1.2 集合的基本关系同步练-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

**基本信息** 以“基础认知-理解应用-综合提升”分层，覆盖集合基本关系全知识点，通过定义强化、关系判断、参数求解递进设计，培养抽象能力与推理意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础认知层|Venn图、子集、空集等定义与符号|填空+表格形式，强化符号意识与概念记忆| |理解应用层|集合关系判断、子集个数计算|单选为主，结合具体集合情境发展推理意识| |综合提升层|参数求解、集合相等证明、空集辨析|多选+解答题，通过含参问题培养抽象能力与批判性思维|

人教A版必修第一册同步课后作业 216个知识点 · 312道经典例题 ·216个题型集训 第一章 集合与常用逻辑用语 同步课后作业 §1.2 集合的基本关系 题型集训 PART 01 基础知识 1. 定义：用平面上______的内部代表集合，这种图称为Venn图． 【答案】封闭曲线 2. 子集 定义：对于两个集合、，如果集合中_______一个元素都是集合中的元素，就称集合为集合的子集. Venn图： 符号表示：__________或___________. 【答案】 任意 3. 集合相等 【答案】任何  任何     4. 真子集 【答案】；；AB；BA 5. 子集的有关结论 （1）任何一个集合是它本身的______，即______． （2）对于集合、、，如果，且，那么______． 【答案】 子集 6. 空集 定义 我们把___________的集合，叫做空集 记法 __________ 规定 空集是任何集合的___________，即 特性 （1）空集只有一个子集，即它的本身， （2）若，则___________A 【答案】 不含有任何元素 子集  PART 02 题型集训 题型01 两个集合的包含关系问题 角度1：判断两个集合的包含关系 1. 设M={菱形}，N={平行四边形}，P={四边形}，Q={正方形}，则这些集合之间的关系为 A． B． C． D． 【答案】B 【详解】∵四个边都相等的矩形是正方形，有一个角是直角的菱形是正方形， ∴正方形应是 的一部分，是 的一部分， ∵矩形形、正方形、菱形都属于平行四边形， ∴它们之间的关系是： 2. 已知集合，.则集合M，P之间的关系为（    ） A．M=P B． C． D． 【答案】B 【详解】因为， ， 所以. 3. 已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意知，， 所以. 4. 设集合，则下列关系中正确的是（    ） A． B． C．PM D． 【答案】B 【详解】由，所以 5. 已知，，则以下结论正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由知为集合的子集， 即可取元素为， 所以是集合的一个元素，即 6. （多选）集合，则下列关系错误的是（     ） A． B． C． D． 【答案】AB 【详解】 时，表示所有奇数，表示所有整数， 所以且，所以CD正确. 7. 已知集合，，，则M、N、P的关系满足（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】， ， ， 所以. 8. 已知集合和，那么（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由，得到， 所以， 又，所以， 9. 已知集合，则与之间的关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】，， 故错误；错误，错误；正确. 角度2：根据两个集合的包含关系求参数 1. 已知集合有且仅有2个子集，则实数可以取的值为（   ） A． B．0 C． D．1 【答案】ABC 【详解】因为集合只有两个子集，所以该集合恰有1个元素， 即：方程有且仅有1个解或有两个相等的实数解， 则当时，方程有一个解； 当时，，即：时，方程有1个解， 故或时，方程有1个解. 2. 设是实数，集合，，若，则的取值集合是_____． 【答案】 【详解】由题意，集合， 若，且集合中至多有一个元素， 当时，即时，满足题意； 当时，即，即时，满足题意； 当时，即，即时，满足题意； 综上，的取值集合是. 3. 集合，，若，则实数m的取值范围（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】已知，集合，，可得. 所以的取值范围是. 4. 已知集合，若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】依题意，，由于，所以，即的取值范围是. 5. 已知，集合有8个子集，则的一个值为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】A 【详解】由题意得集合中有8个子集， 又 ，集合中有三个元素，即有三个正因数， 而在正整数中，恰有3个正因数的数是质数的平方， 设为质数，则，此时正因数为， ， ，则或3， 的值可以为4或9，故A正确． 6. 已知集合，，若，则实数组成的集合为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】，，，或， 解得或或，故实数组成的集合为. 7. 已知集合，若，则 m 的取值范围为__________． 【答案】 【详解】∵， ∴当时，，所以， 当时，，解得， 综上所述，的取值范围是． 故答案为：. 8. （多选）集合或，若，则整数可能的取值（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【详解】∵，∴分和两种情况讨论： ①当时，即无解，此时，满足题意； ②当时，即有解，当时，可得，要使， 则需要，解得； 当时，可得，要使，则需要， 解得， 综上，整数可能的取值是. 9. 已知集合，，若，求a的取值范围． 【答案】 【详解】当时，，解得， 当时，因为，则，解得， 综上. 题型02 求集合子集的个数 1. 集合的非空子集的个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【详解】因为，解得，所以， 所以集合A的非空子集的个数为. 2. 若一个集合含有n个元素，则称该集合为“n元集合”.已知集合，则其“2元子集”的个数为（    ） A．6 B．8 C．9 D．10 【答案】A 【详解】集合的所有“2元子集”为，，，，，共6个. 3. 集合的子集个数为（    ） A．4 B．8 C．16 D．64 【答案】B 【详解】集合有3个元素， 故该集合有个子集． 4. 已知集合满足，那么这样的集合M的个数为（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】C 【详解】因为，所以集合可以为：， 共8个 5. 设集合，且，若，，则集合M的非空真子集的个数为（    ） A．4 B．6 C．7 D．15 【答案】B 【详解】根据题意知，集合且，其非空真子集的个数为. 6. 设集合，若的所有子集中的所有元素之和为32，则（　　） A．0 B． C．1 D．2 【答案】A 【详解】由题意可知，集合的非空真子集的个数为， 集合中的每一个元素在其非空真子集中出现的次数为次， 所以的所有子集中的所有元素之和为， 所以． 7. 已知集合A，B，C，其中A有10个元素，C有15个元素，则满足BC的集合B的个数为（    ） A．32 B．31 C．30 D．5 【答案】C 【详解】解：因为集合A，B，C，其中A有10个元素，C有15个元素，且BC， 所以集合B的个数可以看成由个元素构成的集合的非空真子集的个数， 有个， 所以集合B的个数为30. 8. 设集合，则集合的非空真子集的个数为__________. 【答案】14 【详解】要使，且，则或或或， 所以，或或或. 所以，. 集合的子集有，，，，，，，，，，，，，，，共16个. 去掉和，集合的非空真子集的个数为. 9. 已知集合A，B，C，其中A有10个元素，C有15个元素，则满足BC的集合B的个数为（    ） A．32 B．31 C．30 D．5 【答案】C 【详解】解：因为集合A，B，C，其中A有10个元素，C有15个元素，且BC， 所以集合B的个数可以看成由个元素构成的集合的非空真子集的个数， 有个， 所以集合B的个数为30. 10. 集合有8个元素，设M的所有非空子集为（，2，…，255），每一个中所有元素乘积为，则__________. 【答案】 【详解】的所有非空子集为分为以下几种情况， ①含0的子集个，这些子集均满足乘积为0， ②不含0，不含，但含有其他元素的子集，有（去掉空集）个， ③不含0，含有且含有其他元素的子集，有个， ④只含的子集一个，此时乘积为， 其中②③中的集合是一一对应的，且为相反数，其乘积之和为0， 综上，. 题型03 利用集合相等的判断或求参数 1. 下列与集合表示同一集合的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】对于A，集合中只有一个元素，所以A错误， 对于B，集合的元素是点，所以B错误， 对于C，由，解得或， 所以，故C正确， 对于D，集合中有二个元素，，所以D错误， 2. 下列集合中表示同一集合的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】对AD，两集合的元素类型不一致，则，AD错； 对B，由集合元素的无序性可知，，B对； 对C，两集合的唯一元素不相等，则，C错 3. （多选）已知集合，当时，的值可以是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】AC 【详解】i.当时，； ii.当时，，此时，则． 4. 已知，，若集合，则的值为________． 【答案】1 【详解】根据题意，，，所以， 故，则， 故，则，解得． 当时，与集合的互异性相矛盾，故舍去， 当，时，，符合题意， 所以． 5. 已知，，且，则_______． 【答案】 【详解】因为，，且，则，解得， 因此，. 故答案为：. 6. 设集合，若，则__________. 【答案】 【详解】，， 且且且， 或， 当时，且，，. 当时，解得，且，不成立. 综上可得，. 7. 已知集合A=，B=｛0,,1｝（a,b∈R），若A=B，则________. 【答案】1 【详解】集合A=，B=｛0,,1｝（a,b∈R）. 由A＝B， 得①解得此时集合A中，＝0与元素0重复，，违反互异性； ②解得，此时A＝B＝，符合题意. 综上，，所以. 8. 已知，，若，则（    ） A．0 B．1 C． D． 【答案】C 【详解】因为，所以或，解得或或， 又集合中的元素需满足互异性，所以， 则． 9. 已知集合，当时，的值可以是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】AC 【详解】i.当时，； ii.当时，，此时，则． 题型04 空集的概念与辨析 1. 下列符号表述正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】根据分别表示正整数集、有理数集可知AB错误； 由空集的意义可知C错误；根据空集是任何集合的子集可知D正确. 2. 下列关系中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为空集不含任何元素，且空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集， 所以，，，不是的子集，故ABD错误，C正确 3. （多选）下列关系中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【详解】选项A：空集中没有元素，故A错误； 选项B：中只有一个元素，故B正确； 选项C，D：空集是任意集合的子集，故C，D正确 4. 下列四个说法中，正确的有（    ） ①空集没有子集； ②空集是任何集合的真子集； ③若，则； ④任何集合至少有两个子集． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】A 【详解】①空集是任何集合的子集，所以①错； ②空集是任何非空集合的真子集，所以②错； ③空集是任何集合的子集，集合不一定等于空集，所以③错； ④空集只有自己本身一个子集，所以④错. 5. 下列表示正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】对于A，，故A错误； 对于B，，故B正确； 对于C，，故C错误； 对于D，，故D错误. 6. 已知集合，表示空集，则下列结论错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】 ，，，，A，B，D正确，∵表示以为元素的集合，而集合A中不含元素， ∴不是A的子集。故C不对 7. （多选）下列集合是空集的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AB 【详解】解：， 无解，为空集，A符合题意； ，， ∴ 方程解为空集，B符合题意； 由得，故C不符合题意； 由得 ，即 ， 故D不符合题意． 8. 下列各式中，正确的是（    ） ①   ②   ③   ④   ⑤   ⑥ ⑦   ⑧ A．②⑤⑦⑧ B．②⑤⑦ C．③⑤⑦⑧ D．①⑤⑥⑦ 【答案】A 【分析】利用集合中元素的性质，元素与集合、集合与集合之间的关系依次判断即可. 【详解】对于①②③，是空集，空集是任意集合的子集，故正确，余者不正确，故①③错误，②正确； 对于④⑤，元素与集合之间的关系用“”或“”表示，故不正确，成立，故④错误，⑤正确； 对于⑥⑦，集合与集合之间是包含或不包含的关系，故不正确，正确，故⑥错误，⑦正确； 对于⑧，由集合中元素的无序性，可知，故正确，故⑧正确； 综上：正确的命题有②⑤⑦⑧. 9. 不等式组的解集为，则实数的取值范围是_____________. 【答案】 【详解】解：∵不等式组的解集为， ①当时，由求得；由，求得，故不等式组的解集为，故不满足条件； ②当时，由求得；由，求得， 若，即时，不等式组的解集为，满足条件； 若，即时，不等式组的解集为，不满足条件， 综上可得实数的取值范围是. 第 1 页 共 7 页 学科网（北京）股份有限公司 $人教A版必修第一册同步课后作业 216个知识点 · 312道经典例题 ·216个题型集训 第一章 集合与常用逻辑用语 同步课后作业 §1.2 集合的基本关系 题型集训 PART 01 基础知识 1. 定义：用平面上______的内部代表集合，这种图称为Venn图． 2. 子集 定义：对于两个集合、，如果集合中_______一个元素都是集合中的元素，就称集合为集合的子集. VeNN图： 符号表示：__________或___________. 3. 集合相等 4. 真子集 5. 子集的有关结论 （1）任何一个集合是它本身的______，即______． （2）对于集合、、，如果，且，那么______． 6. 空集 定义 我们把___________的集合，叫做空集 记法 __________ 规定 空集是任何集合的___________，即 特性 （1）空集只有一个子集，即它的本身， （2）若，则___________A PART 02 题型集训 题型01 两个集合的包含关系问题 角度1：判断两个集合的包含关系 1. 设M={菱形}，N={平行四边形}，P={四边形}，Q={正方形}，则这些集合之间的关系为 A． B． C． D． 2. 已知集合，.则集合M，P之间的关系为（    ） A．M=P B． C． D． 3. 已知集合，则（    ） A． B． C． D． 4. 设集合，则下列关系中正确的是（    ） A． B． C．PM D． 5. 已知，，则以下结论正确的是（     ） A． B． C． D． 6. （多选）集合，则下列关系错误的是（     ） A． B． C． D． 7. 已知集合，，，则M、N、P的关系满足（    ） A． B． C． D． 8. 已知集合和，那么（　　） A． B． C． D． 9. 已知集合，则与之间的关系是（    ） A． B． C． D． 角度2：根据两个集合的包含关系求参数 1. 已知集合有且仅有2个子集，则实数可以取的值为（   ） A． B．0 C． D．1 2. 设是实数，集合，，若，则的取值集合是_____． 3. 集合，，若，则实数m的取值范围（ ） A． B． C． D． 4. 已知集合，若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5. 已知，集合有8个子集，则的一个值为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 6. 已知集合，，若，则实数组成的集合为（    ） A． B． C． D． 7. 已知集合，若，则 m 的取值范围为__________． 8. （多选）集合或，若，则整数可能的取值（    ） A． B． C． D． 9. 已知集合，，若，求a的取值范围． 题型02 求集合子集的个数 1. 集合的非空子集的个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 2. 若一个集合含有n个元素，则称该集合为“n元集合”.已知集合，则其“2元子集”的个数为（    ） A．6 B．8 C．9 D．10 3. 集合的子集个数为（    ） A．4 B．8 C．16 D．64 4. 已知集合满足，那么这样的集合M的个数为（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 5. 设集合，且，若，，则集合M的非空真子集的个数为（    ） A．4 B．6 C．7 D．15 6. 设集合，若的所有子集中的所有元素之和为32，则（　　） A．0 B． C．1 D．2 7. 已知集合A，B，C，其中A有10个元素，C有15个元素，则满足BC的集合B的个数为（    ） A．32 B．31 C．30 D．5 8. 设集合，则集合的非空真子集的个数为__________. 9. 已知集合A，B，C，其中A有10个元素，C有15个元素，则满足BC的集合B的个数为（    ） A．32 B．31 C．30 D．5 10. 集合有8个元素，设M的所有非空子集为（，2，…，255），每一个中所有元素乘积为，则__________. 题型03 利用集合相等的判断或求参数 1. 下列与集合表示同一集合的是（   ） A． B． C． D． 2. 下列集合中表示同一集合的是（    ） A． B． C． D． 3. （多选）已知集合，当时，的值可以是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 4. 已知，，若集合，则的值为________． 5. 已知，，且，则_______． 6. 设集合，若，则__________. 7. 已知集合A=，B=｛0,,1｝（a,b∈R），若A=B，则________. 8. 已知，，若，则（    ） A．0 B．1 C． D． 9. 已知集合，当时，的值可以是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 题型04 空集的概念与辨析 1. 下列符号表述正确的是（   ） A． B． C． D． 2. 下列关系中正确的是（   ） A． B． C． D． 3. （多选）下列关系中正确的是（    ） A． B． C． D． 4. 下列四个说法中，正确的有（    ） ①空集没有子集； ②空集是任何集合的真子集； ③若，则； ④任何集合至少有两个子集． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 5. 下列表示正确的是（    ） A． B． C． D． 6. 已知集合，表示空集，则下列结论错误的是（    ） A． B． C． D． 7. （多选）下列集合是空集的是（    ） A． B． C． D． 8. 下列各式中，正确的是（    ） ①   ②   ③   ④   ⑤   ⑥ ⑦   ⑧ A．②⑤⑦⑧ B．②⑤⑦ C．③⑤⑦⑧ D．①⑤⑥⑦ 9. 不等式组的解集为，则实数的取值范围是_____________. 第 1 页 共 7 页 学科网（北京）股份有限公司 $