精品解析：2022年安徽省合肥市中考数学考前模拟冲刺试题（二）

2022年安徽省合肥市中考考前模拟冲刺试题（二） 数学 （考试时间120分钟 试卷满分150分） 一．选择题（共10小题，满分40分，每小题4分） 1. 在四个数5、0、、2中，最大的数是（ ） A. 5 B. 0 C. D. 2 2. _____，_____（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 3. 2020年2月11日，联合国及农业组织向全球发出沙漠蝗虫灾害预警，30多个国家遭蝗虫灾难，巴基斯坦当前蝗虫数目约为4000亿只，4000亿用科学记数法表示为（　　） A. 4×103亿 B. 4×107亿 C. 4×1010亿 D. 4×1011亿 4. 下列几何体的三视图中，俯视图与主视图一定一致的是（　　） A. B. C. D. 5. 如图，在五边形ABCDE中，AB∥CD，∠A＝135°，∠C＝60°，∠D＝150°，则∠E的大小为（　　） A. 60° B. 65° C. 70° D. 75° 6. 下列说法正确的是（ ） A. 计算两个班同学数学成绩的平均分，可以用两个班的平均分除以2即可； B. 10，9，10，12，11，12这组数据的众数是10； C. 若，，，…，的平均数是，那么 D. 若，，，…，的方差是，那么，，，…方差是． 7. 在平面直角坐标系中，点B，C的坐标分别为B（，），C（，）．任意一点A都满足．作的内角平分线，过点B作的垂线交于点F，已知当点A在平面内运动时，点F与坐标原点O的距离为（　　） A. B. C. D. 1 8. 已知实数x、y、z满足，则的最大值是（　　） A. 12 B. 20 C. 28 D. 36 9. 如图，在△ABC中，已知MN∥BC，DN∥MC.小红同学由此得出了以下四个结论：①＝；②＝；③＝；④＝.其中正确结论的个数为( ) A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 10. 如图，矩形ABCD中，AB＝2，BC＝4，点P是BC边上的一个动点（点P不与点B，C重合），现将△ABP沿直线AP折叠，使点B落到点B′处；作∠B′PC的角平分线交CD于点E．设BP＝x，CE＝y，则下列图象中，能表示y与x的函数关系的图象大致是（ ） A. B. C. D. 二．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分） 11. 根据不等式的性质，将下列不等式变形为或的形式． （1），根据不等式的性质______，不等式两边都______，得_____； （2），根据不等式的性质_____，不等式两边都______，得______； （3），根据不等式的性质______，不等式两边都______，得______． 12. 分解因式：___． 13. 已知直线与反比例函数的图象交于点，则的值是________． 14. 如图，在Rt中，∠C＝90°，AB＝10，BC＝6，点E，F分别在边BC，AC上，沿所在的直线折叠∠C，使点的对应点恰好落在边上，若和相似，则AD的长为______． 三．解答题（共2小题，满分16分，每小题8分） 15. 计算：． 16. 图①、图②均为的正方形网格，点A，B，C在格点上． （1）在图①中确定格点D，并画出以点A，B，C，D为顶点的四边形，使其为轴对称图形，但不是中心对称图形（画一个即可）； （2）在图②中确定格点E，并画出以A，B，C，E为顶点的四边形，使其为中心对称图形（画一个即可）． 四．解答题（共2小题，满分16分，每小题8分） 17. “世界鲍鱼看中国，中国鲍鱼看福建，福建鲍鱼看连江．”连江县是中国鲍鱼养殖第一大县，养殖的“绿盘鲍“（也称“皇金鲍”，因其壳大部分呈绿色而得名）从十几粒一斤到一粒一斤，连江鲍鱼养殖业日渐壮大，林老板从连江某鲍鱼养殖场带回大“绿盘鲍”2斤和小“绿盘鲍”9斤，共付金额370元；已知大“绿盘鲍”的每斤价格比小“绿盘饱”的每斤价格多20元请用学过的方程（组）的知识，求该养殖场里大、小“绿盘鲍”的每斤价格分别为多少元？ 18. 有8个算式，排成4行2列 ， ， ， ， （1）同一行中两个算式的结果怎样？ （2）算式和的结果相等吗？ （3）用含自然数的代数式表示发现的规律，并证明． 五．解答题（共2小题，满分20分，每小题10分） 19. 曹魏古城是许昌的特色建筑之一，具有文化展示、旅游休闲、商业服务、特色居住等主要功能．某数学活动小组借助测角仪和皮尺测量曹魏古城南城门中间大门的高度．如图，矩形是中间大门的截面图，他们先在城门南侧点C处测得点A的仰角为58°，然后沿直线从点C处穿过城门到达点D，从点D处测得点B的仰角为45°，点C到点D的距离为38米，的距离为18米，求曹魏古城南城门中间大门的高度．（结果精确到1米；参考数据：，，） 20. 如图，与为的直径，，点E在上，连接交延长线于点F，连接，交于点G． （1）求证：； （2）若，求． 六．解答题（共1小题，满分12分，每小题12分） 21. 由中宣部建设的“学习强国”学习平台正式上线，这是推动习近平新时代中国特色社会主义思想，推进马克思主义学习型政党和学习型社会建设的创新举措．某基层党组织对党员的某天的学习成绩进行了整理，分成5个小组（表示成绩，单位：分，且），根据学习积分绘制出部分频数分布表和部分频数分布直方图，其中第2、第5两组测试成绩人数直方图的高度比为4：1，请结合下列图表中相关数据回答下列问题： 学习积分频数分布表 组别 成绩分 频数 频率 第1组 5 第2组 第3组 15 30% 第4组 10 第5组 （1）填空：____________，____________； （2）补全频数分布直方图： （3）已知该基层党组织中甲、乙两位党员的学习积分分别为61分、65分，现在从第5组中随机选取2人介绍经验，请用列表法或画树状图的方法，求出甲、乙两人中只有1人被选中的概率． 七．解答题（共1小题，满分12分，每小题12分） 22. 已知：二次函数G：（m为常数）． （1）当时，二次函数G的顶点坐标为 ． （2）二次函数G的图象经过点，求的值． （3）该抛物线在 上最高点的纵坐标为y0，直接写出y0与m的函数关系式． （4）点P在二次函数G上，点P与点Q关于点对称，把线段PQ绕点P逆时针旋转得到线段，以、为边作正方形，设点P的横坐标为，直接写出点M或N在二次函数G上时m的值． 八．解答题（共1小题，满分14分，每小题14分） 23. 矩形ABCD中，点P在对角线BD上（点P不与点B重合），连接AP，过点P作PE⊥AP交直线BC于点E． （1）如图1，当AB＝BC时，猜想线段PA和PE的数量关系：　　； （2）如图2，当AB≠BC时．求证： （3）若AB＝8，BC＝10，以AP，PE为边作矩形APEF，连接BF，当PE＝时，直接写出线段BF的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2022年安徽省合肥市中考考前模拟冲刺试题（二） 数学 （考试时间120分钟 试卷满分150分） 一．选择题（共10小题，满分40分，每小题4分） 1. 在四个数5、0、、2中，最大的数是（ ） A. 5 B. 0 C. D. 2 【答案】A 【解析】 【详解】解：∵， ∴最大的数是5． 2. _____，_____（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】根据乘方的定义和同底数幂的乘法法则计算出结果，再根据计算的结果逐项判断即可． 【详解】解：， ． 3. 2020年2月11日，联合国及农业组织向全球发出沙漠蝗虫灾害预警，30多个国家遭蝗虫灾难，巴基斯坦当前蝗虫数目约为4000亿只，4000亿用科学记数法表示为（　　） A. 4×103亿 B. 4×107亿 C. 4×1010亿 D. 4×1011亿 【答案】A 【解析】 【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正整数；当原数的绝对值时，是负整数． 【详解】解：4000亿亿， 故选：． 【点睛】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值． 4. 下列几何体的三视图中，俯视图与主视图一定一致的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】观察每个图形，俯视图即从上方看到的图形，主视图是从正面看到的图形，通过观察比较，即可得出答案． 【详解】解：A、俯视图为矩形，主视图也是矩形， 但是由于矩形的长宽高的具体值不知道， 因此俯视图和主视图不能一定判断一致， 故选项错误，不符合题意； B、俯视图为圆形，主视图也是圆形， 因为是一个球形，所以球的半径都是一致的， 因此主视图和俯视图一定是一致的， 故选项正确，符合题意； C、俯视图为圆形，并且圆形中心有一个点，主视图为三角形， 因此俯视图和主视图不一致， 故选项错误，不符合题意； D、俯视图为圆形，主视图为矩形， 因此俯视图和主视图不一致， 故选项错误，不符合题意， 故选：B． 【点睛】本题考查了三视图的知识，俯视图是从上方看，主视图是从正面看，解题的关键是准确判断每个图形的俯视图和主视图的形状． 5. 如图，在五边形ABCDE中，AB∥CD，∠A＝135°，∠C＝60°，∠D＝150°，则∠E的大小为（　　） A. 60° B. 65° C. 70° D. 75° 【答案】D 【解析】 【分析】先根据多边形的内角和公式求出五边形的内角和，根据AB∥CD得到∠B+∠C=180°，即可求出∠E的大小． 【详解】解：由五边形的内角和公式得（5-2）×180°=540°， ∵AB∥CD， ∴∠B+∠C=180°， ∴∠E=540°-∠A-∠B-∠C-∠D=540°-135°-180°-150°=75°． 故选：D 【点睛】本题考查了多边形的内角和公式，平行线的性质，熟练掌握多边形的内角和公式是解题关键． 6. 下列说法正确的是（ ） A. 计算两个班同学数学成绩的平均分，可以用两个班的平均分除以2即可； B. 10，9，10，12，11，12这组数据的众数是10； C. 若，，，…，的平均数是，那么 D. 若，，，…，的方差是，那么，，，…方差是． 【答案】C 【解析】 【分析】根据平均数，众数，方差的定义和意义，逐一判断选项，即可求解． 【详解】∵两个班同学数学成绩的平均分=两个班总成绩÷两个班级总人数， ∴A错误， ∵10，9，10，12，11，12这组数据的众数是10和12， ∴B错误， ∵，，，…，的平均数是，那么， ∴C正确， ∵若，，，…，的方差是，那么，，，…方差是， ∴D错误， 故选C． 【点睛】本题主要考查平均数，众数，方差的定义和意义，掌握众数的定义，平均数，方差的定义和公式，是解题的关键． 7. 在平面直角坐标系中，点B，C的坐标分别为B（，），C（，）．任意一点A都满足．作的内角平分线，过点B作的垂线交于点F，已知当点A在平面内运动时，点F与坐标原点O的距离为（　　） A. B. C. D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】过C作，垂足为M，交于D，证明，得出，再连接并延长，交于N，证明四边形是个平行四边形，利用全等三角形得出，利用斜边中线等于斜边一半求出即可． 【详解】解：如图：过C作，垂足为M，交于D， ∵平分，且是边上的高， ∴，， ∵， ∴， ∴，， ∴， 即长为定值， 连接并延长，交于N， ∵，， ∴， ∴， ∵B（，），C（，）， ∴， 在和中，， ∴， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴． 故选：B． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质和斜边中线的性质及平行四边形的判定与性质，解题关键是恰当构建全等三角形和平行四边形，得出． 8. 已知实数x、y、z满足，则的最大值是（　　） A. 12 B. 20 C. 28 D. 36 【答案】C 【解析】 【分析】先根据可得，再利用完全平方公式进行化简，由此即可得． 【详解】解：， ， ， ， 即的最大值是28， 故选：C． 【点睛】本题考查了利用完全平方公式进行运算，熟记完全平方公式是解题关键． 9. 如图，在△ABC中，已知MN∥BC，DN∥MC.小红同学由此得出了以下四个结论：①＝；②＝；③＝；④＝.其中正确结论的个数为( ) A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【详解】①∵MN ∥ BC，∴ AN：CN = AM：BM ，该项错误；②∵DN ∥ MC，∴ AD：DM = AN：NC ，再由（1）得 AD：DM = AM：BM，该项正确；③根据（1）知，此项正确；④根据（2）知，此项正确．所以正确的有3个，故选C． 点睛：本题考查平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例． 10. 如图，矩形ABCD中，AB＝2，BC＝4，点P是BC边上的一个动点（点P不与点B，C重合），现将△ABP沿直线AP折叠，使点B落到点B′处；作∠B′PC的角平分线交CD于点E．设BP＝x，CE＝y，则下列图象中，能表示y与x的函数关系的图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据折叠可证明△ABP∽△PCE，得，进而可得函数解析式y＝x（4﹣x）＝﹣x2+2x，即可判断函数图象． 【详解】∵△ABP沿直线AP折叠得到△AB′P， ∴∠APB＝∠APB′， ∵PE平分∠B′PC， ∴∠B′PE＝∠CPE， ∴∠APB′+∠EPB′＝×180°＝90°， ∵∠C＝90°， ∴∠CPE+∠CEP＝90°， ∴∠APB＝∠CEP， ∵∠B＝∠C＝90°， ∴△ABP∽△PCE， ∴， ∵BP＝x，CE＝y，矩形ABCD中，AB＝2，BC＝4， ∴PC＝4﹣x， ∴ ∴y＝x（4﹣x）＝﹣x2+2x． ∴该函数图象是抛物线，开口向下． 故选：D． 【点睛】本题考查了动点问题的函数图象，掌握折叠的性质和相似三角形的判定与性质，是解决本题的关键 二．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分） 11. 根据不等式的性质，将下列不等式变形为或的形式． （1），根据不等式的性质______，不等式两边都______，得_____； （2），根据不等式的性质_____，不等式两边都______，得______； （3），根据不等式的性质______，不等式两边都______，得______． 【答案】 （1） 加上 ； （2） 乘以 ； （3） 除以 【解析】 【分析】（1）根据不等式性质，不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变； （2）根据不等式性质，不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变； （3）根据不等式性质，不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变． 