精品解析：山东省枣庄市滕州市洪绪中学2022年九年级中考数学冲刺试卷 (3)

洪绪中学九年级中考数学冲刺试卷 一．选择题 1. 如图，三角形板的直角顶点落在矩形纸片的一边上，若，则的度数是（ ） A. 35° B. 45° C. 55° D. 65° 2. 下面是某同学在一次测试中的计算： ①；②；③；④，其中运算正确的个数为（ ） A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 3. 实数、在数轴上的位置如图所示，化简的结果是（ ）． A. B. 0 C. D. 4. 要使式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是（　　） A. x＞1且x≠2 B. x≥1且x≠2 C. x＞2 D. 1＜x＜2 5. 如图，在平行四边形纸片中，点为对角线与的交点，若随机向平行四边形纸片内投一粒米，则米粒落在图中阴影部分的概率为（　　　） A. B. C. D. 6. 如图，在中，，点D为内一点，连接、，若，则的长为（　　） A. B. C. 2 D. 4 7. 关于x的不等式组只有3个整数解，则a的取值范围为（　　） A. ﹣3≤a＜﹣2 B. ﹣3≤a≤﹣2 C. ﹣3＜a≤﹣2 D. ﹣3＜a＜﹣2 8. 定义新运算，对于任意实数a，b满足，其中等式右边是通常的加法、减法、乘法运算，例如，若（k为实数） 是关于x的方程，则它的根的情况是（ ） A. 有一个实根 B. 有两个不相等的实数根 C. 有两个相等的实数根 D. 没有实数根 9. 如图，直线y=kx+b（k>0）经过点P(−1，1)，当kx+b≥−x时，则x的取值范围为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的顶点A，D分别在x轴、y轴上，对角线BD∥x轴，反比例函数（k＞0，x＞0）的图象经过矩形对角线的交点E．若点A（1，0），D（0，3），则k的值为（　 　） A. 15 B. 12 C. 9 D. 二．填空题 11. 已知a、b是方程的两个实数根，则的值是__________． 12. 图2是图1中长方体的三视图，若用S表示面积，S主视图=x2+2x，S左视图=x2+x，则S俯视图=______． 13. 如图，在中，，，，D为的中点，以点D为圆心作圆心角为的扇形，点C恰在弧上，则图中阴影部分的面积为______． 14. 如图①，在中，，点E是边的中点，点P是边上一动点，设．图②是y关于x的函数图象，其中H是图象上的最低点．．那么的值为_______． 15. 如图，在正方形ABCD中，AB=1，点E、F分别在边BC和CD上，AE＝AF，∠EAF=60°，则CF的长是____． 16. 如图所示，已知二次函数的图象与轴交于两点，与轴交于点，，对称轴为直线，则下列结论：①；②；③；④是关于的一元二次方程的一个根．其中正确的有__________． 三．解答题 17. 若关于的方程无解，求的值． 18. （1）计算： （2）解不等式组： 19. 新冠疫情防控期间，银川市某中学积极开展“停课不停学”网络教学活动．为了了解初中生每日线上学习时长t （单位：小时）的情况，在全校范围内随机抽取了部分初中生进行调查，并将所收集的数据分组整理，绘制了如图所示的不完整的频数分布直方图和扇形统计图． 根据图中信息，解答下列问题： （1）在这次调查活动中，一共抽取了多少名初中生？ （2）若该校有2000名初中生，请你估计该校每日线上学习时长在“3≤t＜4”范围的初中生共有多少名？ （3）每日线上学习时长恰好在“2≤t＜3”范围的初中生中有甲、乙、丙、丁4人表现特别突出，现从4人中随机选出2人分享在线学习心得，用列表或画树状图的方法求恰好选中甲和乙的概率． 20. 以下各图均是由边长为1的小正方形组成的网格，图中的点A、B、C、D均在格点上． （1）在图①中，PA：PD＝　 　；（填两数字之比） （2）利用网格和无刻度的直尺作图，保留痕迹，不写作法． ①如图②，在线段AB上找一点P，使； ②如图③，在线段BD上找一点P，使△APB∽△CPD． 