与B岛之间的距离．（结果精确到0.1海里）（参考数据：，，） 20. 某校社团活动开设的体育选修课，篮球（A），足球（B），排球（C），羽毛球（D），乒乓球（E），每个学生选修其中的一门.学校对某班全班同学的选课情况进行调查统计后制成了以下两个统计图. （1）请你求出该班的总人数，并补全频数分布直方图； （2）该校共有1000名学生，请估计该校学生体育选修课选修篮球（A）的学生约有多少人？ （3）该班的其中某4各同学，1人选修篮球（A），2人选修足球（B），1人选修排球（C）.若要从这4人中任选2人，请你用列表或画树状图的方法，求选出的2人恰好是1人选修篮球，1人选修足球的概率. 21. 如图，已知二次函数图象的顶点坐标为，与直线相交于O、B两点，点O是原点． （1）求二次函数的解析式； （2）求点的坐标； （3）直接写出不等式的解． 22. 4月23日是世界读书日，某校为了更好地营造读书好、好读书的书香校园，学校图书馆决定去选购甲、乙两种图书．已知甲图书每本价格是乙图书每本价格的2.5倍，用800元单独购买甲图书比用800元单独购买乙图书要少24本． （1）甲、乙两种图书每本价格分别为多少？ （2）如果学校图书馆计划购买乙图书的本数比购买甲图书本数的2倍多8本，且用于购买甲、乙两种图书的总经费不超过1060元，那么该学校图书馆最多可以购买甲和乙图书共多少本？ 23. 如图1，平行四边形中，，，，点是边上的点，，连接，，过点作于点． 【基础巩固】 （1）求和的长； 【探究思考】 （2）判断的形状并说明理由； 【拓展应用】 （3）如图2，过点作于点，求的长． 24. 如图，为半的直径，点是半圆弧上一点，为上的点，且，过作，使点为的中点，连结，，，． （1）如图①，若，且，求的长． （2）如图②，当点是半上任一点时，求证：． （3）如图②，若，，求与的函数关系式． （4）如图②，当时，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 长江中学2022年初中毕业生学业水平模拟考试 数学试题 考生须知： 1．全卷分试题卷Ⅰ、试题卷Ⅱ和答题卷，试题卷共有三个大题，24个小题，满分为150分，考试时长为120分钟． 2．请将姓名、准考证号分别填写在试题卷和答题卷的规定位置上． 3．答题时，把试题卷Ⅰ的答案在答题卷Ⅰ上对应的选项位置用2B铅笔涂黑、涂满，将试题卷Ⅱ的答案用黑色字迹的钢笔或签字笔书写，答案必须按照题号顺序在答题卷Ⅱ各题目规定区域内作答，做在试题卷上或超出答题卷区域书写的答案无效． 4．不允许使用计算器，没有近似计算要求的试题，结果都不能用近似数表示． 试题卷Ⅰ 一、选择题（每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1. 在下列4个实数中，最小的数是（ ） A. B. 0 C. D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】根据实数大小的比较原则计算判断即可． 【详解】∵， 故选：C． 【点睛】本题考查了实数大小的比较，熟练掌握大小比较的原则是解题的关键． 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用同底数幂的除法的法则，合并同类项的法则，同底数幂的乘法的法则，积的乘方的法则对各项进行运算即可． 【详解】解：A、，故A不符合题意； B、，故B不符合题意； C、，故C不符合题意； D、，故D符合题意； 故选：D． 3. 2021年，宁波旅游总收入达到838.8亿元，逐步恢复疫情前水平，将该数用科学记数法表示是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数．据此解答即可． 【详解】838.8亿=838 8000 0000=， 故选：B． 【点睛】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要确定a的值以及n的值． 4. 下列几何体中，主视图、左视图、俯视图完全相同的是（ ） A. 球 B. 圆锥 C. 圆柱 D. 长方体 【答案】A 【解析】 【详解】A、球的主视图、左视图与俯视图均是圆形，故本选项符合题意； B、圆锥的主视图和左视图是相同的，都为一个三角形，但是俯视图是一个圆形，故本选项不符合题意； C、圆柱的主视图和左视图都是矩形，但俯视图也是一个圆形，故本选项不符合题意； D、长方体的主视图和左视图是相同的，都为一个长方形，但是俯视图是一个不一样的长方形，故本选项不符合题意． 故选A． 5. 如图，阶梯型平面图形的面积可以表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】把阶梯型的图形看成是两个长方形的面积之和或面积之差即可求解． 【详解】解：S阶梯型＝bc+（a﹣c）d 或S阶梯型＝ab﹣（a﹣c）（b﹣d） 或S阶梯型＝ad+c（b﹣d）， 故选：B． 【点睛】本题主要考查列代数式，整式的混合运算，解答的关键是把所求的面积看作是两个长方形的面积之和或面积之差． 6. 北仑区某中学十位学生在体育中考中的中长跑项目成绩记录如下表，则这些学生的中长跑成绩的中位数和众数分别为（ ） 得分（分） 7 8 9 10 人数 2 3 4 1 A. 8和9 B. 和10 C. 和9 D. 9和9 【答案】C 【解析】 【分析】根据中位数、众数的定义解答． 【详解】解：共10为同学，中位数应该是第5和第6个人的得分的平均数，即， 9分的人数最多，故众数为9． 故选：C． 【点睛】本题考查了中位数、众数的定义，学会分析表格、熟悉中位数和众数的定义是解题的关键． 7. 证明命题“带根号的数一定是无理数”是假命题的一个反例可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】找到一个含有根号且不是无理数的数即可求得答案． 【详解】解：∵，是有理数， ∴带根号的数不一定是无理数， 故选：B． 【点睛】考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解判断一个命题是假命题，可以举出反例，难度不大． 8. 我国古代数学名著《算法统宗》中记载：“今有绫七尺，罗九尺，共价适等；只云罗每尺价比绫每尺少钱三十六文，问各钱价若干?”意思是：现在有一匹7尺长的绫布和一匹9尺长的罗布恰好一样贵，只知道每尺罗布比绫布便宜36文，问两种布每尺各多少钱?设绫布每尺文，罗布每尺文，那么可列方程组为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：由7尺绫布与9尺罗布总价相等，得， 由每尺罗布单价比绫布少36文，得， 则可列方程组为 ． 9. 如图，过原点的直线与反比例函数的图象交于点，，分别过，作轴，轴的垂线，垂足分别为，．若四边形的面积为，则（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用反比例函数中心对称性及的几何意义，将四边形面积分割为三个三角形面积之和． 【详解】解：设，其中，， 点在反比例函数上， ， 直线过原点， 点与点关于原点对称， ， 轴，轴， ，， ，，，， ，， ， ， ， ， ． 10. 如图，将矩形的四个角向内折起，恰好拼成一个无缝隙、无重叠的四边形，若，则下列的值能达成这一翻折的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先利用矩形的性质和折叠的性质证明△BMP≌△DQN，从而得出BM=QD，再设出BM，利用AB与AD的比例和勾股定理，分别表示出MN，QN，MQ，利用勾股定理即可求解． 【详解】解：∵四边形ABCD是矩形， ∴∠B=∠D=90°， ∵矩形ABCD的四个角向内折起，恰好拼成一个无缝隙、无重叠的四边形PMNQ， ∴AP=PE=BP，BM=ME，MF=MC，QD=QF，DN=FN=CN，∠BMP=∠EMP，∠CMN=∠FMN，∠CNM=∠FNM，∠DNQ=∠FNQ， ∴∠BMP+∠CMN=90°，∠CMN+∠CNM=90°，∠CNM+∠DNQ=90°，∠DNQ+∠DQN=90°， ∴∠BMP=∠CNM，∠CNM=∠DQN，∠MNQ=90°， ∴∠BMP=∠DQN， ∴△BMP≌△DQN（AAS）， ∴BM=ME=DQ=QF， ∴MQ=MF+QF=MC+BM=BC， 设AB=CD=6a，BM=ME=QF=DQ=x， ∵AB：AD=3：5， ∴BC=AD=10a， ∴MF=MC=10a-x，AP=PE=BP=3a，DN=FN=CN=3a，MQ=10a， ∴， ∵， ∴， 解得：x=a或x=9a， 当x=a时，BM=a， ∴MC=BC-BM=9a， ∴BM：MC=1：9， ∴MC=BC-BM=9a， ∴MC=BC-BM=a， ∴BM：MC=9：1， 故选：C． 【点睛】本题考查矩形的性质，折叠的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，解一元二次方程等知识点，解题的关键是利用折叠的性质和勾股定理将BM表示出来． 试题卷Ⅱ 二、填空题（每小题5分，共30分） 11. 计算：的值是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查的是求解一个数的立方根，掌握立方根的定义是解本题的关键． 根据立方根的定义求解即可． 【详解】解：∵， ∴． 故答案为：． 12. 分解因式：________． 【答案】 【解析】 【分析】先提取公因式，再利用完全平方公式继续分解，保证分解彻底． 【详解】解：． 13. 如图，以BC为直径的圆与AC相切于点C，交AB于点D，若，，则tan∠ABC＝________． 【答案】##0.75 【解析】 【分析】连接CD，根据圆周角定理得到，求得，根据勾股定理得到CD的长度，根据切线的性质得到，求得，根据余角的性质得到，进而得到结论． 【详解】解：连接CD． ∵BC为的直径， ∴， ∴． ∵，， ∴． ∵AC是的切线， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了切线的性质，圆周角定理，解直角三角形，正确作出辅助线是解决问题的关键． 14. 如图，在⊙O中，AE是直径，半径OC垂直于弦AB于D，连接BE，若AB=2,CD=1,则BE的长是______． 【答案】6 【解析】 【分析】根据垂径定理求出AD，根据勾股定理列式求出OD，根据三角形中位线定理计算即可． 【详解】∵半径OC垂直于弦AB， ∴AD=DB=AB=， 在Rt△AOD中，OA2=（OC-CD）2+AD2，即OA2=（OA-1）2+（）2， 解得，OA=4 ∴OD=OC-CD=3， ∵AO=OE，AD=DB， ∴BE=2OD=6， 故答案为6． 【点睛】本题考查的是垂径定理、勾股定理，掌握垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧是解题的关键． 15. 如图，矩形中，，，分别与边相切，点M，N分别在上，，将四边形沿着翻折，使点B、C分别落在处，若射线恰好与相切，切点为G，则线段的长为 ____________________ ． 【答案】或或1 【解析】 【分析】设与相切于点E，与相切于点H，连接，过点N作于点F，利用切线的性质与切线长定理求得圆的半径，，利用折叠的性质可得，设，则，，通过证明，利用相似三角形的性质列出方程，解方程即可得出结论． 【详解】解：设与相切于点E，与相切于点H， 连接，过点N作于点F，如图， ∵分别与边相切，， ∴的直径为4， ∴． ∵为的切线， ∴， ∵， ∴四边形为矩形， ∵， ∴四边形为正方形． ∴． ∵为的切线， ∴，，，． ∵四边形沿着翻折，使点B、C分别落在处， ∴，，，． ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． ∴． ∵四边形为直角梯形，， ∴，， 设，则，， ∴， 解得：或． ∴． 当时，此时与重合，满足条件， ∴符合题意， 综上，的值为：或或1． 故答案为：或或1． 【点睛】本题主要考查了圆的切线的性质，矩形的性质，正方形的判定与性质，折叠的性质，相似三角形的判定与性质，梯形的性质，切线长定理，添加适当的辅助线是解题的关键． 16. 如图，在中，，．分别以、为斜边，向三角形外作等腰直角三角形和等腰直角三角形，则和面积之和为____________；连接，则线段的最大值为____________． 【答案】 ①. 1 ②. 【解析】 【分析】（1）设两等腰直角三角形的腰长，然后用勾股定理，三角形面积公式即可求解； （2）取AB中点F，设的外接圆为，因为A、F为定点，又可知为定值，所以D为圆上一动点，可知为一定圆，设点C在上时，可以确定圆心O的位置，然后BD的最大值迎刃而解． 【详解】（1）、均是等腰直角三角形， 设，， ，， 即， =1． 故答案为：1． （2）如图1，取AB中点F，连接DF，CF， 则AF=CF=BF=1，又AD=CD， DF垂直平分AC， ， 设的外接圆为， A、F为圆上两定点，点D为动点，又为定值， 为一位置与大小确定的定圆， 当点C运动到上时（如图2）， ，， ， ， 为等腰直角三角形， 四边形AFCD为正方形， 的圆心O在此时正方形AFCD的中心处， 取AF中点G，连接OG，则OG=GF=，的半径r=OF=， ， 当BD过点O时（如图3），BD最大， 此时BD的最大值为BO+r=+=． 故答案为：． 【点睛】此题考查以直角三角形为背景的一道几何综合题，熟练运用勾股定理与三角形面积公式是解第一问的关键．第二问考查综合运用几何知识解决问题的能力，如何确定经过A、D、F三点的是一个定圆，且如何确定圆心O的位置，这是难点，而且难度较大． 三、解答题（本大题共有8题，共80分，其中17、18、19题各8分，20、21、22题各10分，23题12分，24题14分） 17. 解答下列各题： （1）计算：． （2）解方程：． 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解：     ； 【小问2详解】 解：， 方程两边同时乘以，约去分母得， 解得， 检验：当时，， 因此是原方程的解． 18. 如图，在的方格纸中，A，B是方格纸中的两格点，请按要求作图. （1）在图1中，以为一边作一个矩形，要求C，D两点也在格点上. （2）在图2中，以为一边作一个菱形，要求E，F两点也在格点上. 【答案】（1） 如图中，矩形即为所作； （2） 如图中，矩形即为所作； 【解析】 【分析】（1）根据矩形的性质作出图形即可（答案不唯一）； （2）作出边长为的菱形即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查了作图－应用与设计作图，菱形与矩形的性质等知识点，解题的关键是利用数形结合的思想解题，属于中考常考题型． 19. 如图，C岛在A岛的北偏东方向，在B岛的北偏西方向． （1）直接写出∠ACB的度数是 ； （2）测量发现，A岛与C岛之间的距离海里，求A岛与B岛之间的距离．（结果精确到0.1海里）（参考数据：，，） 【答案】（1） （2）18.8海里 【解析】 【分析】（1）根据两直线平行，同旁内角互补求得∠C的度数即可； （2）由（1）可知：∠C＝70°，已知∠BAC＝20°，得到∠ABC＝90°，AC＝20海里，由cos20°＝求得线段AB的长． 【小问1详解】 解：∵两正北方向平行， ∴∠CAB+∠CBA＝180°﹣45°﹣25°＝110°， ∴∠C＝180°﹣110°＝70°， 故答案为：70°； 【小问2详解】 解：由（1）可知：∠C＝70°， ∵∠BAC＝20°， ∴∠ABC＝90°， ∵AC＝20海里， ∴cos20°＝≈0.94， ∴AB＝20×0.940≈18.8海里． 【点睛】本题考查了方向角问题，解题的关键是从实际问题中整理出直角三角形模型，并利用解直角三角形求解． 20. 某校社团活动开设的体育选修课，篮球（A），足球（B），排球（C），羽毛球（D），乒乓球（E），每个学生选修其中的一门.学校对某班全班同学的选课情况进行调查统计后制成了以下两个统计图. （1）请你求出该班的总人数，并补全频数分布直方图； （2）该校共有1000名学生，请估计该校学生体育选修课选修篮球（A）的学生约有多少人？ （3）该班的其中某4各同学，1人选修篮球（A），2人选修足球（B），1人选修排球（C）.若要从这4人中任选2人，请你用列表或画树状图的方法，求选出的2人恰好是1人选修篮球，1人选修足球的概率. 【答案】（1）总人数50个人，见解析； （2）340； （3）见解析， 【解析】 【分析】（1）利用C组的人数除以它所占的百分比即可得到总人数，再计算出E组人数，然后计算出A组人数后补全频数分布直方图； （2）先计算出该校学生体育选修课选修篮球（A）的学生占总体的百分比，再利用总人数乘以求出的百分比即可； （3）利用列表法展示所有12种等可能的结果数，再找出选出的2人恰好1人选修篮球，1人选修足球的结果数，然后根据概率公式求解． 【小问1详解】 解：总人数＝12÷24%＝50（人），E组的人数＝50×10%＝5（人）， 所以A组的人数＝50﹣7﹣12﹣9﹣5＝17（人）， 频数分布直方图为： 【小问2详解】 解：由（1）可估计该校学生体育选修课选修篮球（A）的学生占总体的百分比为×100%＝34% 1000×34%＝340（人） 答：估计该校学生体育选修课选修篮球（A）的学生约有340人． 【小问3详解】 解：列表如下： A B B C A AB AB AC B AB BB BC B AB BB BC C AC BC BC 共有12种等可能的结果数，其中选出的2人恰好1人选修篮球，1人选修足球的结果数为4， 所以选出的2人恰好1人选修篮球，1人选修足球的概率＝． 【点睛】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法和树状图法展示所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，求出概率．也考查了统计图． 21. 如图，已知二次函数图象的顶点坐标为，与直线相交于O、B两点，点O是原点． （1）求二次函数的解析式； （2）求点的坐标； （3）直接写出不等式的解． 【答案】（1）y＝（x－1）2－1（或y＝x2－2x） （2）B (，) （3）0<x< 【解析】 【分析】（1）已知顶点可设顶点式y＝a(x－1)2－1，把原点坐标代入，可求出a，得出答案； （2）联立抛物线与直线方程即可求得答案； （3）由函数图像可知抛物线小于一次函数在O、B之间，即可得到答案． 【小问1详解】 解：∵顶点坐标为(1,－1)， ∴二次函数的顶点式为y＝a(x－1)2－1， ∵二次函数过(0，0)， ∴0＝a(0－1)2－1， 解得a=1， ∴二次函数的解析式为y＝(x－1)2－1（或y＝x2－2x）． 【小问2详解】 ∵B点在直线上，可以设B(a,a)， 把B(a,a)代入抛物线，得：a2－2a＝a， 解得a1=0，a2=， ∵a，∴a=， ∴B (,)． 【小问3详解】 不等式， 可以转化为二次函数小于一次函数， 由图可知在O、B之间满足条件， ∴0<x<． 【点睛】本题考查二次函数的解析式，二次函数图像与不等式的性质，掌握函数、方程和不等式之间的关联是解题的关键． 22. 4月23日是世界读书日，某校为了更好地营造读书好、好读书的书香校园，学校图书馆决定去选购甲、乙两种图书．已知甲图书每本价格是乙图书每本价格的2.5倍，用800元单独购买甲图书比用800元单独购买乙图书要少24本． （1）甲、乙两种图书每本价格分别为多少？ （2）如果学校图书馆计划购买乙图书的本数比购买甲图书本数的2倍多8本，且用于购买甲、乙两种图书的总经费不超过1060元，那么该学校图书馆最多可以购买甲和乙图书共多少本？ 【答案】（1）甲、乙两种图书每本价格分别为50元，20元 （2）学校图书馆最多可以购买甲和乙图书共38本 【解析】 【分析】（1）根据题意列出相应的分式方程即可求解； （2）根据题意列出相应的不等式即可求解． 【小问1详解】 解：设乙两种图书每本价格为x元，则甲图书每本价格2.5x元，由题意得， ， 解得，， 经检验，是原方程的解， 所以，， 答：甲、乙两种图书每本价格分别为50元，20元． 【小问2详解】 解：设购买甲图书为a本，则购买乙图书本，由题意得： ， 解得，， ， 即最多购买甲图书为10本，购买乙图书28本， 所以学校图书馆最多可以购买甲和乙图书共38本． 【点睛】本题考查分式方程、一元一次不等式在实际问题中的应用．根据题意列出正确的方程和不等式是解题关键． 23. 如图1，平行四边形中，，，，点是边上的点，，连接，，过点作于点． 【基础巩固】 （1）求和的长； 【探究思考】 （2）判断的形状并说明理由； 【拓展应用】 （3）如图2，过点作于点，求的长． 【答案】（1）， （2）解：为等腰三角形，理由如下： 过点A作于点G， ∵， ∴设，， ∵， ∴． ∴， 在中，， 由勾股定理，得， 解得， 当时，，此时，不符合题意，舍去， ∴， ∴， 又∵， ∴ ∴是等腰三角形； （3） 【解析】 【分析】（1）根据平行四边形的性质，推出，进而得到，解，求出的长即可； （2）过点A作于点G，根据，设，，在中，利用勾股定理求出的值，进而推出，进而得到垂直平分，得到，即可得出结论； （3）延长交的延长线于点K，推出，证明，，得到，，根据线段的和差关系求出的长，进而求出的长即可. 【小问1详解】 解：在平行四边形中，， ∴， ∴． 在中，， 设，则， ∴， ∴，； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：延长交的延长线于点K， 由（2）知：， ∴， ∵平行四边形， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵ ∴． 24. 如图，为半的直径，点是半圆弧上一点，为上的点，且，过作，使点为的中点，连结，，，． （1）如图①，若，且，求的长． （2）如图②，当点是半上任一点时，求证：． （3）如图②，若，，求与的函数关系式． （4）如图②，当时，求的值． 【答案】（1）； （2）证明：点P为的中点， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； （3） （4） 【解析】 【分析】（1）连接，，交于点E，由垂径定理得出，，，求出，由勾股定理可得出答案； （2）证明，由相似三角形的性质得出，证出，则可得出结论； （3）由题意得出，，设，，得出，整理可得出答案； （4）连接，，，交于点E，求出，设，则，设，则，由勾股定理列式解得x，说明，即可求出答案． 【小问1详解】 解：连接，，交于点E， 点P为的中点， ，，， ，， ， ， 在中， ， ， ； 【小问2详解】 略； 【小问3详解】 解：， ， ，， 设，， ，， ， ， ， ， ， ， 即； 【小问4详解】 解：连接，，，交于点E， 点P为的中点， ， ，， ， 设，则， 在中，由勾股定理得， 由（2）知，， ， 在中，由勾股定理得， ， 由（2）得， ， 设半径为， 则， 在中，由勾股定理得， ， 解得， ， 在中，， ， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $