1.4.2 二次函数与一元二次方程的关系(2) 教学设计 2026-2027学年浙教版数学九年级上册

该初中数学教学设计聚焦二次函数与一元二次方程关系，核心是利用交点式求二次函数表达式及根与系数关系的应用。通过回顾上节课方程根与函数x轴交点的联系，以提问“能否据交点求表达式”搭建学习支架，自然引入新课。 此资料亮点在于探究式推导交点式，结合根与系数关系深化理解，体现数学眼光（几何直观）与数学思维（推理能力）。例1规范用交点式求表达式，例2借根与系数关系解决线段长问题，培养模型意识。达标测评分层检测，助学生巩固知识，为教师提供清晰教学路径。

第2课时　二次函数与一元二次方程的关系(2) 课题 第2课时　二次函数与一元二次方程的关系(2) 授课人 教 学 目 标 1.会利用交点式求二次函数的表达式. 2.会用一元二次方程根与系数的关系解决二次函数问题. 3.进一步体验二次函数与一元二次方程的关系,体会数形结合思想. 教学 重点 　　利用交点式求二次函数的表达式. 教学 难点 　　利用一元二次方程所学内容解决二次函数问题. 授课 类型 新授课 课时 教具 多媒体 教学活动 教学 步骤 师生活动 设计意图 活动 一: 创设 情境 导入 新课 【课堂引入】 [师]上节课我们学习了二次函数的图象与一元二次方程的关系,请思考: 如图1-4-12,你能说出一元二次方程x2+x-2=0与二次函数y=x2+x-2的关系吗? 图1-4-12 [生]一元二次方程x2+x-2=0的根是二次函数y=x2+x-2的图象与x轴交点的横坐标. [师]我们还可以根据二次函数的图象与x轴的交点情况,判断一元二次方程根的情况. 这样,在不解方程的情况下,我们只要知道二次函数图象与x轴交点的横坐标即可判断一元二次方程根的情况.那么根据二次函数的图象与x轴交点的横坐标,能求二次函数的表达式吗?这节课,我们将继续研究二次函数与一元二次方程的关系. 　　巩固上节课的内容,加深对二次函数与一元二次方程的关系的理解,顺势引入本节新课. 活动 二: 探究 与 应用 【探究】 利用交点式求二次函数的表达式 设ax2+bx+c=0的两根为x1,x2,则根据一元二次方程的根与系数的关系,有x1+x2=-,x1x2=, 则二次函数y=ax2+bx+c=ax2+x+=a[x2-(x1+x2)x+x1x2]=a(x-x1)(x-x2),(x1,0), (x2,0)也就是二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的交点,y=a(x-x1)(x-x2)也叫作二次函数的交点式. 追问1:求二次函数的表达式需要知道几个条件? 追问2:根据目前所学,有几种求表达式的方法? 追问3:如何选用求表达式的方法? 教师总结: 二次函数的三种表达形式: 一般式:y=ax2+bx+c(a≠0)(当已知函数图象上任意三点时); 顶点式:y=a(x-m)2+k(a≠0)(当已知函数图象的顶点和其他任意一点时); 交点式:y=a(x-x1)(x-x2)(a≠0)(当已知函数图象与x轴的交点和其他任意一点时). 　　学生通过计算、观察、分析,进一步发现二次函数与一元二次方程之间的关系,掌握利用交点式求二次函数表达式的方法. 【应用举例】 例1　已知二次函数的图象经过点A(-1,0),B(2,0),C(1,-3).求这个二次函数的表达式和图象的顶点坐标. 解:不妨设这个二次函数为y=a(x+1)(x-2), 因为图象过点(1,-3), 把(1,-3)代人函数式,得-3=a(1+1)×(1-2),解得a=. 所求的函数式是y=(x+1)(x-2). 这个二次函数图象的顶点的横坐标为=, 把顶点的横坐标代入函数式,得y=×+1×-2=-. 所以这个二次函数的图象的顶点坐标是,-. 师生活动:教师展示利用交点式求二次函数表达式的规范过程,学生自主写一遍,加深规范作答的印象. 例2　已知关于x的二次函数y=x2-ax+a-2的图象在x轴上截得的线段长为2,求a的值. 解:令y=0,则x2-ax+a-2=0. 设方程的两根为x1,x2, 由已知,得|x1-x2|=2,则(x1-x2)2=(x1+x2)2-4x1x2=4. 根据一元二次方程的根与系数的关系,有x1+x2=a,x1x2=a-2, 所以a2-4(a-2)=4,解得a=2. 师生活动:教师引导学生表示线段的长度,进而利用一元二次方程的根与系数的关系求解,小组讨论求解,教师点评,并在黑板上展示这道题的完整解答过程. 　　应用举例,进一步理解二次函数与一元二次方程的关系. 活动 三: 课堂 总结 反思 【达标测评】 1.已知二次函数的图象经过点(-2,0)和点(2,0),且经过点(1,3),求二次函数的表达式. [答案:y=4-x2] 2.抛物线y=x2+5x+4在x轴上截得的线段长是　3　.  3.教材第33页作业题T2. 学生进行当堂检测,完成后,教师进行批阅、点评、讲解. 　　针对本课时的主要问题,从多个角度、分层次进行检测,达到学有所成、了解课堂学习效果的目的. 【课堂小结】 1.课堂总结: 学习了本节课后,你掌握了几种求二次函数表达式的方法?对于二次函数与一元二次方程的关系的学习,有哪些收获? 2.布置作业: 教材第33页作业题T1,T3-T5. 　　让学生养成自主归纳课堂重点的习惯,提高学生的学习能力. 【知识网络】 　　提纲挈领,重点突出. 【教学反思】 ①[授课流程反思] 通过回顾上节课知识,引入本节课内容,继续探索二次函数与一元二次方程的关系.通过探究,发现求二次函数的另一个方法——交点式,体会数形结合思想.通过例题的解决,帮助学生加深对它们关系的理解. ②[讲授效果反思]  　　　　　　　　　 　　　　　　　　　 　　　　　　　　　 　　　　　　　　  　　　　　　　　　 　　　　　　　　　 　　　　　　　　　 　　　　　 ③[师生互动反思]  　　　　　　　　　 　　　　　　　　　 　　　　　　　　　 　　　　　  　　　　　　　　　 　　　　　　　　　 　　　　　　　　　 　　　　　 ④[习题反思] 好题题号　　　　　　　 　　　　 　　　　　　　　　　　　  错题题号　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　  　　反思教学过程和教师表现,进一步优化操作流程和提升自身素质. 学科网（北京）股份有限公司 $