【详解】解：（1），根据不等式的性质，不等式两边都加上，得； （2），根据不等式的性质，不等式两边都乘以，得； （3），根据不等式的性质，不等式两边都除以，得． 12. 分解因式：___． 【答案】## 【解析】 【分析】先提取公因式5，后用和的完全平方公式即可． 【详解】∵， 故答案为． 【点睛】本题考查了因式分解，熟练掌握先提取公因式，后用公式的解题策略是解题的关键． 13. 已知直线与反比例函数的图象交于点，则的值是________． 【答案】15 【解析】 【分析】由于正比例函数和反比例函数图象都是以原点为中心的中心对称图形，因此它们的交点A、B关于原点成中心对称，则有x2=-x1，y2=-y1．由A（x1，y1）在双曲线上可得x1•y1=-5，然后把x2=-x1，y2=-y1代入2x1y2+x2y1即可解决问题． 【详解】解：∵直线与双曲线都是以原点为中心的中心对称图形， ∴它们的交点A、B关于原点成中心对称， ∴x2=-x1，y2=-y1， ∵A（x1，y1）在双曲线上， ∴x1•y1=-5， ∴2x1y2+x2y1=2x1•（-y1）+（-x1）•y1=-3x1•y1=15． 故答案为：15． 【点睛】本题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征、正比例函数及反比例函数图象的对称性等知识，得到A、B关于原点成中心对称是解决本题的关键． 14. 如图，在Rt中，∠C＝90°，AB＝10，BC＝6，点E，F分别在边BC，AC上，沿所在的直线折叠∠C，使点的对应点恰好落在边上，若和相似，则AD的长为______． 【答案】5或6.4 【解析】 【分析】和相似，分两种情况：①若，此时EF∥AB，CD为AB边上的高；②若，由相似三角形角之间的关系，可以推出∠B＝∠ECD与∠A＝∠FCD，从而得到CD＝AD＝BD，即D为AB的中点． 【详解】解：在Rt中，∠C＝90°，AB＝10，BC＝6， ， ①若，连接CD，如图所示： ∵， ∴， ∴EF∥AB， 由折叠性质可知，CD⊥EF， ∴CD⊥AB，即此时CD为AB边上的高， 在Rt中，， 在Rt中，，； ②若， ∵，∠C＝∠C， ∴△CEF∽△CAB， ∴∠CEF＝∠A， 连接CD，如图所示： 由折叠性质可知，∠CEF＋∠ECD＝90°， 又∵∠A＋∠B＝90°， ∴∠B＝∠ECD， ∴BD＝CD， 同理可得：∠A＝∠FCD，AD＝CD， ∴D为AB的中点， ∴AD＝AB＝5， 故填：5或6.4． 【点睛】本题考查的是相似三角形的性质、翻转变换的性质，掌握相似三角形的对应边的比相等、运用分类讨论及数形结合思想是解题的关键． 三．解答题（共2小题，满分16分，每小题8分） 15. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】直接利用二次根式的乘法法则、特殊角的三角函数、绝对值的意义、0指数幂以及幂的乘积性质分别化简，然后从左到右依次计算即可． 【详解】解：原式 ． 【点睛】本题考查了二次根式的乘法法则、特殊角的三角函数、绝对值的意义、0指数幂以及幂的乘积性质，熟练掌握相关运算性质和运算法则是解题关键． 16. 图①、图②均为的正方形网格，点A，B，C在格点上． （1）在图①中确定格点D，并画出以点A，B，C，D为顶点的四边形，使其为轴对称图形，但不是中心对称图形（画一个即可）； （2）在图②中确定格点E，并画出以A，B，C，E为顶点的四边形，使其为中心对称图形（画一个即可）． 【答案】（1）图形见解析； （2）图形见解析 【解析】 【分析】（1）利用中心对称图形和轴对称图形的性质画出符合题意的图形即可； （2）利用中心对称图形和轴对称图形的性质画出符合题意的图形即可． 【小问1详解】 解：如图①，作点B关于直线的对称点D， 四边形即为所求作； 【小问2详解】 解：如图②，四边形即为所求作． 【点睛】本题考查了利用旋转设计图案以及利用轴对称设计图案，正确把握中心对称和轴对称图形的定义是解题关键．如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心． 四．解答题（共2小题，满分16分，每小题8分） 17. “世界鲍鱼看中国，中国鲍鱼看福建，福建鲍鱼看连江．”连江县是中国鲍鱼养殖第一大县，养殖的“绿盘鲍“（也称“皇金鲍”，因其壳大部分呈绿色而得名）从十几粒一斤到一粒一斤，连江鲍鱼养殖业日渐壮大，林老板从连江某鲍鱼养殖场带回大“绿盘鲍”2斤和小“绿盘鲍”9斤，共付金额370元；已知大“绿盘鲍”的每斤价格比小“绿盘饱”的每斤价格多20元请用学过的方程（组）的知识，求该养殖场里大、小“绿盘鲍”的每斤价格分别为多少元？ 【答案】大、小“绿盘鲍”的每斤价格分别50元和30元 【解析】 【分析】审题，明确等量关系，建立一元一次方程求解； 【详解】解：设大“绿盘鲍”的每斤价格为x元,则小的价格为元， 根据题意，得， 解得，， 答：大、小“绿盘鲍”的每斤价格分别50元和30元． 【点睛】本题考查一元一次方程的应用；审题明确等量关系是解题的关键． 18. 有8个算式，排成4行2列 ， ， ， ， （1）同一行中两个算式的结果怎样？ （2）算式和的结果相等吗？ （3）用含自然数的代数式表示发现的规律，并证明． 【答案】（1）同一行中两个算式的结果相等 （2）相等 （3）发现的规律是：， 证明如下： ， ， ． 【解析】 【分析】（1）先分别计算，再比较即可； （2）计算和即可； （3）根据（1）（2）写出规律，化简即可． 【小问1详解】 解：， ； ， ； ， ； ， ； 故同一行中两个算式的结果相等． 【小问2详解】 解：， ， ． 【小问3详解】 解：发现的规律是： 证明略． 五．解答题（共2小题，满分20分，每小题10分） 19. 曹魏古城是许昌的特色建筑之一，具有文化展示、旅游休闲、商业服务、特色居住等主要功能．某数学活动小组借助测角仪和皮尺测量曹魏古城南城门中间大门的高度．如图，矩形是中间大门的截面图，他们先在城门南侧点C处测得点A的仰角为58°，然后沿直线从点C处穿过城门到达点D，从点D处测得点B的仰角为45°，点C到点D的距离为38米，的距离为18米，求曹魏古城南城门中间大门的高度．（结果精确到1米；参考数据：，，） 【答案】12m 【解析】 【分析】在直角三角形AEC与直角三角形BFD中，利用三角函数把CE和FD用AE表示出来，再根据CD=CE+EF+FD得到关于AE的方程，解方程即可． 【详解】由题意得CD=38m，EF=18m ∵矩形 ∴∠AEC=∠BFD=90°，AE=BF 则， ∵CD=CE+EF+FD ∴ 解得AE≈12 故曹魏古城南城门中间大门的高度约为12m． 【点睛】本题考查解直角三角形的应用，熟练掌握锐角三角函数的基本定义是解题关键． 20. 如图，与为的直径，，点E在上，连接交延长线于点F，连接，交于点G． （1）求证：； （2）若，求． 【答案】（1）证明：∵为的直径，， ， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴； （2）2 【解析】 【分析】（1）先证，再利用两组对应角相等的三角形相似即可证明结论； （2）先求出，在中，设，则，由三角函数得，在中，利用余弦得 ，再求得的长度为，即可得出结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图：连接， ∵，， ∴， ∵为的直径，， ， ∴， 设，则， ∴， ∴x， ∵， 在中， ， ∴， ∴， ∴． 六．解答题（共1小题，满分12分，每小题12分） 21. 由中宣部建设的“学习强国”学习平台正式上线，这是推动习近平新时代中国特色社会主义思想，推进马克思主义学习型政党和学习型社会建设的创新举措．某基层党组织对党员的某天的学习成绩进行了整理，分成5个小组（表示成绩，单位：分，且），根据学习积分绘制出部分频数分布表和部分频数分布直方图，其中第2、第5两组测试成绩人数直方图的高度比为4：1，请结合下列图表中相关数据回答下列问题： 学习积分频数分布表 组别 成绩分 频数 频率 第1组 5 第2组 第3组 15 30% 第4组 10 第5组 （1）填空：____________，____________； （2）补全频数分布直方图： （3）已知该基层党组织中甲、乙两位党员的学习积分分别为61分、65分，现在从第5组中随机选取2人介绍经验，请用列表法或画树状图的方法，求出甲、乙两人中只有1人被选中的概率． 【答案】（1）4，32％（2）直方图见解析；(3) 【解析】 【分析】（1）先利用第3组的频数除以它所占的百分比得到调查总人数，再计算出2组和第5组的总人数，接着根据第2、第5两组测试成绩人数直方图的高度比为得到，第2组的人数为16人，从而计算出的值； （2）利用第2、5组的人数补全直方图； （3）设甲为，乙为，另外两人用、表示，画树状图展示所有12种等可能的结果数，找出甲、乙两人中只有1人被选中的结果数，然后根据概率公式计算． 【详解】解：（1）调查的总人数为（人， 第2组和第5组的人数为， 第2、第5两组测试成绩人数直方图的高度比为， ， 第2组的人数为（人 ； 故答案为4；； （2）由（1）可知，补全频数分布直方图如图所示： （3）设甲为，乙为，另外两人用、表示，画树状图为： 共有12种等可能的结果数，其中甲、乙两人中只有1人被选中的结果数为8， 所以甲、乙两人中只有1人被选中的概率． 【点睛】本题考查了频数直方图和列表法与树状图法，利用列表法或树状图法展示所有可能的结果求出，再从中选出符合事件或的结果数目，然后根据概率公式计算事件或事件 的概率．也考查了统计图． 七．解答题（共1小题，满分12分，每小题12分） 22. 已知：二次函数G：（m为常数）． （1）当时，二次函数G的顶点坐标为 ． （2）二次函数G的图象经过点，求的值． （3）该抛物线在 上最高点的纵坐标为y0，直接写出y0与m的函数关系式． （4）点P在二次函数G上，点P与点Q关于点对称，把线段PQ绕点P逆时针旋转得到线段，以、为边作正方形，设点P的横坐标为，直接写出点M或N在二次函数G上时m的值． 【答案】（1）； （2）或； （3）； （4）m的值为或． 【解析】 【分析】（1）把代入函数关系式，化为顶点式即可； （2）把代入函数关系式，解一元二次方程即可求解； （3）将函数解析式化为顶点式，确定对称轴，再按对称轴在范围内和不在范围内分情况讨论，根据函数增减性确定关系式即可； （4）先由点P的横坐标得到点P的坐标，然后由中点公式求得点Q的坐标，然后由正方形的性质求得m的值即可． 【小问1详解】 解：当时，， 二次函数G的顶点坐标为． 【小问2详解】 解：将点代入， 得， 解得，， 故的值为或． 【小问3详解】 解：， 二次函数G的对称轴为直线 ， 当，即时， 抛物线在上的函数值随x的增大而增大， 当时，函数值最大， ， 当 ，即时， 抛物线在上的函数值随x的增大先增大后减小， 当时，函数值最大， ， 综上所述，． 【小问4详解】 解：如图，过点P作轴，过点Q作于H，过点M作于K， 则 ， ， 四边形为正方形， ，， ， ， 在和中， ， ， ， ， 点P的横坐标为， 的坐标为 ， 点P与点Q关于点对称， ， ， ， ， ， ， 四边形为正方形， ， 当点M在抛物线上时，， 解得：； 当点N在抛物线上时，， 解得：； 综上所述，m的值为或． 八．解答题（共1小题，满分14分，每小题14分） 23. 矩形ABCD中，点P在对角线BD上（点P不与点B重合），连接AP，过点P作PE⊥AP交直线BC于点E． （1）如图1，当AB＝BC时，猜想线段PA和PE的数量关系：　　； （2）如图2，当AB≠BC时．求证： （3）若AB＝8，BC＝10，以AP，PE为边作矩形APEF，连接BF，当PE＝时，直接写出线段BF的长． 【答案】（1）线段PA和PE的数量关系为：PA＝PE，理由见解析；（2）见解析；（3）线段BF的长为或 【解析】 【分析】（1）过点P作PM⊥AB于M，PN⊥BC于，根据正方形的性质，可证得PM=PN， ∠APM＝∠EPN，即可证得△APM≌△EPN，得到PA＝PE （2）过点P作PM⊥AB于M，PN⊥BC于N，根据矩形的性质可证得∠APM＝∠EPN，再证明△APM∽△EPN，得到再证明△BPM∽△BDA，△BPN∽△BDC， 得到相似比，，即可得出 （3）①当P在O的右上方时，由（2）得：，得PA长度，再求出BD、AO长度， 因为tan∠ABD＝可求得BO，利用勾股定理求得OP，即可求出BP，根据四边形APEF是矩形，可求出PF＝AE长度，QB、QA，证得点A、P、E、B、F五点共圆，AE、PF为圆的直径，所以∠PBF＝90°，即可求得BF． ②当P在O的左下方时，用同样的方法可求得AO、BO、OP、PF、BP，可得：点A、P、E、B、F五点共圆，AE、PF为圆的直径，所以∠PBF＝90°，利用勾股定理即可求得BF． 【详解】（1）线段PA和PE的数量关系为：PA＝PE，理由如下： 过点P作PM⊥AB于M，PN⊥BC于N，如图1所示： ∵四边形ABCD是矩形，AB＝BC， ∴四边形ABCD是正方形， ∴∠ABC＝90°，BD平分∠ABC， ∴PM＝PN， ∴四边形MBNP是正方形， ∴∠MPN＝90°， ∵PE⊥AP， ∴∠APE＝90°， ∴∠APM+∠MPE＝90°，∠EPN+∠MPE＝90°， ∴∠APM＝∠EPN， 在△APM和△EPN中，， ∴△APM≌△EPN（ASA）， ∴PA＝PE， 故答案为：PA＝PE； （2）过点P作PM⊥AB于M，PN⊥BC于N，如图2所示： ∵四边形ABCD是矩形， ∴AD＝BC，CD＝AB，AD⊥AB，CD⊥BC，∠ABC＝90°， ∴四边形MBNP是矩形， ∴∠MPN＝90°， ∵PE⊥AP， ∴∠APE＝90°， ∴∠APM+∠MPE＝90°，∠EPN+∠MPE＝90°， ∴∠APM＝∠EPN， ∵∠AMP＝∠ENP＝90°， ∴△APM∽△EPN， ∴ ∵PM⊥AB，PN⊥BC，AD⊥AB，CD⊥BC， ∴PM∥AD，PN∥CD， ∴△BPM∽△BDA，△BPN∽△BDC， ∴，， ∴， ∴ ∴ （3）连接AE、PF交于Q，连接QB，过点A作AO⊥BD于O， ①当P在O的右上方时，如图3所示： 由（2）得： ∴PA＝PE＝ ∵四边形ABCD是矩形， ∴AD＝BC＝10，∠BAD＝90°， ∴BD＝ ∵AO⊥BD， ∵△ABD的面积＝ ∴ ∵tan∠ABD＝ ∴ 解得：BO＝ 由勾股定理得：OP＝ ∴BP＝BO+OP＝ ∵四边形APEF是矩形， ∴∠AEP＝90°，AE＝PE，QA＝QE＝QP＝QF， ∴PF＝AE＝ ∵∠ABE＝90°， ∴QB＝AE＝QE， ∴QA＝QE＝QP＝QF＝QB， ∴点A、P、E、B、F五点共圆，AE、PF为圆的直径， ∴∠PBF＝90°， ∴BF＝ ②当P在O的左下方时，如图4所示： 同理可得：AO＝，BO＝，OP＝，PF＝， 则BP＝BO﹣OP＝， 同理可得：点A、P、E、B、F五点共圆，AE、PF为圆的直径， ∴∠PBF＝90°， ∴BF＝ 综上所述，当PE＝时，线段BF的长为或． 故答案为：或 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质，矩形的基本性质，利用勾股定理解直角三角形，以及直径所对的圆周角是直角． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $