3.2.1 专题1：函数求值域问题方法汇总 2026-2027学年高一上学期数学必修一例题讲解及课时精练

该高中数学讲义以专题形式系统构建函数求值域知识体系，基础回顾部分梳理观察法、单调性法等13种方法框架，各题型按“方法原理+步骤分解”呈现，如分离常数法明确“配凑分母形式→求分式值域”步骤，清晰展现重难点内在联系。 讲义亮点在于例题精选自多地区期末考，涵盖单选、多选、解答等题型，如图像法通过分段函数画图题培养几何直观（数学眼光），换元法以根式函数例题引导转化思维（数学思维），分层练习满足不同学生需求，助力教师实施精准教学。

3.2.1 专题：函数求值域问题方法汇总 【题型一】 单调性法求值域 1．【答案】C 2．【答案】B 3．【答案】A 4．【答案】C 5．【答案】D 6．【答案】A 7．【答案】B 8．【答案】ABD 9．【答案】AD 10．【答案】BC 【题型二】 分离常数法求值域 1．【答案】B 2．【答案】B 3．【答案】C 4．【答案】D 5．【答案】A 6．【答案】C 7．【答案】C 8．【答案】ABD 9．【答案】ACD 10．【答案】ABC 【题型三】 判别式法求值域 1．【答案】D 2．【答案】C 3．【答案】C 4．【答案】A 5．【答案】B 6．【答案】B 7．【答案】D 8．【答案】AC 9．【答案】AD 10．【答案】ABD 【题型四】 图像法求值域 1．【答案】(1)函数图像见解析；值域为，单调递增区间为，，单调递减区间为，； (2) (3)当或时，有两个公共点；当时，有四个公共点. 【分析】（1）画出函数图像，并根据图像得到值域和单调区间； （2）先从图像得到的解，数形结合得到的解集； （3）从图像得到公共点的个数和相对应的k的范围. 【详解】（1）函数图像如下： 函数的值域为，单调递增区间为，， 单调递减区间为，； （2），从图像可知，令，解得， 故的解集为； （3）从图像可以看出，当或时，直线（k为常数）与函数有两个公共点， 当时，直线（k为常数）与函数的图像有四个公共点. 2．【答案】(1)答案见解析 (2) (3) 【分析】（1）作出函数图像，由图像得出单调性及值域； （2）由（1）及图像的平移可求的取值范围； （3）作出与的图像，结合图像分析取值范围即可. 【详解】（1）的大致图像，如图， 由图像可知，的单调递增区间为，单调递减区间为和， 的值域为. （2）函数的图像与轴有两个不同的交点， 由（1）可知，当时，，满足题意； 当时，由的图像向下平移个单位， 所得图像与轴有两个不同的交点，满足题意， 综上，实数的取值范围为. （3）不妨设，， 在同一平面直角坐标系内作与的图像，如图， 由图可知，当时，存在不相等的实数，，满足， 由，可得，，可得， 又由图可知，所以，即， 所以. 3．【答案】(1) (2) (3). 【分析】（1）根据解析式代入求解即可； （2）由题意可得函数与直线有3个交点，结合图像求解即可； （3）求得，设满足，求出的值，结合图像即可得答案. 【详解】（1）因为， 所以. （2）方程的根， 即函数与直线的交点个数，如图： 由图像可知： 当或，有1个交点； 当或，有2个交点； 当，有3个交点， 所以当时，方程有三个不相等的实数根. （3）已知， 设满足，即， 结合图像可知实数的取值范围为. 4．【答案】(1)作图见解析 (2)作图见解析，，的值域为 【分析】（1）已知，为以为顶点，开口向下的抛物线，作出相应图像. （2）令，分段讨论得出和，结合图像和已知条件讨论得出，作出函数图像，根据图像得出的值域. 【详解】（1）已知，为以为顶点，开口向下的抛物线. 所以图像如图所示． （2）令，即， 当时，，得； 当时，，得； 则当时，； 当时，； 当时，． 图像法表示的图像如图． 由图像可知，和时函数取得最大值，即， 所以的值域为． 5．【答案】(1) (2)在R上单调递增，证明见解析 (3) 【分析】（1）利用奇函数的性质即可求解. （2）利用作差法，根据函数单调性的定义即可判断. （3）结合已知条件及函数的单调性将已知条件转化为关于x的方程有两个不等实根；再利用换元法令， 得出关于k的方程有两个大于1的不等实根；最后根据方程与函数的关系，借助函数图像即可求解. 【详解】（1）∵是定义在R上的奇函数， ∴，解得． 经检验时，是奇函数． 所以． （2）在R上单调递增．                         证明如下： 任取，且 则．                    由，及函数为增函数可得：， ∴，得， ∴在R上单调递增． （3）由（2）的结论易知在上单调递增． 因为函数在上的值域为， 所以             即关于x的方程有两个不等实根．               令， 则关于k的方程有两个大于1的不等实根. 故函数与的图像有两个不同交点. 作出函数的图像 由图可知， 故实数t的取值范围为． 6．【答案】(1)图像见解析；； (2)单调递减区间是； (3)； (4). 【分析】（1）根据奇函数关于原点对称画出y轴右侧图像即可. （2）（3）根据（1）所得函数图像确定减区间及不等式的解集即可. （4）根据奇函数求上的函数解析式，再根据二次函数对称轴及定义域求出对应值域即可. 【详解】（1）由题图及是定义在上的奇函数，可得左侧图像如下： （2）由（1）所得函数图像知：单调递减区间是； （3）由（1）所得函数图像知：使的取值集合为； （4）∵函数是定义域为的奇函数， ∴. 当时，，则. 对称轴为，恰好位于给定区间内， ∴在上的最大值为，最小值为， ∴在上的值域为. 7．【答案】(1)为偶函数，证明见解析 (2)图像见解析，值域为 (3) 【分析】（1）利用函数奇偶性的定义判断； （2）利用指数函数的图像和性质求解； （3）在同一坐标系中，作出函数的图像即可求解. 【详解】（1）函数为上的偶函数，证明如下： 的定义域为，关于原点对称， 又，所以是偶函数； （2）的图像如图所示： 由函数的图像知：函数的值域； （3）在同一坐标系中，作出函数的图像，如图所示： 由图像知：不等式的解集为： . 8．【答案】(1)，函数图像见详解； (2) (3) 【分析】（1）根据的正负打开绝对值，写出，在给定区间上分别画出二次函数的图像； （2）数形结合，得出函数的值域； （3）结合函数得出结果. 【详解】（1）函数的解析式为， 函数图像如下图所示： （2）当时，有最小值-1，由函数的图像可知，函数的值域为； （3）的图像是保留函数横轴及横轴上方的图像，下方图像沿轴向上对称翻折， 如图，由的图像可知，当时，直线与函数的图像的交点个数为2， 的取值范围为. 9．【答案】(1)图像见解析； (2)； (3). 【分析】（1）根据分段函数解析式画出函数图像即可； （2）根据图像分析区间单调性，分别求出各区间端点值，即可知值域； （3）由题意与有4个交点，数形结合即可确定参数范围. 【详解】（1）由解析式得图像如下， （2） 由（1）图像知：在、上递增，在、上递减， 且，，，， 综上，在上值域为. （3）由函数图像知：有四个不相等的实数根，即与有4个交点， 所以. 10．【答案】(1)值域为，图像见解析； (2)答案见解析 【分析】（1）先化简函数解析式，再画出函数图像，结合图像写出函数的值域即可； （2）结合函数图像可得交点个数. 【详解】（1）当时，， 当时，， 当时，， 的图像为：    的值域为； （2）设直线与的图像交点个数为， 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 综上， 【题型五】 换元法求值域 1．【答案】D 【分析】利用指数函数单调性，结合二次函数最值求出值域. 【详解】函数的定义域为R，，当且仅当时取等号， 又函数在上单调递减，因此， 所以函数的值域是. 故选：D． 2．【答案】A 【分析】运用换元法，令，令，逐步求出该复合函数的值域即可. 【详解】令，令， 由二次函数的性质可知，当时，二次函数在上单调递减， 在上单调递增，故， 又易知在上单调递减，故， 即函数的值域为. 故选：A. 3．【答案】D 【分析】先求出当时，再利用奇函数的性质可得时，即可求解. 【详解】当时，，则， 因函数为奇函数，则当时，则， 所以，又因，所以，即， 综上可得的值域为，故D正确. 故选：D. 4．（25-26高一上·四川凉山·期末）函数的最大值为（    ） 【答案】B 5．【答案】A 6．【答案】B 7．【答案】A 8．【答案】ABD 9．【答案】ABD 10．【答案】ABD 课时精练 1．【答案】D 2．【答案】C 3．【答案】C 4．【答案】C 5．【答案】A 6．【答案】D 7．【答案】A 8．【答案】A 9．【答案】ABC 10．【答案】ACD 11．【答案】ABD 12．【答案】 【详解】因为，所以，所以，故. 13．【答案】 【详解】当时，；当时，， 因为在为减函数，上为增函数，且时，， 故的值域为，故的值域为， 综上，的值域为. 14．【答案】 【分析】令，将不等式变成对任意恒成立，分离常数可得，令，结合函数的单调性求解即可. 【详解】，即. 令，由可得，则对任意恒成立， 等价于对任意恒成立， 所以，即. 令，易知在上单调递减，在上单调递增， 又，，所以在上的最大值为. 所以，因为函数为增函数，当时，， 因此.即实数的取值范围为. 15．【答案】 【分析】利用已知指数函数的值域来求所求函数的值域. 【详解】 所以，即，得或. 故函数的值域为. 16．【答案】 【分析】利用指数函数单调性求值域即可. 【详解】令，因此． ∵在定义域内为减函数，当时，可得：. ∴原函数的值域为． 17．【答案】 【分析】方法一，判断函数的单调性求解；方法二，令，换元转化为二次函数求最值. 【详解】解法一：利用函数单调性. 易知函数的定义域为. 由于函数和函数在上均为减函数， ∴函数在上是减函数. 故当时，有最小值. 解法二：换元法. 设，则，.设，则 ， 在上单调递增.故当时，有最小值， 即当时，有最小值. 18．【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用偶函数的定义求解； （2）利用偶函数的定义求函数解析式； （3）分情况讨论对称轴与区间的位置关系求最值. 【详解】（1）因为函数是定义在上的偶函数， 且当时，， 则； （2）设，则，所以， 因为函数是定义在上的偶函数， 所以，则时，， 所以； （3）当时，， 所以，对称轴为， 当时，； 当时，即时，； 当时，即时，； 综上所述，. 19．【答案】(1)证明见解析 (2)最大值，无最小值 【分析】（1）令，代入计算即可得； （2）利用复合函数单调性可得在上单调递增，再求出值域后即可得解. 【详解】（1）当时，有， 故的图像过定点； （2）若，则， 因为在上单调递增，在上单调递增 所以在上单调递增， 又， 则， 故有最大值，无最小值. 1 / 46 学科网（北京）股份有限公司 $ 3.2.1 专题：函数求值域问题方法汇总 【题型一】 单调性法求值域 1 【题型二】 分离常数法求值域 7 【题型三】 判别式法求值域 13 【题型四】 图像法求值域 19 【题型五】 换元法求值域 32 课时精练 37 【基础回顾】 在高中阶段求函数值域的方法总结起来大概有观察法、单调性法、图像法、配方法、分离常数法、换元法、 判别式法 (有局限性)、平方法、反函数法、均值不等式、利用函数有界性、数形结合、导数法. 现阶段由于知识储备有限, 我们只对常见重点方法做研究, 其他方法在后面的学习中介绍. 【题型一】 单调性法求值域 如果一个函数为单调函数, 则由定义域结合单调性可快速求出函数的最值 (值域). 1. 若函数 在区间 上单调递增, 则 . 2. 若函数 在区间 上单调递减, 则 . 单调性法是求函数值域的常用方法, 就是利用我们所学的基本初等函数的单调性, 再根据所给定义域来确定函数的值域. 【例题精讲】 1．（25-26高一上·吉林·期末）函数在上的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先判断函数单调性，再求最大值. 【详解】因为函数在上单调递减， 所以当时取最大值为. 故选：C． 2．（24-25高二下·湖南长沙·期末）已知函数，的最小值是：（    ） A． B．0 C．4 D．8 【答案】B 【分析】利用二次函数的单调性即可. 【详解】由题意可知，在上单调递增，则最小值为. 故选：B 3．（25-26高一上·浙江湖州·期末）已知函数，则在上的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据二次函数的性质，可得的单调性，进而可得的单调性，代入数据，分析计算，即可得答案. 【详解】因为为开口向上，对称轴为的抛物线， 所以在上单调递减，在上单调递增， 则在上单调递增，在上单调递减， 又， 所以在上的最小值为. 故选：A 4．（25-26高一上·湖南长沙·期末）若定义运算，则函数的值域为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先求出的解析式，再分段求出函数的取值范围，即可得到函数的值域. 【详解】令，解得，所以， 当时，则在上单调递减，则， 即； 当时，则，即； 综上可得函数的值域为. 故选：C 5．（25-26高一上·山东济南·月考）函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】令，利用换元法将变为关于的二次函数，根据二次函数单调性即可求解. 【详解】令，则，得， 所以可以转化为． 因为二次函数在上单调递增， 当时，， 所以函数的值域为． 故选：D． 6．（25-26高一上·全国·期末）函数的值域为（ ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】方法一：根据函数的单调性进行判断；方法二：利用换元法把函数转化成二次函数，再求其值域. 【详解】方法一：由得定义域为； 因为单调递增，单调递减， 所以单调递增； 所以函数值域为． 方法二：令，则，， 所以， 函数在上单调递减，且时，函数取到最大值2， 所以函数值域为， 故选：A. 7．（25-26高一上·青海海南·期末）已知且，若函数的值域为，则a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据指数函数单调性结合已知函数值域列式计算求解. 【详解】若，则在单调递减，即，， 当时，的最大值为，又因为，此时两部分值域的并集不为，不符合题意； 若，当时，，，当时，的最大值为， 只需的最大值大于等于2， 所以，解得. 故选：B． （多选）8．（25-26高一上·山东滨州·期末）已知函数的定义域为，其图像关于原点对称，当时，，则（    ） A．是增函数 B．当时， C．的值域为 D．，， 【答案】ABD 【分析】根据给定条件可得是上的奇函数，进而求出解析式判断ABC；再结合基本不等式推理判断D. 【详解】由函数的定义域为，其图像关于原点对称，得是上的奇函数， 则，而，因此当时，， 对于A，函数在上单调递增，由奇函数性质，使得在上单调递增， 因此函数在上单调递增，A正确； 对于B，当时，，，B正确； 对于C，当时，，，当时，，， 因此函数的值域为，C错误； 对于D，，，D正确. 故选：ABD （多选）9．（25-26高一上·四川成都·期末）已知是奇函数，则（ ） A． B．在上单调递增 C．的解集为 D．的值域为 【答案】AD 【分析】根据奇函数的定义，列出方程，求出参数值，判断选项A的正误；根据复合函数单调性，判断选项B的正误；根据基本初等函数的性质，对函数解析式进行分离常数，判断函数值域，判断D的正误；根据函数单调性，解不等式即可，判断C的正误. 【详解】因为是奇函数，定义域， 所以当时，恒成立，即， 化简得，得，故A正确； 可得，记，， 当时，单调递增，在上单调递减， 由复合函数的单调性可知在上单调递减，故B错误； 因为，且在上单调递减， 所以，等价于，即， 因为单调递减，所以， 所以的解集为．故C错误； 因为且，所以且，所以或， 所以或，所以的值域为，故D正确． 故选：AD. （多选）10．（25-26高一上·四川绵阳·期末）已知函数，则下列说法正确的有（    ） A．存在，使得为偶函数 B．若是R上的减函数，则的取值范围是 C．若存在最大值，则的取值范围是 D．若存在最小值，则的取值范围是 【答案】BC 【分析】分析函数图像即可判断选项A；由函数单调性列关于a的不等式组即可求解判断选项B；由的单调性求出函数的取值范围即可分析判断选项C；由C选项即可分析求解判断选项D． 【详解】选项A：当时，图像为指数函数部分图像， 当时，图像为一条射线， 所以图像不关于y轴对称，故不存在使得为偶函数，故A错误； 选项B： 是R上的减函数，所以. 所以若是R上的减函数，则的取值范围是，故B正确； 选项C：当时，. 若即时，在上单调递增，此时， 所以若在R上存在最大值，则； 若即，在上恒有， 则函数在R上有最大值为6，故； 若，在上单调递减，此时， 则函数在R上无最大值，不符合. 存在最大值的条件是，即，故C正确； 选项D：由C可知时，无最小值； 时，在R上值域为，无最小值； ，要使在R上有最小值，则，即； 存在最小值时，的取值范围是，故D错误． 故选：BC． 【题型二】 分离常数法求值域 主要用于分式函数,以 为例,解题步骤如下: 第一步: 用分子配凑出分母的形式,将函数变形成 的形式, 第二步: 求出函数 在定义域范围内的值域,进而求出 的值域. 【例题精讲】 1．（25-26高一上·河北张家口·期末）函数在区间上的最大值、最小值分别为（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】根据分式型函数的单调性进行求解即可. 【详解】，该函数在上单调递增， 所以， 故选：B 2．（25-26高一上·四川遂宁·期中）函数，的最大值是（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】B 【分析】先常数分离，再根据函数单调性得出最值. 【详解】函数，单调递减， 所以当时，函数的最大值是. 故选：B. 3．（25-26高一上·山东临沂·期中）下列函数中，值域不正确的是（   ） A．当时，函数的值域为 B．函数的值域为 C．函数的值域为 D．函数的值域为 【答案】C 【分析】由可判断A，由可判断B，由换元法可判断C，由单调性可判断D. 【详解】对于A，， 当时，取得最小值，当时，， 所以当时，函数的值域为，故A正确； 对于B，，定义域为， 所以值域为，故B正确； 对于C，，， 令，得， 所以， 所以函数的值域为，故C错误； 对于D，，定义域为，观察可知函数为增函数， 当时，取得最小值，当时， ， 所以值域为，故D正确. 故选：C. 4．（25-26高一上·安徽合肥·期中）若关于的不等式的解集中恰好有3个整数解，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据一元二次不等式恰有3个整数解，分析可得实数的取值范围；或分离参数，构造新函数，分析新函数的单调性，解得实数的取值范围. 【详解】解：原不等式等价于， 由题意，知，解得. 又原不等式的解集为，且， 则为原不等式的整数解，所以，解得所以实数的取值范围为. 方法二：对于不等式， 当时，，不成立，所以0不是不等式的整数解； 当时，. 令，则在上均单调递增，其简图如下： 当时，，所以；当,且取整数时，，所以； 所以不等式的整数解是,即不等式解集中恰有3个整数解是，所以，所以. 所以实数的取值范围为. 故选：D. 5．（23-24高一上·云南玉溪·期末）函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用分离常数法，结合函数单调性求值域. 【详解】由题意，，当时，函数单调递增， 当时，函数取得最小值，最小值为；当时，函数取得最大值，最大值为， 函数的值域为. 故选：A. 6．（24-25高一下·河南漯河·月考）设则下列选项不正确的是（    ） A． B．时，在上单调递减 C．时，在上单调递减 D．的值域为 【答案】C 【分析】对于A，将代入解析式计算即可；对于B、C，分离常数法将函数解析式变形，分步讨论函数的单调性即可；对于D，分离常数法将函数解析式变形，直接求值域即可. 【详解】对于A，，故A正确； 对于B、C，因为， 所以当时，函数单调递减，则函数单调递增，所以在上单调递减； 当时，函数单调递增，则函数单调递减，所以在上单调递增. 故B正确，C错误； 对于D， ，因为，所以， 所以.故D正确. 故选：C. 7．（24-25高一上·广东·期末）函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用换元法令，把函数变形为，结合基本不等式求解即可； 【详解】令，则，则原函数可化为， 因为，所以，当且仅当即时取等号， 所以当时，；当时，， 所以函数的值域为； 故选：C. （多选）8．（25-26高一上·甘肃白银·期末）已知函数，则（    ） A．的图像关于轴对称 B．当时，若，则 C．当时，的单调递减区间为 D．当时，的值域为 【答案】ABD 【分析】对参数范围分类讨论，再利用偶函数的定义判断A，结合题意分别求出进而判断B，利用单调性的区间描述规则判断C，利用分离常数法求解值域判断D即可. 【详解】对于A，当时，的定义域为， 当时，的定义域为， 当时，的定义域为， 均关于原点对称，又 则当时，为偶函数，的图像关于轴对称，故A正确； 对于B，当时，，由，得， 因为， 所以，故B正确； 对于C，当时，， 此时的定义域为， 令，， 由二次函数性质得在上单调递增， 则在上单调递减， 可得在上单调递减， 而单调区间不能用并集符号连接，故C错误； 对于D，当时，， 因为，所以，所以，故D正确. 故选：ABD. （多选）9．（25-26高一上·重庆·月考）已知函数，则下列结论正确的是（   ） A．，都有 B．的值域为 C．，且，都有 D．方程有3个不等实数根 【答案】ACD 【分析】根据函数的单调性和奇偶性，结合函数的解析式，以及函数与方程的零点问题，逐项计算，即可求解. 【详解】对于A，因为，，故A正确； 对于B，当时，，所以， 由A知为奇函数，故的值域为，故B错误； 对于C，对，且，不妨设， 则， ，，，即， 所以在上单调递增，所以，故C正确； 对于D，当时，，则为，解得， 当时，方程成立， 又为奇函数，根据对称性知也满足方程， 综上，方程有3个不等的实数根，故D正确. 故选：ACD. （多选）10．（25-26高一上·陕西咸阳·月考）已知函数，则（   ） A．函数的定义域为 B．函数的值域为 C．函数的图像是中心对称图形 D．在上单调递减，则 【答案】ABC 【分析】对于A，令即可得到函数的定义域；对于B，利用分离常数法将化为即可求出函数的值域；对于C，证明即可得到函数的对称中心，从而证明；对于D，求出的单调区间，根据是单调区间的子集，列不等式即可求出的取值范围. 【详解】令，解得，所以函数的定义域为，故A正确； ，因为，所以函数的值域为，故B正确； 因为，所以函数的图像是中心对称图形，对称中心为，故C正确； 由B选项知，，所以函数在，上单调递减，若在上单调递减，则或，解得或，故D错误； 故选：ABC. 【题型三】 判别式法求值域 判别式法: 主要用于含有二次的分式函数,形如: 将函数式化成关于 的方程,且方程有解,用根的判别式求出参数 的取值范围,即得函数的值域. 应用判别式法时必须考虑原函数的定义域, 并且注意变形过程中的等价性. 运用此方法需要注意的易错点很多, 故不建议将此方法作为主要方法, 此种形式还可使用分离常数法解法. 【例题精讲】 1．（25-26高三上·贵州·月考）已知函数，若实数，满足，则的最大值为（    ） A． B．4 C． D．5 【答案】D 【分析】先证明函数的奇偶性和单调性，再利用函数性质将转化为， 最后设，将其转化为关于的一元二次方程，利用判别式求出的取值范围即可得解. 【详解】由题意，，则，所以函数为奇函数. 又，所以在上严格单调递减. 又知，则，故， 令，得，所以，整理得， 此时，解得，即的最大值为， 当且仅当时取等号. 故选：D. 2．（22-23高一上·陕西西安·期末）已知正实数满足则的最大值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设，则，代入已知等式，化为关于x的方程，由判别式非负，解得t的最大值. 【详解】设，则， 因为， 所以，即：， 所以， 解得：， 又因为，为正实数， 所以， 所以的最大值为. 故选：C. 3．（18-19高三·北京·强基计划）函数的值域为（    ） A． B． C． D．以上答案都不对 【答案】C 【分析】利用判别式可求函数的值域. 【详解】设题中函数为，则， 当时，； 当时，视其为关于x的二次方程， 判别式， 综上，故值域为． 故选：C. 4．（21-22高二下·黑龙江大庆·期末）已知函数，则下列选项不正确的是（   ） A．，为增函数 B．，对，为偶函数 C．，对，有最大值 D．，对，有最大值 【答案】A 【分析】对于A：利用单调性的定义，要使为增函数，进行运算，产生矛盾，即可判断；对于B：利用偶函数的定义进行判断；对于C、D： 用判别式法求值域即可判断； 【详解】对于A：， 设,且，则， 令， 所以， 因为，所以. 要使为增函数，只需恒成立， 所以， 即， 而，所以矛盾，故A错误； 对于B：要使对为偶函数，按偶函数的定义，只需，即 ，解得：b=0. 即，对为偶函数.故B正确； 对于C、D：定义域为R， 所以关于x的方程有解， 当时，存在，使得有解，此时， 当时，只需，即， 而， 所以关于y的一元二次不等式有解，故C、D正确； 故选：A. 【点睛】方法点睛：（1）证明函数的单调性可运用单调性的定义和导数法；（2）对于定义域为全体实数的二次分式型函数，可以运用判别式法求其值域. 5．（20-21高一·全国·课后作业）函数的最大值与最小值的和是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】令，可得，可知关于的方程有解，分、两种情况讨论，结合已知条件可求得的取值范围，即可得解. 【详解】设，则有， 当时，代入原式，解得． 当时，， 由，解得，于是的最大值为，最小值为， 所以函数的最大值与最小值的和为． 故选：B. 6．（21-22高三上·河南平顶山·月考）若函数的最大值为，最小值为，则（    ） A．4 B．6 C．7 D．8 【答案】B 【分析】直接用判别式法求函数的最大值和最小值． 【详解】设，，， 时，， 时，因为，所以，解得，即且， 综上，最大值是，最小值是，和为6． 故选：B． 7．（23-24高三下·江苏苏州·月考）已知，，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意首先得，且，进一步通过换元法以及判别式法即可求解，注意验证取等条件. 【详解】因为，所以，所以，等号成立当且仅当， 从而， 令，设，显然， 则， 因为关于的一元二次方程有实数根，所以， 整理得，即， 解得，注意到，从而， 等号成立当且仅当，即， 所以经检验的最大值，即的最大值为. 故选：D. （多选）8．（2025高一上·江苏·专题练习）（多选）已知函数的值域为，则常数可以是（ ） A． B．1 C．7 D． 【答案】AC 【分析】利用判别式法求函数值域即可求解参数. 【详解】因为，所以， 当时，有解， 当不是0时，，即， 因为函数的值域为， 所以是方程的两个根， 所以，， 解得或，所以7或. 故选：AC （多选）9．（25-26高一上·江苏南京·期中）下列说法正确的有（   ） A．函数的值域为 B．函数与是同一个函数 C．函数是奇函数 D．若函数在区间上不具有单调性，则实数的取值范围为 【答案】AD 【分析】由判别式法可判断A，由函数定义域可判断B，由可判断C，由可判断D. 【详解】对于A，定义域为， 则，即， 当时，， 当时， 由得：，且， 综上：， 所以函数的值域为，所以A正确； 对于B：的定义域为， 的定义域为，所以不是同一函数，所以B错误； 对于C，因为，所以不是奇函数，所以C错误， 对于D，由题意可得，得，即实数的取值范围为，所以D正确. 故选：AD （多选）10．（25-26高一上·重庆渝中·月考）已知实数满足，则下列选项正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】对A，由条件式结合基本不等式求解；对B，作差，结合A的结论求解；对C，由，，结合二次函数求最值可得；对D，设，则，代入，得，利用，运算得解. 【详解】对于A，由，得， ，又，当且仅当时，取等号， ，即， 解得，故A正确； 对于B，由A，得， ，故B正确； 对于C，由A，，令， 所以，即，故C错误； 对于D，设，则，代入， 得，展开整理得， ， 展开得，解得，即，故D正确. 故选：ABD. 【题型四】 图像法求值域 作出函数的图像, 通过观察曲线所覆盖函数值的区域确定值域, 图像法一般针对分段函数求值域问题, 在之前我们也已经学习过分段函数图像的画法. 重点在于分类讨论. 【例题精讲】 1．（25-26高一上·江西上饶·月考）已知函数的解析式为. (1)画出函数的图像，并直接写出函数的值域和单调区间； (2)解不等式； (3)若直线（k为常数）与函数的图像分别有两个和四个公共点，直接写出相对应的k的范围. 【答案】(1)函数图像见解析；值域为，单调递增区间为，，单调递减区间为，； (2) (3)当或时，有两个公共点；当时，有四个公共点. 【分析】（1）画出函数图像，并根据图像得到值域和单调区间； （2）先从图像得到的解，数形结合得到的解集； （3）从图像得到公共点的个数和相对应的k的范围. 【详解】（1）函数图像如下： 函数的值域为，单调递增区间为，， 单调递减区间为，； （2），从图像可知，令，解得， 故的解集为； （3）从图像可以看出，当或时，直线（k为常数）与函数有两个公共点， 当时，直线（k为常数）与函数的图像有四个公共点. 2．（25-26高一上·吉林长春·月考）已知函数 (1)在如图所示的平面直角坐标系中，画出的大致图像，并写出的单调区间及值域； (2)若函数的图像与轴有两个不同的交点，求实数的取值范围； (3)若有不相等的实数，，满足，求的取值范围． 【答案】(1)答案见解析 (2) (3) 【分析】（1）作出函数图像，由图像得出单调性及值域； （2）由（1）及图像的平移可求的取值范围； （3）作出与的图像，结合图像分析取值范围即可. 【详解】（1）的大致图像，如图， 由图像可知，的单调递增区间为，单调递减区间为和， 的值域为. （2）函数的图像与轴有两个不同的交点， 由（1）可知，当时，，满足题意； 当时，由的图像向下平移个单位， 所得图像与轴有两个不同的交点，满足题意， 综上，实数的取值范围为. （3）不妨设，， 在同一平面直角坐标系内作与的图像，如图， 由图可知，当时，存在不相等的实数，，满足， 由，可得，，可得， 又由图可知，所以，即， 所以. 3．（25-26高一上·贵州贵阳·月考）已知函数 (1)求的值； (2)若方程有三个不相等的实数根，求实数的取值范围； (3)若在的值域为，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) (3). 【分析】（1）根据解析式代入求解即可； （2）由题意可得函数与直线有3个交点，结合图像求解即可； （3）求得，设满足，求出的值，结合图像即可得答案. 【详解】（1）因为， 所以. （2）方程的根， 即函数与直线的交点个数，如图： 由图像可知： 当或，有1个交点； 当或，有2个交点； 当，有3个交点， 所以当时，方程有三个不相等的实数根. （3）已知， 设满足，即， 结合图像可知实数的取值范围为. 4．（25-26高一上·全国·课后作业）已知函数，． (1)在同一坐标系中画出函数的图像； (2)定义：对作出函数的图像，并求函数的解析式，写出的值域（不需要证明）． 【答案】(1)作图见解析 (2)作图见解析，，的值域为 【分析】（1）已知，为以为顶点，开口向下的抛物线，作出相应图像. （2）令，分段讨论得出和，结合图像和已知条件讨论得出，作出函数图像，根据图像得出的值域. 【详解】（1）已知，为以为顶点，开口向下的抛物线. 所以图像如图所示． （2）令，即， 当时，，得； 当时，，得； 则当时，； 当时，； 当时，． 图像法表示的图像如图． 由图像可知，和时函数取得最大值，即， 所以的值域为． 5．（24-25高一上·湖南邵阳·期末）已知函数，是定义在R上的奇函数． (1)求实数a的值； (2)判断在R上的单调性，并证明你的结论； (3)若存在区间，使得函数在上的值域为，求实数t的取值范围． 【答案】(1) (2)在R上单调递增，证明见解析 (3) 【分析】（1）利用奇函数的性质即可求解. （2）利用作差法，根据函数单调性的定义即可判断. （3）结合已知条件及函数的单调性将已知条件转化为关于x的方程有两个不等实根；再利用换元法令， 得出关于k的方程有两个大于1的不等实根；最后根据方程与函数的关系，借助函数图像即可求解. 【详解】（1）∵是定义在R上的奇函数， ∴，解得． 经检验时，是奇函数． 所以． （2）在R上单调递增．                         证明如下： 任取，且 则．                    由，及函数为增函数可得：， ∴，得， ∴在R上单调递增． （3）由（2）的结论易知在上单调递增． 因为函数在上的值域为， 所以             即关于x的方程有两个不等实根．               令， 则关于k的方程有两个大于1的不等实根. 故函数与的图像有两个不同交点. 作出函数的图像 由图可知， 故实数t的取值范围为． 6．（24-25高一上·福建莆田·期中）已知函数是定义在上的奇函数，且当时，.现已画出函数在轴左侧的图像，如图所示. (1)请补全函数的图像并求的值； (2)由函数图像直接写出函数的单调递减区间； (3)由函数图像直接写出使的的取值集合； (4)求函数当的值域. 【答案】(1)图像见解析；； (2)单调递减区间是； (3)； (4). 【分析】（1）根据奇函数关于原点对称画出y轴右侧图像即可. （2）（3）根据（1）所得函数图像确定减区间及不等式的解集即可. （4）根据奇函数求上的函数解析式，再根据二次函数对称轴及定义域求出对应值域即可. 【详解】（1）由题图及是定义在上的奇函数，可得左侧图像如下： （2）由（1）所得函数图像知：单调递减区间是； （3）由（1）所得函数图像知：使的取值集合为； （4）∵函数是定义域为的奇函数， ∴. 当时，，则. 对称轴为，恰好位于给定区间内， ∴在上的最大值为，最小值为， ∴在上的值域为. 7．（22-23高一上·北京丰台·期末）已知函数． (1)判断f（x）的奇偶性，并证明； (2)在如图所示的平面直角坐标系xOy中，画出的图像，并写出该函数的值域； (3)写出不等式的解集． 【答案】(1)为偶函数，证明见解析 (2)图像见解析，值域为 (3) 【分析】（1）利用函数奇偶性的定义判断； （2）利用指数函数的图像和性质求解； （3）在同一坐标系中，作出函数的图像即可求解. 【详解】（1）函数为上的偶函数，证明如下： 的定义域为，关于原点对称， 又，所以是偶函数； （2）的图像如图所示： 由函数的图像知：函数的值域； （3）在同一坐标系中，作出函数的图像，如图所示： 由图像知：不等式的解集为： . 8．（23-24高一上·广东深圳·期中）已知函数是定义在R上的函数，. (1)将函数写成分段函数的形式，并画出函数的图像； (2)根据图像写出值域. (3)若与有两个交点，求的取值范围. 【答案】(1)，函数图像见详解； (2) (3) 【分析】（1）根据的正负打开绝对值，写出，在给定区间上分别画出二次函数的图像； （2）数形结合，得出函数的值域； （3）结合函数得出结果. 【详解】（1）函数的解析式为， 函数图像如下图所示： （2）当时，有最小值-1，由函数的图像可知，函数的值域为； （3）的图像是保留函数横轴及横轴上方的图像，下方图像沿轴向上对称翻折， 如图，由的图像可知，当时，直线与函数的图像的交点个数为2， 的取值范围为. 9．（23-24高一上·四川成都·期中）函数 (1)画出函数的图像； (2) 当时，求函数的值域（直接写出值域，不要过程）． (3)若有四个不相等的实数根，求的取值范围．（直接写出结果，不要求过程） 【答案】(1)图像见解析； (2)； (3). 【分析】（1）根据分段函数解析式画出函数图像即可； （2）根据图像分析区间单调性，分别求出各区间端点值，即可知值域； （3）由题意与有4个交点，数形结合即可确定参数范围. 【详解】（1）由解析式得图像如下， （2） 由（1）图像知：在、上递增，在、上递减， 且，，，， 综上，在上值域为. （3）由函数图像知：有四个不相等的实数根，即与有4个交点， 所以. 10．（23-24高一上·广东深圳·期中）已知为定义在R上的偶函数，当时，. (1)用分段函数表示时的解析式，作出在定义域内的图像，并指出的值域；    (2)讨论直线与图像的交点个数（不需证明）． 【答案】(1)值域为，图像见解析； (2)答案见解析 【分析】（1）先化简函数解析式，再画出函数图像，结合图像写出函数的值域即可； （2）结合函数图像可得交点个数. 【详解】（1）当时，， 当时，， 当时，， 的图像为：    的值域为； （2）设直线与的图像交点个数为， 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 综上， 【题型五】 换元法求值域 此种方法适用于求根式型函数或形式较为复杂的函数的值域, 换元后要注意新元的取值范围, 换元法求函数值域, 其实质是等价转换的思想方法. 【例题精讲】 1．（25-26高一下·安徽安庆·开学考试）函数的值域是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用指数函数单调性，结合二次函数最值求出值域. 【详解】函数的定义域为R，，当且仅当时取等号， 又函数在上单调递减，因此， 所以函数的值域是. 故选：D． 2．（25-26高一上·陕西西安·期末）函数的值域是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】运用换元法，令，令，逐步求出该复合函数的值域即可. 【详解】令，令， 由二次函数的性质可知，当时，二次函数在上单调递减， 在上单调递增，故， 又易知在上单调递减，故， 即函数的值域为. 故选：A. 3．（2026·福建泉州·二模）定义在上的奇函数，当时，，则的值域为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求出当时，再利用奇函数的性质可得时，即可求解. 【详解】当时，，则， 因函数为奇函数，则当时，则， 所以，又因，所以，即， 综上可得的值域为，故D正确. 故选：D. 4．（25-26高一上·四川凉山·期末）函数的最大值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】题干为一复合函数求最值，利用换元法可将其转化为求二次函数和指数函数的最值. 【详解】令,通过配方可知,当时，取得最大值1， 又函数，由指数函数的单调性可知当取得最大值时，取得最大值为2. 故选：B. 5．（25-26高一上·河北保定·期中）函数的值域为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求出的值域，再根据指数函数的单调性求解即可. 【详解】因为的值域为，且在上单调递增， 所以的值域为， 故选：A 6．（25-26高三上·河南·期中）已知函数在区间上的值域为.若，则的值为（   ） A．1 B．2 C．4 D．8 【答案】B 【分析】根据给定函数，探求其对称性及单调性，由此求出目标值. 【详解】函数，则 ，因此函数的图像关于点对称， 函数在上都单调递增，因此函数在上单调递增， 则，而，所以. 故选：B 7．（25-26高一上·江苏镇江·期中）已知函数，定义域为．则的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求关于指数函数的复合函数的值域即得, 【详解】因为函数的定义域为 所以，解得. 所以的定义域为 由得 所以. 当，即时，， 当，即时，. 所以的值域为, 故选：A. （多选）8．（25-26高一上·山西忻州·期末）已知函数，则下列结论正确的是（    ） A．是偶函数 B．在上单调递增 C．的值域为 D．若，且，则 【答案】ABD 【分析】由奇偶性定义进行分析即可求解判断A；通过换元法转换函数并结合复合函数的单调性即可求解判断B；结合选项B由对勾函数单调性即可求解判断C；利用函数的偶函数性质结合基本不等式即可求解判断D. 【详解】由题函数，定义域为R关于原点对称， 又， 所以是偶函数，故A正确； 当时，函数为增函数，且， 又函数为上的增函数， 所以函数在上单调递增， 所以函数在上单调递增，故B正确； 因为，当且仅当即时等号成立， 所以，即的值域为，故C错误； 因为函数是偶函数，且函数在上单调递增， 所以若，且， 则且， 所以，当且仅当即时等号成立.故D正确. 故选：ABD （多选）9．（24-25高一上·重庆渝中·期中）已知函数，则下列结论正确的是（    ） A．函数的定义域为 B．函数的值域为 C．函数的图像关于轴对称 D．函数在上为增函数 【答案】ABD 【分析】根据指数函数的性质，结合偶函数定义、单调性的性质逐一判断即可. 【详解】对于A，因为，所以函数的定义域为，故A正确； 对于B，，由， 所以函数的值域为，故B正确； 对于C，因为，所以函数是奇函数， 其图像关于原点对称，不关于轴对称，故C错误； 对于D，因为函数是增函数，且， 所以函数是减函数，因此函数是增函数，故D正确， 故选：ABD. （多选）10．（25-26高一上·广东广州·月考）设函数，，则（   ） A． B．函数为奇函数 C．函数在其定义域上为增函数 D．函数的值域为 【答案】ABD 【分析】对于A选项直接代入对应的函数解析式即可判断；先化简的解析式然后根据奇函数的定义去判断奇偶性；对于C选项先化简函数解析式再利用复合函数单调性去求单调性；对于D选项先化简函数解析式再根据二次函数反比例函数性质去求值域. 【详解】A：； ，本选项正确， B：， 令，此函数定义域为， ，故此函数为奇函数，本选项正确； C：，令， ， 由二次函数单调性可知：当时随的增大而增大，且 由反比例函数单调性可知： 随的增大而减小， 故当时，即时为减函数，所以本选项不正确； D：，令， 则， 因为所以由二次函数性质可知， 由反比例函数性质可知 所以，即， 所以函数的值域为，因此本选项正确. 故选：ABD 课时精练 一、单选题 1．（2026高二上·北京·学业考试）若实数满足，则的最大值是（    ） A．4 B．6 C．7 D．9 【答案】D 【分析】使用换元法将转化为关于的二次函数，再根据二次函数图像性质即可求解. 【详解】因为，则， 则， 设，易得是开口向下的二次函数，对称轴为， 则. 故选：D 2．（25-26高一上·浙江杭州·期末）若命题“都成立”为真命题，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分离参数，结合命题为真命题，可得不等式，利用单调性求出的最大值即可. 【详解】由已知，为真命题， 则对于恒成立， 所以, 又在上单调递减，在上单调递增， 当时，，当时，， 所以，所以. 故选：C 3．（25-26高一上·浙江杭州·期中）函数的值域为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求出定义域，利用换元法，原函数转化为，分析可得的单调性，代入数据，即可得答案. 【详解】由题意得，解得，即的定义域为， 令，则，所以，且， 则原函数转化为， 因为与在上均为单调递减函数， 所以在上单调递减， 所以的最大值为，的最小值为， 所以的值域为，即原函数的值域为. 故选：C 4．（25-26高一下·浙江·开学考试）已知，，则的最大值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】换元得到，看作关于的函数，并结合的范围得到，且，分和两种情况，由对勾函数的性质求出最大值. 【详解】，故，， 令， ∵，∴， 又为正数，， 又，故，且， 若，即时， 由于，， 故， 由于，由对勾函数单调性可知，当时，的最大值为， 此时， 若，即时，， 则， 由于，由对勾函数单调性可知，当时，的最大值为， 此时， 综上，的最大值是，当时或取等. 故选：C 5．（2026·安徽六安·模拟预测）若是定义在上的偶函数，当时，，则函数在上的值域为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据给定条件，结合指数函数单调性求出在上的值域，再利用偶函数的性质求出指定区间上的值域. 【详解】当时，，，函数在上单调递减， 当时，，又函数是上的偶函数， 则当时，，所以函数在上的值域为. 故选：A 6．（2026·江西南昌·二模）已知函数在定义域内有最小值，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】结合函数单调性及基本不等式求解即可. 【详解】当时，，当且仅当时取等号. 当时，在上单调递减，此时的值域为， 因为在定义域内有最小值，所以. 故实数的取值范围为. 故选：D 7．（24-25高一上·福建福州·期中）函数的值域是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】对函数分离常数，借助基本不等式，分三种情况讨论即可. 【详解】结合题意：， 当时，； 当时，， 当且仅当，即，原式取得最小值； 另一方面，因为，，所以，即； 当时，， 当且仅当，即，原式取得最大值； 另一方面因为，令，则，所以， 所以，所以，即； 综上所述：函数的值域是. 故选：A. 8．（25-26高一上·山西运城·月考）已知函数的值域为，则函数的最大值是（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【分析】根据二次函数的性质和单调性求出结果即可. 【详解】函数， 由于函数的值域为，即， 而在上单调递减， 当时，取最大值为3. 故选：A. 二、多选题 （多选）9．（24-25高一上·江西吉安·月考）下列选项正确的是（    ） A．的定义域为，则的定义域为 B．函数的值域为 C．函数在的值域为 D．函数的值域为 【答案】ABC 【分析】求出抽象函数定义域判断A；配方并利用二次函数求出值域判断B；利用二次函数单调性求出值域判断C；利用分式函数值域判断D. 【详解】对于A，的定义域为，则在中，， 解得，即的定义域为，A正确； 对于B，函数， 当且仅当时取等号，则函数的值域为，B正确； 对于C，在上递减，， 则函数在的值域为，C正确； 对于D，函数，函数的值域为，D错误. 故选：ABC （多选）10．（23-24高一上·湖南张家界·期中）下列四个命题是真命题的有（    ） A．若函数的定义域为，则函数的定义域为 B．函数的值域为 C．若函数的两个零点都在区间内，则实数的取值范围为 D．已知，在上的值域为 【答案】ACD 【分析】对于A，利用抽象函数的定义域求法计算即得；对于B，通过换元将函数化成一元二次函数，利用其性质即可求得函数值域；对于C，根据二次函数的零点分布问题求参数可得；对于D，利用分段函数的值域求法计算即得. 【详解】对于A：函数的定义域为，则对于函数，需使， 解得，即得函数的定义域为，故A正确； 对于B：设，得，则， 其图像对称轴为，则函数在上单调递增，故，故B错误； 对于C：若函数的两个零点都在区间内，则 ，得，故C正确； 对于D，当时，；当时，，故该函数的值域为，故D正确. 故选：ACD （多选）11．（25-26高一上·全国·月考）已知函数，则下列选项正确的是（   ） A．函数的定义域为 B．且， C．函数在上单调递减 D．当时，函数的值域为 【答案】ABD 【分析】根据定义域的判断依据可求解A选项；将代入函数的解析式可判断B选项；将函数分离常数后借助反比例函数的性质可判断C选项；利用函数的单调性即可判断D选项. 【详解】对于A，由，得，即函数的定义域为，故A正确； 对于B，且，，故B正确； 对于C，因为在和上单调递减， ， 所以函数在和上单调递减，但在定义域上不单调，故C错误； 对于D，由C选项知，函数在上单调递减，又，所以函数的值域为.故D正确. 故选：ABD. 三、填空题 12．（2026·广西崇左·一模）函数的值域为______. 【答案】 【详解】因为，所以，所以，故. 13．（25-26高一下·上海·月考）函数的值域为________________． 【答案】 【详解】当时，；当时，， 因为在为减函数，上为增函数，且时，， 故的值域为，故的值域为， 综上，的值域为. 14．（25-26高一下·湖南长沙·开学考试）已知函数，若，恒成立，则实数的取值范围是________. 【答案】 【分析】令，将不等式变成对任意恒成立，分离常数可得，令，结合函数的单调性求解即可. 【详解】，即. 令，由可得，则对任意恒成立， 等价于对任意恒成立， 所以，即. 令，易知在上单调递减，在上单调递增， 又，，所以在上的最大值为. 所以，因为函数为增函数，当时，， 因此.即实数的取值范围为. 四、解答题 15．（2025高三·全国·专题练习）求函数的值域. 【答案】 【分析】利用已知指数函数的值域来求所求函数的值域. 【详解】 所以，即，得或. 故函数的值域为. 16．（2025高三·全国·专题练习）求函数的值域． 【答案】 【分析】利用指数函数单调性求值域即可. 【详解】令，因此． ∵在定义域内为减函数，当时，可得：. ∴原函数的值域为． 17．（2024高三·全国·专题练习）求函数的最小值. 【答案】 【分析】方法一，判断函数的单调性求解；方法二，令，换元转化为二次函数求最值. 【详解】解法一：利用函数单调性. 易知函数的定义域为. 由于函数和函数在上均为减函数， ∴函数在上是减函数. 故当时，有最小值. 解法二：换元法. 设，则，.设，则 ， 在上单调递增.故当时，有最小值， 即当时，有最小值. 18．（25-26高一下·贵州毕节·月考）设函数是定义在上的偶函数，且当时，. (1)求的值； (2)求的解析式； (3)若函数，求函数的最小值. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用偶函数的定义求解； （2）利用偶函数的定义求函数解析式； （3）分情况讨论对称轴与区间的位置关系求最值. 【详解】（1）因为函数是定义在上的偶函数， 且当时，， 则； （2）设，则，所以， 因为函数是定义在上的偶函数， 所以，则时，， 所以； （3）当时，， 所以，对称轴为， 当时，； 当时，即时，； 当时，即时，； 综上所述，. 19．（25-26高一下·河北邢台·开学考试）已知函数（）. (1)证明：的图像过定点. (2)若，函数，求的最值. 【答案】(1)证明见解析 (2)最大值，无最小值 【分析】（1）令，代入计算即可得； （2）利用复合函数单调性可得在上单调递增，再求出值域后即可得解. 【详解】（1）当时，有， 故的图像过定点； （2）若，则， 因为在上单调递增，在上单调递增 所以在上单调递增， 又， 则， 故有最大值，无最小值. 1 / 46 学科网（北京）股份有限公司 $ 3.2.1 专题：函数求值域问题方法汇总 【题型一】 单调性法求值域 1 【题型二】 分离常数法求值域 3 【题型三】 判别式法求值域 4 【题型四】 图像法求值域 6 【题型五】 换元法求值域 9 课时精练 11 【基础回顾】 在高中阶段求函数值域的方法总结起来大概有观察法、单调性法、图像法、配方法、分离常数法、换元法、 判别式法 (有局限性)、平方法、反函数法、均值不等式、利用函数有界性、数形结合、导数法. 现阶段由于知识储备有限, 我们只对常见重点方法做研究, 其他方法在后面的学习中介绍. 【题型一】 单调性法求值域 如果一个函数为单调函数, 则由定义域结合单调性可快速求出函数的最值 (值域). 1. 若函数 在区间 上单调递增, 则 . 2. 若函数 在区间 上单调递减, 则 . 单调性法是求函数值域的常用方法, 就是利用我们所学的基本初等函数的单调性, 再根据所给定义域来确定函数的值域. 【例题精讲】 1．（25-26高一上·吉林·期末）函数在上的最大值为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高二下·湖南长沙·期末）已知函数，的最小值是：（    ） A． B．0 C．4 D．8 3．（25-26高一上·浙江湖州·期末）已知函数，则在上的最小值为（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高一上·湖南长沙·期末）若定义运算，则函数的值域为（   ） A． B． C． D． 5．（25-26高一上·山东济南·月考）函数的值域为（    ） A． B． C． D． 6．（25-26高一上·全国·期末）函数的值域为（ ）． A． B． C． D． 7．（25-26高一上·青海海南·期末）已知且，若函数的值域为，则a的取值范围是（   ） A． B． C． D． （多选）8．（25-26高一上·山东滨州·期末）已知函数的定义域为，其图像关于原点对称，当时，，则（    ） A．是增函数 B．当时， C．的值域为 D．，， （多选）9．（25-26高一上·四川成都·期末）已知是奇函数，则（ ） A． B．在上单调递增 C．的解集为 D．的值域为 （多选）10．（25-26高一上·四川绵阳·期末）已知函数，则下列说法正确的有（    ） A．存在，使得为偶函数 B．若是R上的减函数，则的取值范围是 C．若存在最大值，则的取值范围是 D．若存在最小值，则的取值范围是 【题型二】 分离常数法求值域 主要用于分式函数,以 为例,解题步骤如下: 第一步: 用分子配凑出分母的形式,将函数变形成 的形式, 第二步: 求出函数 在定义域范围内的值域,进而求出 的值域. 【例题精讲】 1．（25-26高一上·河北张家口·期末）函数在区间上的最大值、最小值分别为（   ） A．， B．， C．， D．， 2．（25-26高一上·四川遂宁·期中）函数，的最大值是（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 3．（25-26高一上·山东临沂·期中）下列函数中，值域不正确的是（   ） A．当时，函数的值域为 B．函数的值域为 C．函数的值域为 D．函数的值域为 4．（25-26高一上·安徽合肥·期中）若关于的不等式的解集中恰好有3个整数解，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高一上·云南玉溪·期末）函数的值域为（    ） A． B． C． D． 6．（24-25高一下·河南漯河·月考）设则下列选项不正确的是（    ） A． B．时，在上单调递减 C．时，在上单调递减 D．的值域为 7．（24-25高一上·广东·期末）函数的值域为（    ） A． B． C． D． （多选）8．（25-26高一上·甘肃白银·期末）已知函数，则（    ） A．的图像关于轴对称 B．当时，若，则 C．当时，的单调递减区间为 D．当时，的值域为 （多选）9．（25-26高一上·重庆·月考）已知函数，则下列结论正确的是（   ） A．，都有 B．的值域为 C．，且，都有 D．方程有3个不等实数根 （多选）10．（25-26高一上·陕西咸阳·月考）已知函数，则（   ） A．函数的定义域为 B．函数的值域为 C．函数的图像是中心对称图形 D．在上单调递减，则 【题型三】 判别式法求值域 判别式法: 主要用于含有二次的分式函数,形如: 将函数式化成关于 的方程,且方程有解,用根的判别式求出参数 的取值范围,即得函数的值域. 应用判别式法时必须考虑原函数的定义域, 并且注意变形过程中的等价性. 运用此方法需要注意的易错点很多, 故不建议将此方法作为主要方法, 此种形式还可使用分离常数法解法. 【例题精讲】 1．（25-26高三上·贵州·月考）已知函数，若实数，满足，则的最大值为（    ） A． B．4 C． D．5 2．（22-23高一上·陕西西安·期末）已知正实数满足则的最大值是（    ） A． B． C． D． 3．（18-19高三·北京·强基计划）函数的值域为（    ） A． B． C． D．以上答案都不对 4．（21-22高二下·黑龙江大庆·期末）已知函数，则下列选项不正确的是（   ） A．，为增函数 B．，对，为偶函数 C．，对，有最大值 D．，对，有最大值 5．（20-21高一·全国·课后作业）函数的最大值与最小值的和是（     ） A． B． C． D． 6．（21-22高三上·河南平顶山·月考）若函数的最大值为，最小值为，则（    ） A．4 B．6 C．7 D．8 7．（23-24高三下·江苏苏州·月考）已知，，则的最大值为（    ） A． B． C． D． （多选）8．（2025高一上·江苏·专题练习）（多选）已知函数的值域为，则常数可以是（ ） A． B．1 C．7 D． （多选）9．（25-26高一上·江苏南京·期中）下列说法正确的有（   ） A．函数的值域为 B．函数与是同一个函数 C．函数是奇函数 D．若函数在区间上不具有单调性，则实数的取值范围为 （多选）10．（25-26高一上·重庆渝中·月考）已知实数满足，则下列选项正确的是（   ） A． B． C． D． 【题型四】 图像法求值域 作出函数的图像, 通过观察曲线所覆盖函数值的区域确定值域, 图像法一般针对分段函数求值域问题, 在之前我们也已经学习过分段函数图像的画法. 重点在于分类讨论. 【例题精讲】 1．（25-26高一上·江西上饶·月考）已知函数的解析式为. (1)画出函数的图像，并直接写出函数的值域和单调区间； (2)解不等式； (3)若直线（k为常数）与函数的图像分别有两个和四个公共点，直接写出相对应的k的范围. 2．（25-26高一上·吉林长春·月考）已知函数 (1)在如图所示的平面直角坐标系中，画出的大致图像，并写出的单调区间及值域； (2)若函数的图像与轴有两个不同的交点，求实数的取值范围； (3)若有不相等的实数，，满足，求的取值范围． 3．（25-26高一上·贵州贵阳·月考）已知函数 (1)求的值； (2)若方程有三个不相等的实数根，求实数的取值范围； (3)若在的值域为，求实数的取值范围. 4．（25-26高一上·全国·课后作业）已知函数，． (1)在同一坐标系中画出函数的图像； (2)定义：对作出函数的图像，并求函数的解析式，写出的值域（不需要证明）． 5．（24-25高一上·湖南邵阳·期末）已知函数，是定义在R上的奇函数． (1)求实数a的值； (2)判断在R上的单调性，并证明你的结论； (3)若存在区间，使得函数在上的值域为，求实数t的取值范围． 6．（24-25高一上·福建莆田·期中）已知函数是定义在上的奇函数，且当时，.现已画出函数在轴左侧的图像，如图所示. (1)请补全函数的图像并求的值； (2)由函数图像直接写出函数的单调递减区间； (3)由函数图像直接写出使的的取值集合； (4)求函数当的值域. 7．（22-23高一上·北京丰台·期末）已知函数． (1)判断f（x）的奇偶性，并证明； (2)在如图所示的平面直角坐标系xOy中，画出的图像，并写出该函数的值域； (3)写出不等式的解集． 8．（23-24高一上·广东深圳·期中）已知函数是定义在R上的函数，. (1)将函数写成分段函数的形式，并画出函数的图像； (2)根据图像写出值域. (3)若与有两个交点，求的取值范围. 9．（23-24高一上·四川成都·期中）函数 (1)画出函数的图像； (2) 当时，求函数的值域（直接写出值域，不要过程）． (3)若有四个不相等的实数根，求的取值范围．（直接写出结果，不要求过程） 10．（23-24高一上·广东深圳·期中）已知为定义在R上的偶函数，当时，. (1)用分段函数表示时的解析式，作出在定义域内的图像，并指出的值域；    (2)讨论直线与图像的交点个数（不需证明）． 【题型五】 换元法求值域 此种方法适用于求根式型函数或形式较为复杂的函数的值域, 换元后要注意新元的取值范围, 换元法求函数值域, 其实质是等价转换的思想方法. 【例题精讲】 1．（25-26高一下·安徽安庆·开学考试）函数的值域是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高一上·陕西西安·期末）函数的值域是（   ） A． B． C． D． 3．（2026·福建泉州·二模）定义在上的奇函数，当时，，则的值域为（   ） A． B． C． D． 4．（25-26高一上·四川凉山·期末）函数的最大值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 5．（25-26高一上·河北保定·期中）函数的值域为（   ） A． B． C． D． 6．（25-26高三上·河南·期中）已知函数在区间上的值域为.若，则的值为（   ） A．1 B．2 C．4 D．8 7．（25-26高一上·江苏镇江·期中）已知函数，定义域为．则的值域为（    ） A． B． C． D． （多选）8．（25-26高一上·山西忻州·期末）已知函数，则下列结论正确的是（    ） A．是偶函数 B．在上单调递增 C．的值域为 D．若，且，则 （多选）9．（24-25高一上·重庆渝中·期中）已知函数，则下列结论正确的是（    ） A．函数的定义域为 B．函数的值域为 C．函数的图像关于轴对称 D．函数在上为增函数 （多选）10．（25-26高一上·广东广州·月考）设函数，，则（   ） A． B．函数为奇函数 C．函数在其定义域上为增函数 D．函数的值域为 课时精练 一、单选题 1．（2026高二上·北京·学业考试）若实数满足，则的最大值是（    ） A．4 B．6 C．7 D．9 2．（25-26高一上·浙江杭州·期末）若命题“都成立”为真命题，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 3．（25-26高一上·浙江杭州·期中）函数的值域为（   ） A． B． C． D． 4．（25-26高一下·浙江·开学考试）已知，，则的最大值是（    ） A． B． C． D． 5．（2026·安徽六安·模拟预测）若是定义在上的偶函数，当时，，则函数在上的值域为（   ） A． B． C． D． 6．（2026·江西南昌·二模）已知函数在定义域内有最小值，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 7．（24-25高一上·福建福州·期中）函数的值域是（   ） A． B． C． D． 8．（25-26高一上·山西运城·月考）已知函数的值域为，则函数的最大值是（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 二、多选题 （多选）9．（24-25高一上·江西吉安·月考）下列选项正确的是（    ） A．的定义域为，则的定义域为 B．函数的值域为 C．函数在的值域为 D．函数的值域为 （多选）10．（23-24高一上·湖南张家界·期中）下列四个命题是真命题的有（    ） A．若函数的定义域为，则函数的定义域为 B．函数的值域为 C．若函数的两个零点都在区间内，则实数的取值范围为 D．已知，在上的值域为 （多选）11．（25-26高一上·全国·月考）已知函数，则下列选项正确的是（   ） A．函数的定义域为 B．且， C．函数在上单调递减 D．当时，函数的值域为 三、填空题 12．（2026·广西崇左·一模）函数的值域为______. 13．（25-26高一下·上海·月考）函数的值域为________________． 14．（25-26高一下·湖南长沙·开学考试）已知函数，若，恒成立，则实数的取值范围是________. 四、解答题 15．（2025高三·全国·专题练习）求函数的值域. 16．（2025高三·全国·专题练习）求函数的值域． 17．（2024高三·全国·专题练习）求函数的最小值. 18．（25-26高一下·贵州毕节·月考）设函数是定义在上的偶函数，且当时，. (1)求的值； (2)求的解析式； (3)若函数，求函数的最小值. 19．（25-26高一下·河北邢台·开学考试）已知函数（）. (1)证明：的图像过定点. (2)若，函数，求的最值. 1 / 46 学科网（北京）股份有限公司 $