21. 如图，已知点D在反比例函数的图象上，过点D作轴，垂足为，直线经过点，与y轴交于点C，且，． （1）求反比例函数和一次函数的表达式； （2）连接，求的正弦值． 22. 如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，过点D的直线EF交AC于点F，交AB的延长线于点E，且∠BAC＝2∠BDE． （1）求证：DF是⊙O的切线； （2）当CF＝4，BE＝6时，求AF的长． 23. 问题：在△ABC中，AB＝6，AC＝4，AD是△ABC的中线，求线段AD长度的取值范围． （1）探究：如图1，我们可以延长AD到E，使DE＝AD，连接BE，求证：△BED≌△CAD； （2）解决问题：求线段AD长度的取值范围； （3）方法运用： 如图2，在矩形ABCD中，，在对角线BD上取一点F，以BF为斜边在左上方作Rt△BEF，且，点G是DF的中点，连接EG，CG，求证：EG＝CG． 24. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2＋bx＋c与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点 C． （1）直接写出抛物线的解析式为：　 　； （2）点D为第一象限内抛物线上的一动点，作DE⊥x轴于点E，交BC于点F，过点F作BC的垂线与抛物线的对称轴和y轴分别交于点G，H，设点D的横坐标为m． ①求DF＋HF的最大值； ②连接EG，若∠GEH＝45°，求m的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 洪绪中学九年级中考数学冲刺试卷 一．选择题 1. 如图，三角形板的直角顶点落在矩形纸片的一边上，若，则的度数是（ ） A. 35° B. 45° C. 55° D. 65° 【答案】A 【解析】 【分析】由平行线的性质可得,然后再根据平角的定义列式即可解答． 【详解】解：如图：由长方形的对边平行可得： ∵， ∴． 故选A． 【点睛】本题主要考查了平行线的性质、平角的性质等知识点，掌握两直线平行、同位角相等是解答本题的关键． 2. 下面是某同学在一次测试中的计算： ①；②；③；④，其中运算正确的个数为（ ） A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 【答案】D 【解析】 【分析】根据整式的减法、整式的乘除法、幂的乘方逐个判断即可． 【详解】与不是同类项，不可合并，则①错误 ，则②错误 ，则③错误 ，则④正确 综上，运算正确的个数为1个 故选：D． 【点睛】本题考查了整式的减法、整式的乘除法、幂的乘方，熟记整式的运算法则是解题关键． 3. 实数、在数轴上的位置如图所示，化简的结果是（ ）． A. B. 0 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据实数a和b在数轴上的位置得出其取值范围，再利用二次根式的性质和绝对值的性质即可求出答案． 【详解】解：由数轴可知-2＜a＜-1，1＜b＜2， ∴a+1＜0，b-1＞0，a-b＜0， ∴ = = =-2 故选A. 【点睛】此题主要考查了实数与数轴之间的对应关系，以及二次根式的性质，要求学生正确根据数在数轴上的位置判断数的符号以及绝对值的大小，再根据运算法则进行判断． 4. 要使式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是（　　） A. x＞1且x≠2 B. x≥1且x≠2 C. x＞2 D. 1＜x＜2 【答案】B 【解析】 【分析】根据分式有意义可得x﹣2≠0，根据二次根式有意义的条件可得x+1≥0，再解即可． 【详解】解：由题意得：x﹣2≠0，且x﹣1≥0， 解得：x≥1且x≠2， 故选：B． 【点睛】本题考查了分式有意义的条件，二次根式有意义的条件，掌握分式与二次根式有意义的条件是解题的关键． 5. 如图，在平行四边形纸片中，点为对角线与的交点，若随机向平行四边形纸片内投一粒米，则米粒落在图中阴影部分的概率为（　　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质求出阴影部分的面积与平行四边形面积之间的数量关系，再根据几何概率的相关计算方法求出结果即可． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴S△ACD=S△ABC= SABCD． ∵OA=OC， ∴S△AOD= S△OCD= S△ACD． ∴S△AOD=SABCD． 故P= ． 故选：C 【点睛】本题主要考查了几何概率，熟练掌握概率公式与平行四边形的性质是解题的关键． 6. 如图，在中，，点D为内一点，连接、，若，则的长为（　　） A. B. C. 2 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】勾股定理求出，含30度角的直角三角形的性质，求出，再利用勾股定理求出即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：A． 【点睛】本题考查含30度角的直角三角形和勾股定理．熟练掌握相关性质和定理，是解题的关键． 7. 关于x的不等式组只有3个整数解，则a的取值范围为（　　） A. ﹣3≤a＜﹣2 B. ﹣3≤a≤﹣2 C. ﹣3＜a≤﹣2 D. ﹣3＜a＜﹣2 【答案】A 【解析】 【分析】先求出x的解，再根据解的情况求出不等式中参数的取值． 【详解】， 解不等式①，得x≥﹣2， 解不等式②，得x≤a+3， ∵关于x的不等式组只有3个整数解，则这三个整数解为-2，-1,0． ∴0≤a+3＜1， ∴﹣3≤a＜﹣2， 故选：A． 【点睛】本题考查求不等式组中的参数取值范围，掌握把x取值范围转化成参数取值范围是本题关键． 8. 定义新运算，对于任意实数a，b满足，其中等式右边是通常的加法、减法、乘法运算，例如，若（k为实数） 是关于x的方程，则它的根的情况是（ ） A. 有一个实根 B. 有两个不相等的实数根 C. 有两个相等的实数根 D. 没有实数根 【答案】B 【解析】 【分析】将按照题中的新运算方法展开，可得，所以可得，化简得：，，可得，即可得出答案. 【详解】解：根据新运算法则可得：， 则即为， 整理得：， 则， 可得： ， ； ， 方程有两个不相等的实数根； 故答案选：B. 【点睛】本题考查新定义运算以及一元二次方程根的判别式.注意观察题干中新定义运算的计算方法，不能出错；在求一元二次方程根的判别式时，含有参数的一元二次方程要尤其注意各项系数的符号. 9. 如图，直线y=kx+b（k>0）经过点P(−1，1)，当kx+b≥−x时，则x的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】直线y=kx+b（k＞0）经过点P（-1，1），直线y=-x也经过点（-1，1），根据函数的图象即可写出不等式的解集． 【详解】解：直线y=kx+b（k＞0）经过点P（-1，1），直线y=-x也经过点（-1，1）， 根据图象可得：kx+b≥-x时，x的取值范围是：x≥-1． 故选：B． 【点睛】本题考查了一次函数与一元一次不等式．数形结合是解决本题的关键． 10. 如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的顶点A，D分别在x轴、y轴上，对角线BD∥x轴，反比例函数（k＞0，x＞0）的图象经过矩形对角线的交点E．若点A（1，0），D（0，3），则k的值为（　 　） A. 15 B. 12 C. 9 D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据平行于x轴的直线上任意两点纵坐标相同，可设B(x，3)．利用矩形的性质得出E为BD中点，根据线段中点坐标公式得出E(x，3)．由勾股定理得出AD2+AB2=BD2，列出方程12+32+(x-1)2+32=x2，求出x，得到E点坐标，即可求得反比例函数的解析式． 【详解】解：∵BD∥x轴，D（0，3）， ∴B、D两点纵坐标相同，都为3， ∴可设B（x，3）． ∵矩形ABCD的对角线的交点为E， ∴E为BD中点， ∴E（x，3）． ∵∠DAB=90°， ∴AD2+AB2=BD2， ∵A（1，0），D（0，3），B（x，3）， ∴12+32+(x-1)2+32=x2， 解得x=10， ∴E（5，3）． ∵反比例函数y=（k＞0，x＞0）的图象经过点E， ∴k=5×3=15， 故选：A． 【点睛】本题考查了矩形的性质，勾股定理，反比例函数图象上点的坐标特征，线段中点坐标公式等知识，求出E点坐标是解题的关键． 二．填空题 11. 已知a、b是方程的两个实数根，则的值是__________． 【答案】2026 【解析】 【分析】根据一元二次方程解的定义以及根和系数的关系，得到，，再代入计算求值即可． 【详解】解：a、b是方程的两个实数根， ，， ， ． 12. 图2是图1中长方体的三视图，若用S表示面积，S主视图=x2+2x，S左视图=x2+x，则S俯视图=______． 【答案】x2+3x+2 【解析】 【分析】由主视图和左视图的宽为x，结合两者的面积得出俯视图的长和宽，从而得出答案． 【详解】解：∵S主视图=x2+2x=x（x+2），S左视图=x2+x=x（x+1）， ∴俯视图的长为x+2，宽为x+1， 则俯视图的面积S俯视图=（x+2）（x+1）=x2+3x+2． 故答案为：x2+3x+2． 【点睛】本题主要考查由三视图判断几何体，解题的关键是根据主视图、俯视图和左视图想象几何体的前面、上面和左侧面的形状，以及几何体的长、宽、高． 13. 如图，在中，，，，D为的中点，以点D为圆心作圆心角为的扇形，点C恰在弧上，则图中阴影部分的面积为______． 【答案】 【解析】 【分析】过点D作于点M，作于点N，连接，由题意易证矩形为正方形，即可求出，，从而得出，．再证明，得出，最后根据和求解即可． 【详解】解：如图，过点D作于点M，作于点N，连接． ∴， ∴四边形为矩形． ∵D为的中点，， ∴平分， ∴， ∴矩形为正方形． ∵， ∴，， ∴，． ∵， ∴，即， ∴， ∴， ∴， ∴ 故答案为：． 【点睛】本题考查求不规则图形的面积，等腰三角形的性质，正方形的判定和性质，角平分线的判定和性质，三角形全等的判定和性质，正确作出辅助线构造全等三角形是解题关键． 14. 如图①，在中，，点E是边的中点，点P是边上一动点，设．图②是y关于x的函数图象，其中H是图象上的最低点．．那么的值为_______． 【答案】7 【解析】 【分析】过B作AC的平行线，过C作AB的平行线，交于点D，证明四边形ABCD为菱形，得到点A和点D关于BC对称，从而得到PA+PE=PD+PE，推出当P，D，E共线时，PA+PE最小，即DE的长，观察图像可知：当点P与点B重合时，PD+PE=，分别求出PA+PE的最小值为3，PC的长，即可得到结果. 【详解】解：如图，过B作AC的平行线，过C作AB的平行线，交于点D， 可得四边形ABCD为平行四边形，又AB=AC， ∴四边形ABCD为菱形，点A和点D关于BC对称， ∴PA+PE=PD+PE， 当P，D，E共线时，PA+PE最小，即DE的长， 观察图像可知：当点P与点B重合时，PD+PE=， ∵点E是AB中点， ∴BE+BD=3BE=， ∴BE=，AB=BD=， ∵∠BAC=120°， ∴∠ABD=（180°-120°）÷2×2=60°， ∴△ABD为等边三角形， ∴DE⊥AB，∠BDE=30°， ∴DE=3，即PA+PE的最小值为3， 即点H的纵坐标为a=3， 当点P为DE和BC交点时， ∵AB∥CD， ∴△PBE∽△PCD， ∴， ∵菱形ABCD中，AD⊥BC， ∴BC=2×=6， ∴， 解得：PC=4， 即点H的横坐标为b=4， ∴a+b=3+4=7， 故答案为：7. 【点睛】本题考查动点问题的函数图象，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答． 15. 如图，在正方形ABCD中，AB=1，点E、F分别在边BC和CD上，AE＝AF，∠EAF=60°，则CF的长是____． 【答案】 【解析】 【分析】先证△ABE≌△ADF，再求tan15°的大小，可得DF的长，最终得到CF 【详解】∵四边形ABCD是正方形 ∴∠B=∠D=90°，AB=AD=1 ∵AE=AF ∴△ABE≌△ADF，∴∠BAE=∠DAF ∵∠EAF=60° ∴∠BAE=∠FAD=15° ∴DF=ADtan15°=tan15° 如下图，在△MNQ中，∠M=15°，∠N=90°，在MN上取一点P，使得PQ=PM ∵PQ=PM，∠M=15° ∴∠PQM=15° ∵∠N=90°，∴∠NQM=75° ∴∠NQP=60° 设NQ=x 在Rt△NPQ中，NP=，PQ=2x 在△PMQ中，PM=2x ∴在Rt△MNQ中，tan15°=tan∠M= ∴FD= ∴CF=CD-DF= 故答案为： 【点睛】本题是特殊锐角三角函数的考查，需要注意：30°、45°、60°的三角函数我们比较熟悉，15°、75°的三角函数通过简单推导，也能得出 16. 如图所示，已知二次函数的图象与轴交于两点，与轴交于点，，对称轴为直线，则下列结论：①；②；③；④是关于的一元二次方程的一个根．其中正确的有__________． 【答案】①③④ 【解析】 【分析】根据抛物线的开口方向、对称轴、与y轴交点的位置可得a、b、c的取值范围，由此可判断①；根据结合c的取值范围可对②进行判断；由可得A的坐标，代入解析式可判断③；由点A坐标结合对称轴可得点B坐标，据此可判断④． 【详解】解：∵抛物线开口向下， ∴， ∵抛物线的对称轴为直线， ∴， ∵抛物线与轴的交点在轴上方， ∴， ∴，故①正确； ∵， ∴， ∵， ∴，故②错误； ∵，， ∴， 把代入得， ∴，故③正确； ∵，对称轴为直线， ∴， ∴是关于x的一元二次方程的一个根，故④正确； 综上可知，正确的有①③④． 三．解答题 17. 若关于的方程无解，求的值． 【答案】或或 【解析】 【分析】本题主要考查了分式方程的解，正确分类讨论是解题关键. 去分母后，根据一元一次方程无解和分式方程无解的情况，分别讨论分析即可得解. 【详解】解： 等式两边同乘，得 ， 整理得：， 当时，该一元一次方程无解， 此时， 当，则， ，即， 当时，则原分式方程无解， 解得或． 综上所述，或或时，关于的方程无解． 18. （1）计算： （2）解不等式组： 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】（1）根据零指数幂以及二次根式的混合运算法则计算即可； （2）分别求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的公共部分即可． 【详解】（1） ； （2） 由①得 由②得 ∴原不等式组的解集为． 【点睛】本题考查了零指数幂、二次根式的混合运算以及解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是解一元一次不等式组基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． 19. 新冠疫情防控期间，银川市某中学积极开展“停课不停学”网络教学活动．为了了解初中生每日线上学习时长t （单位：小时）的情况，在全校范围内随机抽取了部分初中生进行调查，并将所收集的数据分组整理，绘制了如图所示的不完整的频数分布直方图和扇形统计图． 根据图中信息，解答下列问题： （1）在这次调查活动中，一共抽取了多少名初中生？ （2）若该校有2000名初中生，请你估计该校每日线上学习时长在“3≤t＜4”范围的初中生共有多少名？ （3）每日线上学习时长恰好在“2≤t＜3”范围的初中生中有甲、乙、丙、丁4人表现特别突出，现从4人中随机选出2人分享在线学习心得，用列表或画树状图的方法求恰好选中甲和乙的概率． 【答案】（1）名 （2）名 （3） 【解析】 【分析】（1）由B的人数除以所占百分比即可； （2）由该校共有初中生人数乘以每日线上学习时长在“3≤t＜4”范围的初中生所占的比例即可； （3）画树状图，共有12种等可能的结果，其中恰好选中甲和乙的结果有2种，再由概率公式求解即可． 【小问1详解】 解：由题意得：100÷20%=500（名）， 答：在这次调查活动中，一共抽取了500名初中生； 【小问2详解】 解：条形统计图中，D的人数为：500-50-100-160-40=150（名）， 则估计该校每日线上学习时长在“3≤t＜4”范围的初中生共有： 2000×=600（名）， 答：估计该校每日线上学习时长在“3≤t＜4”范围的初中生共有600名； 【小问3详解】 解：画树状图如下： 共有12种等可能的结果，其中恰好选中甲和乙的结果有2种， ∴恰好选中甲和乙的概率为． 【点睛】此题考查的是用树状图法求概率、频数分布直方图以及扇形统计图等知识．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件；注意此题是放回试验还是不放回试验；概率=所求情况数与总情况数之比． 20. 以下各图均是由边长为1的小正方形组成的网格，图中的点A、B、C、D均在格点上． （1）在图①中，PA：PD＝　 　；（填两数字之比） （2）利用网格和无刻度的直尺作图，保留痕迹，不写作法． ①如图②，在线段AB上找一点P，使； ②如图③，在线段BD上找一点P，使△APB∽△CPD． 【答案】（1）3：1；（2）①见解析；②见解析 【解析】 【分析】（1）如图①中，利用平行线的性质求解即可． （2）①如图②中，取格点E，F，连接EF交AB于点P，点P即为所求作． ②如图③中，取格点T，连接CT交BD于点P，连接PA，点P即为所求作． 【详解】解：（1）如图①中，∵AB∥CD， ∴＝＝， 故答案为：3：1． （2）①如图②中，点P即为所求作． ②如图③中，点P即为所求作． 【点睛】本题考查了作图-应用与设计，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 21. 如图，已知点D在反比例函数的图象上，过点D作轴，垂足为，直线经过点，与y轴交于点C，且，． （1）求反比例函数和一次函数的表达式； （2）连接，求的正弦值． 【答案】（1）；； （2） 【解析】 【分析】（1）先根据题意得出，，再利用待定系数法求解即可； （2）先证明，进而推出是等腰直角三角形，即可求解． 【小问1详解】 解：，， ，， ， ， ， 又∵点C在y轴负半轴，点D在第二象限， ∴点C的坐标为，点D的坐标为． ∵点在反比例函数的图象上， ∴， ∴反比例函数的表达式为． 将、代入，得， 解得：， ∴一次函数的表达式为． 【小问2详解】 解：，，， ， ，， ， 是等腰直角三角形， ， ． 22. 如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，过点D的直线EF交AC于点F，交AB的延长线于点E，且∠BAC＝2∠BDE． （1）求证：DF是⊙O的切线； （2）当CF＝4，BE＝6时，求AF的长． 【答案】（1）见解析；（2）20 【解析】 【分析】（1）连接，，由是直径可得到，然后通过题中角的关系可推出，即可得证； （2）通过，得到，然后设，列分式方程即可解得，从而得到的长． 【详解】（1）证明：如图，连接，， ∵是直径， ∴． ∴． ∵， ∴， ∵， ∴． ∵， ∴． ∵ ∴． ∴，即． 又是的半径， ∴是的切线． （2）∵，， ∴． ∵， ∴OD是三角形ABC的中位线， ∴， ∴， ∴． 设，则 ∵，， ∴，，，． ∴． 解得． 经检验是所列分式方程的解． ∴． 【点睛】本题考查了切线的判定，相似三角形的判定和性质，熟练掌握切线的判定方法是解题的关键． 23. 问题：在△ABC中，AB＝6，AC＝4，AD是△ABC的中线，求线段AD长度的取值范围． （1）探究：如图1，我们可以延长AD到E，使DE＝AD，连接BE，求证：△BED≌△CAD； （2）解决问题：求线段AD长度的取值范围； （3）方法运用： 如图2，在矩形ABCD中，，在对角线BD上取一点F，以BF为斜边在左上方作Rt△BEF，且，点G是DF的中点，连接EG，CG，求证：EG＝CG． 【答案】（1）见解析x （2） （3）见解析 【解析】 【分析】(1)由“SAS”可证△BED≌△CAD； (2)由全等三角形的性质可得AC=BE=4，由三角形的三边关系可求解； (3)延长CG至N，使NG=CG，连接EN，CE，NF，由“SAS”可证△NGF≌△CGD，可得CD=NF，∠CDB=∠NFG，通过证明△BEC∽△FEN，可得∠BEC=∠FEN，可得∠BEF=∠NEC=90°，由直角三角形的性质可得结论． 【小问1详解】 证明是中线 在与中 【小问2详解】 解： 在中， 【小问3详解】 证明：如图：延长CG到N，使NG=CG，连接EN，CE，NF 点是DF的中点 又，CG=NG ∴CD=NF， ∵， ∴， ∴ ， ， 又 ，且CD=NF 又 【点睛】本题是四边形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，矩形的性质，锐角三角函数，相似三角形的判定和性质，添加恰当辅助线构造相似三角形是本题的关键． 24. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2＋bx＋c与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点 C． （1）直接写出抛物线的解析式为：　 　； （2）点D为第一象限内抛物线上的一动点，作DE⊥x轴于点E，交BC于点F，过点F作BC的垂线与抛物线的对称轴和y轴分别交于点G，H，设点D的横坐标为m． ①求DF＋HF的最大值； ②连接EG，若∠GEH＝45°，求m的值． 【答案】(1) (2)①②1或 【解析】 【分析】（1）将点的坐标代入解析式列二元一次方程组即可； （2）①用含有m的式子表示HF、DF得到新的二次函数，再利用二次函数的增减性和自变量的取值范围，得到最大值． ②根据条件找到相似三角形，用含有m的式子表示HE、OE、OH再利用勾股定理列方程解出m 【详解】(1)将点A(-1，0)，B(3，0)代入抛物线 y=-x2+bx+c得 解得： 则抛物线的解析式为 故答案为：； (2)①当x=0时， =3. ∴C(0，3)， 又∵B(3，0)， 所以直线BC的解析式为y=-x+3， ∵OB=OC=3， ∴∠OB C=∠OC B=45° 过点F作FK⊥y轴于点K，如下图 又∵FH⊥BC， ∴∠ KFH=∠K HF=45°， ∴.FH= KF=OE ∴DF+HF=DE-EF+OE ＝ (-m2+2m+3) - (-m+3) +m ＝－m2+ (3+) m, 由题意得，0<m<3且 又-1<0 ∴当m= 时，DF+HF取得最大值， DF+HF的最大值为：； ②过点G作GM⊥y轴于点M,记直线FH与x轴交于点N, ∵FK⊥y轴，DE⊥x轴，∠ KFH=45°, ∴∠EFH=∠ENF=45°, ∴EF=EN, ∵ ∠KHF= ∠ONH=45°, ∴OH=ON, ∵的对称轴为直线x=1, ∴ MG=1, ∴HG=MG=, ∵ ∠GEH=45°, ∴∠GEH=∠EFH, ∵ ∠EHF=∠GHE, ∴△EHG~△FHE, ∴ ∴ 在Rt△OEH中， OH=ON=|OE-EN| =|OE-EF|＝｜m- (-m+3) |=|2m-3| 又OE=m, ∴HE2=OE2+OH2,即 2m=m2+ (2m-3) 2, 解得：m=1或； 【点睛】本题考查二次函数解析式、线段和最短问题、相似三角形，能够灵活使用方程思想解决问题是解题的关键，常用勾股定理、相似比列方程． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $