精品解析：浙江省舟山市第一初级中学2021-2022学年九年级下学期四模数学试题

2021学年第二学期九年级适应性质量检测 数学　试题卷 考生须知： 1．全卷满分 120 分，考试时间 120 分钟．试题卷共 6 页，有三大题，共 24 小题． 2．全卷答案必须做在答题纸卷Ⅰ、卷Ⅱ的相应位置上，做在试题卷上无效． 一、选择题（本大题共10小题，共30分） 1. 的倒数是（ ） A. B. C. D. 3 【答案】A 【解析】 【详解】解：∵， ∴的倒数是． 2. 如图是一个由4个相同的正方体组成的立体图形，它的主视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据主视图的定义即可得． 【详解】由主视图的定义得：这个立体图形的主视图由2行3列组成，其中，2行上小正方形的个数依次为，3列上小正方形的个数依次为 观察四个选项，只有选项C符合 故选：C． 【点睛】本题考查了主视图的定义，熟记定义是解题关键．三视图中另两个概念是：左视图和俯视图，这是常考知识点，需掌握． 3. 计算 的结果是（ ） A. a2 B. -a2 C. a4 D. -a4 【答案】D 【解析】 【分析】直接利用同底数幂的乘法运算法则计算得出答案． 【详解】解：， 故选D． 【点睛】此题主要考查了同底数幂的乘法运算，正确掌握运算法则是解题关键． 4. 如图，DE∥GF，A在DE上，C在GF上△ABC为等边三角形，其中∠EAC＝80°，则∠BCG度数为（　　） A. 20° B. 10° C. 25° D. 30° 【答案】A 【解析】 【分析】根据平行线的性质得出∠ACG＝∠EAC＝80°，再利用等边三角形的性质解答即可． 【详解】解：∵DE∥GF， ∴∠ACG＝∠EAC＝80°， ∵△ABC为等边三角形， ∴∠ACB＝60°， ∴∠BCG＝80°﹣60°＝20°， 故选A． 【点睛】此题考查平行线的性质，关键是根据平行线的性质得出∠ACG＝∠EAC＝80°解答． 5. 《九章算术》是中国古代第一部数学专著，书中有这样一题：“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四．问人数、物价各几何？”大意是：有几个人一起去买一件物品，每人出8元，多3元；每人出7元，少4元，问有多少人？该物品价格是多少？设共有x个人，该物品价格是y元，则下列方程组正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据“人数物品价值、物品价值人数”可得方程组． 【详解】解：设共有个人，该物品价格是元，根据题意得： ． 6. 我们知道，四边形具有不稳定性，如图，在平面直角坐标系中，边长为2的正方形的边在x轴上，的中点是坐标原点O，固定点A，B，把正方形沿箭头方向推，使点D落在y轴正半轴上点处，则点C的对应点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由已知条件得到，，根据勾股定理得到，于是得到结论． 【详解】解：， ， ， ，， ， 故选：D． 【点睛】本题考查了正方形的性质，坐标与图形的性质，勾股定理，正确的识别图形是解题的关键． 7. 一次函数与反比例函数的自变量与函数的对应值表如下： 1 2 3 4 5 3 5 7 9 11 12 6 4 3 2．4 根据表格，这两个函数的图像的交点横坐标的范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】x=2时，一次函数y的值小于反比例函数y的值，当x=3时，一次函数y的值大于反比例函数y的值，在2和3之间两个函数相等，即可求解． 【详解】解：当x=2时，一次函数y的值小于反比例函数y的值， 当x=3时，一次函数y的值大于反比例函数y的值， 故两个函数的图象的交点横坐标的范围是2＜x＜3， 故选：B． 【点睛】本题考查的是反比例函数与一次函数的交点问题，正确理解函数交点的意义是解题的关键． 8. 如图，矩形，，、为、上两点，，，，，则矩形的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】四边形是矩形， ， 四边形是矩形， ， 四边形是平行四边形， ， ， 在中，，， ，，， ， ， 在中， ，， ，， ， 矩形． 9. 如图，在中，的平分线交于点，点分别是边上的点，若，则的值为（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 【答案】C 【解析】 【分析】延长交于点G，可证，得，得出，可证，求出，则的值可求． 【详解】解：如图，延长交于点G， ∵，， ∴， ∴，， ∴，， ∴， ∵的平分线交于点F， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 则． 10. 对于函数（a是常数），有下列说法： ①函数图象与坐标轴总有三个不同的交点； ②当x＜1时，不是y随x的增大而增大就是y随x的增大而减小； ③若函数有最大值，则最大值必为正数，若函数有最小值，则最小值必为负数． 其中错误的说法是（ ） A. ① B. ①② C. ②③ D. ①③ 【答案】B 【解析】 【分析】①首先考虑，函数为一次函数的情况，从而可判断； ②根据二次函数的增减性，即可作出判断； ③当时，函数为一次函数，无最大值和最小值，当时，函数为抛物线，求出顶点的纵坐标表达式，即可作出判断． 【详解】①反例：当时，函数为，此直线与坐标轴只有两个交点，所以①错误； ②反例：当时，函数为，对称轴为直线，当时，先减后增，所以②错误； ③当时，函数为一次函数，无最大值和最小值， 当时，函数为抛物线， ， ∵， ∴所以，函数有最大值，为正； ，函数有最小值，为负； 所以③正确． 综上：①②是错误的说法． 故选：B． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，一次函数的性质，利用举特例的方法是解决问题常用方法． 二、填空题(本题有6小题，每小题4分，共24分) 11. 因式分解：______． 【答案】 【解析】 【详解】解：． 12. 不等式2x+9 ≥ 3（x+2）的解是_____． 【答案】 【解析】 【分析】先去括号，再移项，合并同类项，把未知数的系数化“”，即可得到答案． 【详解】解： ． 故答案为：． 【点睛】本题考查的是不等式的解法，掌握不等式的解法是解题的关键． 13. 某路口红绿灯的时间设置为：红灯30秒，绿灯27秒，黄灯3秒．当人或车随意经过该 路口时，遇到红灯的概率是________． 【答案】 【解析】 【分析】对于此题，类似于几何概率模型，将红灯、绿灯、黄灯对应的时间看成线段长、面积或体积皆可，根据几何概率的求法，找准两点：①全部情况的总长度（面积或体积）；②符合所求的长度（面积或体积）；二者的比值就是其发生的概率． 【详解】解：红灯30秒，绿灯27秒，黄灯3秒， 遇到红灯的概率为， 故答案为：． 【点睛】本题考查几何概率模型概率的求解，将此类题目准确对应成相应的线段长、面积或体积是解决问题的关键． 14. 如图，扇形是圆锥的侧面展开图，且点O、A、B分别是格点，已知小正方形方格的边长为，则这个圆锥的底面半径为____________________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理、求弧长，根据勾股定理的逆定理得是等腰直角三角形，再根据弧长公式即可求解，熟练掌握基础知识是解题的关键． 【详解】解：根据勾股定理可以得到：，即． ，， ， 是等腰直角三角形． 的长是． 设圆锥的底面半径是，则， 解得：． 故答案为． 15. 如图所示，点A是双曲线 在第二象限分支上的一个动点，连接并延长交另一分支于点B，以为底作等腰，且，点C在第一象限，随着点A的运动，点C的位置也不断变化，但点C始终在双曲线上运动，则k的值为______ 【答案】4 【解析】 【分析】连接，过点作轴于点，过点作轴于点，根据题意得出，得出，根据的几何意义即可求解． 【详解】解：如图所示，连接，过点作轴于点，过点作轴于点， 点C在第一象限，随着点A的运动，点C始终在双曲线上运动， ， 连接并延长交另一分支于点，以为底作等腰，且， ，， 则， ， ， 又， ， ， ， 点是双曲线在第二象限分支上的一个动点， ， ， . 16. 左图是传统的手工磨豆腐设备，根据它的原理设计了右图的机械设备，磨盘半径，把手，点O，M，Q成一直线，用长为的连杆将点Q与动力装置P相连（大小可变），点P在轨道上滑动并带动磨盘绕点O转动，，． 则最大为______；若磨盘转动100周，则点P在轨道上滑动的路径长为 _________． 【答案】 ①. 150 ②. 18000 【解析】 【分析】连接，根据题意可得，则，由勾股定理可得，据此求出的最大值和最小值即可得到答案． 【详解】解：如图所示，连接， ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴当有最大值时，有最大值，当有最小值时，有最小值， ∴的最大值为，的最小值为； ∴若磨盘转动100周，则点P在轨道上滑动的路径长为． 三、解答题（本大题共7小题，共66分） 17. 计算及解方程组 （1） （2）解方程组： 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解：， 由②得：， 代入①中：， 解得：， ， ． 18. 先化简，再求值：，其中|x|≤1，且x为整数． 小海同学的解法如下： 解：原式＝﹣ ⋯① ＝（x﹣1）2﹣x2+3 ⋯② ＝x2﹣2x﹣1﹣x2+3 ⋯③ ＝﹣2x+2．⋯④ 当x＝﹣1时，⋯⑤ 原式＝﹣2×（﹣1）+2⋯⑥ ＝2+2＝4．⋯⑦ 请指出他解答过程中的错误（写出相应的序号，多写不给分），并写出正确的解答过程． 【答案】第②步错误，原式=﹣，当x=0时，原式=2． 【解析】 【分析】第二步错误，代数式的化简通分过程中，不能去分母，不能和解分式方程混淆；正确的化简过程：先通分，再对分子进行去括号、合并同类项与因式分解，最后进行约分；求值过程，先将能取的几个整数代入到最简公分母中检验，只有x=0时，公分母不为0，求出此时原式的值即可. 【详解】解：第②步错误， 正确解答过程为：原式， 由|x|≤1，得到﹣1≤x≤1，即整数x＝﹣1，0，1， 又∵最简公分母， ∴x=0，此时，原式=2． 【点睛】此题考查了分式的化简求值，注意化简过程必须是恒等变形，分式中未知数的值必须要使得最简公分母不为0，才能使得分式有意义． 19. 如图，等腰是的内接三角形，，过点A作BC的平行线AD交BO的延长线于点D． 求证：AD是的切线； 若的半径为15，，求AB的长． 【答案】 连接OA并延长，交BC于点E， ， ， ， ， ， 则AD是的切线； ，． 【解析】 【分析】连接OA并延长，交BC于点E，利用垂径定理的逆定理得到AE垂直于BC，根据AD与BC平行得到：AD垂直于AO，即可证得结论； 在Rt△AOD中，求得OD=25，再证明△AOD∽△EOB，根据相似三角形的性质求得OE的长，即可求得BE的长；Rt△ABE中，根据勾股定理可得AB的长． 【详解】略 中，，， ， ， ， ∽， ， ， ， 根据勾股定理得：， 中，，， ． 【点睛】本题考查了切线的判定、勾股定理、垂径定理以及相似三角形的判定与性质，熟练掌握切线的判定方法是解本题的关键． 20. 如图，在7×7正方形网格中的每个小正方形边长都为1个单位长度，我们把每个小正方形的顶点称为格点，点A、B、C都为格点，且点，请分别仅用一把无刻度的直尺画图； （1）过点C画一条与线段平行的线段； （2）过点C画一条与线段垂直的线段； （3）作，使，直接写出格点M的坐标； 【答案】（1）如图，线段即为所求； （2）如图，线段即为所求； （3）如图，即为所求，； 【解析】 【分析】（1）取格点D，连接即可； （2）取格点E，连接即可； （3）取格点M，连接，则即为所求，再根据建立平面直角坐标系，写出点M坐标． 【小问1详解】 解：连接， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴； 【小问2详解】 解：连接， ∵，， ∴， ∴， ∴． 由（1）知，， ∴； 【小问3详解】 解：连接， ∵，， ∴， ∴， ∴． 21. 某校举行“衢州有礼八个一”知识问答竞赛．每班选20名同学参加比赛，根据答对的题目数量，得分等级分为5分，4分，3分，2分，学校将八年级甲班和乙班的成绩整理并绘制成如下的统计图． （1）请把甲班知识问答成绩统计图补充完整； （2）通过统计得到如表，请求出表中数据a，b的值． 班级 平均数（分） 中位数（分） 众数（分） 甲班 a 4 4 乙班 3.6 3.5 b （3）根据（2）的结果，你认为甲，乙两班哪个班级成绩更好？写出你的理由． 【答案】（1）见解析；（2）；（3）乙班成绩更好，理由见解析 【解析】 【分析】（1）先求出甲班等级分数为3的人数，再补充图； （2）利用求平均数的公式计算即可；根据扇形图中的信息可求出； （3）利用平均数，及众数即可判断出那个班成绩更好． 【详解】解：（1）由题意及直方图可知：甲班等级分数为3的人数为：（人）， 补充得完整图如下： （2）甲班的平均分为：（分）； 根据扇形图中信息，5分占比最大为，即5分出现次数为8次，出现的次数最多，故众数为：5； （3）乙班的成绩更好． 理由：因为甲、乙两个班的平均数一样，但乙班5分出现了八次，甲班4分出现了八次，明显乙班分数高的较多，故乙班的成绩较好． 【点睛】本题考查了条形统计图，扇形统计图、平均数、众数等知识，解题的关键是能从图中获取相应的信息，从而进行求解． 22. 2022年冬奥会成功在北京张家口举行，奥林匹克精神鼓舞了越来越多的年轻人从事冰雪运动，在长，高的斜面上，滑雪运动员P从顶端腾空而起，最终刚好落在斜面底端，其轨迹可视为抛物线的一部分．按如图方式建立平面直角坐标系，设斜面所在直线的函数关系式为，运动员轨迹所在抛物线的函数关系式为，设运动员P距离地面的高度为，腾空过程中离开斜面的距离为，回答下列问题： （1）分别求出、与x之间的函数关系式； （2）求出d的最大值和此时点P的坐标． 【答案】（1），； （2）m，P(4，5) 【解析】 【分析】（1）把点（8，0）和（0，6）分别代入直线的函数关系式，运动员轨迹所在抛物线的函数关系式，，进而得出答案； （2）设与抛物线相切，且与平行的直线：，那么切点就是所求的点P，直线与直线之间的距离就是所求的距离． 【小问1详解】 解：把点（8，0）和（6，0）代入直线 得， 解得 ∴ 把点（8，0）和（6，0）代入抛物线得， 解得 ∴ 【小问2详解】 解：设与抛物线相切的直线为， 联立与得：， 化简得： ∵抛物线与直线相切 ∴有两个相等的实数根 ∴ ＝ 解得 ∴ 联立抛和解得： 此时点P的坐标为（4，5） 如图，过点A作AC⊥直线，垂足为点C， ∵ 直线AC与直线垂直且过点A(0，6) ∴直线AC的解析式为 联立和得 解得 ∴ 点C的坐标为（，） 线段AC的长度就是所求的 d， ． 【点睛】本题考查了一次函数和二次函数图像的综合题，解题的关键是数形结合，熟练掌握抛物线的三种解析式，特别是顶点式；还要注意当直线与抛物线相切时距离最大；两条直线互相垂直的直线：． 23. 新定义：有一组对角相等而另一组对角不相等的凸四边形叫做“等对角四边形”． （1）已知：如图1，四边形是“等对角四边形”，，，求的度数． （2）在探究“等对角四边形”性质时：小红画了一个“等对角四边形”（如图2），其中，此时她发现成立，请你证明此结论． （3）已知：在等对角四边形中，，，，，求对角线的长． 【答案】（1）； （2） 证明：如图，连接， ， ， ， ， ， ； （3）或 【解析】 【分析】本题考查了四边形内角和定理，等腰三角形的判定和性质，直角三角形的性质，勾股定理，矩形的判定和性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）根据题意及四边形内角和定理计算即可； （2）根据题意得到，继而得到，即可得到结论； （3）分两种情况：当时，当时，分别计算即可． 【小问1详解】 解：，， ， ，， ； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：当时，如图3，延长相交于点， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ； 当时， 如图4，过点作于点，于点， ，四边形是矩形， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 综上所述，对角线的长为或． 24. 已知，在等腰直角三角形中，，，点D在边上运动，连接，过C作交的延长线于点M． （1）如图1，点D为边上的中点，，求的长； （2）如图2，过点A作于点E，交于点F，连接，求证：； （3）如图3，过点A作交的延长线于点E，P为的中点，，请直接写出的最小值． 【答案】（1）；（2）见解析；（3）． 【解析】 【分析】（1）证明，得到CM=AB，中，利用勾股定理解得BC的长，再在中，利用勾股定理解题即可； （2）延长交的延长线于T,证明，，再根据全等三角形对应边相等的性质、线段的和差性质解题； （3）取AB中点Q，取BQ中点G，连接PQ，PG，CG，过点G作于点H，解得AQ，BG的长，当C、P、G在同一条直线上时，CP有最小值，再利用勾股定理解得BG的长，继而解得BH的长，再运用勾股定理求解． 【详解】解：（1）如图， 在等腰直角三角形中，，， 点D为边上的中点， 设 中， 或（舍去） 在中， ; （2）证明：如图，延长交的延长线于T, ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∵是等腰直角三角形 ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴． （3）取AB中点Q，取BQ中点G，连接PQ，PG，CG，过点G作于点H， 为BE的中点，Q为AB的中点， 为的中位线， 是BQ的中点， 当三点在同一条直线上时，CP有最小值， 设 在等腰直角三角形ABC中，，AC=BC，AB=， 在中， ． 【点睛】本题考查三角形的综合题，涉及全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、勾股定理、直角三角形的性质等知识，是重要考点，有难度，掌握相关知识是解题关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2021学年第二学期九年级适应性质量检测 数学　试题卷 考生须知： 1．全卷满分 120 分，考试时间 120 分钟．试题卷共 6 页，有三大题，共 24 小题． 2．全卷答案必须做在答题纸卷Ⅰ、卷Ⅱ的相应位置上，做在试题卷上无效． 一、选择题（本大题共10小题，共30分） 1. 的倒数是（ ） A. B. C. D. 3 2. 如图是一个由4个相同的正方体组成的立体图形，它的主视图是（ ） A. B. C. D. 3. 计算 的结果是（ ） A. a2 B. -a2 C. a4 D. -a4 4. 如图，DE∥GF，A在DE上，C在GF上△ABC为等边三角形，其中∠EAC＝80°，则∠BCG度数为（　　） A. 20° B. 10° C. 25° D. 30° 5. 《九章算术》是中国古代第一部数学专著，书中有这样一题：“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四．问人数、物价各几何？”大意是：有几个人一起去买一件物品，每人出8元，多3元；每人出7元，少4元，问有多少人？该物品价格是多少？设共有x个人，该物品价格是y元，则下列方程组正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 我们知道，四边形具有不稳定性，如图，在平面直角坐标系中，边长为2的正方形的边在x轴上，的中点是坐标原点O，固定点A，B，把正方形沿箭头方向推，使点D落在y轴正半轴上点处，则点C的对应点的坐标为（ ） A. B. C. D. 7. 一次函数与反比例函数的自变量与函数的对应值表如下： 1 2 3 4 5 3 5 7 9 11 12 6 4 3 2．4 根据表格，这两个函数的图像的交点横坐标的范围是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，矩形，，、为、上两点，，，，，则矩形的面积为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在中，的平分线交于点，点分别是边上的点，若，则的值为（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 10. 对于函数（a是常数），有下列说法： ①函数图象与坐标轴总有三个不同的交点； ②当x＜1时，不是y随x的增大而增大就是y随x的增大而减小； ③若函数有最大值，则最大值必为正数，若函数有最小值，则最小值必为负数． 其中错误的说法是（ ） A. ① B. ①② C. ②③ D. ①③ 二、填空题(本题有6小题，每小题4分，共24分) 11. 因式分解：______． 12. 不等式2x+9 ≥ 3（x+2）的解是_____． 13. 某路口红绿灯的时间设置为：红灯30秒，绿灯27秒，黄灯3秒．当人或车随意经过该 路口时，遇到红灯的概率是________． 14. 如图，扇形是圆锥的侧面展开图，且点O、A、B分别是格点，已知小正方形方格的边长为，则这个圆锥的底面半径为____________________． 15. 如图所示，点A是双曲线 在第二象限分支上的一个动点，连接并延长交另一分支于点B，以为底作等腰，且，点C在第一象限，随着点A的运动，点C的位置也不断变化，但点C始终在双曲线上运动，则k的值为______ 16. 左图是传统的手工磨豆腐设备，根据它的原理设计了右图的机械设备，磨盘半径，把手，点O，M，Q成一直线，用长为的连杆将点Q与动力装置P相连（大小可变），点P在轨道上滑动并带动磨盘绕点O转动，，． 则最大为______；若磨盘转动100周，则点P在轨道上滑动的路径长为 _________． 三、解答题（本大题共7小题，共66分） 17. 计算及解方程组 （1） （2）解方程组： 18. 先化简，再求值：，其中|x|≤1，且x为整数． 小海同学的解法如下： 解：原式＝﹣ ⋯① ＝（x﹣1）2﹣x2+3 ⋯② ＝x2﹣2x﹣1﹣x2+3 ⋯③ ＝﹣2x+2．⋯④ 当x＝﹣1时，⋯⑤ 原式＝﹣2×（﹣1）+2⋯⑥ ＝2+2＝4．⋯⑦ 请指出他解答过程中的错误（写出相应的序号，多写不给分），并写出正确的解答过程． 19. 如图，等腰是的内接三角形，，过点A作BC的平行线AD交BO的延长线于点D． 求证：AD是的切线； 若的半径为15，，求AB的长． 20. 如图，在7×7正方形网格中的每个小正方形边长都为1个单位长度，我们把每个小正方形的顶点称为格点，点A、B、C都为格点，且点，请分别仅用一把无刻度的直尺画图； （1）过点C画一条与线段平行的线段； （2）过点C画一条与线段垂直的线段； （3）作，使，直接写出格点M的坐标； 21. 某校举行“衢州有礼八个一”知识问答竞赛．每班选20名同学参加比赛，根据答对的题目数量，得分等级分为5分，4分，3分，2分，学校将八年级甲班和乙班的成绩整理并绘制成如下的统计图． （1）请把甲班知识问答成绩统计图补充完整； （2）通过统计得到如表，请求出表中数据a，b的值． 班级 平均数（分） 中位数（分） 众数（分） 甲班 a 4 4 乙班 3.6 3.5 b （3）根据（2）的结果，你认为甲，乙两班哪个班级成绩更好？写出你的理由． 22. 2022年冬奥会成功在北京张家口举行，奥林匹克精神鼓舞了越来越多的年轻人从事冰雪运动，在长，高的斜面上，滑雪运动员P从顶端腾空而起，最终刚好落在斜面底端，其轨迹可视为抛物线的一部分．按如图方式建立平面直角坐标系，设斜面所在直线的函数关系式为，运动员轨迹所在抛物线的函数关系式为，设运动员P距离地面的高度为，腾空过程中离开斜面的距离为，回答下列问题： （1）分别求出、与x之间的函数关系式； （2）求出d的最大值和此时点P的坐标． 23. 新定义：有一组对角相等而另一组对角不相等的凸四边形叫做“等对角四边形”． （1）已知：如图1，四边形是“等对角四边形”，，，求的度数． （2）在探究“等对角四边形”性质时：小红画了一个“等对角四边形”（如图2），其中，此时她发现成立，请你证明此结论． （3）已知：在等对角四边形中，，，，，求对角线的长． 24. 已知，在等腰直角三角形中，，，点D在边上运动，连接，过C作交的延长线于点M． （1）如图1，点D为边上的中点，，求的长； （2）如图2，过点A作于点E，交于点F，连接，求证：； （3）如图3，过点A作交的延长线于点E，P为的中点，，请直接写出的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $