1.6二次函数与几何综合（讲义）数学新教材浙教版九年级上册

本初中数学讲义聚焦二次函数与几何综合核心知识点，系统梳理从交点问题、几何图形性质结合到存在性问题的脉络，通过课标要点（数形结合、分类讨论等）搭建学习支架，细化线段周长、面积、角度等七类题型的解题框架。 资料以模型思想和转化化归为特色，通过一线三垂直全等模型等实例培养几何直观与推理意识，分层练习（随学随练、素养提升）助力课中教学效果提升，课后可通过题型归纳查漏补缺，发展学生用数学语言表达几何关系的应用能力。

第一章 二次函数 1.6 二次函数与几何综合 课标要点 1.数形结合：借助坐标系，把几何图形边长、垂直、相等转化为坐标代数式；由函数图像读出几何位置、长度、角度关系。 2.分类讨论：无图几何存在性问题（等腰直角、平行四边形）需分情况讨论，做到不重不漏。 3.模型思想：建立动点坐标模型，用含参数的代数式表示点，列方程求解，检验几何合理性。 4.转化化归：垂直→斜率乘积 =-1 / 一线三垂直；线段相等→距离平方相等；图形存在→方程有合理解。 5.推理运算：兼具几何演绎推理、代数解方程、含参整式化简、定义域检验综合运算能力。 学习重难点 重点： 1.掌握抛物线上动点坐标的设法，能把等腰、垂直的几何条件转化为代数式、方程。 2.熟练运用一线三垂直全等模型解决等腰直角三角形存在性问题。 3.掌握分类讨论：按直角顶点分三类讨论，保证解题不重不漏。 4.掌握数形结合思想，能用距离公式、全等求解动点坐标并检验答案。 难点： 1.几何条件代数化困难：不会将垂直、线段相等转化为坐标关系。 2.分类不完整：容易遗漏直角顶点的情况和不同位置的多解。 3.模型不会灵活构造：不能主动构造一线三垂直，计算繁琐易错。 4.综合运算弱：含参方程联立、化简求解难度大，容易出现增根、漏解。 知识点1 二次函数的实际应用 1..二次函数与几何图形的交点问题 ①与直线的交点：联立方程 ax2 + bx + c = mx + n，转化为二次方程求解。 ②与圆的交点：联立圆方程与抛物线方程，结合几何条件分析。 ③相切问题：利用判别式 Δ = 0， 求参数（如切线条件）。 2.几何图形的性质与二次函数结合 ①三角形与四边形：计算面积（分割法、顶点坐标公式）、周长，判断形状（如等腰、直角）。 ②对称性：抛物线的对称轴与几何图形对称轴的关系。 ③动点问题：设动点坐标为参数，通过几何条件（如距离、斜率）建立方程求解。 3..存在性问题 ①点的存在性：如抛物线上是否存在点使三角形为等腰/直角三角形，需构造方程验证解的存在性。 ②图形的存在性*：如平行四边形、菱形等，通过几何条件联立方程求解。 随学随练 1．（25-26八年级下·黑龙江大庆·期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点A和点，与y轴交于点C，E为线段AC上一动点（不与点A、C重合）。P为第三象限内抛物线上一动点，连接PE并延长垂直x轴于点D，过点E作AC的垂线，与y轴交于点G，则的最大值为_______． 2．（2025·吉林·二模）在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，抛物线（是常数）的对称轴是直线，点P、Q均在抛物线上，它们的横坐标分别为和，其中．当点不在轴上时，作点关于点的对称点，作点关于点的对称点，连接MN． (1)求该拋物线对应的函数表达式； (2)证明：点与点始终关于轴对称； (3)当直线与抛物线（是常数）有两个公共点时，设这两个点分别为E、F（点在点左侧）． ①当点E、F在线段MN上时，求的取值范围； ②当时，直接写出的值． 3．（25-26八年级下·重庆·期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴是直线． (1)求抛物线的表达式； (2)点P是直线上方抛物线上一动点，连接，点为抛物线对称轴上的动点，点E在点D的下方，且，连接．当的面积取得最大值时，求点P的坐标及的最小值； (3)在（2）中的面积取得最大值的条件下，将抛物线沿射线的方向平移个单位长度得到抛物线，点M为点P的对应点，点N为抛物线上一动点，若，请直接写出所有符合条件的点N的坐标，并写出求解点N的坐标的其中一种情况的过程． 4．（2026·辽宁沈阳·三模）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴负半轴相交于点，与轴正半轴相交于点，与轴相交于点，点是抛物线上一动点，设点的横坐标为． (1)求出的长； (2)连接，若 ，求出的值； (3)连接，过点作直线，交轴于点．过点作轴交直线于点，交直线于点． ①如图2，当时，若点和点到直线距离之和不超过，求的取值范围； ②如图3，当点在对称轴右侧的抛物线上，过点作对称轴的垂线，垂足分别为点，点．若四边形在直线之间的部分的面积恰好是四边形面积的一半时，直接写出的值． 5．（2026·吉林·模拟预测）已知抛物线的对称轴为直线． (1)_______，抛物线与轴的交点坐标为_______； (2)当，求的取值范围． (3)已知点在抛物线上，且点的横坐标为，为平面内一点． ①若点在抛物线上时，求的值； ②已知点与点关于点成中心对称，以，为邻边作．当抛物线在内部的图象的函数值随的增大而增大，且抛物线与的边只有两个交点时，并且交点的纵坐标之差为时，直接写出的取值范围． 拓展1 二次函数与等腰直角三角形问题 一、解题思路 1.求定点坐标，设抛物线上动点 P(t,yP)； 2.分三类：直角在 A、直角在 B、直角在 P； 3.直角在定点：画一线三垂直全等，直接写出 P 两种坐标，代函数解方程； 4.直角在动点： ① PA2=PB2 得一次式； ② 垂直斜率乘积 =-1 得第二个式子； ③ 联立解坐标，再代入抛物线； 5.检验：舍去不在图像、不符合题意的点。 活学活用 1．（2026·吉林长春·模拟预测）在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点，点B在抛物线上．设其横坐标为m．点C是平面直角坐标系中异于点B的一点，其坐标是，连接，当不与坐标轴垂直时，以为斜边作 ，使轴． (1)求抛物线所对应的函数表达式； (2)当点B在抛物线对称轴左侧，且是等腰直角三角形时，求m的值； (3)当的边与抛物线有公共点时，求m的取值范围； (4)当抛物线在内部的点的纵坐标y随x的增大而增大，或y随x的增大而减小时，直接写出m的取值范围． 2．（2022·天津南开·模拟预测）已知抛物线的顶点为，且经过点． (1)求该抛物线对应的函数的解析式； (2)将该抛物线向下平移个单位，设得到的抛物线的顶点为A，与x轴的两个交点为B，C，若是以为斜边的等腰直角三角形，求m的值． 3．（25-26九年级下·江西九江·期中）定义：若两条抛物线的顶点关于原点对称，两个二次函数的二次项系数互为负倒数，这样的两条抛物线称之为“共生抛物线”，如抛物线与是共生抛物线 已知抛物线的顶点是点，它的共生抛物线的顶点是； (1)点的坐标是___________，抛物线的函数关系式是___________． (2)当的取值范围是___________时，抛物线与的函数值都随的增大而减小． (3)直线与抛物线均有两个交点，这些交点从左到右分别是． ①求的取值范围是___________； ②在抛物线上是否存在一点，使是以为直角边的等腰直角三角形，若存在，请求出点的坐标，若不存在，请说明理由． 4．（2026·湖南长沙·一模）我们约定：如果抛物线的顶点坐标满足条件，那么称抛物线为“同频”拋物线．如抛物线的顶点坐标为，此时，，满足条件，所以它是“同频”拋物线． (1)抛物线是“同频”拋物线，请你判断下列说法是否正确（在题后相应的括号中，正确的打“√”，错误的打“×”）． 当时，；（   ） 当时，；（   ） 抛物线与轴可能只有一个交点；（   ） (2)是否存在点，是“同频”拋物线上的点，其中，且，若存在，请求该抛物线的解析式，若不存在，请说明理由； (3)“同频”抛物线的顶点为，它与直线交于，两点，若是等腰直角三角形，求代数式的值． 题型1 二次函数与线段周长问题 【例1】（2023·江苏盐城·模拟预测）如图，二次函数的图像与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，点B的坐标为，点C的坐标为，直线l经过B、C两点． (1)求该二次函数的表达式及其图像的顶点坐标； (2)点P在线段上运动（不与B、C重合），过点P作x轴的垂线与该二次函数的图像相交于点M，再过点M作y轴的垂线与该二次函数的图像相交于另一点N，当时，求点P的坐标； 【对点练1-1】（25-26八年级下·北京·期末）在平面直角坐标系xOy中，抛物线顶点为． (1)请用含a的式子表示b，c； (2)过点作x轴的垂线，交抛物线于点M，交直线于点N，若点M、N重合，规定； ①若，，求t的值； ②当点P从点运动到点的过程中（不包含点B与点C），的长存在最大值，求a的取值范围． 【对点练1-2】（2026·甘肃天水·模拟预测）已知抛物线交x轴于点，B；交y轴于点C，将点C向右平移2个单位长度，得到点D，点D在抛物线上，点E为抛物线顶点． (1)求抛物线的函数表达式及顶点E的坐标； (2)连接，点M为线段上一动点，连接，作射线． ①在射线上取一点F，使，连接．当的值最小时，求点M的坐标． ②点N是射线上一动点，且满足，连接，求的最小值． 【对点练1-3】（26-27九年级·全国·暑假作业）已知抛物线（，，是常数，）与轴相交于点和点（点在点的左侧），与轴交于点，为第一象限内的抛物线上一动点． (1)若，， ①求该抛物线的顶点坐标； ②过点作轴的垂线，垂足为，交线段于点，若，求点的坐标． (2)若，是直线与抛物线的交点，若，（点在点的左侧）为线段上的两个动点，且，当的最小值为时，求点，的坐标． 题型2 二次函数与图形面积问题 【例2】（2022·宁夏吴忠·一模）如图，对称轴为直线的抛物线与轴相交于、两点，其中点的坐标为． (1)求抛物线的解析式； (2)C为抛物线与y轴的交点，若点P在抛物线上，且，求点P的坐标． 【对点练2-1】（22-23九年级下·山东日照·开学考试）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴，轴分别交于，两点，抛物线经过，两点，与轴的另一交点为． (1)求抛物线解析式及点坐标； (2)若点为轴下方抛物线上一动点，连接、、，当点运动到某一位置时，四边形面积最大，求此时点的坐标及四边形的面积． 【对点练2-2】（2022·广西南宁·模拟预测）如图，抛物线与x轴交于点和点B，其顶点坐标为，P是第一象限内抛物线上的动点，过点P向x轴作垂线，交直线于点M，交x轴于点N，连接、． (1)求该抛物线的解析式； (2)当取得最大值时，求线段的长； (3)若直线把的面积分成两部分，求点P的坐标． 【对点练2-3】（2026·福建厦门·模拟预测）如图，抛物线与y轴交于点，顶点为D，对称轴为直线，点P在抛物线上，点P的纵坐标为2，过点P作x轴的平行线交抛物线于另一点M，交y轴于点E．若的面积是的面积的3倍，求抛物线的解析式． 题型3 二次函数与角度问题 【例3】（25-26八年级下·重庆渝中·期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点、点，与轴交于点，连接． (1)求抛物线的表达式； (2)如图1，点是线段下方抛物线上一点，过点作轴交线段于点，过点作轴交轴于点，求出的最大值，及此时点的坐标； (3)如图2，将抛物线沿射线方向平移个单位长度得到新抛物线，点为新抛物线上一点，且满足，请直接写出所有符合条件的点的坐标，并写出其中一种情况的求解过程． 【对点练3-1】（25-26八年级下·福建福州·期末）已知抛物线： (1)当，时，求抛物线的顶点坐标； (2)点为平面直角坐标系原点，点，在抛物线上，且，． ①若，用含的代数式表示； ②当时，求证：抛物线恒过定点，并求出定点的坐标． 【对点练3-2】（25-26八年级下·重庆·期末）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于两点，与轴交于，连接． (1)求抛物线的表达式； (2)如图1，点是线段上方抛物线上的一动点，连接．抛物线的对称轴为直线，点为轴上的动点，于点．当面积取得最大值时，求点的坐标及的最小值； (3)如图2，将抛物线沿射线方向平移个单位长度得到新抛物线，点为抛物线与轴的左侧交点，点为抛物线上的一动点．若，请直接写出所有符合条件的点的横坐标． 【对点练3-3】（2023·新疆乌鲁木齐·模拟预测）如图所示．抛物线经过点和点． (1)求抛物线解析式和顶点D的坐标； (2)若直线与抛物线交于点A，C，点P在抛物线上，过点P作x轴的垂线，交直线于E，抛物线的对称轴与直线交于F． ①设点P的横坐标为m，当以点P，D，E，F为顶点的四边形是平行四边形时，求m的值； ②在直线上方的抛物线上是否存在点P，满足，若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由． 题型4 二次函数与直角三角形问题 【例4】（2026·四川成都·模拟预测）如图1，在平面直角坐标系中，是抛物线的对称轴上一点，且抛物线与轴的交点坐标为． (1)求抛物线的函数表达式； (2)设点在对称轴右侧的抛物线上，点在轴上，若是以为直角顶点的直角三角形，且，求点和点的坐标； (3)如图2，是抛物线上的两个动点（点在点的左侧），点在同一直线上，过点作轴的垂线，交直线于点．是否存在实数，使得总成立？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【对点练4-1】（25-26九年级上·广东汕尾·期末）如图，在平面直角坐标系中，矩形的两边分别在坐标轴上，且，，点是边上的一个动点，抛物线经过点，． (1)如图，若抛物线恰好经过点，连接，． ①求此时抛物线的解析式和点的坐标； ②在直线上方的抛物线上有一点（异于点），且的面积等于的面积，请求出点的坐标． (2)如图，设抛物线与射线交于点，在点的运动过程中，是否存在的值，使得为直角三角形？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 【对点练4-2】（25-26九年级上·甘肃张掖·阶段检测）如图，抛物线与x轴交于点和点B，与y轴交于点． (1)求抛物线的解析式及顶点坐标； (2)当时，直接写出y的取值范围； (3)在抛物线的对称轴上是否存在点P，使的周长最小？如果存在，请求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由； (4)设点M在抛物线的对称轴上，当是直角三角形时，直接写出点M的坐标． 【对点练4-3】（24-25九年级上·湖北黄石·期中）如图，已知抛物线与x轴交于两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C． (1)求抛物线的解析式； (2)点D是第一象限内抛物线上的一个动点（与点C，B不重合），过点D作轴于点F，交直线于点E，连接，直线能否把分成面积之比为的两部分？若能，请求出点D的坐标；若不能，请说明理由． (3)若M为抛物线对称轴上一动点，使得为直角三角形，请直接写出点M的坐标． 题型5 二次函数与等腰三角形问题 【例5】（24-25九年级上·山东泰安·期中）如图，二次函数的图象与轴交于点、，与轴交于点，点是抛物线上的动点． (1)求抛物线的表达式； (2)如图1，当的面积是3时，求点P的坐标； (3)如图2，点是抛物线对称轴上一点，是否存在点，使是以点为直角顶点的等腰直角三角形，若存在，请直接写出的值；若不存在，请说明理由． 【对点练5-1】（24-25九年级上·广东珠海·期中）已知抛物线与x轴交于点、，与y轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，点P是抛物线上位于第一象限内的一点，请连接，求出的面积最大值及此时点P的坐标． (3)如图2，将抛物线向右平移个单位，再向下平移2个单位．记平移后的抛物线为，若抛物线与原抛物线对称轴交于点Q．点E是新抛物线对称轴上一动点，在（2）的条件下，当是等腰三角形时，求点E的坐标． 【对点练5-2】（山西省大同市新荣区两校联考2024-2025学年九年级上学期10月月考数学试题）如图，抛物线经过点，与y轴交于点B． (1)求抛物线的解析式； (2)连接，若点P是y轴正半轴上一点，且是等腰三角形，求点的坐标． 【对点练5-3】（2024·宁夏银川·模拟预测）如图，过点的抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点，连接．P是抛物线在第四象限内的一个动点，过点P作轴，垂足为M，交于点Q． (1)求点A，B的坐标． (2)在点P运动的过程中，是否存在这样的点Q，使以点A，C，Q为顶点的三角形是等腰三角形．若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 题型6 二次函数与平行四边形问题 【例6】（25-26八年级下·辽宁盘锦·期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过，两点，交轴于点．动点M沿x轴从点A向点B运动，过点M作x轴的垂线交于点N，交抛物线于点P． (1)求抛物线解析式； (2)抛物线的对称轴交于点E，顶点是点D，以D、E、N、P四个点为顶点的四边形为平行四边形时，求点N的坐标； (3)在y轴右侧的抛物线上有一点Q，Q的横坐标为m，设该抛物线在点C与点Q之间（包含点C和点Q）的部分的最高点和最低点到x轴的距离分别为s，t，当时，直接写出m的取值范围． 【对点练6-1】（2026·四川凉山·中考真题）如图，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，其中，，对称轴是直线．动点M以每秒1个单位长度的速度，沿x轴从点O向点B运动，设运动时间为t（）秒，过点M作x轴的垂线交于点N，交抛物线于点P． (1)求抛物线解析式； (2)抛物线的对称轴交于点E，顶点是点D，当t为何值时，四边形为平行四边形； (3)动点M开始运动时，另一动点Q同时以每秒0.5个单位长度的速度，沿x轴从点O向点A运动．当t为何值时，四边形的面积最大，并求最大面积． 【对点练6-2】（2026·天津红桥·三模）已知抛物线（a，b，c为常数，）与x轴相交于点A，B（点A在点B的左侧），与y轴相交于点C，且．过点C作x轴的平行线与抛物线相交于点D． (1)若，． ①求该抛物线的顶点P的坐标； ②点M在抛物线上，以为边的的顶点E在直线上，求点M的坐标； (2)若点，点F在抛物线的对称轴上，以为边作，当取得最小值时，求a的值． 【对点练6-3】（2026·江苏镇江·二模）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线（）与y轴交于点，顶点为，将该抛物线沿射线方向平移得抛物线，抛物线的顶点为Q． (1)求抛物线对应的函数表达式； (2)若抛物线与x轴交于B、C两点，且，则点Q的坐标为_________； (3)点E是抛物线对称轴右侧图像上一点，点F在抛物线上，若四边形是面积为6的平行四边形，求点Q的坐标； (4)如图2，抛物线与抛物线交于点M，连接、，若，则点Q的横坐标为_________． 题型7 二次函数与特殊平行四边形问题 【例7】（2024·广东清远·二模）如图，二次函数的图象交x轴于点，，交y轴于点，点P为抛物线的对称轴上的一个动点． (1)求这个二次函数的表达式； (2)求点P到B、C两点距离之和的最小值及点P的坐标； (3)在平面上是否存在点Q，使以A，C，P，Q为顶点的四边形为矩形．若存在，请直接写出所有满足条件的点Q的坐标．若不存在，请说明理由． 【对点练7-1】（2026·辽宁盘锦·三模）如图1，抛物线经过点，，与y轴交于点C，P为抛物线上一点，Q在射线上，且． (1)求抛物线的解析式； (2)当点Q也在抛物线上时，求点Q的坐标； (3)如图2，设点P的横坐标为m，以为对角线作矩形，且轴，当抛物线在矩形内部的点的纵坐标y随x的增大而减小时，请直接写出m的取值范围． 【对点练7-2】（2026·湖北荆州·模拟预测）抛物线与轴交于原点和点，点为抛物线的顶点，点，为抛物线上不重合的两个点． (1)求的值； (2)试判断是否存在实数使得？若存在，求出值；若不存在，请说明理由； (3)记点，两点之间的部分（包括，两点）为图象，点在图象上，设图象的最高点与最低点的纵坐标之差为． ①求与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围； ②图象上的最低点关于抛物线对称轴的对称点记为点，再以最低点与点的连线为边向其上方作正方形，点到正方形边的最小距离记为．当点在该正方形内部，点在该正方形外部，且时，直接写出的值． 【对点练7-3】（2025九年级上·全国·专题练习）如图，抛物线与x轴负半轴交于点A，与x轴正半轴交于点B，与y轴负半轴交于点，，． (1)求抛物线的解析式； (2)点D是线段上一点（不与点A、O重合），过点D作x轴的垂线，交抛物线于点E，交于点F，当时，求点E的坐标； (3)在（2）的条件下，点M是抛物线对称轴l上一点，点N是坐标平面内一点，是否存在点M、N，使以A、E、M、N为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由． 基础通关 1．（25-26九年级下·陕西西安·期中）在平面直角坐标系中，为坐标原点，二次函数的图象与轴只有一个交点，且经过点，，则的面积为（     ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级下·福建福州·期末）在平面直角坐标系中，二次函数的顶点在另一条抛物线上运动．该二次函数图像与轴交于点A．过点P作轴于点B． (1)当时，求点A和点B的坐标，并求的面积； (2)当时，求点A的纵坐标的最小值． 3．（25-26九年级上·湖北咸宁·阶段检测）如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，顶点为D，抛物线的对称轴上有一点P，使的和最小，则点P坐标为_________． 4．（2025·黑龙江绥化·二模）如图，抛物线的顶点为，与轴交于点，与轴交于，两点（点在点的左侧）． (1)求抛物线的解析式； (2)连接，，，试证明为直角三角形； (3)若点在抛物线的对称轴上，抛物线上是否存在点，使以为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出所有满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 5．（24-25九年级下·广东茂名·开学考试）如图，抛物线与x轴交于、两点点在点左侧，直线与抛物线交于、两点，其中点的横坐标为． (1)求、两点的坐标及直线的函数表达式； (2)是线段上的一个动点，过点作轴的平行线交抛物线于点，求三角形面积的最大值； (3)点是抛物线上的动点，在轴上是否存在点，使、、、这样的四个点为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，写出所有满足条件的点坐标；如果不存在，请说明理由． 6．（2026·福建泉州·模拟预测）如图，抛物线与轴交于点、点，与轴交于点． (1)求抛物线解析式． (2)若点的横坐标为，连，，求的面积． 7．（2024·山东聊城·模拟预测）如图所示，已知抛物线的对称轴为直线，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，其中，． (1)求这条抛物线的函数表达式； (2)已知在对称轴上存在一点，使得的周长最小．请求出点的坐标． 8．（2025·浙江宁波·二模）在平面直角坐标系中，为坐标原点，抛物线的顶点为，且与轴交于点． (1)求点的坐标（用含的代数式表示）． (2)若点的纵坐标为，求的最小值． (3)当，为锐角时，求的取值范围． 9．（2024·广东云浮·一模）如图，二次函数的图象与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴正半轴交于点C，且． (1)求二次函数及直线的解析式． (2)P是拋物线上一点，且在x轴上方，若，求点P的坐标． 10．（2026·河南周口·一模）如图，抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点C． (1)求抛物线的解析式； (2)点P是抛物线上第一象限内的动点，连接，求面积的最大值． 11．（2025·吉林延边·二模）在平面直角坐标系中，抛物线（b、c为常数）的对称轴为直线，且此抛物线经过点，点A、B均在此抛物线上，点A、B的横坐标分别为m、，过点B作y轴的垂线交此抛物线于点C，连接，以、为边作． (1)求此抛物线对应的函数表达式； (2)当时，y的取值范围是_________； (3)当的长为2时，求点A的坐标； (4)当的顶点落在抛物线的对称轴上时，求的面积． 素养提升 1．（2026·山东烟台·中考真题）如图，二次函数的部分图象与轴交于点，与轴的交点位于点和点之间，顶点为点，对称轴为直线．下列说法：①；②；③；④设抛物线与轴的另一交点为，当时，．其中正确的是（     ） A．②③④ B．②③ C．②④ D．①③④ 2．（2026·内蒙古通辽·三模）如图，抛物线交轴于，两点，点是抛物线的顶点． (1)求抛物线解析式及顶点坐标； (2)抛物线上有一点（不与重合），使，求点坐标； (3)在对称轴上有一点，在抛物线上有一点，若使，，，为顶点的四边形为平行四边形，直接写出，坐标． 3．（2022·陕西·模拟预测）如图：抛物线的图象交x轴于，两点，交y轴于点C． (1)求抛物线的解析式； (2)点P为抛物线第一象限上的一动点，连接，过点P作于点H，求的最大值及此时点P的坐标； (3)在（2）的条件下，将抛物线沿射线平移个单位，得到新的抛物线，点M为点P对应点，点N为新抛物线对称轴上任意一点，在新抛物线y1上确定一点G，使得以点B，M，N，G为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出所有符合条件的点G的坐标． 4．（22-23九年级下·江苏苏州·开学考试）平面直角坐标系中，直线与抛物线交于轴上的点和点． (1)求和的值； (2)A为直线下方抛物线上一点，连接，求的面积的最大值； (3)当点为抛物线的顶点时（如图2），将沿着直线翻折得到，求与抛物线的另一个交点的坐标． 5．（2026·吉林长春·模拟预测）在平面直角坐标系中，点为坐标原点，抛物线经过点，对称轴为直线．点在抛物线上，点的横坐标为，过点作直线的垂线，垂足为．将线段关于点中心对称得到线段（点的对称点为点），依次连接、、、得到平行四边形． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)当和两点关于该抛物线的对称轴对称时，求点的坐标； (3)当时，抛物线在平行四边形内部及边界的图象记为．若图象的最高点与最低点的纵坐标之差为1，求的值； (4)当线段与该抛物线有两个公共点时，设两个公共点是和，当时，直接写出的取值范围． 迁移创新 1．（2026·广西南宁·三模）抛物线与轴相交于点和点，与轴相交于点，是抛物线的顶点，是抛物线上一动点，设点的横坐标为． (1)求的值； (2)如图1，若点在对称轴左侧，过点作对称轴的垂线，垂足为，当时，求的值； (3)定义：抛物线上两点，之间的部分叫做抛物线弧（含端点和）．过，分别作轴的垂线，，过抛物线弧的最高点和最低点分别作轴的垂线，，直线，，与围成的矩形叫做抛物线弧的特征矩形．若点在第四象限，记抛物线弧的特征矩形的周长为． ①若，求的值； ②请直接写出关于的函数解析式． 2．（24-25九年级上·湖南衡阳·期末）定义：若两条抛物线关于直线成轴对称，我们称其中一条抛物线是另一条抛物线关于直线的衍生抛物线．如图，抛物线与抛物线互为关于直线的衍生抛物线，以这两条抛物线的顶点和交点为顶点的叫伴随三角形． (1)直接写出抛物线关于直线的衍生抛物线的解析式：______． (2)若抛物线和它关于直线的衍生抛物线的交点在直线上，求伴随三角形的面积； (3)若抛物线和它关于直线的衍生抛物线的伴随三角形是直角三角形，求的值． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 第一章 二次函数 1.6 二次函数与几何综合 课标要点 1.数形结合：借助坐标系，把几何图形边长、垂直、相等转化为坐标代数式；由函数图像读出几何位置、长度、角度关系。 2.分类讨论：无图几何存在性问题（等腰直角、平行四边形）需分情况讨论，做到不重不漏。 3.模型思想：建立动点坐标模型，用含参数的代数式表示点，列方程求解，检验几何合理性。 4.转化化归：垂直→斜率乘积 =-1 / 一线三垂直；线段相等→距离平方相等；图形存在→方程有合理解。 5.推理运算：兼具几何演绎推理、代数解方程、含参整式化简、定义域检验综合运算能力。 学习重难点 重点： 1.掌握抛物线上动点坐标的设法，能把等腰、垂直的几何条件转化为代数式、方程。 2.熟练运用一线三垂直全等模型解决等腰直角三角形存在性问题。 3.掌握分类讨论：按直角顶点分三类讨论，保证解题不重不漏。 4.掌握数形结合思想，能用距离公式、全等求解动点坐标并检验答案。 难点： 1.几何条件代数化困难：不会将垂直、线段相等转化为坐标关系。 2.分类不完整：容易遗漏直角顶点的情况和不同位置的多解。 3.模型不会灵活构造：不能主动构造一线三垂直，计算繁琐易错。 4.综合运算弱：含参方程联立、化简求解难度大，容易出现增根、漏解。 知识点1 二次函数的实际应用 1..二次函数与几何图形的交点问题 ①与直线的交点：联立方程 ax2 + bx + c = mx + n，转化为二次方程求解。 ②与圆的交点：联立圆方程与抛物线方程，结合几何条件分析。 ③相切问题：利用判别式 Δ = 0， 求参数（如切线条件）。 2.几何图形的性质与二次函数结合 ①三角形与四边形：计算面积（分割法、顶点坐标公式）、周长，判断形状（如等腰、直角）。 ②对称性：抛物线的对称轴与几何图形对称轴的关系。 ③动点问题：设动点坐标为参数，通过几何条件（如距离、斜率）建立方程求解。 3..存在性问题 ①点的存在性：如抛物线上是否存在点使三角形为等腰/直角三角形，需构造方程验证解的存在性。 ②图形的存在性*：如平行四边形、菱形等，通过几何条件联立方程求解。 随学随练 1．（25-26八年级下·黑龙江大庆·期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点A和点，与y轴交于点C，E为线段AC上一动点（不与点A、C重合）。P为第三象限内抛物线上一动点，连接PE并延长垂直x轴于点D，过点E作AC的垂线，与y轴交于点G，则的最大值为_______． 【答案】 【分析】利用待定系数法求出直线的解析式，过点作轴于点，设，则，说明，从而得出，用含有m的式子表示，再运用二次函数求最值方法即可. 【详解】解：当时，， 点． 当时，， 解得：， . 设直线的解析式为， 把代入， 得：，解得：. 直线的解析式为：． ， ． 过点作轴于点， ， . . . . 设，则， . . 由题意有， 当时，取最大值，最大值为. 2．（2025·吉林·二模）在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，抛物线（是常数）的对称轴是直线，点P、Q均在抛物线上，它们的横坐标分别为和，其中．当点不在轴上时，作点关于点的对称点，作点关于点的对称点，连接MN． (1)求该拋物线对应的函数表达式； (2)证明：点与点始终关于轴对称； (3)当直线与抛物线（是常数）有两个公共点时，设这两个点分别为E、F（点在点左侧）． ①当点E、F在线段MN上时，求的取值范围； ②当时，直接写出的值． 【答案】(1) (2) 解：∵点P、Q均在抛物线上，它们的横坐标分别为和， ∴当时，， 当时，， ∴，， ∵点关于点的对称点，作点关于点的对称点， ∴，， ∴点与点始终关于轴对称； (3)①；②或 【分析】（1）根据对称轴公式求出a的值即可求解； （2）先求出，，然后根据对称性求出，，即可得证； （3）①由（2）知：直线为，根据直线与抛物线（是常数）有两个公共点，可得方程有两个不相等的实数根，根据根的判别式可求出；根据点E、F在线段MN上，抛物线的开口向上，得出当时，，求出或，然后结合即可求解； ②联立方程组求出E、F的横坐标，然后根据，列出关于m的方程，然后分，两种情况分别解方程即可． 【详解】（1）解：∵抛物线（是常数）的对称轴是直线， ∴， ∴， ∴； （2）略 （3）解：①由（2）知：直线为， ∵直线与抛物线（是常数）有两个公共点， ∴方程，即有两个不相等的实数根， ∴， ∴， ∴， ∵点E、F在线段MN上，抛物线的开口向上， ∴当时，， 解得或， 又， ∴； ②联立方程组， 化简得， 解得，， ∵点在点左侧， ∴，， 又，，， ∴， ∴或， 当时，原方程化简为， ∴， ∴， 解得，， 又， ∴； 当时，原方程化简为， ∴， ∴， 解得，， 又， ∴ 综上，m的值为或． 【点睛】本题考查了二次函数的综合应用，二次函数的对称轴公式，中心对称和轴对称，二次函数与一元二次方程的关系，解不等式等知识，熟练掌握二次函数的图象与性质以及运用分类讨论思想求解是解题的关键． 3．（25-26八年级下·重庆·期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴是直线． (1)求抛物线的表达式； (2)点P是直线上方抛物线上一动点，连接，点为抛物线对称轴上的动点，点E在点D的下方，且，连接．当的面积取得最大值时，求点P的坐标及的最小值； (3)在（2）中的面积取得最大值的条件下，将抛物线沿射线的方向平移个单位长度得到抛物线，点M为点P的对应点，点N为抛物线上一动点，若，请直接写出所有符合条件的点N的坐标，并写出求解点N的坐标的其中一种情况的过程． 【答案】(1) (2)；的最小值为 (3)， 【分析】（1）利用待定系数法即可解答； （2）利用铅锤高，水平宽，得到当的面积取得最大值时取最大值，即可求得点；利用轴对称的性质求得的最小值； （3）根据平移的性质求得新抛物线的解析式，求得点的坐标，即可求得，再利用求一次函数与抛物线的交点，即可求得点的坐标． 【详解】（1）解：抛物线的对称轴是直线， ，解得， 把代入， 可得，解得， ∴ （2）解：令， 解得， ， 令，可得， ， 设直线的解析式为， 把，代入， 可得， 解得， 所以直线的解析式为， 如图，过点作轴，交于点， ， 当最大时，的面积取得最大值， 设点，则， ， 当时，的面积取得最大值， 此时， 如图，将向下平移个单位到，使点与点重合，作关于对称轴直线的对称点，连接， ， 根据平移可得， 根据对称可得， ， 即的最小值为； （3）解：， ， 将抛物线沿射线的方向平移个单位长度得到抛物线，即将抛物线向下平移3个单位，向右平移3个单位， ，，即， 如图，过点作轴，交于点，设与轴交于点， 则， ，， ， ， ， 即， ， 当在轴上方时，， 设直线的解析式为， 把，代入， 可得， 解得， 所以直线的解析式为， 列方程， 整理得， ，无解； 当在轴下方时，， 设直线的解析式为， 同理可得直线的解析式为， 列方程， 整理得， 解得，； ，． 4．（2026·辽宁沈阳·三模）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴负半轴相交于点，与轴正半轴相交于点，与轴相交于点，点是抛物线上一动点，设点的横坐标为． (1)求出的长； (2)连接，若 ，求出的值； (3)连接，过点作直线，交轴于点．过点作轴交直线于点，交直线于点． ①如图2，当时，若点和点到直线距离之和不超过，求的取值范围； ②如图3，当点在对称轴右侧的抛物线上，过点作对称轴的垂线，垂足分别为点，点．若四边形在直线之间的部分的面积恰好是四边形面积的一半时，直接写出的值． 【答案】(1)， (2) (3)①或；②或 【分析】（1）当时，则，即可求出点B，进而可求出，当时，则，求出点A，B的坐标，进而可求出． （2）由全等三角形的性质得出点E在一三象限的角平分线上，即直线在一次函数上，又点E在二次函数解析式上，联立建立关于m的一元二次方程，求解即可得出m的值． （3）①过点作于点，过点作于点，由等腰直角三角形的性质得出，，根据三角形直角边小于斜边得出，根据一次函数的图象和性质求出点E的坐标，得出，进而可求出m的取值范围，最后结合题干m的范围得出最终的范围． ②分两种情况求解，四边形为矩形或者正方形，根据矩形或者正方形的性质结合四边形在直线之间的部分的面积恰好是四边形面积的一半建立关于m的一元一次方程，求解即可得出答案． 【详解】（1）解：当时， 则， ∴， ∴， 当时，则， 解得：，， ∴，， ∴． （2）解：由（1）可知， 若 ， ∴， ∴点E在一三象限的角平分线上 ∴， ∴点E到x轴的距离等于点E到y轴的距离， 即直线在一次函数上， ∵是抛物线上一动点， ∴， 又∵在一次函数上， ∴， ∴ 解得：． （3）解：①过点作于点，过点作于点，如图， ∵， ∴， ∴，， ∵点和点到直线距离之和不超过， ∴， ∴，即， 设的解析式为， 则， 解得， ∴的解析式为， ∵， ∴直线的一次系数为， 故设直线的解析为， 把代入， 则， ∴， ∴直线的解析为， 把代入，得， ∴点， 又∵点， ∴， 则，解得 或， ∵， ∴，或； ②根据题意可知四边形为矩形或者正方形， ∵，点，点， ∴，， 根据题意可知当时，四边形为正方形，且在直线之间的部分的面积恰好是四边形面积的一半，如图， 则，解得，或， ∵点在对称轴右侧的抛物线上， ∴， ∴； 设线段与直线交于点I，线段与直线交于点K，根据题意可知当时，四边形为矩形，且在直线之间的部分的面积恰好是四边形面积的一半，如图， 同理可得，点，点，点， ∵直线的解析式为， ∴点，点， 则，解得，或， ∵， ∴， 综上所述，当或时，四边形在直线之间的部分的面积恰好是四边形面积的一半． 【点睛】本题主要考查二次函数与几何的结合，难度较大，涉及二次函数的性质、全等三角形的判定和性质、一次函数的解析式和性质、等腰三角形的性质和判定、解不等式、正方形的性质和矩形的性质等知识点，解题的关键是熟悉二次函数的性质和特殊四边形的性质，以及动态思想的应用． 5．（2026·吉林·模拟预测）已知抛物线的对称轴为直线． (1)_______，抛物线与轴的交点坐标为_______； (2)当，求的取值范围． (3)已知点在抛物线上，且点的横坐标为，为平面内一点． ①若点在抛物线上时，求的值； ②已知点与点关于点成中心对称，以，为邻边作．当抛物线在内部的图象的函数值随的增大而增大，且抛物线与的边只有两个交点时，并且交点的纵坐标之差为时，直接写出的取值范围． 【答案】(1)， (2) (3)① 或；② 或 【分析】（1）利用对称轴公式求出b的值，得到抛物线解析式，即可求解抛物线与y轴的交点； （2）根据二次函数的性质求解即可； （3）①将点代入求解即可；②先求出 ，则，当时y随x增大而增大，要满足条件，需，即抛物线与平行四边形只有两个交点，然后分两种情况讨论求解． 【详解】（1）解 已知抛物线，对称轴为直线 对于抛物线，对称轴为， 这里，代入得 ， 解得 令，代入抛物线得， 因此抛物线与y轴交点坐标为； （2）解：抛物线解析式整理得，抛物线开口向上，对称轴 当时，在该范围内， ∴时y取得最小值 时，； 时， ∵， ∴y的最大值为 ∴y的取值范围是； （3）解：①若点在抛物线上，将坐标代入抛物线解析式得， 整理得， 解得或； ②设点， ∵N与M关于点成中心对称， ∴K是中点 由中点坐标公式得， 解得， 即 ∵点P在抛物线上，横坐标为m， ∴得， ∵平行四边形的x范围是 ∵抛物线开口向上，对称轴， ∴当时y随x增大而增大，要满足条件，需，即抛物线与平行四边形只有两个交点， 平行四边形的顶点在抛物线上， 故抛物线与平行四边形的边有一个交点是点 ①当抛物线与平行四边形的边交于点时，如图： ∵， ∴轴， ∵， ∴轴， ∴， ∵交点的纵坐标之差为 ∴ ， 解得； ②当抛物线与平行四边形的边交于点时，如图： ∵， 设直线， 则 解得 ∴直线 与抛物线联立可得， 解得， ∴， ∵交点的纵坐标之差为 ∴ 解得，（舍去）， 综上：的取值范围是或． 拓展1 二次函数与等腰直角三角形问题 一、解题思路 1.求定点坐标，设抛物线上动点 P(t,yP)； 2.分三类：直角在 A、直角在 B、直角在 P； 3.直角在定点：画一线三垂直全等，直接写出 P 两种坐标，代函数解方程； 4.直角在动点： ① PA2=PB2 得一次式； ② 垂直斜率乘积 =-1 得第二个式子； ③ 联立解坐标，再代入抛物线； 5.检验：舍去不在图像、不符合题意的点。 活学活用 1．（2026·吉林长春·模拟预测）在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点，点B在抛物线上．设其横坐标为m．点C是平面直角坐标系中异于点B的一点，其坐标是，连接，当不与坐标轴垂直时，以为斜边作 ，使轴． (1)求抛物线所对应的函数表达式； (2)当点B在抛物线对称轴左侧，且是等腰直角三角形时，求m的值； (3)当的边与抛物线有公共点时，求m的取值范围； (4)当抛物线在内部的点的纵坐标y随x的增大而增大，或y随x的增大而减小时，直接写出m的取值范围． 【答案】(1) (2)或 (3)或 (4)或 【分析】（1）利用待定系数法求出抛物线解析式； （2）再结合直角三角形、等腰直角三角形的性质得到点坐标与线段关系，根据题目要求列方程或不等式求解；用到抛物线的单调性、坐标与线段长度的关系等初中知识点，逐步推导即可得到结果； （3）先求出的横坐标和纵坐标的范围，再将横坐标代入到抛物线中，根据与抛物线有交点可得，代入解不等式即可； （4）根据抛物线的解析式可知抛物线的对称轴和增减性，数形结合求出的取值范围，同时要注意不与坐标轴垂直时的的值即可． 【详解】（1）解：把代入，得，解得， ∴抛物线对应的函数表达式为． （2）解：抛物线， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵点B横坐标为m， ∴ ， 由点在对称轴左侧，得， ∵，是 的斜边， ∴ ， 又∵轴， ∴轴，， ∵， ∴ ， ∴轴，， ∴， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∴ ，， ∴， 此时分两种情况讨论： ①， 解得， ∵， ∴ ； ② ， 解得， ∵， ∴ 由不与坐标轴垂直得，两个解均满足条件， ∴m的值为或． （3）解：∵是竖直线段， ∴横坐标为，纵坐标范围介于和之间， 若与抛物线有公共点，则抛物线在处的纵坐标需满足要求， ∴抛物线在处的纵坐标为， ∴， 代入整理得， ∴所有零点为，，，， 解得或， ∵不与坐标轴垂直， ∴，即， ∴m的取值范围是 或 ． （4）抛物线的对称轴为，当时随增大而减小，当时随增大而增大； 如图所示，当点在抛物线上时，即, 解得 如图所示，当时，抛物线在三角形内部随增大而增大， ∵不与坐标轴垂直， ∴， 解得， 当抛物线与三角形无公共部分在三角形的内部， 当时，抛物线在三角形内部也具有单调性， ∴的取值范围是或． 2．（2022·天津南开·模拟预测）已知抛物线的顶点为，且经过点． (1)求该抛物线对应的函数的解析式； (2)将该抛物线向下平移个单位，设得到的抛物线的顶点为A，与x轴的两个交点为B，C，若是以为斜边的等腰直角三角形，求m的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由待定系数法求解即可； （2）先求出平移后的抛物线表达式，即可求解顶点，再令，求解抛物线与轴坐标，再由等腰直角三角形的性质求解． 【详解】（1）解：设抛物线的解析式为：，且经过点， ∴， ∴， ∴抛物线的解析式为：； （2）解：将向下平移个单位得：， ∴ 令， 解得或， ∴，（B、C坐标互换亦可） ∴， 过点A作于H， ∵是以为斜边的等腰直角三角形， ∴ ∴， ∴ 解得或（舍去）． 3．（25-26九年级下·江西九江·期中）定义：若两条抛物线的顶点关于原点对称，两个二次函数的二次项系数互为负倒数，这样的两条抛物线称之为“共生抛物线”，如抛物线与是共生抛物线 已知抛物线的顶点是点，它的共生抛物线的顶点是； (1)点的坐标是___________，抛物线的函数关系式是___________． (2)当的取值范围是___________时，抛物线与的函数值都随的增大而减小． (3)直线与抛物线均有两个交点，这些交点从左到右分别是． ①求的取值范围是___________； ②在抛物线上是否存在一点，使是以为直角边的等腰直角三角形，若存在，请求出点的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2) (3)①；② 【分析】（1）根据抛物线的解析式可得点P的坐标，根据共生抛物线的定义，可以得到抛物线的顶点坐标和二次项系数，据此可得答案； （2）根据（1）所求分别求出抛物线和的函数值随的增大而减小时x的取值范围即可得到答案； （3）①求出直线经过点Q和点P时m的值，再结合函数图象即可得到答案；②分两种情况：点P为直角顶点和点Q为直角顶点，利用一线三垂直模型构造全等三角形求出点K的坐标，再验证点K是否在抛物线上即可得到答案． 【详解】（1）解：∵抛物线的顶点是点， ∴点P的坐标为， ∵抛物线的共生抛物线的顶点是， ∴，且抛物线的二次项系数为， ∴抛物线的解析式为； （2）解：∵抛物线的解析式为，且， ∴抛物线的开口向下，对称轴为直线， ∴当，的函数值随着x的增大而减小； ∵抛物线的解析式为，且， ∴抛物线的开口向上，对称轴为直线， ∴当，的函数值随着x的增大而减小； 综上所述，当时，抛物线与的函数值都随的增大而减小； （3）解：①如图所示， 当直线恰好经过点P时，则， 当直线恰好经过点Q时，则， 由函数图象可知，当时，直线与抛物线分别有两个不同的交点； ②如图所示，当点P为直角顶点时， 过点P作轴，过点K作，过点Q作， ∴， 由题意得，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，当时，， ∴点在抛物线上，此时符合题意； 如图所示，当点Q为直角顶点时，同理可得， 在中，当时，， ∴点不在抛物线上，此时不符合题意； 综上所述，点K的坐标为． 4．（2026·湖南长沙·一模）我们约定：如果抛物线的顶点坐标满足条件，那么称抛物线为“同频”拋物线．如抛物线的顶点坐标为，此时，，满足条件，所以它是“同频”拋物线． (1)抛物线是“同频”拋物线，请你判断下列说法是否正确（在题后相应的括号中，正确的打“√”，错误的打“×”）． 当时，；（   ） 当时，；（   ） 抛物线与轴可能只有一个交点；（   ） (2)是否存在点，是“同频”拋物线上的点，其中，且，若存在，请求该抛物线的解析式，若不存在，请说明理由； (3)“同频”抛物线的顶点为，它与直线交于，两点，若是等腰直角三角形，求代数式的值． 【答案】(1)√；√；×； (2) 不存在，理由如下： 由（1）可得抛物线，顶点坐标为，根据“同频”拋物线可得：，整理得： ∵，是“同频”拋物线上的点， ∴， 得：， ， ， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴， ∴该抛物线的解析式为； ∵， ∴在直线上， 联立 消去得， 即 ∴ ∴不在抛物线上，故不存在 (3)代数式的值为或． 【分析】本题考查了二次函数的性质，二次函数的应用，二次函数与一元二次方程的关系，待定系数法求解析式等知识，掌握知识点的应用是解题的关键． （）先求出顶点坐标为，根据“同频”拋物线可得，整理得，再结合已知条件分别判断； （2）由（1）得抛物线的顶点坐标为，，又，是“同频”拋物线上的点，则，得出，再结合，得，然后求出的值即可，再联立抛物线与直线，得出无交点，即可求解； （）先求出抛物线的顶点坐标为，又抛物线是“同频”拋物线，则，整理得，所以，根据题意得，解得，，所以，又是等腰直角三角形，所以顶点到的距离等于，得，整理得，求得，然后分情况求解即可． 【详解】（1）解：由抛物线， ∴顶点坐标为， 根据“同频”拋物线可得：，整理得：， 当时，； ∵，， ∴； 由， ∴抛物线与轴没有交点， 故答案为：√；√；×； （2）略 （3）解：由抛物线， ∴顶点坐标为， ∵抛物线是“同频”拋物线， ∴，整理得：， ∴， ∵抛物线与直线交于，两点， ∴， ， 解得：，， ∴， ∵是等腰直角三角形， ∴顶点到的距离等于， ∴， 整理得：， ∵，， ∴， ∴， ∴当时，， ∴ ； 当时，， ∴ ； 综上可得：代数式的值为或． 题型1 二次函数与线段周长问题 【例1】（2023·江苏盐城·模拟预测）如图，二次函数的图像与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，点B的坐标为，点C的坐标为，直线l经过B、C两点． (1)求该二次函数的表达式及其图像的顶点坐标； (2)点P在线段上运动（不与B、C重合），过点P作x轴的垂线与该二次函数的图像相交于点M，再过点M作y轴的垂线与该二次函数的图像相交于另一点N，当时，求点P的坐标； 【答案】(1)，顶点坐标 (2)点P的坐标为或 【分析】（1）用待定系数法求函数的解析式，然后配方成顶点式即可； （2）首先求出直线的解析式为，设，则，，则，，由题意可得方程，求解方程即可． 【详解】（1）解：将点，代入 ∴ 解得 ∴ ∵ ∴顶点坐标； （2）解：设直线的解析式为 将，代入得， 解得 ∴直线的解析式为 如图，设，，则 ∵抛物线对称轴为直线，轴 ∴点M和点N关于对称轴对称 ∴ ∴，， ∵ ∴ ∴或 当时，整理得 解得，（舍去） ∴； 当时，整理得 解得（舍去）， ∴； 综上所述，点P点坐标为或． 【对点练1-1】（25-26八年级下·北京·期末）在平面直角坐标系xOy中，抛物线顶点为． (1)请用含a的式子表示b，c； (2)过点作x轴的垂线，交抛物线于点M，交直线于点N，若点M、N重合，规定； ①若，，求t的值； ②当点P从点运动到点的过程中（不包含点B与点C），的长存在最大值，求a的取值范围． 【答案】(1)； (2)①或；② 【分析】（1）由抛物线顶点为，可得，，进一步可得答案； （2）①由，可得抛物线，直线为：，可得，进一步求解即可； ②由①同理可得：，当时，可得，，函数的对称轴为直线，再结合图象求解即可． 【详解】（1）解：抛物线顶点为， ∴，， ∴；． （2）解：①∵， ∴， 直线为：， ∵， ∴，， ∴， ∴或， ∴或， 当时， 解得：或， 当时， 此时，方程无解． 综上：或． ②由①同理可得： ， 当时， ∴， 解得：，， ∴函数的对称轴为直线， 如图， 当或时，随的增大而增大， 当或时，随的增大而减少， 当时，， ∴， ∴点P从点运动到点的过程中，增大， 开口向上的抛物线的解析式为：， 开口向下的抛物线的解析式为：， 令，， 把代入， ∴， 解得：， ∵，的长存在最大值， ∴， 解得：， 当时， ∴， 当点P从点运动到点的过程中，减少， 此时图象不含端点， ∴不存在最大值， 综上：． 【对点练1-2】（2026·甘肃天水·模拟预测）已知抛物线交x轴于点，B；交y轴于点C，将点C向右平移2个单位长度，得到点D，点D在抛物线上，点E为抛物线顶点． (1)求抛物线的函数表达式及顶点E的坐标； (2)连接，点M为线段上一动点，连接，作射线． ①在射线上取一点F，使，连接．当的值最小时，求点M的坐标． ②点N是射线上一动点，且满足，连接，求的最小值． 【答案】(1)， (2)①；② 【分析】（1）求出点D的坐标，再利用待定系数法解答即可； （2）①连接，根据题意可得点，，从而得到当点O，M，F三点共线时，取得最小值，最小值为的长，即，再求出点，可证明四边形为菱形，即可求解； ②在射线上取点G，使，连接，证明为等腰直角三角形，可得，可证明为等腰直角三角形，再证明，可得，从而得到，即可求解． 【详解】（1）解：当时，， ∴点， ∵将点C向右平移2个单位长度，得到点D， ∴点， 把点，代入得： ，解得：， ∴抛物线的解析式为， ∵， ∴顶点E的坐标为； （2）解：①如图，连接， ∵，， ∴轴，， ∴， ∴点，， ∵， ∴当点O，M，F三点共线时，取得最小值，最小值为的长，即， 对于， 当时，， ∴点， ∴，， ∴， ∴四边形为菱形， ∴点M为的中点， ∴点M的坐标为； ②如图，在射线上取点G，使，连接， ∵， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴轴，即， ∴， ∵，， 在中，， ∴， 即的最小值为． 【对点练1-3】（26-27九年级·全国·暑假作业）已知抛物线（，，是常数，）与轴相交于点和点（点在点的左侧），与轴交于点，为第一象限内的抛物线上一动点． (1)若，， ①求该抛物线的顶点坐标； ②过点作轴的垂线，垂足为，交线段于点，若，求点的坐标． (2)若，是直线与抛物线的交点，若，（点在点的左侧）为线段上的两个动点，且，当的最小值为时，求点，的坐标． 【答案】(1)①顶点坐标为；②点坐标为； (2)， 【分析】（1）①用待定系数法求出抛物线的解析式，即可求解； ②先求出直线的解析式，设点的坐标为，则点的坐标为，用t表示出，，根据求出t值，即可求解； （2）根据题意，抛物线的解析式可写为，则点的坐标为，点的坐标为，作点关于轴的对称点，过点作轴于点，在线段上截取，连接与轴交于点，在上截取，连接，即可确定当的最小值时，点M的位置，根据勾股定理求出c的值，进而求得直线的解析式，即可求解． 【详解】（1）解：①， 抛物线 ， 抛物线 与轴相交于点， ，解得 ， 抛物线的解析式为． 顶点坐标为 ； ②对于， 令 ，得 ，令 ，得 或 ， 点 的坐标为 ，点 的坐标为 ， 如图，设直线的解析式为， 把点，的坐标代入，得， 解得， 直线的解析式为， 轴于点，交于点， 设点的坐标为， 点的坐标为， ，， ， ， 解得，(舍去)， 当时，， 点的坐标为． （2）解：抛物线与轴相交于点， ，又， ， 抛物线的解析式为， 直线与抛物线相交于点， 点的坐标为，点的坐标为， 如图②，作点关于轴的对称点，过点作轴于点，在线段上截取，连接与轴交于点，在上截取，连接，易得点的坐标为，点的坐标为， ， 四边形为平行四边形， ， 又∵的长为是定值， 当满足条件的点落在上时，的最小值为，即取得最小值， 的最小值为， 在中，，， ， 解得，(舍去)， 点的坐标为，点的坐标为， 直线的解析式为， 当时，，解得， 点的坐标为，点的坐标为． 题型2 二次函数与图形面积问题 【例2】（2022·宁夏吴忠·一模）如图，对称轴为直线的抛物线与轴相交于、两点，其中点的坐标为． (1)求抛物线的解析式； (2)C为抛物线与y轴的交点，若点P在抛物线上，且，求点P的坐标． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）根据、关于对称轴对称，可得点坐标，根据待定系数法，可得答案； （2）根据，可得到的距离是的4倍，可得点的横坐标，根据自变量与函数值的对应关系，可得答案． 【详解】（1）解：由、关于对称轴对称， 得． 将、点坐标代入函数解析式， 得， 解得， 抛物线的解析式； （2）解：由，得到的距离是的4倍， 即点的横坐标为4或， 当时，， 当时，，即， 综上所述，点P的坐标为或． 【对点练2-1】（22-23九年级下·山东日照·开学考试）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴，轴分别交于，两点，抛物线经过，两点，与轴的另一交点为． (1)求抛物线解析式及点坐标； (2)若点为轴下方抛物线上一动点，连接、、，当点运动到某一位置时，四边形面积最大，求此时点的坐标及四边形的面积． 【答案】(1)， (2)当时，四边形面积最大，最大面积等于 【分析】（1）由直线求出点、坐标，用待定系数法求抛物线解析式，进而求得点坐标； （2）过点作轴于点, 设 ，则，根据，列出关于的二次函数解析式，根据二次函数的性质解答即可． 【详解】（1）解：直线，时，， ， 时，解得：， ， 抛物线经过，两点， ∴， 解得：， ∴抛物线解析式为， 当时， 解得：，， ∴； （2）如图，过点作轴于点， ，，， ，， ， 点为轴下方抛物线上的点， 设 ， ， ， ， 当，即时，四边形面积最大，最大面积等于． 【对点练2-2】（2022·广西南宁·模拟预测）如图，抛物线与x轴交于点和点B，其顶点坐标为，P是第一象限内抛物线上的动点，过点P向x轴作垂线，交直线于点M，交x轴于点N，连接、． (1)求该抛物线的解析式； (2)当取得最大值时，求线段的长； (3)若直线把的面积分成两部分，求点P的坐标． 【答案】(1) (2) (3)点P的坐标为或 【分析】（1）设抛物线解析式为，利用待定系数法求解； （2）首先求出，，得到直线的解析式为，设，则，表示出，然后利用二次函数的性质得到当时，取得最大值为，然后求解即可； （3）首先表示出，然后根据题意分两种情况讨论，分别列方程求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线与x轴交于点和点B，其顶点坐标为， ∴设抛物线解析式为， 将点代入得：， 解得， ∴抛物线的解析式为； （2）解：∵， 当时，， ∴， 当时，， 解得，， ∴， 设直线的解析式为， 将，代入得， 解得， ∴直线的解析式为， 设，则， ∴， ∵二次项系数， ∴当时，取得最大值为， ∴此时点P的坐标为， ∴， ∴； （3）解：由（2）得，，， ∴， ∵直线把的面积分成两部分， ∴当时， 解得（舍去），， 经检验是原方程的解，且符合题意， ∴点P的坐标为； 当， 解得（舍去），， 经检验是原方程的解，且符合题意， ∴点P的坐标为， 综上所述，点P的坐标为或． 【对点练2-3】（2026·福建厦门·模拟预测）如图，抛物线与y轴交于点，顶点为D，对称轴为直线，点P在抛物线上，点P的纵坐标为2，过点P作x轴的平行线交抛物线于另一点M，交y轴于点E．若的面积是的面积的3倍，求抛物线的解析式． 【答案】 【分析】先利用点C坐标与对称轴为求出，再求出点D的坐标，进而分别求出点C、D到的距离，利用列出方程，求出、的值，从而求出抛物线的解析式． 【详解】解：如图，令直线与交于点F， 将点代入抛物线得：， 抛物线对称轴为， ， ， 抛物线解析式为， 将代入得：， ， 轴，点P的纵坐标为2， 、， 、， 抛物线的图象开口向下， ， ， ， ， ， 解得：， ， 抛物线的解析式为． 题型3 二次函数与角度问题 【例3】（25-26八年级下·重庆渝中·期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点、点，与轴交于点，连接． (1)求抛物线的表达式； (2)如图1，点是线段下方抛物线上一点，过点作轴交线段于点，过点作轴交轴于点，求出的最大值，及此时点的坐标； (3)如图2，将抛物线沿射线方向平移个单位长度得到新抛物线，点为新抛物线上一点，且满足，请直接写出所有符合条件的点的坐标，并写出其中一种情况的求解过程． 【答案】(1) (2)最大值为4，点的坐标为 (3)或 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）先求出直线，设，然后用的代数式表示出，再由二次函数的性质求解即可； （3）先求出平移后的抛物线表达式，过点作轴于点，则，那么，设，则，再解方程即可． 【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于点、点， ∴ 解得 ∴抛物线的表达式为； （2）解：对于，令，则 ∴ ∵ 设直线， 则 解得 ∴直线 设 ∵轴， ∴， ∵轴， ∴ 整理得， ∵， ∴当时，取得最大值为， 此时点； （3）解：∵， ∴， ∵ ∴， 设点的对应点为点，作轴于点，则为等腰直角三角形，， 则由题意得， ∵ ∴ ∴点向右平移2个单位，向下平移2个单位得到点， 而抛物线， 则向右平移2个单位，向下平移2个单位得到， ∵ ∴， 过点作轴于点 ∴ ∴ 设，则 ∴或 解得，或（舍去）； 解得，或（舍去） ∴当时，；当时，， 综上：符合条件的点的坐标为或． 【对点练3-1】（25-26八年级下·福建福州·期末）已知抛物线： (1)当，时，求抛物线的顶点坐标； (2)点为平面直角坐标系原点，点，在抛物线上，且，． ①若，用含的代数式表示； ②当时，求证：抛物线恒过定点，并求出定点的坐标． 【答案】(1) (2)①； ②抛物线恒过定点，定点坐标为； 证明：∵， ∴由勾股定理得， ∵，， ∴，， ， ， 将上述式子代入得： 整理得， 提取公因式得， ∵，且， ∴， ∴，即， 由①得，将代入得：， 将代入得， ∴抛物线的解析式为， 当时，，结果与的取值无关， ∴抛物线恒过定点，定点坐标为． 【分析】（1）将给定的代入抛物线解析式，用配方法即可求出顶点坐标； （2）①将，两点坐标代入抛物线解析式，两式作差后因式分解，结合和即可推导出关于的表达式； ②利用勾股定理结合求出的值，再推导得到为定值，即可证明抛物线恒过定点并求出定点坐标，即可求解． 【详解】（1）解：当，时，抛物线的解析式为 配方得 因此抛物线的顶点坐标为 （2）①因为点，都在抛物线上 所以可得 两式作差得 整理得 因式分解得 ∵， ∴， ∴ ②略 【对点练3-2】（25-26八年级下·重庆·期末）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于两点，与轴交于，连接． (1)求抛物线的表达式； (2)如图1，点是线段上方抛物线上的一动点，连接．抛物线的对称轴为直线，点为轴上的动点，于点．当面积取得最大值时，求点的坐标及的最小值； (3)如图2，将抛物线沿射线方向平移个单位长度得到新抛物线，点为抛物线与轴的左侧交点，点为抛物线上的一动点．若，请直接写出所有符合条件的点的横坐标． 【答案】(1) (2)；的最小值为 (3)点的横坐标为或 【分析】（1）利用待定系数法求解； （2）过点P作轴于点F，交直线于点E，先求出直线的解析式，设点P的坐标，则可表示点E的坐标，进而表示出线段，利用，最后求出其取最大值时点P的坐标；因，则，当最小时，最小，此时轴，根据点P的坐标求得的最小值； （3）根据A、C两点的坐标得，由条件得，求出平移后的抛物线解析式及此抛物线与x轴的交点坐标，此时有两种情况：或直线与的交点恰好是以为底边的等腰三角形的顶点，由此即可求解． 【详解】（1）解：∵抛物线过两点， ∴设抛物线解析式为， ∵抛物线过点， ∴， 即， ∴抛物线解析式为，即； （2）解：如图，过点P作轴于点F，交直线于点E， 设直线的解析式为， 把A、C两点的坐标分别代入得，解得， ∴直线的解析式为， 设点P的坐标为，则可表示点E的坐标为， ∴， ∵， ∴， ∵ ， 当取得最大值时，取得最大值， ∵， ∴当时，取得最大值，从而取得最大值， ∴， ∵点Q在y轴上，抛物线的对称轴为直线，， ∴， ∴， 当最小时，最小，此时轴， ∵， ∴的最小值为， ∴的最小值为； （3）解：根据A、C两点的坐标知，， ∴，， ∵，， ∴， ∵抛物线沿射线方向平移个单位长度得到新抛物线，且， ∴那原抛物线向左平移3个单位，向下平移3个单位， ∴， 令，解得， ∴，与x轴的另一个交点为点A， 当点N在上方的抛物线上时，则， 设此时的解析式为，把点M坐标代入得， 即的解析式为， 令，整理得， 解得（舍去）， ∴点的横坐标为； 当直线与的交点恰好是以为底边的等腰三角形的顶点时，此时， 设直线与的交点为D点，如图，设， ∵， ∴， 解得， 即， 设直线的解析式为， 则有，解得， 即直线的解析式为， 令，整理得， 解得（舍去）， ∴点的横坐标为， 综上，点的横坐标为或． 【对点练3-3】（2023·新疆乌鲁木齐·模拟预测）如图所示．抛物线经过点和点． (1)求抛物线解析式和顶点D的坐标； (2)若直线与抛物线交于点A，C，点P在抛物线上，过点P作x轴的垂线，交直线于E，抛物线的对称轴与直线交于F． ①设点P的横坐标为m，当以点P，D，E，F为顶点的四边形是平行四边形时，求m的值； ②在直线上方的抛物线上是否存在点P，满足，若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)抛物线解析式为，顶点； (2)①或或；②存在，． 【分析】（1）把和点代入求解即可； （2）①先求出，，则，由P的横坐标为m可知，，即，根据平行四边形的判定定理可知当时，以点P，D，E，F为顶点的四边形是平行四边形，即，求解即可； ②过A作交延长线于K，过K作轴于T，过C作轴于R，可知是等腰直角三角形，证明，得到，进而得到，求出直线解析式为，求解即可． 【详解】（1）解：把和点代入得： ， 解得， ∴抛物线解析式为， ∵， ∴顶点； （2）解：①如图： 由得或， ∴， 由（1）知，对称轴为直线， 在中，令得， ∴， ∴， ∵P的横坐标为m， ∴，， ∴， ∵， ∴当时，以点P，D，E，F为顶点的四边形是平行四边形， 即， 解得或（与D重合，舍去）或或； ∴或或； ②在直线上方的抛物线上存在点P，满足，． 过A作交延长线于K，过K作轴于T，过C作轴于R，如图： 是等腰直角三角形， ∵，， ∴，， ∴， 设直线解析式为， 由，得， 解得：， ∴直线解析式为， 解得或， ∴． 题型4 二次函数与直角三角形问题 【例4】（2026·四川成都·模拟预测）如图1，在平面直角坐标系中，是抛物线的对称轴上一点，且抛物线与轴的交点坐标为． (1)求抛物线的函数表达式； (2)设点在对称轴右侧的抛物线上，点在轴上，若是以为直角顶点的直角三角形，且，求点和点的坐标； (3)如图2，是抛物线上的两个动点（点在点的左侧），点在同一直线上，过点作轴的垂线，交直线于点．是否存在实数，使得总成立？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)； (3)存在； 【分析】（1）由题意可知抛物线的对称轴为直线，可求的值，再将点代入，即可确定函数的解析式； （2）设对称轴与轴的交点为，过点作交于点，则，能得到，，设，，则，，即可求，； （3）过点作交于点，过点作交于点，设对称轴与的交点为，由题意可知，再由，则，设直线的解析式为，当时，，，求出，可得等式，整理后可得． 【详解】（1）解：是抛物线的对称轴上一点， 抛物线的对称轴为直线， ， 解得， 抛物线的解析式为， 将点代入， ， 抛物线的解析式为； （2）解：设对称轴与轴的交点为，如图1，过点作交于点， ， ， ， ，， 设，， ，， 解得或（舍，或（舍， ，； （3）解：实数，使得总成立，理由如下： 如图2，过点作交于点，过点作交于点，设对称轴与的交点为， ， ， ， ， 设直线的解析式为， 当时，，， ，轴， ， ， 解得． 【对点练4-1】（25-26九年级上·广东汕尾·期末）如图，在平面直角坐标系中，矩形的两边分别在坐标轴上，且，，点是边上的一个动点，抛物线经过点，． (1)如图，若抛物线恰好经过点，连接，． ①求此时抛物线的解析式和点的坐标； ②在直线上方的抛物线上有一点（异于点），且的面积等于的面积，请求出点的坐标． (2)如图，设抛物线与射线交于点，在点的运动过程中，是否存在的值，使得为直角三角形？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)①，；② (2)存在的值为或，使得为直角三角形 【分析】本题考查二次函数解析式求解，坐标与几何图形，三角形面积转化，掌握分类讨论思想是解题关键． （1）①代入点、的坐标求出抛物线解析式，再根据点纵坐标为的特点，求出的坐标；②求出直线的解析式，设出点的坐标并表示出的长度，利用面积相等列方程求解点． （2）确定、两点的坐标，用勾股定理表示三边的平方，分三种直角情况建立方程求解并检验的值． 【详解】（1）①解：抛物线经过点，， 把点，分别代入， 可得， 解得， 抛物线的解析式为， 点在边上，且四边形是矩形， 当时，，解得，， ． 答：，． ②如图，过点作轴交于点，连接，， 设直线的解析式为， 把点代入，得，解得， 直线的解析式为， 设，则， ， 的面积等于的面积， ，即， 解得，（舍去）， 故点的坐标为． 答：． （2）解：由（1）知，则抛物线的解析式为， 当时，，，则点坐标为， 当时，，则点坐标为， ，， ， ①当时，， 即，解得； ②当时，， 即， 解得或， 当时，点与点重合，不符合题意，舍去， 当时，点在的延长线上，不符合题意，舍去； ③当时，， 即， 解得或（舍去）， 当时，点与点重合，不符合题意，舍去， 则， 综上所述，存在的值为或，使得为直角三角形． 答：存在的值为或，使得为直角三角形． 【对点练4-2】（25-26九年级上·甘肃张掖·阶段检测）如图，抛物线与x轴交于点和点B，与y轴交于点． (1)求抛物线的解析式及顶点坐标； (2)当时，直接写出y的取值范围； (3)在抛物线的对称轴上是否存在点P，使的周长最小？如果存在，请求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由； (4)设点M在抛物线的对称轴上，当是直角三角形时，直接写出点M的坐标． 【答案】(1)， (2) (3)存在，点P坐标为 (4)当是直角三角形时，点M的坐标为或或或 【分析】（1）由点A、C的坐标，利用待定系数法即可求出抛物线的解析式，再将抛物线的一般式转化为顶点式进而求出抛物线的顶点； （2）根据二次函数的图象和性质可知当时，y取得最大值为4，再分别求出当时和当时对应的y值，结合函数图象即可得出答案． （3）设抛物线与x轴的另一个交点为点B，连接交抛物线对称轴于点P，此时的最小值为，利用二次函数图象上点的坐标特征可求出点B的坐标，由点B、C的坐标利用待定系数法即可求出直线的解析式，利用抛物线顶点式可求出抛物线的对称轴，再利用一次函数图象上点的坐标特征即可求出点P的坐标； （4）设点M的坐标为，则，，，分、、三种情况，利用勾股定理可得出关于m的一元二次方程或一元一次方程，解之可得出m的值，进而即可得出点M的坐标． 【详解】（1）解：由题意知，将，代入中， 得，解得：， ∴抛物线的解析式为， 将抛物线的一般解析式转化为顶点式为， 当时，， ∴抛物线的顶点坐标为． （2）解：由（1）可知， 则抛物线开口向下，且当时，y取得最大值为4， 当时，， 当时，， 故当时，． （3）解：存在， 如图，设抛物线与x轴的另一个交点为点B，连接交抛物线对称轴于点P，此时的最小值为， 当时，有， 解得：，， ∴点B的坐标为， ∵抛物线的解析式为， ∴抛物线的对称轴为直线， 设直线的解析式为， 将、代入中， 得：，解得：， ∴直线的解析式为， ∵当时，， ∴当周长最小时，点P的坐标为． （4）解：如图，设点M的坐标为， 由勾股定理得，， ， ， 此时分三种情况考虑： ①当时，有，即， 解得：， ∴点M的坐标为， ②当时，有，即， 解得：，， ∴点M的坐标为或， ③当时，有，即， 解得：， ∴点M的坐标为， 综上所述，当是直角三角形时，点M的坐标为或或或． 【点睛】本题考查了抛物线的解析式求解、求抛物线的顶点坐标、动点最值问题求解对称轴上点的坐标、勾股定理及直角三角形的性质应用． 【对点练4-3】（24-25九年级上·湖北黄石·期中）如图，已知抛物线与x轴交于两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C． (1)求抛物线的解析式； (2)点D是第一象限内抛物线上的一个动点（与点C，B不重合），过点D作轴于点F，交直线于点E，连接，直线能否把分成面积之比为的两部分？若能，请求出点D的坐标；若不能，请说明理由． (3)若M为抛物线对称轴上一动点，使得为直角三角形，请直接写出点M的坐标． 【答案】(1) (2)能．或 (3)，，， 【分析】（1）利用待定系数法求解可得； （2）利用待定系数法确定直线的解析式为，设，则，则，，利用三角形的面积公式进行讨论：当时，；当时，，从而可得到关于x的方程，然后解方程求出x就看得到对应的D点坐标； （3）先确定抛物线的对称轴，如图，设，利用两点间的距离公式得到，，，利用勾股定理的逆定理分类讨论：当时，为直角三角形，则；当时，为直角三角形，则；当时，为直角三角形，则，然后分别解关于t的方程，从而可得到满足条件的M点坐标． 【详解】（1）解：将代入， 得：，解得， 则抛物线解析式为； （2）解：能．设直线的解析式为， 把代入得，解得， 所以直线的解析式为， 设，则， ∴，， 当时，，即， 整理得， 解得（舍去），此时D点坐标为； 当时，，即， 整理得， 解得（舍去），此时D点坐标为； 综上所述，当点D的坐标为或时，直线把分成面积之比为的两部分； （3）解：抛物线的对称轴为直线，如图， 设， ∵， ∴， 当时，为直角三角形，，即， 解得，此时M点的坐标为； 当时，为直角三角形，，即， 解得，此时M点的坐标为； 当时，为直角三角形，，即， 解得，此时M点的坐标为或， 综上所述，满足条件的M点的坐标为，，，． 【点睛】本题是二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征和二次函数的性质；会利用待定系数法求直线和抛物线的解析式，会求抛物线与x轴的交点坐标；能运用勾股定理的逆定理判定直角三角形；理解坐标与图形性质，记住两点间的距离公式；学会运用分类讨论的数学思想解决数学问题． 题型5 二次函数与等腰三角形问题 【例5】（24-25九年级上·山东泰安·期中）如图，二次函数的图象与轴交于点、，与轴交于点，点是抛物线上的动点． (1)求抛物线的表达式； (2)如图1，当的面积是3时，求点P的坐标； (3)如图2，点是抛物线对称轴上一点，是否存在点，使是以点为直角顶点的等腰直角三角形，若存在，请直接写出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）把，点代入二次函数中列方程组可解答； （2）过点作与轴交于点；可求得的解析式为 ，得，再由列方程求出m即可解答 （3）作辅助线构建全等三角形，过点作轴，交轴于，交对称轴于点，证明，得，列方程可解答． 【详解】（1）解：把，点代入二次函数中得： ， 解得：， 抛物线的表达式为：； （2）设的解析式为：，过点作与轴交于点， 把和代入得：， ， 的解析式为：， ∵， ∴，， ∴ ∵, ∴，即 解得：， 当，，即， 当，，即， 综上所述： （3）如图2，过点作轴，交轴于，交对称轴于点， 由题意得：， ， 抛物线对称轴是直线， 是等腰直角三角形， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， （如图3），； 如图4，过点作轴，交轴于，交对称轴于点， 同理可得：， ， ， 解得：，， 综上，的值是或． 【点睛】本题是二次函数的综合题，主要考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的性质和判定，二次函数上点的坐标的特征，二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，列方程可解决问题． 【对点练5-1】（24-25九年级上·广东珠海·期中）已知抛物线与x轴交于点、，与y轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，点P是抛物线上位于第一象限内的一点，请连接，求出的面积最大值及此时点P的坐标． (3)如图2，将抛物线向右平移个单位，再向下平移2个单位．记平移后的抛物线为，若抛物线与原抛物线对称轴交于点Q．点E是新抛物线对称轴上一动点，在（2）的条件下，当是等腰三角形时，求点E的坐标． 【答案】(1) (2)的最大值为，点的坐标为 (3)或或或或 【分析】（1）用待定系数法解答便可； （2）设点的坐标为，过点作轴，与交于点，用表示的坐标，进而根据三角形的面积公式表示的面积，最后根据二次函数求最值的方法求得结果； （3）分三种情况：当时；当时；当时．分别列出关于的纵坐标方程进行解答． 【详解】（1）解：抛物线与轴交于点、， 设抛物线的解析式为：， 把代入中，得 ， ， 抛物线的解析式为：， 即； （2）解：设点的坐标为，过点作轴于点，与交于点，如图1， 设直线的解析式为，则 ， 解得， 直线的解析式为：， ， ， ∵， ， ∵， 当时，的最大值为， 此时点的坐标为； （3）解：抛物线， ∴将抛物线向右平移个单位，再向下平移2个单位．记平移后的抛物线为， 的解析式为， 抛物线的对称轴为直线， 抛物线， 抛物线的对称轴为直线， 把代入中，得， 点的坐标为， 设的坐标为； ①当时，则， 即， 解得，， ． ②当时，则， 即， 解得，， 点的坐标为或； ③当时，则， 即， 解得，， 点的坐标为或． 综上，当是等腰三角形时，点的坐标为或或或或． 【点睛】本题是二次函数的综合题，主要考查了二次函数的图象与性质，待定系数法，三角形的面积公式，二次函数图象的平移，二次函数的最值的求法，等腰三角形的定义，两点距离公式，分类讨论． 【对点练5-2】（山西省大同市新荣区两校联考2024-2025学年九年级上学期10月月考数学试题）如图，抛物线经过点，与y轴交于点B． (1)求抛物线的解析式； (2)连接，若点P是y轴正半轴上一点，且是等腰三角形，求点的坐标． 【答案】(1) (2)点的坐标为或 【分析】本题考查了二次函数解析式的解析式以及等腰三角形的性质，本题解题的关键在于理解并应用二次函数的性质、几何知识、分类讨论的思想． （1）将A点的坐标代入抛物线中，即可得出二次函数的解析式； （2）本题要分两种情况进行讨论：先根据抛物线的解析式求出B点的坐标，即可得出的长进而可求出的长，①，由此可求出P点的坐标；②，此时P与B关于x轴对称，由此可求出P点的坐标． 【详解】（1）解：把代入，得， 解得． 抛物线的解析式为． （2）解：当时，． ． ． ， ． 在中，由勾股定理，得． 点是轴正半轴上一点， 当时，P、B关于x轴对称， ； 当时，， ， ； 当时，点P在y轴负半轴上，不合题意． 综上，点的坐标为或． 【对点练5-3】（2024·宁夏银川·模拟预测）如图，过点的抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点，连接．P是抛物线在第四象限内的一个动点，过点P作轴，垂足为M，交于点Q． (1)求点A，B的坐标． (2)在点P运动的过程中，是否存在这样的点Q，使以点A，C，Q为顶点的三角形是等腰三角形．若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题主要考查了求函数解析式、抛物线与x轴的交点、两点间距离公式、二次函数与几何的综合等知识点，掌握分类讨论思想成为解题的关键． （1）将点、点代入求得抛物线解析式，然后令求解即可确定点A，B的坐标； （2）先求出直线的解析式为，设则，然后再运用两点间距离公式表示出,最后分、和三种情况解答即可． 【详解】（1）解：将点、点代入可得： ，解得：， ∴， 令得,解得：， ∵点A在点B的左侧， ∴. ． （2）解：设直线的解析式为， 则有：，解得： ∴直线的解析式为， 设， ∵P在第四象限，则Q在第四象限， ∴，解得：， ∵，，， ∴①当，则，解得：， ∵， ∴， ∴； ②当，则，解得：或， ∵， ∴， ∴； ③当，则，解得：不符合题意． 综上，存在满足题意的点Q，且点Q的坐标为或． 题型6 二次函数与平行四边形问题 【例6】（25-26八年级下·辽宁盘锦·期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过，两点，交轴于点．动点M沿x轴从点A向点B运动，过点M作x轴的垂线交于点N，交抛物线于点P． (1)求抛物线解析式； (2)抛物线的对称轴交于点E，顶点是点D，以D、E、N、P四个点为顶点的四边形为平行四边形时，求点N的坐标； (3)在y轴右侧的抛物线上有一点Q，Q的横坐标为m，设该抛物线在点C与点Q之间（包含点C和点Q）的部分的最高点和最低点到x轴的距离分别为s，t，当时，直接写出m的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用待定系数法计算即可得出结果； （2）将抛物线解析式化为顶点式得出，求出，从而可得直线的解析式为，进而得出，，设，则，，求出，由题意可得，要使以D、E、N、P四个点为顶点的四边形为平行四边形，则，得出，由此计算即可得出结果； （3）由（2）可得抛物线的顶点坐标为，点的坐标为，分三种情况：当时，当时，当时，分别结合二次函数的性质计算即可得出结果． 【详解】（1）解：∵抛物线经过，两点， ∴， 解得， ∴抛物线解析式为； （2）解：∵， ∴， 在中，当时，，即， 设直线的解析式为， 将，代入解析式得， 解得， ∴直线的解析式为， 当时，，即， ∴， ∵动点M沿x轴从点A向点B运动，过点M作x轴的垂线交于点N，交抛物线于点P， ∴设，则，， ∴， 由题意可得， ∴要使以D、E、N、P四个点为顶点的四边形为平行四边形，则， ∴， 解得（此时点与点重合，不符合题意，舍去）或， ∴当时，， ∴； （3）解：由（2）可得抛物线的顶点坐标为，点的坐标为， ∵在y轴右侧的抛物线上有一点Q，Q的横坐标为m， ∴当时，抛物线在点C与点Q之间（包含点C和点Q）的部分单调递增，最高点为点，最低点为点，即，，则，不满足条件； 当时，抛物线在点C与点Q之间（包含点C和点Q）的部分的最高点为顶点，由对称性可得最低点的值为，即，，则，满足条件； 当时，抛物线在点C与点Q之间（包含点C和点Q）的部分的最高点为顶点，最低点为点，且点的值小于，即，，则，不满足条件； 综上所述，当时，m的取值范围为． 【对点练6-1】（2026·四川凉山·中考真题）如图，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，其中，，对称轴是直线．动点M以每秒1个单位长度的速度，沿x轴从点O向点B运动，设运动时间为t（）秒，过点M作x轴的垂线交于点N，交抛物线于点P． (1)求抛物线解析式； (2)抛物线的对称轴交于点E，顶点是点D，当t为何值时，四边形为平行四边形； (3)动点M开始运动时，另一动点Q同时以每秒0.5个单位长度的速度，沿x轴从点O向点A运动．当t为何值时，四边形的面积最大，并求最大面积． 【答案】(1) (2)3秒 (3)当时，四边形的面积最大，最大面积为 【分析】（1）根据抛物线过点，，对称轴是求解即可； （2）用待定系数法求出直线的解析式为，求出，根据四边形为平行四边形得．设，，得出求解即可； （3）根据列出函数解析式，然后利用二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线过点，，对称轴是直线， ∴， 解得， ∴； （2）解：设直线的解析式为，把代入得， ， 解得． ∴． ∵， ∴， 当时，， ∴． ∴， ∵四边形为平行四边形， ∴． ∵过点M作x轴的垂线交于点N，交抛物线于点P， ∴设，， ∴， 解得， ∵， ∴不符合题意，舍去， ∴； （3）解：由题意，得，则， 由（2）得，． ∴ ， ∵， ∴抛物线开口向下， ∴当时，四边形的面积最大，最大面积为． 【对点练6-2】（2026·天津红桥·三模）已知抛物线（a，b，c为常数，）与x轴相交于点A，B（点A在点B的左侧），与y轴相交于点C，且．过点C作x轴的平行线与抛物线相交于点D． (1)若，． ①求该抛物线的顶点P的坐标； ②点M在抛物线上，以为边的的顶点E在直线上，求点M的坐标； (2)若点，点F在抛物线的对称轴上，以为边作，当取得最小值时，求a的值． 【答案】(1)①；②点； (2) 【分析】（1）①先求解出函数解析式，并化为顶点式求解顶点坐标即可； ②先求解出直线的函数表达式，设出点E的坐标，根据的性质得到点M的坐标，再由点M在抛物线上，列式求解即可； （2）先得到抛物线的解析式和对称轴，再添加辅助线，平移至，使得点G的对应点为点F，点B的对应点为点，根据平移的性质得到四边形为平行四边形，则有当点A，点F，点三点共线时，取得最小值，得到点的坐标，利用，求解即可． 【详解】（1）解：①∵，，且． ∴，可得， ∴抛物线为， 化为顶点式为， 则该抛物线的顶点P的坐标为； ②由①知，抛物线为， 令，即，解得或， ∴点，点， 令，可得， ∴点， ∵过点C作x轴的平行线与抛物线相交于点D． ∴点D的纵坐标为， 则，解得或， ∴点， ∴， 设直线的函数表达式为， 将点与点代入函数表达式， 则，可得， ∴直线的函数表达式为， 以为边的如图， 则有， ∵顶点E在直线上， 设点， ∴点M的横坐标为，纵坐标为， ∴点， ∵点M在抛物线上， ∴， 整理可得，解得（舍）或， ∴点； （2）解：∵，则． ∴抛物线为， ∵点， ∴，可得， ∴抛物线为（）， ∴抛物线的对称轴为，点，点， 点F在抛物线的对称轴上，以为边作， 平移至，使得点G的对应点为点F，点B的对应点为点， 连接，，，如图， ∵，且， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∵点F在抛物线的对称轴上， ∴， ∴， 当点A，点F，点三点共线时，取得最小值， 即， ∵四边形为平行四边形， ∴，， ∵四边形为平行四边形， ∴，， ∴，， ∴四边形为平行四边形， ∴，且， ∵， ∴， ∵点， ∴点， ∴，即， 可得，解得（负值舍掉） 即当取得最小值时，a的值为． 【对点练6-3】（2026·江苏镇江·二模）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线（）与y轴交于点，顶点为，将该抛物线沿射线方向平移得抛物线，抛物线的顶点为Q． (1)求抛物线对应的函数表达式； (2)若抛物线与x轴交于B、C两点，且，则点Q的坐标为_________； (3)点E是抛物线对称轴右侧图像上一点，点F在抛物线上，若四边形是面积为6的平行四边形，求点Q的坐标； (4)如图2，抛物线与抛物线交于点M，连接、，若，则点Q的横坐标为_________． 【答案】(1) (2) (3)或 (4) 【分析】（1）由题意可得且，得到，再将点代入，求出即可； （2）设抛物线向右平移个单位，再向上平移个单位得抛物线，得到抛物线的解析式为，设，求出，根据，利用，即可解答； （3）求出直线的解析式为，根据四边形是面积为6的平行四边形，可得，如图，设直线交轴于点，过点作直线的垂线，交直线于点，设直线与轴交点为，求出，易证是等腰直角三角形，得到，求出，进而得到，直线的解析式为，联立，求出，根据点向右平移个单位，再向上平移个单位得到点，同理（2）得到抛物线的解析式为，即可求解； （4）由（3）知直线的解析式为，设，联立，求出，易得是直角三角形，由，建立方程求解即可． 【详解】（1）解：由题意可得且， 则， ∴， 将点代入，则， ∴， ∴抛物线对应的函数表达式为； （2）解：∵点，点，且，将抛物线沿射线方向平移得到抛物线， ∴设抛物线向右平移个单位，再向上平移个单位得到抛物线， ∵抛物线：， ∴抛物线的解析式为， ∵抛物线与x轴交于B、C两点， 令，设， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，即， 解得， ∴抛物线的解析式为， ∴抛物线的顶点坐标； （3）解：设直线的解析式为，则，解得， ∴直线的解析式为， ∵四边形是面积为6的平行四边形， ∴， 如图，设直线交轴于点，过点作直线的垂线，交直线于点，设直线与轴交点为， ∴， ∴， 令，解得，则， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴直线的解析式为， 联立，解得或， ∵点E是抛物线对称轴右侧图像上一点， ∴， ∵点，点，且， ∴点向右平移个单位，再向上平移个单位得到点， ∵， ∴点向右平移个单位，再向上平移个单位得到点， ∴，即， 同理（2）设抛物线向右平移个单位，再向上平移个单位得到抛物线， ∴抛物线的解析式为， 将代入，则， ∴， 解得或， ∴抛物线的解析式为或， ∴点Q的坐标为或； （4）解：由（3）知直线的解析式为， 设， ∴抛物线的解析式为， 联立，则， 整理得，即， 解得或（与点重合，舍去）， 当时，， ∴， ∵，即， ∴是直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴或， 解得（点，点重合，舍去），或或（舍去）， ∴点Q的横坐标为． 题型7 二次函数与特殊平行四边形问题 【例7】（2024·广东清远·二模）如图，二次函数的图象交x轴于点，，交y轴于点，点P为抛物线的对称轴上的一个动点． (1)求这个二次函数的表达式； (2)求点P到B、C两点距离之和的最小值及点P的坐标； (3)在平面上是否存在点Q，使以A，C，P，Q为顶点的四边形为矩形．若存在，请直接写出所有满足条件的点Q的坐标．若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)最小值为；点P的坐标为 (3)点Q的坐标为或或或 【分析】（1）运用待定系数法求解即可； （2）点P为抛物线的对称轴上的一个动点，且点A与点B关于抛物线的对称轴对称，连接交对称轴于点P，则，且线段的长为点P到B、C两点距离之和的最小值，求出的解析式，再将对称轴方程代入即可求出点P的坐标； （3）设点P的坐标为，点Q的坐标为，分①当时，②当时，③当时三种情况运用勾股定理列方程求出t，再运用矩形的对角线互相平分求出m、n即可． 【详解】（1）解：将点，，代入，得 解得 所以，这个二次函数的表达式为． （2）解：∵二次函数的表达式为， ∴对称轴是直线， 点P为抛物线的对称轴上的一个动点，且点A与点B关于抛物线的对称轴对称，连接交对称轴于点P，如图1， 则，且线段的长为点P到B、C两点距离之和的最小值． 在中，，， ∴ ∴点P到B、C两点距离之和的最小值为． 设直线的表达式为， 将，代入，得， 解得 ∴直线AC的表达式为， 当时，， ∴点P的坐标为． （3）点Q的坐标为或或或 理由如下： 假设在平面上存在点Q，使以A，C，P，Q为顶点的四边形为矩形． 设点P的坐标为，点Q的坐标为． ①当时，如图2， 在中，， ． 由勾股定理得，， 解得， ∴点P的坐标为． ∵四边形为矩形，矩形的对角线互相平分． ∴， 即，，解得， ， ∴点Q的坐标为 ②当时，如图3， 在中，， 由勾股定理得，， 解得， ∴点P的坐标为． ∵四边形为矩形，矩形的对角线互相平分． ∴， 即， 解得，， ∴点Q的坐标为 ③当时，以线段的中点为圆心，的长为直径构造圆，交抛物线的对称轴于点，，如图4及图5， 在中，， 由勾股定理得，，解得， ∴点的坐标为，点的坐标为． ∵四边形为矩形，矩形的对角线互相平分． ∴， 即， 解得， ∴点的坐标为， ∵四边形为矩形，矩形的对角线互相平分． ∴， 即，， 解得，，∴点的坐标为． 综上所述：点Q的坐标为或或或． 【对点练7-1】（2026·辽宁盘锦·三模）如图1，抛物线经过点，，与y轴交于点C，P为抛物线上一点，Q在射线上，且． (1)求抛物线的解析式； (2)当点Q也在抛物线上时，求点Q的坐标； (3)如图2，设点P的横坐标为m，以为对角线作矩形，且轴，当抛物线在矩形内部的点的纵坐标y随x的增大而减小时，请直接写出m的取值范围． 【答案】(1) (2)或 (3)或 【分析】（1）把点，代入列方程计算即可； （2）设，根据Q在射线上，且，可得，再把代入解方程即可； （3）二次函数与y轴交于点，对称轴为直线，顶点，当时y随x的增大而减小，再根据，，，分情况讨论，分别画出以为对角线作矩形，结合图形分析即可． 【详解】（1）解：把点，代入得， 解得， ∴抛物线的解析式； （2）解：设， ∵Q在射线上，且， ∴点横纵坐标分别乘以得到点横纵坐标，即， ∵点Q也在抛物线上， ∴， 整理得， 解得， 当时，，，此时； 当时，，，此时； ∴或； （3）解：设点P的横坐标为m，则，， ∵以为对角线作矩形，且轴， ∴，， 二次函数与y轴交于点，对称轴为直线，顶点， ∴当时y随x的增大而减小， 当时，以为对角线作矩形如图所示： ∵抛物线在矩形内部的点的纵坐标y随x的增大而减小， ∴， 解得， 此时； 当时，以为对角线作矩形如图所示： 此时抛物线在矩形内部没有点，不合题意； 当时，以为对角线作矩形如图所示： 此时抛物线在矩形内部的点的纵坐标y随x的增大而减小，即； 当时，以为对角线作矩形如图所示： 此时抛物线在矩形内部的点的纵坐标既有随x的增大而减小也有随x的增大而增大，都不合题意； 综上所述，当抛物线在矩形内部的点的纵坐标y随x的增大而减小时，m的取值范围为或． 【对点练7-2】（2026·湖北荆州·模拟预测）抛物线与轴交于原点和点，点为抛物线的顶点，点，为抛物线上不重合的两个点． (1)求的值； (2)试判断是否存在实数使得？若存在，求出值；若不存在，请说明理由； (3)记点，两点之间的部分（包括，两点）为图象，点在图象上，设图象的最高点与最低点的纵坐标之差为． ①求与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围； ②图象上的最低点关于抛物线对称轴的对称点记为点，再以最低点与点的连线为边向其上方作正方形，点到正方形边的最小距离记为．当点在该正方形内部，点在该正方形外部，且时，直接写出的值． 【答案】(1) (2)解：不存在，理由如下： 由(1)得抛物线解析式为， ∴ ，， ∴ ， 令， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴ 方程无实数根， ∴ 不存在实数使得． (3)①；②或 【分析】(1) 将点代入抛物线解析式求． (2) 用表示，代入得到关于的一元二次方程，由判别式判断是否存在实数解． (3) ① 先确定抛物线顶点和对称轴，根据点在图象上确定的取值范围，再分最低点在处和处两种情况求． ② 分两种情况讨论最低点的位置，作出正方形后根据点在内部、点在外部以及建立方程求解． 【详解】（1）解：∵ 抛物线过点， ∴ ， ∴ ． （2）略 （3）① 解：∵ ， ∴ 顶点，对称轴为直线， ∵ 点在图象上， ∴ ， ∴ ， ∵ 抛物线开口向下， ∴ 图象的最高点为，， 当时，，最低点在点处， ， ∴ ， 当时，，最低点在点处， ， ∴ ， ∴ ． ② 解：当时，最低点为，对称点， 以为边向上作正方形，此时在正方形上方， 点到正方形各边距离中，到上边的距离最小， ， 令， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， 当时，最低点为，对称点， 以为边向上作正方形，此时在正方形上方， 点到正方形各边距离中，到上边的距离最小， ， 令， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， 综上，或． 【对点练7-3】（2025九年级上·全国·专题练习）如图，抛物线与x轴负半轴交于点A，与x轴正半轴交于点B，与y轴负半轴交于点，，． (1)求抛物线的解析式； (2)点D是线段上一点（不与点A、O重合），过点D作x轴的垂线，交抛物线于点E，交于点F，当时，求点E的坐标； (3)在（2）的条件下，点M是抛物线对称轴l上一点，点N是坐标平面内一点，是否存在点M、N，使以A、E、M、N为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，，， 【分析】（1）将点A和B点的坐标带入抛物线方程，采用待定系数法求解． （2）求出直线的解析式，设，再根据题意设置F点和E点，利用列式计算即可． （3）根据菱形的性质，对是边和对角线两种情况进行分类讨论求解． 【详解】（1）解：将，代入， 可得：， 解得， 抛物线解析式是． （2）解：根据（1）可得， 设直线的方程为， 将，代入， 可得： ， 解得， 直线的解析式为， 设，则，． ，， ， ， 解得或（与题意不符，舍去）， 将代入抛物线方程， 可得：， ． 故E点坐标为． （3）存在点M、N，使四边形为菱形，理由如下： 当四边形是菱形时，是等腰三角形． 根据题意，，，对称轴为， 根据勾股定理可得， ①当是边， 当， 点A到直线的距离为， 点M不存在； 当，如下图所示， 过点E作于点H， ，， 在中，根据勾股定理得， 的值为或， ，， 当点M为，由， ，解得， ，解得， 故点的坐标为， 同理可得的坐标为． ②当是对角线， 可得，， 设，则有， 解得：，，由, ，解得， ，解得， 故点的坐标为， 综上，N的坐标为：或或． 【点睛】本题主要考查二次函数的综合运用，运用待定系数法求函数解析式，菱形的性质．根据菱形性质，采用分类讨论法，正确设参数、列方程是解题关键． 基础通关 1．（25-26九年级下·陕西西安·期中）在平面直角坐标系中，为坐标原点，二次函数的图象与轴只有一个交点，且经过点，，则的面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据A、B两点纵坐标相等求出二次函数对称轴，进而得到b的值，再利用二次函数与x轴只有一个交点的性质求出c的值，得到函数解析式后求出m，最后计算的面积． 【详解】解：∵二次函数经过点，，两点纵坐标相等 ∴二次函数的对称轴为直线 ∵对称轴公式为， ∴，解得 又∵二次函数图象与轴只有一个交点 ∴ 解得 ∴二次函数解析式为 将代入解析式，得 ∴，， ∴，原点到直线的距离为 ∴． 2．（25-26八年级下·福建福州·期末）在平面直角坐标系中，二次函数的顶点在另一条抛物线上运动．该二次函数图像与轴交于点A．过点P作轴于点B． (1)当时，求点A和点B的坐标，并求的面积； (2)当时，求点A的纵坐标的最小值． 【答案】(1)，，的面积为 (2)3 【分析】（1）当，得到点的横坐标，根据点在抛物线上，求出点的坐标，进一步得到点的坐标；根据点在抛物线上且在轴上，即，即可求出点的坐标；进而可求出的面积； （2）根据点在抛物线上且在轴上，即，则；根据点抛物线上，则，等量代换，得到，求出最值，即可解答． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵点在抛物线上， ∴ ∴， ∵过点作轴于点 ∴； ∵在抛物线； ∴； ∵二次函数图像与轴交于点， ∴， ∴； ∴，， ∴的面积为． （2）解：∵点在抛物线上且在轴上， ∴； ∵点在抛物线上， ∴， ∴， 得到关于的二次函数，其中开口向上，对称轴为：， 当时，随的增大而增大， ∴当时，有最小值，最小值为：． 3．（25-26九年级上·湖北咸宁·阶段检测）如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，顶点为D，抛物线的对称轴上有一点P，使的和最小，则点P坐标为_________． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数的性质、轴对称的性质、待定系数法求一次函数解析式，熟练运用轴对称的性质是解题的关键． 根据抛物线的对称性可知，所以当点P在线段上时，的值最小，以此为依据求解即可． 【详解】解：如图，连接，交对称轴于点P，连接， ∵点和点关于抛物线的对称轴对称， ∴， 要使的值最小，则应使的值最小， ∴与对称轴的交点P，使得的值最小， 令，则， 解得，， ∴，， 抛物线的对称轴为， ∴点P的横坐标为1， 当时，， ∴， 设直线解析式为， 把，代入得， ，解得， ∴直线解析式为， 当时，， ∴点P坐标为． 故答案为：． 4．（2025·黑龙江绥化·二模）如图，抛物线的顶点为，与轴交于点，与轴交于，两点（点在点的左侧）． (1)求抛物线的解析式； (2)连接，，，试证明为直角三角形； (3)若点在抛物线的对称轴上，抛物线上是否存在点，使以为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出所有满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)抛物线的解析式为； (2) 证明：∵抛物线的解析式为， ∴当时，，解得，， ∴点的坐标分别为、， 由点的坐标得，，，， ∴， ∴为直角三角形； (3)存在，或或． 【分析】本题考查了二次函数的性质，函数图象交点问题，待定系数法求解解析式，掌握知识点的应用及分类讨论思想是解题的关键． （）利用待定系数法求解解析式即可； （）由解析式求出点的坐标分别为、，然后利用两点距离公式求出，，，最后通过勾股定理逆定理即可求解； （）分或或为对角线时即可求解． 【详解】（1）解：∵抛物线的顶点为， ∴设， 将点的坐标代入得：， 解得：， ∴抛物线的解析式为； （2）略 （3）解：存在，理由： ∵抛物线的解析式为， ∴对称轴为直线x＝﹣1， ∴设点，点的横坐标为， 当为对角线时， 由中点坐标公式得：，则， 则点； 当或为对角线时， 同理可得：或，则或， ∴点或， 综上，或或． 5．（24-25九年级下·广东茂名·开学考试）如图，抛物线与x轴交于、两点点在点左侧，直线与抛物线交于、两点，其中点的横坐标为． (1)求、两点的坐标及直线的函数表达式； (2)是线段上的一个动点，过点作轴的平行线交抛物线于点，求三角形面积的最大值； (3)点是抛物线上的动点，在轴上是否存在点，使、、、这样的四个点为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，写出所有满足条件的点坐标；如果不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2) (3)存在个这样的点，分别是，，， 【分析】本题主要考查了二次函数的综合题，涉及到了待定系数法求一次函数解析式、平行四边形的判定、二次函数的性质等重要知识点，综合性强，解答本题的关键掌握分类讨论，数形结合的数学思想方法． （1）因为抛物线与轴相交，所以可令，解出、的坐标．再根据点在抛物线上，点的横坐标为，代入抛物线中即可得出点的坐标．再根据两点式方程即可解出的函数表达式； （2）根据点在上可设出点的坐标．点坐标可根据已知的抛物线求得．因为都在垂直于轴的直线上，所以两点之间的距离为，列出方程后结合二次函数的性质即可得出答案； （3）此题要分两种情况：①以为边，②以为对角线．确定平行四边形后，可直接利用平行四边形的性质求出点的坐标． 【详解】（1）解：令， 解得：或， ∴， 将C点的横坐标代入 得， ∴， 设直线的解析式为， 则，解得：， 直线的函数解析式是； （2）设点的横坐标为， 则的坐标分别为：，， ∵点在点的上方，， 当时，的最大值； 则的面积的最大值是：； （3）存在4个这样的点F，分别是，，，， ①如图，连接点与抛物线和轴的交点，那么轴，此时， ∴点的坐标是； ②如图，则， ∵点的坐标为， ∴点的坐标为； ③如图，此时两点的纵坐标互为相反数，因此点的纵坐标为，代入抛物线中即可得出G点的坐标为， 设直线的解析式为， 将点代入后可得出直线的解析式为， 令，则， 因此直线与轴的交点的坐标为； ④如图，同③可求出F的坐标为． 总之，符合条件的F点共有4个分别是，，，． 6．（2026·福建泉州·模拟预测）如图，抛物线与轴交于点、点，与轴交于点． (1)求抛物线解析式． (2)若点的横坐标为，连，，求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由待定系数法求解即可； （2）先求出，过点作轴交于点，求出直线，则，再利用求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于点、点，与轴交于点， ∴， 解得， ∴抛物线解析式为； （2）解：∵点的横坐标为， ∴将代入，则， ∴， 过点作轴交于点， 设直线， 则代入，得，， 解得， ∴直线， 当时，， ∴， ∴， ∴． 7．（2024·山东聊城·模拟预测）如图所示，已知抛物线的对称轴为直线，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，其中，． (1)求这条抛物线的函数表达式； (2)已知在对称轴上存在一点，使得的周长最小．请求出点的坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）运用待定系数法求解即可； （2）连接，，由于的长度一定，所以周长最小，也就是使最小，点关于对称轴的对称点是点，根据两点之间线段最短可得，与对称轴的交点，即为所求的点，然后再求出直线的表达式为即可． 【详解】（1）解：依题意，得 解得 即抛物线的函数表达式为； （2）解：连接，， 的长度一定，所以周长最小，也就是使最小，点关于对称轴的对称点是点， ∴ ∴根据两点之间线段最短可得，与对称轴的交点，即为所求的点． 设直线的表达式为， 则 解得 此直线的表达式为， 把代入，得， 点的坐标为． 8．（2025·浙江宁波·二模）在平面直角坐标系中，为坐标原点，抛物线的顶点为，且与轴交于点． (1)求点的坐标（用含的代数式表示）． (2)若点的纵坐标为，求的最小值． (3)当，为锐角时，求的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查的是二次函数的图象与性质； （1）把抛物线化为顶点式即可得到答案； （2）由题意可得：，再利用二次函数的性质可得答案； （3）由时，顶点在第四象限，结合为锐角，可得点在轴上方，可得，再进一步求解即可． 【详解】（1）解：抛物线的顶点为， 而， ∴顶点； （2）解：当时， ， 当时，的最小值为． （3）解：当时，顶点在第四象限， 又 为锐角， 点在轴上方， ， ∴， ， ， ． 9．（2024·广东云浮·一模）如图，二次函数的图象与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴正半轴交于点C，且． (1)求二次函数及直线的解析式． (2)P是拋物线上一点，且在x轴上方，若，求点P的坐标． 【答案】(1)， (2)点的坐标为． 【分析】（1）先求解点，，再利用待定系数法求解函数解析式即可； （2）先求解，如图，过点作．记与轴的交点为，，同理可得：的解析式为．再进一步求解交点坐标即可． 【详解】（1）解： ， 点，， ，解得； 二次函数的解析式为． 设直线的解析式为．将点，代入， 得解得 直线AC的解析式为． （2）∵， ∴， 解得：，， ∴， 如图，过点作． ， ， ． 记与轴的交点为， ∴， ∴， 同理可得：的解析式为． 联立得， 解得（舍去）或； 点的坐标为． 【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解函数解析式，二次函数与角度的综合应用，函数交点的求法，理解题意，选择合适的方法解题是关键． 10．（2026·河南周口·一模）如图，抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点C． (1)求抛物线的解析式； (2)点P是抛物线上第一象限内的动点，连接，求面积的最大值． 【答案】(1) (2)面积最大值为 【分析】（1）利用待定系数法进行求解即可； （2）过点作轴的垂线，交于点，先求出直线的解析式，令点的坐标为，则，可求出，再根据，利用二次函数的性质即可求解． 【详解】（1）解：将，两点代入， 则， 解得 ∴抛物线的解析式为； （2）解：如图，过点作轴的垂线，交于点， 将代入，则， ∴， 设直线的解析式为， 则，解得， ∴直线的解析式为， 设，则， ∴， ∴， ∵， ∴当时，有最大值． 11．（2025·吉林延边·二模）在平面直角坐标系中，抛物线（b、c为常数）的对称轴为直线，且此抛物线经过点，点A、B均在此抛物线上，点A、B的横坐标分别为m、，过点B作y轴的垂线交此抛物线于点C，连接，以、为边作． (1)求此抛物线对应的函数表达式； (2)当时，y的取值范围是_________； (3)当的长为2时，求点A的坐标； (4)当的顶点落在抛物线的对称轴上时，求的面积． 【答案】(1) (2) (3)或 (4)或2 【分析】本题主要考查了二次函数综合，二次函数的最值问题，待定系数法求二次函数解析式等等，利用分类讨论的思想求解是解题的关键。 （1）根据对称轴计算公式可求出b的值，再把点的坐标代入解析式中计算求解即可； （2）把解析式化为顶点式得到顶点坐标，再根据开口方向得到离对称轴越远函数值越大，据此可得当时，函数有最小值，求出这个最小值即可得到答案； （3）根据题意可得点B和点C关于抛物线对称轴对称，则可得到点C的横坐标为，再根据的长为2建立方程求出m的值即可得到答案； （4）分点A在对称轴上和点D在对称轴上，两种情况讨论求解即可. 【详解】（1）解：∵对称轴为直线， ∴， ∴， 把代入中得：， ∴， ∴抛物线解析式为； （2）解：∵抛物线解析式为， ∴抛物线开口向下，顶点坐标为， ∴离对称轴越远函数值越小， ∵， ∴当时，且当时，函数有最小值，最小值为， ∴当时，y的取值范围是； （3）解：∵轴， ∴与对称轴垂直， ∴点B和点C关于抛物线对称轴对称， ∵点B的横坐标为， ∴点C的横坐标为， ∵， ∴， 解得或， 在中，当时，，当时，， ∴点A的坐标为或； （4）解：如图所示，当点A在对称轴上时，则， ∴点A的坐标为， 在中，当时，， ∴， ∴， ∴， ∴； 如图所示，当点D在对称轴上时， 由平行四边形的性质可得， ∴， ∴， ∴， 在中，当时，， 当时，， ∴，， ∴ 综上所述，平行四边形的面积为或2． 素养提升 1．（2026·山东烟台·中考真题）如图，二次函数的部分图象与轴交于点，与轴的交点位于点和点之间，顶点为点，对称轴为直线．下列说法：①；②；③；④设抛物线与轴的另一交点为，当时，．其中正确的是（     ） A．②③④ B．②③ C．②④ D．①③④ 【答案】A 【分析】①由函数图象的开口方向、对称轴、与轴的交点分别判断、、的正负，进而判断的正负；②用对称轴公式变形推导等式；③把、代入解析式得，结合的范围解不等式；④利用二次函数图象的对称性得点坐标，据得点坐标，将，，代入得出点的坐标，根据勾股定理列方程求出． 【详解】解：二次函数图象开口向下， ， 对称轴为， ， 二次函数的图象与轴的交点位于和之间， ， ，①错； 对称轴为， ， ，②正确； 二次函数的图象与轴交于点， ， ， ， ， 二次函数图象与轴的交点位于和之间， 可得， ，③正确； 二次函数的图象与轴交于点，对称轴为， 点的坐标为， ， 点的坐标为， 当，可得， 将，代入，可得， 点的坐标为， ，，， ， ， 可得， 解得或， ， ，④正确． 综上，正确的说法为②③④． 2．（2026·内蒙古通辽·三模）如图，抛物线交轴于，两点，点是抛物线的顶点． (1)求抛物线解析式及顶点坐标； (2)抛物线上有一点（不与重合），使，求点坐标； (3)在对称轴上有一点，在抛物线上有一点，若使，，，为顶点的四边形为平行四边形，直接写出，坐标． 【答案】(1)， (2)或或 (3) ，； ，； ，． 【分析】把，代入，求出抛物线解析式为，然后通过配方即可求出顶点坐标； 分若点在上方，，若点在下方，当时，点的纵坐标与点的纵坐标相同两种情况求解即可； 分当为对角线时，当为对角线时，当为对角线时三种情况，然后通过平行四边形的性质即可求解． 【详解】（1）解：把，代入， 得， 解得， ∴抛物线解析式为， ∵， ∴； （2）解：若点在上方，， 即，得， 把代入抛物线， 解得， ∴或； 若点在下方，当时，点的纵坐标与点的纵坐标相同，此时点； 综上所述，点坐标为或或； （3）解：设，， 如图，当为对角线时， ∴，解得， ∴，； 如图，当为对角线时， ∴，解得， ∴，； 如图，当为对角线时， ∴，解得， ∴，； 综上可得共三种情况 ，； ，； ，． 3．（2022·陕西·模拟预测）如图：抛物线的图象交x轴于，两点，交y轴于点C． (1)求抛物线的解析式； (2)点P为抛物线第一象限上的一动点，连接，过点P作于点H，求的最大值及此时点P的坐标； (3)在（2）的条件下，将抛物线沿射线平移个单位，得到新的抛物线，点M为点P对应点，点N为新抛物线对称轴上任意一点，在新抛物线y1上确定一点G，使得以点B，M，N，G为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出所有符合条件的点G的坐标． 【答案】(1) (2)的最大值是，此时点P的坐标为 (3)或或 【分析】（1）利用待定系数法计算即可得出结果； （2）求出，利用待定系数法计算得出直线的解析式为，过点P作轴于G，交于点E，设，则，，证明为等腰直角三角形，得出，结合二次函数的性质即可得出结果； （3）由（2）知，是等腰直角三角形， 新抛物线为，点对应点M为，对称轴是直线，设，，而，，分三种情况：①当、为对角线时，的中点即是的中点；②当、为对角线时，的中点即是的中点；③当、为对角线时，的中点即是的中点，分别计算即可得出结果． 【详解】（1）解：把，代入得， 解得， ∴抛物线的解析式为； （2）解：在中，当，， ∴， 设直线为， 将代入得：， 解得， ∴直线的解析式为， 过点P作轴于G，交于点E，如图： 设，则， ∴， ∵，， ∴， ∵轴， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴当时，有最大值，此时； 答：的最大值是，此时点P的坐标为； （3）解：由（2）知，是等腰直角三角形， ∴将抛物线沿射线平移个单位，相当于将抛物线向右平移3个单位再向下平移3个单位， ∴新抛物线为，点对应点M为， ∴新抛物线对称轴是直线， 设，，而，， ①当、为对角线时，的中点即是的中点， ∴，解得， ∴， ②当、为对角线时，的中点即是的中点， ∴，解得， ∴， ③当、为对角线时，的中点即是的中点， ∴，解得， ∴， 综上所述，G的坐标为或或． 4．（22-23九年级下·江苏苏州·开学考试）平面直角坐标系中，直线与抛物线交于轴上的点和点． (1)求和的值； (2)A为直线下方抛物线上一点，连接，求的面积的最大值； (3)当点为抛物线的顶点时（如图2），将沿着直线翻折得到，求与抛物线的另一个交点的坐标． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）运用待定系数法即可求得答案； （2）设，过点作轴交直线于点，如图1，可得，运用二次函数性质即可求得答案； （3）根据轴对称性质可求得点的坐标，利用待定系数法求得直线的解析式，联立方程组即可求得交点的坐标． 【详解】（1）解：把代入得：， 解得：， ， 抛物线过点， ， 解得：； （2）解：由（1）可得：抛物线解析式为， 当时，， ， 设，过点作轴交直线于点，如图1，则， ， ， 当时，取得最大值； （3）解：， 抛物线的顶点坐标为， 如图2，连接， 对于直线，令，则，解得， ∴， ， ， ∴ ， ， ， 点与点关于直线对称， 直线垂直平分线段， 三点共线，， ， ， ， 设直线的解析式为，把代入得： 解得：， 直线的解析式为， 联立，得， 解得：（舍去）或， 当时，， ． 5．（2026·吉林长春·模拟预测）在平面直角坐标系中，点为坐标原点，抛物线经过点，对称轴为直线．点在抛物线上，点的横坐标为，过点作直线的垂线，垂足为．将线段关于点中心对称得到线段（点的对称点为点），依次连接、、、得到平行四边形． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)当和两点关于该抛物线的对称轴对称时，求点的坐标； (3)当时，抛物线在平行四边形内部及边界的图象记为．若图象的最高点与最低点的纵坐标之差为1，求的值； (4)当线段与该抛物线有两个公共点时，设两个公共点是和，当时，直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2) (3)或 (4)或 【分析】（1）利用待定系数法求解； （2）首先得到，，根据对称的性质得到，求出，，然后根据对称的性质求解； （3）同（2）得到，然后根据题意得到，然后求解即可； （4）首先将直线和联立得，根据题意得到，求出，然后表示出，根据得到，然后求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线经过点，对称轴为直线， ∴，， ∴， ∴； （2）解：∵点在抛物线上，点的横坐标为，过点作直线的垂线，垂足为． ∴，， 当和两点关于该抛物线的对称轴对称时，， ∴， ∴， ∵点P关于点的对称点为点M， ∴点是的中点， ∴点M的横坐标为，纵坐标为， ∴点的坐标为； （3）解：∵， 由（2）得，点M的横坐标为，纵坐标为， ∴ ∵图象的最高点与最低点的纵坐标之差为1， ∴， 整理得，， 解得或， ∵， ∴或； （4）解：∵四边形是平行四边形，，， ∴， ∵， ∴将直线和联立得，， 整理得，， ∵线段与该抛物线有两个公共点， ∴， 整理得，， ∴， 解得， ∵，两个公共点是和， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 整理得，， 解得或， 综上所述，的取值范围为或． 迁移创新 1．（2026·广西南宁·三模）抛物线与轴相交于点和点，与轴相交于点，是抛物线的顶点，是抛物线上一动点，设点的横坐标为． (1)求的值； (2)如图1，若点在对称轴左侧，过点作对称轴的垂线，垂足为，当时，求的值； (3)定义：抛物线上两点，之间的部分叫做抛物线弧（含端点和）．过，分别作轴的垂线，，过抛物线弧的最高点和最低点分别作轴的垂线，，直线，，与围成的矩形叫做抛物线弧的特征矩形．若点在第四象限，记抛物线弧的特征矩形的周长为． ①若，求的值； ②请直接写出关于的函数解析式． 【答案】(1) (2) (3)①；② 【分析】（1）将点代入抛物线解析式求； （2）先求出抛物线对称轴及顶点坐标，表示出点和垂足的坐标，表示出和，然后根据求解； （3）①首先求出，，然后根据列方程求解； ②根据点在第四象限确定的范围，按抛物线弧是否包含对称轴及最高点位置分三种情况讨论，分别求出特征矩形的长和宽，进而得到周长关于的函数解析式． 【详解】（1）解：抛物线过点， ， ； （2）解：由（1）得抛物线解析式为， 对称轴为直线，顶点， 点在抛物线上，横坐标为，且在对称轴左侧， ，， 对称轴，垂足为， ， ，， ∵， ∴， 整理得，， 解得，（舍去）， ∴； （3）解：①∵， ∴当时，， ∴，即， 当时，， 解得，， ∴，， ∴， ∵， ∴， 解得，（舍去）， ∴； ②由（2）可得，，，抛物线对称轴为直线， ∴点关于对称轴对称的点的坐标为， ∵点在第四象限， ∴， 当时，如图，抛物线弧的最高点为C，最低点为点P， 此时特征矩形的边长，， ∴周长； 当时，如图，抛物线弧的最高点为C，最低点为点T， 此时特征矩形的边长，， ∴周长； 当时，抛物线弧的最高点为P，最低点为点T， 此时特征矩形的边长，， ∴周长； 综上所述，． 2．（24-25九年级上·湖南衡阳·期末）定义：若两条抛物线关于直线成轴对称，我们称其中一条抛物线是另一条抛物线关于直线的衍生抛物线．如图，抛物线与抛物线互为关于直线的衍生抛物线，以这两条抛物线的顶点和交点为顶点的叫伴随三角形． (1)直接写出抛物线关于直线的衍生抛物线的解析式：______． (2)若抛物线和它关于直线的衍生抛物线的交点在直线上，求伴随三角形的面积； (3)若抛物线和它关于直线的衍生抛物线的伴随三角形是直角三角形，求的值． 【答案】(1) (2)27 (3) 【分析】对于（1），根据衍生抛物线的定义解答即可； 对于（2），先设点P的坐标为，再将点的坐标代入二次函数关系式，求出a，即可得出衍生抛物线的关系式，然后根据顶点坐标和交点坐标得出答案； 对于（3），先表示出衍生抛物线的关系式，即可得出顶点坐标，再根据，结合直角三角形的三边关系得出方程，再求出解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线的对称轴是 ∴衍生抛物线的对称轴是， ∴衍生抛物线的关系式为． 故答案为：； （2）解：设点，根据题意，得 ， 解得. ∵， ∴． ∴抛物线关于的衍生抛物线的关系式为． 当时，，则交点坐标为． ∵两个抛物线的顶点坐标为， ∴伴随三角形的面积； （3）解：由（2），知， 抛物线关于的衍生抛物线的关系式为． 当时，，交点坐标为． ∴顶点坐标为． ∵伴随三角形是直角三角形，以下图为例，只能以交点P为直角顶点， ∴当时，是直角三角形， ∴， 即， 解得或（舍去）． 所以． 【点睛】本题主要考查了求二次函数的关系式，二次函数与几何图形，直角三角形的性质，解一元二次方程，理解新定义是解题的关键． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $