分层练53空间直线、平面的垂直专项训练-2027届高三数学一轮复习

**基本信息** 聚焦空间垂直关系判定与性质，通过分层训练构建从线线垂直到面面垂直的逻辑链条，培养空间观念与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |A级基础巩固|12题|选择（含多选）、填空、解答，覆盖定义理解、命题判断、基础证明|以线面垂直判定定理为核心，关联线线垂直与面面垂直性质，形成"线线垂直→线面垂直→面面垂直"推导链| |B级能力提升|4题|高考真题、复杂几何体综合题，涉及动态旋转、体积计算|深化垂直关系在棱锥、正方体中的应用，强化空间几何直观与逻辑推理的结合|

分层练53空间直线、平面的垂直 【A级基础巩固】 1.已知平面和直线有交点，则“直线与平面垂直”是“平面内存在两条夹角为的直线，，使得且”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 2.已知是三个不同的平面,是两条不同的直线,下列命题中正确的是( ) A.若,则 B.若,则 C.若,则 D.若，则 3.已知是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列可以推出的是( ) A. B. C. D. 4.如图，在下列四个正方体中，，为正方体的两个顶点，，，为所在棱的中点，则在这四个正方体，直线与平面不垂直的是( ) A B C D 5.(多选)如图,为圆的直径,垂直于圆所在的平面,为圆周上不与点重合的点,于于,则下列结论正确的是( ) A.平面平面 B.平面平面 C.平面平面 D.平面平面 6.如图所示，已知四边形ABCD是由一个等腰直角和一个有一内角为的直角三角形拼接而成,将绕边旋转的过程中,下列结论中不可能成立的是( ) A.CD B.BC C.BD D.BC 7.(多选)青岛质检四棱台的底面是正方形,平面,则( ) A.直线与直线所成角为 B.直线与直线异面 C.平面平面 D. 8.如图所示是一个正方体的平面展开图.则在该正方体中，棱_____所在的直线与棱所在的直线是异面直线且互相垂直.(注:填上你认为正确的一条棱即可,不必考虑所有可能的情况) 9.已知在平面内,平面,则直线与的位置关系是_____. 10.已知平面和直线，给出以下条件:(1)；(2)_____成立③④，为，当条件_____成立时，有；当条件_____成立时，有.(填所选条件的序号) 11.如图,在四棱锥中,平面,底面为菱形,为的中点. (1)求证:平面；(2)若，求证:平面平面. 12.(2023·昆明模拟)如图，在四棱锥中,底面-为正方形，侧面是正三角形，平面平面是的中点. (1)证明:平面； (2)若，求点到平面的距离. 【B级能力提升】 13.(多选)(2021·新高考II卷)如图，在正方体中，为底面的中心，为所在棱的中点，，为正方体的顶点,则满足的是( ) A B C D 14.(多选)在三棱锥中,已知,平面平面，且，则( ) A. B.平面平面 C.三棱锥的体积为 D.三棱锥的外接球的表面积为 15.如图所示,在四棱锥中,底面,且底面各边都相等,是上的一动点,当点满足_____时,平面上平面(只要填写一个你认为是正确的条件即可). 16.在四棱锥中,是等边三角形,且平面平面,. (1)AD上是否存在一点，使得平面平面？若存在,请证明;若不存在,请说明理由; (2)若的面积为，求四棱锥的体积. 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1.C[若直线与平面垂直，则垂直内的任意一条直线,若平面内存在两条夹角为的直线,则且,故充分性成立；若平面内存在两条夹角为的直线，，使得且，由线面垂直的判定定理可知直线与平面垂直，故必要性成立；所以“直线与平面垂直”是“平面内存在两条夹角为的直线、，使得且”的充要条件.故选C. 2.B[A中，若,,则,可能相交也可能平行，错误；B中，，，根据线面垂直的性质可判断，正确；C中，若，，则和可能平行、相交或异面，错误；D中，若可能相交也可能平行，错误.] 3.在中，，，，则与相交成平行，故错误；在中，，，则与有可能相交但不垂直，故错误；在中，，，，则，故错误；在中，，，则 4.C[对于A选项,如图①,因为为所在棱的中点, 故由正方体的性质易得, 所以,且,平面,故平面,故选项不符合题意； 对于选项,如图②,因为为所在棱的中点,所以, 由正方体的性质得，且平面, 所以平面, 又平面,故, 所以, 同理得, 又平面,故平面,故选项不符合题意； 图① 图② 图③ 对于选项，如图③，因为为所在棱的中点, 所以,， 则,在中,与的夹角为,故异面 直线与所成的角为，故平面不成立，故选项符合题意 对于选项,同选项,可判断平面MNQ.故选C.] 5.ACD平面平面,又为圆直径,所以,又平面平面,又平面，又.平面平面平面平面平面正确.] 6.B[对于A，D，当平面平面时,因为,平面平面,所以平面,又平面,故可能成立;上BC，故A，D可能成立； 对于C，假设，则，,连接,在中,由余弦定理得 ,则在旋转过程中,存在某一时刻满足,此时,.故C可能成立; 利用排除法可知选项中不成立的结论为B项，故选B.] 7.AC[对于A，如图，连接，则，则直线与直线所成的角即为直线与直线所成角,在正方形ABCD中,,故直线与直线所成角为,故A正确; 对于B，由于棱台的侧棱延长后会交于同一点,故直线与直线是相交直线,故B错误; 对于,由平面平面,所以,又,且平面,故平面，而平面，故平面平面，故正确； 对于，如图，连接，由题意知,因为平面平面,所以,且,平面,所以平面平面,故,若,而平面，所以平面，显然不成立，故不可能垂直于，故错误.] 8.(任选一个作答) [如图,结合平面图形还原出正方体, 结合正方体性质易知， 棱CG,DH,EH,FG所在的直线与棱所在的直线是异面直线且互相垂直.] 9.垂直平面平面， ，在中，， ，且平面， 平面，又平面，.] 10.(3)(5)(2)(5)[根据面面平行的特征可得，若，，则， 根据线面垂直以及面面平行的特征可得，若，则.] 11.证明(1)因为平面，平面，所以. 因为底面为菱形，所以.又平面,所以平面. (2)因为平面,平面,所以. 因为底面为菱形,,且为的中点,所以. 所以. 又平面， 所以平面. 因为平面, 所以平面平面. 12.(1)证明在正方形中，，又侧面底面,侧面底面平面, 所以,所以, 因为是正三角形,是的中点,则, 又平面,所以平面. (2)解如图，取的中点，连接，, 在正中,,平面平面,平面平面, 平面， 若，则， , 由(1)知平面， 平面，又平面，. 设点到平面的距离为.由可得,, 故点到平面的距离为. 13.[设正方体的棱长为2, 对于,如图(1)所示，连接，则，故(或其补角)为异面直线，所成的角，在直角中，,故,故不成立，故错误； 图(1) 图(2) 对于，如图(2)所示，取的中点为.连接,则.平面,所以平面,又平面,故,故B正确; 对于，如图(3)，连接，则，由的判断可得，故，故C正确; 图(3) 图(4) 对于D,如图(4),取的中点的中点,连接,则.因为,故,故，所以(或其补角)为异面直线所成的角. 因为正方体的棱长为2,故.,故不是直角,故不垂直,故错误.] 14.[因为,所以,所以. 如图，过作于. 因为平面平面,平面平面, 所以平面,因为平面,所以, 假设，不重合， 因为平面, 所以平面, 因为平面, 所以，与矛盾， 所以假设不成立, 所以，重合，即平面. 因为平面,所以. 因为平面, 所以平面平面,故正确;三棱锥的体积为.故C正确; 如图，设的外心为，其外接圆半径为, 过作平面, 设为外接球的球心,则 , 所以, 所以, 解得，所以外接球的半径为 , 所以三棱锥的外接球的表面积为，故D错误.] 15.(或) [连接,, 则, 因为底面,平面, 所以. 又,平面. 所以平面平面,所以. 所以当(或)时, 有平面. 又平面,所以平面平面PCD.] 16.解(1)当为的中点时,使得平面PCM上平面ABCD.证明如下: 如图,连接.由是等边三角形， 可得, 而平面平面,为平面和平面的交线, 可得平面， 又平面, 可得平面平面. (2)设，可得， 由(1)可得, 则, 由,可得 而的面积为 ,可得. 四棱锥的体积 8). $