空间向量与立体几何：线面平行的判定、线面平行的性质专项训练-2027届高三数学一轮复习

**基本信息** 聚焦线面平行判定与性质，以多几何体典例构建“判定-性质”双向逻辑链，强化空间观念与逻辑推理 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |线面平行的判定|3例+3变式|多面体中利用中点、中位线等构造线线平行证线面平行|从线线平行推导线面平行，结合面面垂直等条件深化应用| |线面平行的性质|3例+3变式|平面交线问题中由线面平行推证线线平行，关联角度体积计算|从线面平行反推线线平行，体现判定与性质的互逆关系|

空间向量与立体几何：线面平行的判定、线面平行的性质专项训练 空间向量与立体几何：线面平行的判定、线面平行的性质专项训练 考点目录 线面平行的判定 线面平行的性质 考点一 线面平行的判定 例1．（2026·天津滨海新区·三模）如图，在四棱锥中，平面平面，，，，，点为的中点． (1)求证：平面； (2)求直线与直线所成角的余弦值； (3)若线段上存在一点，使直线与平面所成角的正弦值为，求三棱锥的体积． 【答案】(1)取的中点，连接，， 由条件可得为的中位线，即， 又平面，平面，故平面， 由题意可知四边形是直角梯形，且， 则，，即四边形是平行四边形，所以， 又平面，平面，故平面， 而，平面，所以平面平面， 由平面，显然平面． (2) (3) 【分析】（1）构造面面平行即可证线面平行； （2）结合（1）找出直线与直线所成的角，再根据勾股定理，及余弦定理即可求解； （3）建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，再利用线面角的向量法即可确定的位置，进而根据等积法即可求出三棱锥的体积． 【详解】（1）略 （2）由（1）可知，直线与直线所成角为， 又平面平面，平面平面，且，则平面， 又平面，则， 又，， 所以，，， 则在中，由余弦定理有， 所以直线与直线所成角的余弦值为． （3）连接，， 结合（1），（2）有是正方形，则，且， 又底面，则底面， 又，则，所以， 所以以为原点，分别以，，所在直线为，，轴，建立如下图空间直角坐标系， 则，，，，，， 则，， 又线段上存在一点，则设， 则，所以， 设平面的一个法向量为，则有， 令，则，，即， 设直线与平面所成的角为，则， 整理得，解得或（舍去）， 所以是线段的中点， 所以． 例2．（2026·四川成都·三模）已知正方形，、分别是、的中点，将沿折起，如图所示． (1)求证：平面； (2)若翻折后当为等边三角形时，求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】(1)设正方形边长为，由已知得，且， 所以四边形为平行四边形． 则，由，所以平面． (2) 【分析】（1）利用线线平行可证线面平行； （2）由题意可得平面，平面平面，进而可得过作于，则平面，过作于，连接，则，可得为二面角的平面角，进而计算求解即可. 【详解】（1）略. （2）设正方形边长为，则为边长为的等边三角形， 由为中点，得． 又，则平面，所以平面． 由平面，则平面平面． 过作于，则平面． 过作于，连接，则， 从而为二面角的平面角． 在中，，易知为直角三角形． 由，得． 在矩形中，易得．则中，可求得． 在中，． 所以平面与平面夹角的余弦值为． 例3．（2026·北京·三模）如图，在五面体中，平面平面，底面是边长为2的菱形．，，．    (1)若点，分别为棱和棱的中点，求证：平面； (2)若，求直线与平面所成的角． 【答案】(1)因为，且，所以四边形是等腰梯形. 取的中点，连接、.是中点，故，； 又是中点，菱形中，，故，. 因此且，四边形是平行四边形，所以. 又平面，平面，故平面.    (2) 【分析】（1）取的中点，连接、.根据中位线以及菱形的性质得到四边形是平行四边形，再根据线面平行的判定定理证明即可. （2）建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，应用线面角正弦公式求解即可. 【详解】（1）略 （2）由，菱形边长为，故为正方形，进而. 又平面平面，交线为，平面，故平面. 故可以为原点，分别以为轴，以过点的平面的垂线为轴,建立空间直角坐标系. 由（1）易得，，，，，. 故，，. 设平面的法向量， 则，故可取. 设直线与平面所成角为， 则. 因为，故.    变式1．（2026·山西忻州·模拟预测）如图，在直四棱柱中，底面为直角梯形，满足，，且，，，．点M为的中点，点N为的中点．    (1)证明：平面； (2)求平面与平面所成二面角的正弦值． 【答案】(1)以A为原点，分别以，，所在方向建立空间直角坐标系． 则，，，， ，，，． 因为M为的中点，N为的中点，所以，． 有． 平面中，，． 设平面的一个法向量为， ，不妨取，则， 又，则， 而平面，所以平面． (2)． 【分析】（1）以A为原点，分别以，，所在方向建立空间直角坐标系，求出平面的一个法向量，再利用空间向量证明线面平行即可； （2）求出平面的一个法向量，再利用空间向量法求平面与平面的夹角即可． 【详解】（1）略 （2）易得平面的一个法向量为． 在平面中，，． 设平面的一个法向量为， ，不妨取，则． 设平面与平面所成角为， 则， 因此， 即平面与平面所成二面角的正弦值为． 变式2．（2026·上海·三模）在四棱锥中，底面为等腰梯形，平面底面，其中，，，，点E为中点. (1)证明：平面； (2)求二面角的大小. 【答案】(1)取的中点，连接. 因为为的中点，所以，且. 又因为，，所以，且， 所以四边形为平行四边形，所以. 又因为平面，平面，所以平面. (2) 【分析】（1）取的中点，连接，利用中位线定理及已知条件证明四边形为平行四边形，从而得到，再利用线面平行的判定定理即可证明； （2）取的中点，连接，证明平面，建立空间直角坐标系，求出平面和平面的法向量，利用向量夹角公式求解. 【详解】（1）略 （2）分别取的中点，连接. 因为，所以. 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面. 在等腰梯形中，过点作于点. 因为，所以， 又，所以. 以为坐标原点，以所在直线为轴，以过点且垂直于的直线为轴， 所在直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系. 则， 则，设平面的法向量为， 则，即，取，得， 易知平面的一个法向量为， 设二面角的大小为，由图可知为锐角， 则， 所以二面角的大小为. 变式3．（2026·湖南岳阳·三模）如图，在三棱锥中，底面，点，分别为棱PC，PB的中点． (1)证明：平面BCD； (2)求直线CD与平面PBC所成角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）先证明，进而求证即可； （2）结合正弦定理分析可得，进而得到，，法一：建立空间直角坐标系，利用空间向量求解即可；法二：连接DF，分析可得为直线CD与平面PBC所成角，进而求解即可. 【详解】（1）∵点E，F分别为棱PC，PB的中点， 为的中位线，且， 平面平面BCD，平面BCD． （2）在中，， 由正弦定理，得， 即，故， ． 又底面，底面，， 在中，，故， 法一：∴以为原点，DB为轴，DP为轴，建立空间直角坐标系， 则，，取方向向量． 又，则． 设平面PBC的法向量为， 由，得解得，取． 设直线CD与平面PBC所成角为， 则． 所以直线CD与平面PBC所成角的正弦值为． 法二：连接DF，因为底面BCD，所以， 又因为平面PBD， 所以平面PBD，又平面PBD，所以． 因为，所以． 因为平面，所以平面PBC， 所以为直线CD与平面PBC所成角， 在中，，所以． 考点二 线面平行的性质 例1．（2026·安徽安庆·模拟预测）如图所示，四棱锥底面为菱形，点，为棱的三等分点，点是棱中点. (1)过，，三点的平面与线段交于点，求证：； (2)若面，，点到平面的距离为，求四棱锥体积的最小值. 【答案】(1)取线段的中点，连接，，由于， 所以四边形为平行四边形，即， 又平面，平面， 所以平面. 又平面，平面平面，故. (2) 【分析】（1）由线面平行的判定定理证明面，再由线面平行的性质定理证得. （2）建立空间直角坐标系，设，，由点到平面距离的向量求法，表示出点到平面的距离，即可得的关系，根据棱锥的体积公式，利用基本不等式可求得四棱锥体积的最小值. 【详解】（1）略 （2）连接，交于点，因为底面为菱形，所以. 又平面，所以如图建立空间直角坐标系， 设，，则，，，，， 得，，. 设平面的法向量， 则， 所以点到平面的距离为，化简得， 因为，所以，即，当且仅当时，等号成立. 故，即四棱锥体积的最小值为． 例2．（2026·北京大兴·三模）在三棱锥中，.点在棱PB上，点为BC中点. (1)若点为PB中点，平面平面，证明：； (2)若点满足，从下列条件①、条件②、条件③中选择一个作为已知条件，使得三棱锥存在且唯一，求平面AEF与平面PAC所成夹角的余弦值.条件①：；条件②：；条件③：. 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分. 【答案】(1)分别是PB，BC的中点， ， 平面平面PAC， 平面PAC， 平面AEF，平面平面， ； (2)条件②：；条件③： 【分析】（1）通过线面平行的性质定理证明线线平行；（2）选条件②，建立空间直角坐标系，利用向量法求解平面AEF与平面PAC所成夹角的余弦值. 【详解】（1）略； （2）选条件②： . , ,平面ABC, 平面ABC ， 在平面ABC内，过作，则AB，AH，PA两两垂直； 如图，以为原点，AH为轴，AB为轴，AP为轴，建立空间直角坐标系， 则 ，由于为BC中点，故， 设平面AEF的法向量 所以，即， 令，则，故， 设平面PAC的法向量 所以，即. 令，则，故， 设平面AEF与平面PAC所成的角为， 则. ∴平面AEF与平面PAC所成夹角的余弦值为. 选条件③： . , ,平面ABC, 平面ABC 在平面ABC内，过作，则AB，AH，PA两两垂直： 如图，以为原点，AH为轴，AB为轴，AP为轴， 建立空间直角坐标系，后续解法同②. 不能选条件① . , ,平面ABC, 平面ABC 在平面ABC内，过作，则AB，AH，PA两两垂直； 如图，以为原点，AH为轴，AB为轴，AP为轴，建立空间直角坐标系， 则设,则 ，由于为BC中点，故, 因为，所以，所以 ，化简得， 但，所以上面方程无解，所以条件①无法保证三棱锥存在且唯一，不符合题目要求. 例3．（2026·江苏南京·模拟预测）如图，四棱锥的底面为梯形，BC∥AD，底面，，.设平面与平面的交线为l. (1)证明：BC∥l； (2)若二面角A－PD－C的正弦值为，求四棱锥的体积. 【答案】(1)因为， 平面 ， 平面 ， 所以平面 . 又因为 平面 ，平面 平面 ， 所以 . (2) 【分析】（1）利用线面平行的判定定理证明平面 ，再利用线面平行的性质定理证明 ； （2）建立空间直角坐标系，利用二面角的正弦值求出底面相关边长，进而求出底面积和体积. 【详解】（1）略 （2）因为平面，平面， 所以，. 又因为，，平面， 所以平面. 如图，过点作， 因为， 所以. 又平面，所以，. 以为坐标原点，的方向分别为轴、轴、轴的正方向建立空间直角坐标系. 设，(). 因为，在中，，即. 则，，，. ，，，. 设平面的法向量为， 则，取，则，，所以. 设平面的法向量为， 则 ， 因为，所以.取，则，所以. 设二面角 的大小为，则. 因为，所以. 所以 . 因为，且，所以. 即. 整理得. 又，代入上式得：，，，解得. 所以，即，. 在梯形中，. 因为，且，所以. 所以底面的面积. 四棱锥的体积. 变式1．（2026·河北雄安·模拟预测）如图，在直三棱柱中，，，，是线段上的一个动点，分别是线段的中点. (1)若平面平面，求证：； (2)若，求二面角的大小. 【答案】(1) 分别是线段的中点，. 在三棱柱中，四边形为平行四边形，则. 又平面平面， 平面. 平面，平面平面， . (2) 【分析】（1）先应用线面平行判定定理证明平面，再应用线面平行性质定理证明； （2）建立空间直角坐标系，再分别求出平面的法向量和平面的一个法向量，再应用二面角余弦公式计算求解. 【详解】（1）略 （2）平面平面. 又两两相互垂直. 以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立如图所示的空间直角坐标系. 则， . 设平面的法向量为，则 令，则，得. 平面的一个法向量为. 设二面角的大小为，则. 由题图可知，为钝角，则二面角的大小为. 变式2．（2026·贵州安顺·一模）如图，已知四面体的所有棱长都等于2，E，F，G分别是棱，，的中点．平面平面． (1)证明：； (2)求平面与平面的夹角的正弦值． 【答案】(1) 因为F，G分别是棱，的中点，故． 又平面，平面，所以平面． 而平面，平面平面，所以． (2)． 【分析】（1）首先利用线面平行的判定定理得平面，再根据线面平行得到性质定理即可证明； （2）建立合适的空间直角坐标系，求出相关平面的法向量，再利用面面角的空间向量求法即可得到答案. 【详解】（1）略 （2）过D作平面，垂足为O．建立如图所示空间直角坐标系． 则，， ，，  ，， 设为平面的法向量，则 ，取 平面的一个法向量为，所以， 设为平面与平面所成角，则， 因此，平面与平面所成角的正弦值为． 变式3．（2025·重庆·三模）如图，在四面体 中， 分别为 的中点，过 的平面 分别交棱 (不含端点) 于 两点． (1)证明： ； (2)若 ，求二面角 的正弦值． 【答案】(1)分别为的中点，， 因为平面，平面，所以平面， 又因为平面，平面平面， 所以， 又. (2). 【分析】（1）根据中位线性质得，再利用线面平行的判定与性质即可证明； （2）建立合适的空间直角坐标系，求出平面和平面的法向量，再利用面面角计算公式即可得到答案. 【详解】（1）略 （2）取中点，连接， ， 又， 在中，， 则两两垂直； 以为坐标原点，为轴正方向，为轴正方向，为轴正方向如图所示建立空间直角坐标系． ， 设平面的法向量， ，取， 设平面的法向量， ，取， ，记二面角的平面角为． 2 学科网（北京）股份有限公司 $空间向量与立体几何：线面平行的判定、线面平行的性质专项训练 空间向量与立体几何：线面平行的判定、线面平行的性质专项训练 考点目录 线面平行的判定 线面平行的性质 考点一 线面平行的判定 例1．（2026·天津滨海新区·三模）如图，在四棱锥中，平面平面，，，，，点为的中点． (1)求证：平面； (2)求直线与直线所成角的余弦值； (3)若线段上存在一点，使直线与平面所成角的正弦值为，求三棱锥的体积． 例2．（2026·四川成都·三模）已知正方形，、分别是、的中点，将沿折起，如图所示． (1)求证：平面； (2)若翻折后当为等边三角形时，求平面与平面夹角的余弦值． 例3．（2026·北京·三模）如图，在五面体中，平面平面，底面是边长为2的菱形．，，．    (1)若点，分别为棱和棱的中点，求证：平面； (2)若，求直线与平面所成的角． 变式1．（2026·山西忻州·模拟预测）如图，在直四棱柱中，底面为直角梯形，满足，，且，，，．点M为的中点，点N为的中点．    (1)证明：平面； (2)求平面与平面所成二面角的正弦值． 变式2．（2026·上海·三模）在四棱锥中，底面为等腰梯形，平面底面，其中，，，，点E为中点. (1)证明：平面； (2)求二面角的大小. 变式3．（2026·湖南岳阳·三模）如图，在三棱锥中，底面，点，分别为棱PC，PB的中点． (1)证明：平面BCD； (2)求直线CD与平面PBC所成角的正弦值． 考点二 线面平行的性质 例1．（2026·安徽安庆·模拟预测）如图所示，四棱锥底面为菱形，点，为棱的三等分点，点是棱中点. (1)过，，三点的平面与线段交于点，求证：； (2)若面，，点到平面的距离为，求四棱锥体积的最小值. 例2．（2026·北京大兴·三模）在三棱锥中，.点在棱PB上，点为BC中点. (1)若点为PB中点，平面平面，证明：； (2)若点满足，从下列条件①、条件②、条件③中选择一个作为已知条件，使得三棱锥存在且唯一，求平面AEF与平面PAC所成夹角的余弦值.条件①：；条件②：；条件③：. 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分. 例3．（2026·江苏南京·模拟预测）如图，四棱锥的底面为梯形，BC∥AD，底面，，.设平面与平面的交线为l. (1)证明：BC∥l； (2)若二面角A－PD－C的正弦值为，求四棱锥的体积. 变式1．（2026·河北雄安·模拟预测）如图，在直三棱柱中，，，，是线段上的一个动点，分别是线段的中点. (1)若平面平面，求证：； (2)若，求二面角的大小. 变式2．（2026·贵州安顺·一模）如图，已知四面体的所有棱长都等于2，E，F，G分别是棱，，的中点．平面平面． (1)证明：； (2)求平面与平面的夹角的正弦值． 变式3．（2025·重庆·三模）如图，在四面体 中， 分别为 的中点，过 的平面 分别交棱 (不含端点) 于 两点． (1)证明： ； (2)若 ，求二面角 的正弦值． 2 学科网（北京）股份有限公司 $