精品解析：2022-2023年沪科版九年级数学下册24.2圆的基本性质-圆心角、弧、弦、弦心距经典例题合肥四十五中章节测试卷

圆心角、弧、弦、弦心距经典例题 题型一：圆心角、弧、弦、弦心距概念考察 （2021浦东新区） 1. 下列四个命题： ①同圆或等圆中，相等的弦所对的弧相等； ②同圆或等圆中，相等的弧所对的弦相等； ③同圆或等圆中，相等的弦的弦心距相等； ④同圆或等圆中，相等的弧所对的圆心角相等． 真命题的个数有（　　） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 （2022•余姚市） 2. 下列语句中，正确的有（　　） ①相等的圆心角所对的弧相等； ②等弦对等弧； ③长度相等的两条弧是等弧； ④经过圆心的每一条直线都是圆的对称轴． A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 （2022秋•武汉期末） 3. 如图，⊙O中，弦AB⊥CD，垂足为E，F为的中点，连接AF、BF、AC，AF交CD于M，过F作FH⊥AC，垂足为G，以下结论：①；②HC＝BF：③MF＝FC：④，其中成立的个数是（　　） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【变式1-3】 4. 如图，是直径所在的直线，且平分，垂直，垂直，则：①；②弧等于弧；③；④弧等于弧；⑤；其中结论正确的是_____（填序号） 题型二：利用圆心角、弧、弦的关系求角度 （2022•灌阳县一模） 5. 如图，在中，，，则（ ） A. B. C. D. （2020•项城市三模） 6. 如图，经过五边形的四个顶点，若弧等于，，，则弧的度数为（ ） A. B. C. D. （2021•下城区一模） 7. 如图，点A，点B，点C在上，分别连接，，．若，，则______． 题型三：利用圆心角、弧、弦的关系求线段长度 （2022•桂平） 8. 如图，在RtACB中，∠ACB=60°，以直角边AB为直径的⊙O交线段AC于点E，点M是弧AE的中点，OM交AC于点D，⊙O 的半径是6，则MD的长度为（ ） A. B. C. 3 D. （2020•滨海） 9. 如图所示，是的直径，点A是半圆上的一个三等分点，点B是的中点，点是点B关于所在直线的对称点，的半径为1，则的长为（ ） A. 1 B. C. D. 2 （2022•渝中区） 10. 如图，AB是⊙的直径，点D是弧AC的中点，过点D作于点E，延长DE交⊙于点F，若，⊙的直径为10，则AC长为（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 题型四：利用圆心角、弧、弦的关系求面积 （2022秋•朝阳区） 11. 如图，在⊙O中，＝，CD⊥OA于点D，CE⊥OB于点E． （1）求证：CD＝CE； （2）若∠AOB＝120°，OA＝2，求四边形DOEC的面积． （2022•海丰县模拟） 12. 如图，A，B是⊙O上的点，∠AOB＝120°，C是的中点，若⊙O的半径为5，则四边形ACBO的面积为（ ） A. 25 B. 25 C. D. 题型五： 弧、弦、角、矩中的证明问题 （2021•武汉） 13. 如图，在中，弦、交于点，且．求证：． （2022秋•自贡期末） 14. 如图，为的直径，，于点，交于，连接．求证：． （2022•眉山模拟） 15. 如图，⊙中，弦与相交于点,,连接. 求证：⑴； ⑵. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 圆心角、弧、弦、弦心距经典例题 题型一：圆心角、弧、弦、弦心距概念考察 （2021浦东新区） 1. 下列四个命题： ①同圆或等圆中，相等的弦所对的弧相等； ②同圆或等圆中，相等的弧所对的弦相等； ③同圆或等圆中，相等的弦的弦心距相等； ④同圆或等圆中，相等的弧所对的圆心角相等． 真命题的个数有（　　） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】利用圆的有关性质分别判断后即可确定正确的选项． 【详解】解：①同圆或等圆中，相等的弦所对的弧不一定相等，故原说法错误，是假命题，不符合题意； ②同圆或等圆中，相等的弧所对的弦相等，正确，是真命题，符合题意； ③同圆或等圆中，相等的弦的弦心距相等，正确，是真命题，符合题意； ④同圆或等圆中，相等的弧所对的圆心角相等，正确，是真命题，符合题意， 真命题有3个， 故选：C． 【点睛】考查了真假命题的判断，解题的关键是掌握圆的有关性质，难度不大． （2022•余姚市） 2. 下列语句中，正确的有（　　） ①相等的圆心角所对的弧相等； ②等弦对等弧； ③长度相等的两条弧是等弧； ④经过圆心的每一条直线都是圆的对称轴． A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】A 【解析】 【分析】根据圆、圆心角、弧、弦的相关知识进行解答即可． 【详解】解：圆心角性质是在同圆或等圆中相等的圆心角所对的弧相等,因此①错误； 同圆或等圆中，等弦所对的劣弧或优弧相等，因此②错误； 等弧是能够完全重合的弧是等弧,长度相等的弧不一定是等弧.因此③错误； 经过圆心的直线是圆的对称轴,因此④正确． 故选A． 【点睛】本题主要考查圆的相关概念和圆心角，弧与弦的概念，解决本题的关键是要熟练掌握圆的相关性质和定理． （2022秋•武汉期末） 3. 如图，⊙O中，弦AB⊥CD，垂足为E，F为的中点，连接AF、BF、AC，AF交CD于M，过F作FH⊥AC，垂足为G，以下结论：①；②HC＝BF：③MF＝FC：④，其中成立的个数是（　　） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】根据弧，弦，圆心角之间的关系，圆周角定理以及三角形内角和定理一一判断即可． 【详解】解：∵F为的中点， ∴，故①正确， ∴∠FCM＝∠FAC， ∵∠FCG＝∠ACM+∠FCM，∠AME＝∠FMC＝∠ACM+∠FAC， ∴∠AME＝∠FMC＝∠FCG＞∠FCM， ∴FC＞FM，故③错误， ∵AB⊥CD，FH⊥AC， ∴∠AEM＝∠CGF＝90°， ∴∠CFH+∠FCG＝90°，∠BAF+∠AME＝90°， ∴∠CFH＝∠BAF， ∴， ∴HC＝BF，故②正确， ∵∠AGF＝90°， ∴∠CAF+∠AFH＝90°， ∴＝180°， ∴＝180°， ∴，故④正确， 故选：C． 【点评】本题考查圆心角，弧，弦之间的关系，三角形内角和定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考选择题中的压轴题． 【变式1-3】 4. 如图，是直径所在的直线，且平分，垂直，垂直，则：①；②弧等于弧；③；④弧等于弧；⑤；其中结论正确的是_____（填序号） 【答案】①②④⑤ 【解析】 【分析】利用“弧、弦、弦心距之间的关系”，可得①、②正确；证明，得到，可得④、⑤正确，即可找到全部正确答案． 【详解】解：平分，垂直，垂直，则， 即弦，的弦心距相等，因而，弧等于弧，故①、②正确； 在直角三角形中，，故③错误； 如图，连接， ， ， ， ，垂直，垂直， ， ，故⑤正确； ， ， ， ， 弧等于弧，故④正确； 其中结论正确的是①②④⑤． 题型二：利用圆心角、弧、弦的关系求角度 （2022•灌阳县一模） 5. 如图，在中，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据弧，弦，圆心角的关系，解答即可． 本题考查了弧，弦，圆心角的关系，熟练掌握关系是解题的关键． 【详解】解：∵在中，，， ∴． 故选：B． （2020•项城市三模） 6. 如图，经过五边形的四个顶点，若弧等于，，，则弧的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了圆心角、弧、弦的关系，多边形内角与外角，连接，由半径相等得到，，都为等腰三角形，根据，，求出与的度数，根据的度数确定出度数，进而求出的度数，即可确定出的度数． 【详解】解：连接， ∵， ∴，，，皆为等腰三角形， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 则度数为． 故选：B． （2021•下城区一模） 7. 如图，点A，点B，点C在上，分别连接，，．若，，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查圆内相关概念和定理，三角形内角和定理等内容；掌握圆内相关概念是解题基础． 首先连接，，然后根据等弦对等圆心角得到，再根据三角形内角和得到，再由，，即可得到结果． 【详解】连接，， ， ，， ， ， ， ，， ， 故答案为：． 题型三：利用圆心角、弧、弦的关系求线段长度 （2022•桂平） 8. 如图，在RtACB中，∠ACB=60°，以直角边AB为直径的⊙O交线段AC于点E，点M是弧AE的中点，OM交AC于点D，⊙O 的半径是6，则MD的长度为（ ） A. B. C. 3 D. 【答案】C 【解析】 【分析】由垂径定理得到OM⊥AE，求得∠A=30°，由含30度角的直角三角形的性质求得OD =3，即可求得MD的长． 【详解】解：∵点M是 弧AE的中点， ∴OM⊥AE， ∵∠ACB=60°， ∴∠A=30°， ∵⊙O 的半径是6， ∴OA=OM=6， 在Rt△AOD中，∠A=30°，OA=6， ∴OD=OA=3， ∴MD=OM-OD=3， MD的长度为3， 故选：C． 【点睛】本题考查了垂径定理，含30度角的直角三角形的性质，熟练掌握垂径定理的内容是解题的关键． （2020•滨海） 9. 如图所示，是的直径，点A是半圆上的一个三等分点，点B是的中点，点是点B关于所在直线的对称点，的半径为1，则的长为（ ） A. 1 B. C. D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查圆弧与圆心角之间的关系以及勾股定理的应用、轴对称性质，熟记圆的性质并灵活应用是解题关键．如图，连接、，由题意可得，，由点B是的中点可得，即，所以，进而得出， 由勾股定理即可求出的长度． 【详解】解：如图，连接、， 由题意可得，， 点B是的中点， ， ， 点是点B关于所在直线的对称点， ， ， 又， ． 故选：B． （2022•渝中区） 10. 如图，AB是⊙的直径，点D是弧AC的中点，过点D作于点E，延长DE交⊙于点F，若，⊙的直径为10，则AC长为（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】D 【解析】 【分析】根据垂径定理求出，，求出，求出，求出的长，再求出长，即可求出答案． 【详解】解：连接，如图： ，过圆心， ，， 为弧的中点， ， ， ， 的直径为10， ， ， ， 在中，由勾股定理得：， ， ， 故选：D． 【点睛】本题考查了垂径定理，圆心角、弧、弦之间的关系，勾股定理等知识点，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，是中考常见题目． 题型四：利用圆心角、弧、弦的关系求面积 （2022秋•朝阳区） 11. 如图，在⊙O中，＝，CD⊥OA于点D，CE⊥OB于点E． （1）求证：CD＝CE； （2）若∠AOB＝120°，OA＝2，求四边形DOEC的面积． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）连接OC，根据圆心角、弧、弦的关系定理得到∠AOC＝∠BOC，根据角平分线的性质定理证明结论； （2）根据直角三角形的性质求出OD，根据勾股定理求出CD，根据三角形的面积公式计算，得到答案． 【小问1详解】 证明：连接OC， ∵＝， ∴∠AOC＝∠BOC， 又CD⊥OA，CE⊥OB， ∴CD＝CE； 【小问2详解】 解：∵∠AOB＝120°， ∴∠AOC＝∠BOC＝60°， ∵∠CDO＝90°， ∴∠OCD＝30°， ∴OD＝OC＝1， ∴CD＝＝＝， ∴△OCD的面积＝×OD×CD＝， 同理可得，△OCE的面积＝×OE×CE＝， ∴四边形DOEC的面积＝． 【点睛】本题考查的是圆心角、弧、弦的关系定理、勾股定理、直角三角形的性质，在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等． （2022•海丰县模拟） 12. 如图，A，B是⊙O上的点，∠AOB＝120°，C是的中点，若⊙O的半径为5，则四边形ACBO的面积为（ ） A. 25 B. 25 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据在同圆或等圆中，相等的弧所对的圆心角相等得到∠AOC=∠BOC=60°，易得△OAC和△OBC都是等边三角形，即可解决问题． 【详解】解：连OC，如图， ∵C是的中点，∠AOB=120°， ∴∠AOC=∠BOC=60°， 又∵OA=OC=OB， ∴△OAC和△OBC都是等边三角形， ∴S四边形AOBC=． 故选：D． 【点睛】本题考查了圆心角、弧、弦的关系：在同圆或等圆中，相等的弧所对的圆心角相等．也考查了等边三角形的判定与性质． 题型五： 弧、弦、角、矩中的证明问题 （2021•武汉） 13. 如图，在中，弦、交于点，且．求证：． 【答案】 证明：， ， ， 即， ， 在和中， ， ， ． 【解析】 【分析】本题考查的是圆周角定理、全等三角形的判定与性质、圆心角、弧、弦的关系定理的推论，在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等． 思路是根据圆心角、弧、弦的关系定理的推论得到，结合图形得到，进而得到，根据全等三角形的判定即可证明结论． 【详解】略 （2022秋•自贡期末） 14. 如图，为的直径，，于点，交于，连接．求证：． 【答案】证明过程见详解 【解析】 【分析】根据，得，构造直角形，，，，可证，由此即可求证． 【详解】证明：如图所示，连接， ∵， ∴， ∵为直径， ∴， ∴， ∵于， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查圆的性质，等腰三角形的性质，掌握圆内同弧对等角，等腰三角形中等边对等角，等角对等边的性质是解题的关键． （2022•眉山模拟） 15. 如图，⊙中，弦与相交于点,,连接. 求证：⑴； ⑵. 【答案】 证明（1）∵AB=CD， ∴，即， ∴； （2）∵， ∴AD=BC， 又∵∠ADE=∠CBE，∠DAE=∠BCE， ∴△ADE≌△CBE（ASA）， ∴AE=CE． 【解析】 【分析】（1）由AB=CD知，即，据此可得答案； （2）由知AD=BC，结合∠ADE=∠CBE，∠DAE=∠BCE可证△ADE≌△CBE，从而得出答案． 【详解】（1）略 （2）略 【点睛】本题主要考查圆心角、弧、弦的关系，圆心角、弧、弦三者的关系可理解为：在同圆或等圆中，①圆心角相等，②所对的弧相等，③所对的弦相等，三项“知一推二”，一项相等，其余二项皆相等． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $