1.4.1 二次函数与一元二次方程的关系（题型专练）数学新教材浙教版九年级上册

**基本信息** 本练习围绕二次函数与一元二次方程关系，通过基础理解、能力提升、综合应用三层设计，构建从单一知识点到实际应用的巩固路径，培养几何直观、推理意识与模型意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础理解|交点求参数范围、交点个数、近似根|以模拟题形式巩固判别式应用，培养图像读取能力| |能力提升|参数讨论、图像判根、对称性求值|含参数问题与图像分析题，强化数形结合推理| |综合应用|函数交点解方程、实际问题建模|跨知识点综合题与桥梁、铅球等情境题，发展模型应用能力|

1.4.1 二次函数与一元二次方程的关系 （第1课时） 题型一：二次函数与图象交点问题求参数取值范围 1．（2026·广东清远·二模）若二次函数的图象与轴没有交点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】二次函数图象与x轴没有交点，说明对应一元二次方程无实数根，利用一元二次方程根的判别式性质，判别式小于0，解不等式即可得到a的取值范围． 【详解】解：∵二次函数的图象与轴没有交点， ∴一元二次方程没有实数根， 即， ∴， 解得． 2．（2026·陕西榆林·模拟预测）已知二次函数（a为常数）的图象与x轴有交点，当时，y随x的增大而增大，则a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据二次函数图象与x轴有交点，利用判别式大于等于0求出a的范围，再求出抛物线对称轴，结合开口方向和时，y随x的增大而增大的性质，得到对称轴的限制条件，最后取两个范围的交集得到结果． 【详解】解：∵二次函数的图象与x轴有交点， ∴， 解得：， 又∵当时，y随x的增大而增大，且抛物线开口向上，对称轴为直线， ∴对称轴满足，解得， ∴a的取值范围是． 3．（2026·陕西安康·模拟预测）已知抛物线与轴无交点，且当时，随的增大而减小，则的取值范围为（　　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，得到，对称轴与轴的交点的横坐标，进行求解即可. 【详解】解：∵抛物线， ∴抛物线的开口向上，对称轴为直线， ∵抛物线与轴无交点，且当时，随的增大而减小， ∴， 解得. 4．（2026·河南驻马店·三模）若函数（为常数）的图象与轴有交点，则的取值范围是（     ） A． B．且 C． D．且 【答案】C 【分析】分两种情况分析：①当时，②当时，分别利用一次函数与二次函数与坐标轴的交点问题求解即可． 【详解】解：①当时，直线与轴有交点， ∴符合题意． ②当时，抛物线与轴有交点，即关于的方程有实数根， ∴，解得． ∴当且时，符合题意． 综上所述，的取值范围是． 5．（2026·四川绵阳·模拟预测）若一个点的坐标满足横、纵坐标相等，则称这个点为对等点已知二次函数的图象上有两个不同的对等点，则k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据对等点定义，对等点满足，二次函数上两个不同的对等点等价于二次函数与直线有两个不同交点，即联立后的一元二次方程有两个不相等的实数根，利用根的判别式大于0即可求解k的范围． 【详解】解：∵对等点的横纵坐标相等， ∴对等点满足， ∵二次函数上有两个不同的对等点， ∴联立， 整理得一元二次方程，该方程有两个不相等的实数根， ∴根的判别式， 解得． 6．（2026·江西赣州·模拟预测）已知二次函数（x为自变量）的图象与x轴有两个交点，且当时，y随x的增大而增大，则实数m的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先将二次函数整理为一般式，根据题目给出的两个条件列不等式求解：一是图象与x轴有两个交点，可得判别式；二是二次项系数为正，开口向上，时随增大而增大，可得对称轴横坐标，解不等式后取交集得到的取值范围． 【详解】∵ ， ∴ ，函数开口向上，，， 根据图象与轴有两个交点，得， ∴， ∴ ，解得 ， ∵开口向上的二次函数，在对称轴右侧随增大而增大， 又根据时随增大而增大， ∴ 二次函数对称轴，解得 ， 又∵， ∴的取值范围为． 7．（2026·四川绵阳·二模）若抛物线与轴没有交点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】抛物线与x轴没有交点等价于对应一元二次方程无实数根，利用根的判别式列不等式求解即可． 【详解】解：∵抛物线与轴没有交点， ∴一元二次方程没有实数根， 根据一元二次方程根的判别式性质，得， 即， 解得． 题型二：二次函数与x轴的交点个数 1．（2026·江苏南京·二模）函数（m为常数）的图象与x轴公共点的个数是（     ） A．0 B．1 C．2 D．1或2 【答案】D 【分析】二次函数图象与x轴公共点的个数，等价于时对应一元二次方程的实数根个数，利用一元二次方程根的判别式即可判断公共点个数． 【详解】当函数图象与x轴相交时，，可得一元二次方程， ，，， ， 任意实数的平方都大于等于0， ， 当时，，方程有1个相等的实数根，图象与x轴有1个公共点； 当时，，方程有2个不相等的实数根，图象与x轴有2个公共点； 因此函数图象与x轴公共点的个数是1或2， 故选：D． 2．（2026·黑龙江佳木斯·二模）二次函数的图象与x轴的交点个数为（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【分析】令，求出的值即可． 【详解】解：令，得， 解得，， ∴与x轴有2个交点． 3．（2026·安徽宿州·一模）在同一平面直角坐标系中，抛物线与直线的交点的情况是（    ） A．没有交点 B．只有一个交点 C．有两个交点 D．无法确定 【答案】C 【分析】将直线解析式代入抛物线解析式，消去y，得到关于x的一元二次方程，然后利用根的判别式来判断方程根的个数，即可解答． 【详解】解：将代入，得 ，即． ． ∴该方程有两个不相等的实数根． ∴抛物线与直线有两个交点． 4．（25-26九年级上·山东淄博·期末）在平面直角坐标系中，抛物线与轴交点的个数（    ） A．3 B．2 C．1 D．0 【答案】D 【分析】本题考查了抛物线与坐标轴的交点，解题关键在于利用判别式进行解答； 通过判断抛物线对应的一元二次方程根的情况，确定与轴交点的个数． 【详解】解：∵求抛物线与轴的交点，令， ∴得到方程，即， ∵，，， ∴， ∴该一元二次方程无实数根， ∴抛物线与轴交点的个数是0， 故选：D． 5．（25-26九年级下·浙江杭州·开学考试）函数与轴的交点个数情况为（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【分析】本题主要考查二次函数的图象与一元二次方程，如果二次函数的图象与轴有交点，交点的横坐标为一元二次方程的实数根． 【详解】如果二次函数的图象与轴有交点，交点的横坐标为一元二次方程的实数根． 在一元二次方程中，，，，可得 ． 所以一元二次方程有两个不相等的实数根． 所以函数与轴的交点为个． 故选：C 题型三：由图象法确定一元二次方程的近似根 1．（2026·河南周口·模拟预测）下列表格中是二次函数的自变量与函数的一些对应值，可以判断一元二次方程的一个近似根是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】一元二次方程的根对应二次函数与轴交点的横坐标，先观察表格中函数值的正负变化，找到函数值由负变正的区间，再结合区间内函数值与的接近程度，判断近似根更靠近． 【详解】解：一元二次方程的根，就是二次函数中函数值时对应的自变量， 观察表格： 当时，，最接近； 当 时，，距离比更远； 又∵在到之间由负变正，说明的根在和之间， ∴对应的函数值更接近， ∴一元二次方程的一个近似根是． 2．（25-26九年级下·广东深圳·开学考试）根据下列表格的对应值，判断方程（为常数）一个解的范围是（    ） 3.23 3.24 3.25 3.26      -0.06 -0.02 0.03 0.09 A．3 B．3 C．3 D．3 【答案】C 【分析】本题考查二次函数与一元二次方程的关系，方程的解就是二次函数与x轴交点的横坐标，只需找出函数值由负变正对应的x范围即可． 【详解】令（，，，为常数）， ∵当时，， 当时，， ∴当时，必然取到0， 即方程的一个解的范围是：． 3．（25-26九年级上·山西晋城·期末）设二次函数，下表列出了与的6对对应值： 0 1 2 3 4 5 13 23 根据表格中的内容，能够判断一元二次方程的一个解的大致范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数与一元二次方程的解的关系，解本题的关键在找出当函数值y为0时，对应的一元二次方程的一个解的取值范围． 根据二次函数图象的连续性，当两个x值对应的函数值异号时，这两个x值之间的区间内存在一元二次方程的解，通过表格数据找出y异号的x区间即可． 【详解】解：∵当时，；当时，； 又∵二次函数的图象是连续的抛物线； ∴在的区间内，存在使得，即一元二次方程的一个解的大致范围是． 故选：B 4．（25-26九年级上·安徽安庆·期末）已知二次函数中部分和的值如表所示： 0.89 0.56 0.25 则方程的一个较大的根的范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二次函数的性质及用图象法确定一元二次方程的近似根，利用二次函数的对称性是解题关键，先求对称轴，再根据表格确定较小根的范围，最后通过对称求出较大根的范围． 【详解】解：∵二次函数的对称轴为， 由表可知，当时，；当时，， ∴方程的较小根满足， ∵二次函数的图象关于对称轴对称，设较大根为，则， ∴， 当时，；当时，， ∴． 故选C． 5．（25-26九年级上·浙江杭州·期末）二次函数的自变量与函数的部分对应值表如下，则关于的方程的一个根的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查二次函数与一元二次方程的关系，利用函数值的符号变化锁定根的位置是解题关键． 对于开口向上的连续二次函数，当函数值由负变正时，对应区间内必有方程的一个根，据此对选项进行判断． 【详解】解：据表可知，当时，， 当时，， ∵，二次函数图象是连续的抛物线且开口向上， ∴在这个区间内，函数值由负变正，即存在使得， ∴方程的一个根的取值范围为． 故选：． 6．（25-26八年级下·浙江·单元复习）根据下列表格的对应值，判断方程（为常数）的一个解的范围是（    ） 3.23 3.24 3.25 3.26 0.03 0.09 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二次函数与一元二次方程的关系，方程的解对应二次函数的函数值为0时的值，根据表格中函数值的正负变化可确定解的范围． 【详解】解：令（，为常数） ∵当时， ∵当时， ∴在时，二次函数的函数值会从负变为正，即存在使得 ∴方程的一个解的范围是 故选：C． 题型四：二次函数与图象的交点情况求参数 1．（2026·四川泸州·一模）若直线与抛物线只有一个交点，则k的值为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】D 【分析】联立两函数解析式得到，根据两函数只有一个交点可得关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，据此利用判别式求解即可． 【详解】解：联立得，即， ∵直线与抛物线只有一个交点， ∴关于x的一元二次方程有两个相等的实数根， ∴， ∴． 2．（24-25九年级上·浙江温州·期中）在平面直角坐标系中，若二次函数的图象与x轴只有1个交点，则m的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】二次函数图象与x轴只有一个交点时，对应的一元二次方程根的判别式等于0，利用判别式列方程求解即可得到m的值． 【详解】解：∵二次函数的图象与x轴只有1个交点， ∴一元二次方程有两个相等的实数根，根的判别式， 将，，代入得：， 化简得，解得． 3．（2026·陕西咸阳·一模）已知抛物线与坐标轴存在三个交点，则可以取的值是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】抛物线要求二次项系数不为0，抛物线与轴恒有1个交点，要使总交点数为3，则抛物线与轴需要有2个不同交点，利用一元二次方程根的判别式求解范围，结合选项得出结果． 【详解】 是抛物线， 二次项系数满足，即，排除选项； 当时，代入得， 抛物线与轴恒有个交点， 要使抛物线与坐标轴共三个交点，需抛物线与轴有2个不同交点； 即一元二次方程有两个不相等的实数根， 判别式， 解得； 综上可得a的范围是且； 结合选项可知，只有选项的4符合要求． 4．（25-26九年级上·四川广元·期末）抛物线与轴只有一个公共点，则的值为（    ） A． B． C． D．4 【答案】A 【分析】本题考查抛物线与x轴的交点问题，关键是理解二次函数与一元二次方程的关系，利用判别式求解．抛物线与x轴只有一个公共点，则关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，据此进行解答即可． 【详解】解：∵抛物线与x轴只有一个公共点， ∴关于x的一元二次方程有两个相等的实数根， ∴， 即， 解得， 故选：A 5．（2026·河南周口·一模）若二次函数的图象与轴只有一个交点，则实数的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据抛物线与x轴有且只有一个交点，得到，结合二次项的系数不为0，进行求解即可． 【详解】解：二次函数的图象与轴只有一个交点， ． 解得 ． 6．（25-26九年级上·安徽淮南·期末）已知抛物线的顶点在轴上，则的值为（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题考查抛物线的性质，抛物线顶点在轴上说明其与轴仅有一个交点，即判别式，通过代入系数计算判别式方程即可求解的值． 【详解】解：抛物线的顶点在轴上， 抛物线与轴仅有一个交点， ，，， ， 整理得：， 两边同除以得：， 因式分解得：， 或． 故选：C． 题型五：根据图象判断根的情况 1．（2026·河南平顶山·一模）二次函数的图象如图所示，则方程的根的情况为（     ）．    A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．无实数根 D．可能只有一个实数根 【答案】A 【详解】解：由图可知，方程的根的情况为有两个不相等的实数根． 2．（2026·广东深圳·二模）华罗庚说过：“数形结合百般好，隔裂分家万事非．”请运用这句话中提到的数学思想并结合已画的部分图像判断方程根的情况是（    ）． A．有三个实数根，两个正根一个负根 B．有两个实数根，一个正根一个负根 C．有三个实数根，一个正根两个负根 D．有两个实数根，并且两个都是负根 【答案】C 【分析】根据题意可知，方程的根的情况是函数与的交点情况，画出函数图象草图即可求解． 【详解】解：依题意，函数与函数的函数图象如图所示， 根据函数图象可知图象共有3个交点，即方程有3个根，且一个正根两个负根． 3．（2026九年级下·全国·专题练习）已知函数的图象如图，那么关于x的方程的根的情况是（    ） A．无实数根 B．有两个相等实数根 C．有两个不相等的正实数根 D．有两个异号实数根 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数与一元二次方程的解的关系． 直接根据函数图象作答即可． 【详解】解：∵的图象与只有一个交点，且方程即的根就是抛物线的图象与的交点的横坐标， ∴关于x的方程有两个相等实数根． 故选：B． 4．（25-26九年级上·湖北恩施·期末）已知抛物线的图象如图所示，则方程的实数根的情况是（    ） A．方程没有实数根 B．方程的实数根情况不确定 C．方程有两个相等的实数根 D．方程有一正一负两个实数根 【答案】D 【分析】本题考查抛物线与轴的交点，由图象可知，抛物线与轴有两个交点，即可得方程有两个不相等的实数根，且一正一负． 【详解】解：由图可得：抛物线与轴有两个交点，一个在负半轴，一个在正半轴， ∴方程有一正一负两个实数根． 故选：D． 题型六：根据二次函数与x轴交点的对称性求值 1．（24-25九年级上·天津·阶段检测）二次函数的图象如图所示，则关于的一元二次方程的解为______． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数与一元二次方程的关系．熟练掌握抛物线与x轴两交点的横坐标为一元二次方程的两个根，是解题的关键． 根据二次函数图象与x轴的交点得方程的两个根为． 【详解】∵二次函数的图象与x轴交于 ，两点， ∴关于的一元二次方程的解为． 故答案为：． 2．（25-26九年级下·辽宁沈阳·开学考试）若二次函数图象与轴有一个交点为，则与轴另一个交点坐标为_____． 【答案】 【分析】本题考查二次函数的对称性，可先根据二次函数的对称轴公式求出对称轴，再结合二次函数图象与x轴交点的对称特征计算另一个交点坐标． 【详解】对于二次函数，其中，， 根据二次函数对称轴公式， 可得对称轴为直线． 因为二次函数图象与轴的两个交点关于对称轴对称， 设另一个交点坐标为，则， 解得， 所以与轴另一个交点坐标为． 故答案为： 3．（25-26九年级下·辽宁盘锦·开学考试）若二次函数的图象与轴交于点，则图象与轴的另一个交点为___________． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的性质，解题的关键是熟练掌握二次函数的对称性进行解题．先确定二次函数的对称轴，再利用二次函数图象的对称性，结合已知交点坐标求出另一个交点坐标． 【详解】解：∵二次函数的表达式为， ∴该二次函数图象的对称轴为直线， 设图象与轴的另一个交点坐标为， 根据二次函数图象的对称性，对称轴是与轴两个交点横坐标的中点，可得， 解得， 则图象与轴的另一个交点为． 故答案为：． 4．（25-26九年级上·黑龙江绥化·阶段检测）如图，抛物线的一部分经过点，且其对称轴是直线，则一元二次方程的根是___________． 【答案】， 【分析】本题考查了抛物线与轴的交点坐标，抛物线与一元二次方程．根据抛物线经过点，且其对称轴是直线，求出抛物线与轴的另一个交点坐标为，故一元二次方程的根是，，即可作答． 【详解】解：∵抛物线的一部分经过点，且其对称轴是直线， ∴， 即抛物线与轴的交点坐标为， ∴一元二次方程的根是，， 故答案为：，， 5．（25-26九年级下·江苏常州·阶段检测）二次函数的部分图像如图所示，其对称轴为直线，若该抛物线与x轴的一个交点为，则由图像可知，方程的解是________． 【答案】 【分析】先求出抛物线与x轴的另一个交点，再根据抛物线与x轴交点的横坐标即为方程的解求解即可． 【详解】解：∵抛物线对称轴为直线，该抛物线与x轴的一个交点为， ∴抛物线与x轴的另一个交点为， ∴由图像可知，方程的解是． 6．（19-20九年级上·江苏淮安·期中）如图是二次函数的部分图象，由图象可知方程的解是______． 【答案】， 【分析】根据抛物线的对称轴的定义、抛物线的图象来求该抛物线与x轴的两交点的横坐标，即可求得对应方程的根． 【详解】解：由图象可知二次函数的对称轴， ∵与x轴的一个交点横坐标是， ∴设与x轴的另外一个交点横坐标是， ∴对称轴， 解得：， ∴方程的解是：，． 7．（25-26九年级上·河南新乡·阶段检测）抛物线的部分图象如图所示，则关于x的方程的解是_________． 【答案】 【分析】根据抛物线的对称轴为直线，与x轴的交点为，利用抛物线的对称性即可求得． 【详解】解：抛物线的对称轴为直线，与x轴的交点为， 设另一个交点为， ， 解得：， 故另一个交点为， 关于的方程的解是：， 8．（25-26九年级上·浙江绍兴·期末）已知函数的图象和函数的图象如图所示，则关于的一元二次方程的解是___________． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的性质．函数的图象和函数的图象交点的横坐标就是关于的一元二次方程的解，据此求解即可． 【详解】解：由图象知，抛物线的对称轴为直线， 函数的图象和函数的图象一个交点的横坐标为， ∴一个交点的横坐标为， ∴关于的一元二次方程的解是． 故答案为：． 题型七：根据两函数的交点解一元二次方程 1．（2026·江苏扬州·模拟预测）已知点，，在二次函数的图象上，则方程的解为（     ） A．x1=-，x2= B．x1=，x2= C．x1=2-，x2= D．x1=，x2= 【答案】D 【分析】本题考查二次函数与一元二次方程的关系，二次函数的对称性，先由已知点求出二次函数的常数项和对称轴，将所求方程变形为二次函数的形式，结合已知点和对称性即可求出方程的解． 【详解】点在二次函数的图象上， ，二次函数解析式为， ，纵坐标相等， 二次函数的对称轴为直线， 方程变形得，即求二次函数时的值， 点在二次函数图象上， 是方程的一个解， 设方程的另一个解为，由对称性得， 解得， 方程的解为，． 2．（25-26九年级下·广东揭阳·阶段检测）已知二次函数与一次函数的图象如图所示，则方程的解为（   ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】C 【分析】直接利用函数图象求解即可. 【详解】解：∵二次函数与一次函数的图象的交点的横坐标为：或， ∵， ∴， ∴由图象可得：的解为：或； ∴的解为：或. 3．（25-26九年级上·贵州遵义·期末）点在抛物线上，则关于的一元二次方程的解是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数与一元二次方程的关系、二次函数图象的平移，熟练掌握二次函数与一元二次方程的关系是解题关键．先求出点也在这个抛物线上，再根据二次函数图象的平移可得抛物线经过点，，则关于的一元二次方程的两个解为，，由此即可得． 【详解】解：∵点在抛物线上，且其对称轴为直线， ∴点也在这个抛物线上， 将二次函数的图象先向右移动1个单位，再向下平移2个单位长度所得到的二次函数的解析式为，即为， ∴抛物线经过点，，即，， ∴关于的一元二次方程的两个解为，， 即关于的一元二次方程的解是，， 故选：C． 4．（25-26九年级上·云南昆明·期末）如图，抛物线和直线（均为常数，且）的两个交点分别为和，则关于的一元二次方程的解为（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数与一次函数图象和性质，掌握二次函数与一次函数的交点的含义是解题关键，根据题意可知方程的解即为抛物线和直线的交点的横坐标，即可得解． 【详解】解：∵一元二次方程， 即， ∴方程的解是抛物线和直线的两个交点的横坐标， ∵抛物线和直线的两个交点分别为和， ∴关于的一元二次方程的解， 故选：D． 5．（25-26九年级上·浙江宁波·阶段检测）二次函数的图象过，并与二次函数的图象交于点．若关于的方程为，则该方程的解为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次函数图象的性质，二次函数与一元二次方程的解, 由二次函数过点得，再根据两函数交于点建立等式，解得，进而得到，最后解方程，代入b和n，化简后求解二次方程即可． 【详解】解：∵二次函数过点, ∴, ∴． ∵两函数交于点, ∴，且 , ∴, ∵，两边除以a, 得, 解得． ∴ 方程，代入, 得, ∵，两边除以a, 得，即, 解得． 故选：C． 题型一：二次函数与一元二次方程综合 1．（25-26九年级上·甘肃甘南·期末）已知二次函数的图象如图所示，则以下结论错误的是（　　） A． B． C． D．方程的正根在2到3之间 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的性质． 根据二次函数的图象得到，，根据对称轴得到，可判断A、B，根据二次函数的对称性可判断D，当时，，根据可判断C． 【详解】解：∵开口向上， ∴， ∵二次函数交轴于负半轴， ∴， ∵对称轴为直线， ∴， 即，，B正确； 即，A正确； 由图可知方程的负根在到0之间， ∵对称轴为直线， ∴方程的正根在2到3之间，D正确； 当时，， ∵， ∴，C正确； 故选：C． 2．（25-26九年级上·山东烟台·阶段检测）抛物线的部分图象如图，对称轴为直线，直线与抛物线都经过点．下列说法：①；②；③关于x的一元二次方程的两根为，；④当时，二次函数有最大值．其中正确的有_______． 【答案】①③ 【分析】由图象可知，，则有，然后根据二次函数的图象与性质可进行排除答案． 【详解】解：∵抛物线的开口向下， ∴， ∵对称轴为直线， ∴， ∴， ∴，故①是正确； ∵抛物线经过点， ∴， ∴， ∴，故②错误； ∵抛物线的对称轴为直线，与x轴的一个交点为， ∴根据二次函数的对称性可知：抛物线与x轴的另一个交点为， ∴关于x的一元二次方程的两根为，，故③正确； ∵直线经过点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴当时，y有最大值，故④错误； 综上所述：正确的有①③． 3．（2026·湖北武汉·一模）抛物线的开口向下，图象与轴交于和，且，下列结论：①；②；③若，、是抛物线上两点，则当时，；④关于的一元二次方程有实数根；⑤关于的不等式的解集为．其中正确的结论是__________（填写序号）． 【答案】①②③⑤ 【分析】根据抛物线开口方向，对称轴位置，交点坐标判断的符号，判断①，结合交点式得到与的关系，根据的范围判断②，利用二次函数性质，比较两点到对称轴的距离判断③，利用顶点纵坐标判断方程是否有实根，判断④，整理不等式求解集判断⑤． 【详解】解：∵抛物线开口向下， ∴， ∵抛物线与轴交于和， ∴对称轴为直线， ∵， ∴ 则对称轴在轴右侧， 即， ∵， ∴， 将代入抛物线得， ∴， ∵，， ∴， ∴，故①正确． 抛物线可写成交点式， ∴， ∵，， ∴不等式两边同乘得， 即，故②正确． 若，则对称轴为直线， 开口向下，抛物线上点离对称轴越远，函数值越小， ，，两点到对称轴的距离分别为，， 若，则， 平方得， 化简得， 即，故当时，，故③正确． 关于的方程有实根，需满足，为顶点的纵坐标，， 代入不等式得， 即， ∵， ∴，故不等式不成立，方程无实根，故④错误． 整理不等式得 ，由得， 代入得， 即， ∵， ∴， 解得，故⑤正确． 故正确的结论是①②③⑤． 4．（2023·山东泰安·模拟预测）如图，在二次函数的图像中，顶点的纵坐标为1．下列结论：①②③④⑤关于x的一元二次方程无实数根．其中，正确结论的序号是_________． 【答案】①④⑤ 【分析】由抛物线与x轴有两个交点可判断①；由抛物线开口朝下、对称轴在y轴左边、抛物线与y轴交点在正半轴上可判断②；由抛物线在处的函数值小于0，可得，再由对称轴可得可判断③；由抛物线顶点的纵坐标为1可得抛物线与直线只有一个交点可判断④；由抛物线与直线没有交点可判断⑤． 【详解】解：∵抛物线与x轴有两个交点， ∴令，即有两个不相等的实数根， ∴，即，故①正确． 由图象可知：抛物线开口朝下，对称轴在y轴左边，抛物线与y轴交点在正半轴上， ∴，，， ∴， ∴，故②错误． 由图象可知：抛物线在处的函数值小于0， ∴令，即， ∵由图象可知：对称轴， ∴， ∴， ∴，故③错误． ∵抛物线顶点的纵坐标为1， ∴抛物线与直线只有一个交点， ∴令，即有两个相等的实数根， ∴，即，故④正确． ∵抛物线顶点的纵坐标为1，且抛物线开口朝下， ∴抛物线与直线没有交点， ∴令，即无实数根，故⑤正确． 综上所述，正确结论的序号是①④⑤． 5．（2026·辽宁沈阳·一模）二次函数的部分图象如图所示，其对称轴为：，图象与x轴的一个交点为．将下列正确的结论填在横线上______（填序号） ①；②；③方程有两个不相等的实数解；④当时，m的取值范围为或． 【答案】②③ 【分析】由对称轴得，，当时，，可判断结论①；由时，，得，可判断结论②；由方程转换为，转换为判断函数与函数的交点个数，可判断结论③；由函数图象和性质，判断结论④． 【详解】解：∵其对称轴为：， 即，得， ∴当时，， 即，故结论①错误； ∵当时，， ∴， ∴，故结论②正确； 方程转换为， 则方程解的个数即为函数与函数的交点个数， 由图判断函数与函数必有两个交点， ∴方程有两个不相等的实数解，故结论③正确； 若， 即， 故当时，函数值大于时的函数值， 根据对称轴为， ∴的对称点为， 要求时，函数值大于时的函数值， 即，故结论④错误； 综上，正确的结论为②③． 6．（25-26九年级下·湖北武汉·阶段检测）二次函数（，，是常数，）的自变量与函数值的部分对应值如表：且当时，与其对应的函数值，有下列结论： … 0 1 2 … … … ①函数图象的顶点在第四象限内；②和是关于的方程的两个根；③若点，点在二次函数图象上，则；④；⑤方程有四个不相等的实数根，则，其中，正确的结论是_______． 【答案】①②③ 【分析】根据表格信息，推导出，对称轴为直线，根据题干描述，推导出， 结合二次函数的图象和性质，得出函数图象的顶点坐标情况，判断结论①；由函数对称的性质，判断出结论②和③；由，结合，判断结论④；由有四个不相等的实数根，得出，即，结合，判断结论⑤． 【详解】解：观察表格，当时，， 即可得出， 又∵和时，对应函数值相同， 即点与点关于函数对称轴对称， 可得函数对称轴为直线， 故， ∴， 原函数表达式可为， 当时，函数， 化简得， 解得，即， 故函数开口向上，对称轴为直线， ∴其顶点坐标纵坐标一定小于， 故函数图象的顶点在第四象限内，结论①正确； ∵函数对称轴为直线， 故横坐标为的点关于直线对称的点横坐标为， 故和是关于的方程的两个根，结论②正确； 对于点，点， ∵函数开口向上，对称轴为直线， 明显点到对称轴的距离更远， 故，结论③正确； 当时，， 当时，， ∴， ∵， ∴，故结论④错误； 当时，函数， 若有四个不相等的实数根， 则有四个不相等的实数根， 则， ∴， 即， ∵， ∴无上限，故结论⑤错误； 综上，正确的结论是①②③． 题型二：二次函数与一元二次方程实际应用 1．（2026·甘肃平凉·二模）如图1，玛曲黄河大桥位于甘肃玛曲县城南，北连玛曲县城，南通阿万仓乡，是甘肃省黄河上游的第一座桥梁，因此有“黄河第一桥”之称．如图2是它的部分示意图，可近似地用抛物线的一部分表示，若当水面宽度为时，水面到拱顶的高度为，当水位在此基础上继续上涨时，水面的宽度为______m（结果保留根号）． 【答案】 【详解】根据图示建立平面直角坐标系，设抛物线解析式为顶点式，利用已知条件求出点的坐标并代入解析式求出的值，确定函数解析式，再根据水位上涨后的高度求出对应的值，再列式求出水面宽度，即可作答． 【点睛】解：设抛物线的解析式为. 由题意可知，抛物线顶点为原点，对称轴为轴， ∵，，且点在第四象限， 根据抛物线的对称性，点的横坐标为，纵坐标为， 即； 将点代入，得， 解得， ∴抛物线的解析式为， 当水位上涨时，水面到拱顶的距离变为． 此时水面上点的纵坐标为， 把代入，得， 解得，， ∴水面的宽度：． 2．（2026·辽宁营口·二模）如图是一座截面为抛物线形的拱形桥，当拱顶离水面2米高时，水面宽度为4米，则当水面下降2米时，水面的宽度为________米． 【答案】 【分析】根据题意建立坐标系，然后得出抛物线的解析式，进而令进行求解即可． 【详解】解：由题意可建立坐标系如图所示： ∴抛物线与x轴的交点坐标为， 设抛物线的解析式为，则把点代入得：， 解得：， ∴抛物线的解析式为， ∴当时，则有， 解得：， ∴当水面下降2米时，水面的宽度为米． 3．（2026·山东临沂·一模）如图，一名男生推铅球，铅球行进高度（单位：）与水平距离（单位：）之间的关系式为：．有下列结论： ①该男生推铅球出手时，铅球的高度为； ②铅球飞行至水平距离时，达到最大高度，最大高度为； ③铅球落地时的水平距离为． 其中，正确结论的序号是____________． 【答案】②③/③② 【分析】对于①，计算时，的值即可判断；对于②，将一般式化为顶点式，根据顶点坐标即可判断；对于③，计算时，的值即可判断． 【详解】解：对于①：将代入，得， ∴出手高度为，故①错误； 对于②：， ∴顶点坐标为，故②正确； 对于③：将代入，得 ， 整理，得， 解得或（负值，舍去）， ∴铅球落地时的水平距离为，故③正确． 4．（25-26九年级下·江苏徐州·期中）如图，小亮同学掷铅球时，铅球沿抛物线运行，其中是铅球离初始位置的水平距离，是铅球离地面的高度．若铅球抛出时离地面的高度为，则铅球掷出的水平距离为__________． 【答案】8 【分析】根据题意得到，当时，，解一元二次方程即可． 【详解】解：铅球抛出时离地面的高度为， ， ， 当时，， 解得或（舍去）， 铅球掷出的水平距离为． 1．（2026·江西·中考真题）如图，观察函数的图象，可以发现方程在0，1之间有根．取0，1的平均数0.5，当时，，进一步可知这个根在0.5和1之间，则与方程另一根更接近的是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由一元二次方程根与系数关系可知两根之和为，结合已知根在0.5与之间，可推知另一根在与之间．再取中点缩小范围，确定另一根更接近． 【详解】解：设方程的两个根为，， ，，， 由一元二次方程根与系数关系可知， 已知在0.5与之间， ， 当x在0.5和1之间时， 另一根在与之间， 取， ， 当时，， 在与之间， 到的距离， 到的距离， 到的距离小于到的距离， 与另一根更接近的是． 2．（2026·湖北·三模）抛物线过点，对称轴是直线，且顶点在第二象限．下列结论正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵抛物线对称轴为直线， ∴，即 ，故选项C错误； ∵顶点在第二象限，顶点纵坐标大于0，且抛物线过点， ∴抛物线与x轴有两个交点，开口向下， ∴，故选项A错误； ∵抛物线与x轴有两个不同交点， ∴，故选项B错误； ∵，对称轴为， ∴时，随的增大而减小， ∵， ∴时的函数值大于时的函数值，即，故D正确． 3．（25-26九年级下·湖南长沙·期中）我们规定：为二次函数（，，，为实数）的“概念数”，如：的“概念数”为，若“概念数”是，且开口向上的二次函数图象与轴只有一个交点，则的值为（   ） A． B． C． D．2 【答案】D 【分析】先根据定义写出二次函数解析式，再利用二次函数性质：开口向上可得二次项系数大于0，图象与轴只有一个交点可得判别式等于0，列方程求解后舍去不符合条件的解即可． 【详解】解：“概念数”是， 二次函数解析式为 ， 二次函数开口向上， ， 二次函数图象与轴只有一个交点， 判别式， 代入系数得： ， 整理得：， 解得或， 又 ， ． 4．（2026·陕西渭南·模拟预测）已知抛物线（m为常数，且）与x轴只有一个交点，将抛物线C向左平移个单位，再向下平移1个单位得到抛物线L，则抛物线L的顶点在（    ） A．第四象限 B．第三象限 C．第二象限 D．第一象限 【答案】B 【分析】先利用抛物线与x轴只有一个交点的条件，通过判别式求出m的值，再配方得到原抛物线顶点坐标，根据平移规则得到平移后顶点坐标，最后判断顶点所在象限． 【详解】解：∵抛物线与x轴只有一个交点 ∴判别式， 整理得，可得（舍）， ∵， ∴原抛物线C的顶点坐标为， 根据平移规则，向左平移个单位，横坐标减2，向下平移1个单位，纵坐标减1， ∴平移后抛物线L的顶点坐标为， ∴顶点在第三象限． 5．（2026·陕西西安·三模）已知二次函数的图象不经过第四象限，则下列结论一定正确的是（   ） A． B．该函数的顶点位于第三象限 C．当时，随的增大而减小 D．方程有两个不相等的实数根 【答案】D 【分析】根据题意可得二次函数与y轴交于点,则可推出，当对称轴在y轴左侧，且顶点坐标在第二象限时，此时满足函数图象不经过第四象限，结合对称轴公式和二次函数的增减性可判断A、B、C；根据函数图象可得二次函数与直线一定有两个不同的交点，据此可判断D． 【详解】解：在中，当时，， ∴二次函数与y轴交于点, 当时，二次函数与x轴一定有两个不同的交点，即此时一定会经过第四象限，不符合题意； ∴， 当对称轴在y轴左侧，且顶点坐标在第二象限时，此时满足函数图象不经过第四象限，故B结论错误，不符合题意； 此时，此时在对称轴右侧y随x的增大而增大， ∴， ∴此时，故A结论错误，不符合题意， ∵对称轴在y轴左侧， ∴时，y随x的增大而增大， ∴此时不满足当时，随的增大而减小，故C结论错误，不符合题意； ∵， ∴二次函数图象开口向上， 又∵二次函数与y轴交于点, ∴二次函数与直线一定有两个不同的交点， ∴方程有两个不相等的实数根，故D结论正确，符合题意； 6．（25-26九年级上·辽宁盘锦·期中）二次函数与x轴有两个交点，则k的取值范围是________． 【答案】且 【分析】先根据二次函数定义得到二次项系数不为0，再根据有两个交点得到判别式大于0，解不等式即可得到结果． 【详解】解：∵是二次函数， ∴，即， ∵二次函数与轴有两个交点， ∴一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得， 综上，的取值范围是且． 7．（2024·山东淄博·三模）若抛物线与轴两个交点间的距离为，称此抛物线为定弦抛物线，已知某定弦抛物线的对称轴为直线，将此抛物线向左平移个单位，再向下平移个单位，得到的抛物线顶点坐标______________． 【答案】 【分析】根据定弦抛物线的定义和对称轴求出原抛物线的解析式，得到原抛物线顶点坐标，再根据二次函数图象平移规律计算平移后抛物线的顶点坐标. 【详解】解：定弦抛物线的对称轴为直线，抛物线与轴两个交点间的距离为， 抛物线与轴的两个交点坐标为，， ∴抛物线的解析式为， ∴ 原抛物线的顶点坐标为， 将抛物线向左平移个单位，横坐标减，再向下平移个单位，纵坐标减， 可得平移后顶点的横坐标为，纵坐标为， 平移后抛物线顶点坐标为. 8．（2026·湖南长沙·二模）已知抛物线的对称轴是直线，抛物线与x轴的一个交点在点和点之间，其部分图像如上图所示，下列结论：①y的最大值为3；②；③当时，y随x的增大而减小；④．其中正确的序号为__________． 【答案】①②③④ 【分析】根据图象得到抛物线开口向下，顶点纵坐标为3，对称轴是直线，抛物线与x轴的另一个交点在点和点之间，然后逐项判断即可． 【详解】解：由图象可得，抛物线开口向下，顶点纵坐标为3 ∴y的最大值为3，故①正确； ∵对称轴是直线，抛物线与x轴的一个交点在点和点之间， ∴抛物线与x轴的另一个交点在点和点之间， ∴当时，，故②正确； ∵抛物线开口向下，对称轴是直线， ∴当时，y随x的增大而减小，故③正确； ∵对称轴是直线， ∴ ∴，故④正确． 综上所述，正确的序号为①②③④． 9．（25-26八年级下·全国·课后作业）已知函数． (1)求证：不论为何实数，此二次函数的图象与轴都有两个不同的交点； (2)若，求函数与轴的交点坐标． 【答案】(1)证明：令，则有， ， ∴该方程有两个不相等的实数根， ∴不论为何实数，二次函数的图象与轴都有两个不同的交点． (2)， 【分析】（1）由题意可令，则有，然后根据一元二次方程根的判别式可进行求解； （2）把代入二次函数解析式进行求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：当时，则有， ∴令，则有， 解得， ∴二次函数与轴的交点坐标为，． 10．（2026·江苏南京·二模）已知二次函数（为常数，），顶点坐标为． (1)当时， ； (2)当时， ①求证：二次函数的图像与轴总有两个公共点； ②若二次函数图像与轴的交点都在轴的右侧，则的取值范围为 ． 【答案】(1) (2)①证明：由（1）可得， 令，即，， ∵， ∴，， ∴， ∴方程有两个不相等的实数解， ∴二次函数的图像与轴总有两个公共点． ②． 【分析】（1）先将函数解析式化成顶点式可知，然后解关于a的方程即可； （2）①先把函数解析式化成一般式，令，得到关于x的方程，再证明方程根的判别式大于零即可证明结论；②当，即，由题意可知该方程的都是大于零的实数，解（1）的解答过程可得，再根据等式的性质、直接开平方法解关于x的方程，然后让解的最小值大于零，据此列不等式求得a的取值范围；由（1）可知，再根据二次函数的性质确定n的取值范围即可． 【详解】（1）解： ， ∴抛物线的顶点坐标为：， ∵抛物线顶点坐标为，， ∴，解得：或， ∵， ∴． （2）①证明：略； ②解：当，即，由题意可知该方程的根都是大于零的实数， ∴，即， ∵， ∴， ∴，即， ∴方程的最小解为， ∴，解得：， ∴； 由（1）可得：， ∴抛物线开口方向向上，对称轴为， ∴当时，n随a的增大而减小， ∴当，n随a的增大而减小， ∵当时，n有最大值；当时，n有最小值； ∴的取值范围为． 11．（2026·北京平谷·二模）在平面直角坐标系中，已知关于的二次函数的对称轴为． (1)当时随的增大而减小，当时随的增大而增大． ①求此二次函数的解析式； ②当时，函数值__________（填“”，“”、“”或“”）； (2)点，，在该抛物线上，若抛物线与轴的一个交点为，其中，比较，，的大小，并说明理由． 【答案】(1)①二次函数的解析式为；② (2) 理由：令则 ， 解得或， ， ， ， ， ， ， ∵点在该抛物线上， ∴点关于的对称点也在该抛物线上， ∴， ∴， 抛物线的解析式为 ， 则抛物线图象开口向下， ∴当时随的增大而减小， ∵点，，在该抛物线上， ． 【分析】（1）①利用二次函数的增减性判断出对称轴为，再代入对称轴公式求出参数，从而得到函数解析式；②将函数解析式配方为顶点式，确定开口方向和顶点坐标，再结合的条件，比较函数值与的大小关系； （2）先通过解方程求出抛物线与轴的交点，结合交点范围确定参数和对称轴的取值范围，再利用抛物线的对称性，将点转化到对称轴右侧，根据开口向下时对称轴右侧的增减性，比较三点的函数值大小． 【详解】（1）①解：已知关于的二次函数，由题意得对称轴为， 可得， 解得， 故二次函数的解析式为． ②解：已知二次函数的解析式为，配方得， 可知抛物线图象开口向下，顶点为， 故当，函数值． （2）略 学科网（北京）股份有限公司 $命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 1.4.1二次函数与一元二次方程的关系 二次函数与图象交点问题求参数取值范围 二次函数与x轴的交点个数 由图象法确定一元二次方程的近似根 ①基础达标题 二次函数与图象的交点情况求参数 根据图象判断根的情况 根据二次函数与x轴交点的对称性求值 根据两函数的交点解一元二次方程】 二次函数与一 元二次方程的关系 二次函数与一元二次方程综合 ②能力提升题 二次函数与一元二次方程实际应用 ③拓展培优题 高分冲刺题型 基础达标题 题型一：二次函数与图象交点问题求参数取值范围 1. (2026广东清远·二模)若二次函数 y=aX2-4x+2la≠0的图象与x轴没有交点，则。的取值范围为 () A.a>2 B.a<2 C.a>-2 D.a<-2 1 2.(2026-陕西榆林模拟预测)已知二次函数y=一x2+ax+a2-2a+1(a为常数)的图象与x轴有交点， 4 当X>2时，y随x的增大而增大，则a的取值范围是() A.a≥-1 8.}a1 c.a22 D.-1≤a≤ 2 3.(2026-陕西安康模拟预测)已知抛物线y=x2+4mx+4m2+5m+2与x轴无交点，且当x<-1时，y 随x的增大而减小，则m的取值范围为() c.、2 m≤ 0.m> 2-5 学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 4.(2026河南驻马店三模)若函数y=ax2+2X+1(a为常数)的图象与x轴有交点，则a的取值范围是 () A.a<1 B.a<1且a≠0 C.a≤1 D.a≤1且a≠0 5.(2026四川绵阳模拟预测)若一个点的坐标满足横、纵坐标相等，则称这个点为对等点已知二次函数 y=X2+3X+k的图象上有两个不同的对等点，则k的取值范围是(） A.k≤1 B.1<k<9 C.k<1 4 D.k<9 4 6.(2026江西赣州模拟预测)已知二次函 y=xx+2m-1+m2-2mGx为自变量)的图象与x轴有 两个交点，且当X>0时，y随x的增大而增大，则实数m的取值范围为() A.m>-1 .1 B.m cm 1 4 0.mz 7.(2026四川绵阳二模)若抛物线y=x2-3x+m与x轴没有交点，则m的取值范围是() 9 A.m>- 4 B.m24 C.m<- 9 D.ms- 4 题型二：二次函数与x轴的交点个数 1.（2026江苏南京·二模)函数，」 y=x2-(m+1x+m (m为常数)的图象与x轴公共点的个数是() A.0 B.1 C.2 D.1或2 2.(2026黑龙江佳木斯.二模)二次函数y=x-4X+3的图象与x轴的交点个数为() A.0个 B.1个 C.2个 D.3个 3.(2026安徽宿州.一模)在同一平面直角坐标系中，抛物线y=x-3与直线y=2x-1的交点的情况是 () A.没有交点B.只有一个交点C.有两个交点 D.无法确定 4.(25-26九年级上山东淄博期末)在平面直角坐标系中，抛物线y=-x2-1与x轴交点的个数() A.3 B.2 C.1 D.0 5.(25-26九年级下.浙江杭州开学考试)函数y=x-2x-1与x轴的交点个数情况为() A.0个 B.1个 C.2个 D.3个 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 题型三：由图象法确定一元二次方程的近似根 1. (2026河南周口模拟预测)下列表格中是二次函数 y=ax2+bx+ca≠0的自变量x与函数，的一些对 应值，可以判断一元二次方 ax2+bx+c=0la≠0的一个近似根是() 6.7 6.8 6.9 7.0 y=ax2+bx+c -0.3 -0.1 0.2 0.6 A.6.7 B.6.8 c.6.9 D.7.0 2.(25-26九年级下·广东深圳开学考试)根据下列表格的对应值，判断方程ax+bx+c=0( a≠0，a、b、c为常数)一个解的范围是() 3.23 3.24 3.25 3.26 -0.06 -0.02 0.03 0.09 ax+bx+c A. 3<x<3.23 B.3.23<x<3.24 C.3.24<X<3.25D.3.25<x<3.26 3.(25-26九年级上山西晋城期末)设二次函数 y=aX+bx+ca≠0：下表列出了x与y的6对对应值： V -1 -7 -5 -1 5 13 23 根据表格中的内容，能够判断一元二次方程。X+bX+C=0的一个解的大致范国是（） A.-7<X<-5B.1<<2 C.-5<x<-1 D.-1<x<0 4. (25-26九年级上·安徽安庆期末)已知二次函数y=ax-2ax+c中部分X和y的值如表所示： -0.7 -0.6 -0.5 -0.4 -0.3 y 0.89 0.56 0.25 -0.04 -0.31 则方 aX2-2ax+c=0的一个较大的根的范围是() A.-0.5<x<-0.4 B.-0.6<x<-0.5c.2.4<x<2.5D.2.5<x<2.6 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 5.（25-26九年级上浙江杭州期末)二次函数 y=ax2+bx+ca>0的自变量与函数的部分对应值表如下， 则关于，的方程 ax2+bx+c=0的-个根的取值范围为() X 2.01 2.02 2.03 2.04 -0.03 -0.01 0.02 0.06 A.2.01<x<2.02B.2.02<x<2.03 c.2.03<x<2.04D.x>2.04 6.(25-26八年级下浙江·单元复习)根据下列表格的对应值，判断方程ax+bx+c=0(a≠0，a,b,c为 常数)的一个解x的范围是( ) 3.23 3.24 3.25 3.26 ax +bx+d -0.06 -0.04 0.03 0.09 A.3<x<3.23 B.3.23<x<3.24 C.3.24<x<3.25D.3.25<x<3.26 题型四：二次函数与图象的交点情况求参数 1.(2026四川泸州一模)若直线y=2x+k与抛物线y=-x2-2x+3只有一个交点，则k的值为() A.4 B.5 C.6 D.7 2.（24-25九年级上浙江温州期中)在平面直角坐标系中，若二次函数y=2x+3x+m的图象与x轴只 有1个交点，则m的值为() A.、9 9 9 D. 4 B.4 c.、9 8 8 3. (2026陕西成阳.一模）已知抛物线C:y=3-aX-2x+1与坐标轴存在三个交点，则。可以取的值是 () A.1 B.2 C.3 D.4 4.（25-26九年级上四川广元期末)抛物线y=x+x-c与x轴只有一个公共点，则C的值为() A. B.-4 c. D.4 5.(2026河南周口.一模)若二次函数y=2x-x+c的图象与X轴只有一个交点，则实数C的值为 () 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A.-2 B.-1 c 6.(25-26九年级上·安徽准南期末)已知抛物线y=x2-2mx-4m+5的顶点在x轴上，则m的值为 () A.-5 B.1 c.-5或1 D.-1或5 题型五：根据图象判断根的情况 1.(2026河南平顶山一模)二次函数， 文y=QX+bxa≠0的图象如图所示，则方程gX+bx=0的根的情 况为()· A.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根 C.无实数根 D.可能只有一个实数根 2.（2026广东深圳二模)华罗庚说过：“数形结合百般好，隔裂分家万事非.”请运用这句话中提到的 数学思想并结合己画的部分图像判断方程x2+2x-3=4根的情况是(). V A.有三个实数根，两个正根一个负根 B.有两个实数根，一个正根一个负根 C.有三个实数根，一个正根两个负根 学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 D.有两个实数根，并且两个都是负根 3.(2026九年级下·全国.专题练习)已知函数y=ax+bx+c的图象如图，那么关于x的方程 ax2+bx+c+3=0 的根的情况是() A.无实数根 B.有两个相等实数根 C.有两个不相等的正实数根 D.有两个异号实数根 4.(25-26九年级上湖北恩施期末)已知抛物线y=ax2+bx+c的图象如图所示，则方程ax2+bx+c=0 的实数根的情况是() A.方程没有实数根 B.方程的实数根情况不确定 C.方程有两个相等的实数根 D.方程有一正一负两个实数根 题型六：根据二次函数与x轴交点的对称性求值 1.(24-25九年级上·天津阶段检测)二次函数y=ax+bx+c的图象如图所示，则关于x的一元二次方程 ax2+bx+c=0的解为一· 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2.(25-26九年级下.辽宁沈阳·开学考试)若二次函数y=-x2+6x+m-3图象与x轴有一个交点为8,0， 则与x轴另一个交点坐标为一· 3.(25-26九年级下辽宁盘锦·开学考试)若二次函数y=aX-1}?+k的图象与x轴交于点-2,0？ 则图象 与X轴的另一个交点为 4.（25-26九年级上.黑龙江绥化阶段检测)如图，抛物线y=ax+bx+c的一部分经过点A-1,0,且其 对称轴是直线x=2,则一元二次方程ax2+bx+c=0的根是 5.(25-26九年级下.江苏常州阶段检测)二次函数y=ax2+bx+c的部分图像如图所示，其对称轴为直线 x=2,若该抛物线与x轴的一个交点为5,0，则由图像可知，方程ax2+bx+c=0的解是 2 6.(19-20九年级上江苏淮安期中)如图是二次函数y=ax2+bx+c的部分图象，由图象可知方程 ax2+bx+c=0的解是 7.(25-26九年级上河南新乡阶段检测)抛物线y=-x+bx+c的部分图象如图所示，则关于x的方程 -x+bx+c=0的解是 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 8.（25-26九年级上·浙江绍兴期末)己知函 y=aX2+bxa≠0的图象和函数y=t的图象如图所示，则 v=t 关于x的一元二次方程ax2+bx-t=0的解是 y=ax2+bx v=t 111111111 -0.5 x=1 题型七：根据两函数的交点解一元二次方程 1. 2026江苏扬州模拟预测)已知点A0,0.3'B5,1C2,0.3在二次函数y=a y=ax2+bx+ca≠0 的图象上，则方程。X+bX-0.7=0的解为（） A.x=V2./3,x-3 B.x=2-V3,x3=V2 C.x=2-只V2,x3=V3 D.x=2-9/3,x=/3 2.（25-26九年级下·广东揭阳·阶段检测)己知二次函 y=aX2+bx+c(a>0)与一次函数 y=kx+m(k>0)的图象如图所示，则方程aX+b-kx+c-m=0的解为（） 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 AX=2或=号 B.X=2或x= CX=-2或x-月 D.X=-2或x=-1 2 3.(25-26九年级上·贵州遵义·期末)点A3,2在抛物线 y=ax-2P+cla≠0上，则关于x的一元二次方 程alx-32+c+3=5的解是（） A.X1=0,X2=2 B.X1=X2=3 C.x1=2,X2=4 D.X1=1,X2=5 4.(25-26九年级上云南昆明·期末)如图，抛物线y=ax和直线y=k+b(a,k,b均为常数，且ak≠0 )的两个交点分别为A-1.3,1和B13,3.3:则关于x的一元二次方程aX-kx-b=0的解为（） 3.3 B -1.30 3 A.X1=1,X2=3.3 B.X1=1,x2=3 C.X1=-1.3,X2=3.3 D.x1=-1.3,X2=3 5.(25-26九年级上浙江宁波阶段检测)二次函数y=aX+bxa<0的图象过(5,0并与二次函数 y=ax+1P+blx+1的图象交于点Am,n若关于x的方程为aX2+bx=m则该方程的解为() A.X1=1,X2=4 B.x1=1.5,x2=3.5 C.X1=2,X2=3 D.X1=2,X2=4 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 B 能力提升题 题型一：二次函数与一元二次方程综合 1.（25-26九年级上·甘肃甘南·期末)已知二次函 y=aX+bx+ca≠0的图象如图所示，则以下结论错 误的是（) V A.abc>0 B.2a+b=0 c.3a+c<0 0.方程aX2+bx+C=0a≠0的正根在2到3之间 2.(25-26九年级上，山东烟台阶段检测)抛物线y,=QX+bx+c的部分图象如图，对称轴为直线x=-1' 直线y2=Kx+C与抛物线都经过点-3,0.下列说法：①ab>0:②4a+c>0;③关于x的一元二次方程 aX+bx+c=0的两根为x,=-3'X,=1④当x=1时，二次函数y=aX+b-kx有最大值.其中正确的 有 3-0 3.(2026湖北武汉一模)抛物线y=ax2+bx+c的开口向下，图象与x轴交于-1,0和m,0,且 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2≤m≤3：下列结论：①bc>0:②-2a≤c≤-3a:③若m=3'At,y八Bt+2,y,是抛物线上两点， 则当t<0时，y1<y2:④关于x的一元二次方程ax+bx+c=-5a有实数根；⑤关于x的不等式 ax2+bx>cx的解集为-1<x<0.其中正确的结论是 (填写序号)· 4。(2023山东泰安模拟预测)如图，在二次函数y=0X+x+c(a≠0)的图像中，顶点的纵坐标为1. 下列结论：①b>4ac②abc<030+b+<0@b'=4ac-1j⑥关于x的一元二次方程aX+bx+c=3无 2a-b 实数根.其中，正确结论的序号是 5.（2026辽宁沈阳一模)二次函数y=ax2+bx+c的部分图象如图所示，其对称轴为：x=-2,图象与 x轴的一个交点为1,0.将下列正确的结论填在横线上 (填序号) ①3b+c>0:@号=子：®方程0+bx+c+4=0有两个不相等的实数解，③当0m+bma+b时，m 的取值范围为m<-5或m>1. 6.(25-26九年级下.湖北武汉阶段检测)二次函数y=ax+bx+c(a,b,c是常数，a≠0)的自变量x 与函数值y的部分对应值如表：且当X=-一时，与其对应的函数值y>0,有下列结论： X y=ax+bx+ … D2 -2 2 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ①函数图象的顶点在第四象限内：②-2和3是关于x的方程。X+bx+C=t的两个根：③若点(-8，y,点 8,在二次函数图象上，则>：@0<m+n<2号：同方程laX+bx+c上k有四个不相等的实数根， 则0<k≤8 其中，正确的结论是 题型二：二次函数与一元二次方程实际应用 1.(2026甘肃平凉二模)如图1，玛曲黄河大桥位于甘肃玛曲县城南，北连玛曲县城，南通阿万仓乡， 是甘肃省黄河上游的第一座桥梁，因此有“黄河第一桥”之称.如图2是它的部分示意图，可近似地用抛 物线的一部分表示，若当水面宽度AB为10m时，水面到拱项的高度CO为4m,当水位在此基础上继续上 涨1m时，水面的宽度为 m(结果保留根号). 0 图1 图2 2.(2026辽宁营口.二模)如图是一座截面为抛物线形的拱形桥，当拱顶离水面2米高时，水面宽度1为4 米，则当水面下降2米时，水面的宽度为 米 3.(2026山东临沂一模)如图，一名男生推铅球，铅球行进高度y(单位：m)与水平距离x(单位：m )之间的关系武为：y方女+号x+导 3 有下列结论： ①该男生推铅球出手时，铅球的高度为1.6m; ②铅球飞行至水平距离4m时，达到最大高度，最大高度为3m: 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ③铅球落地时的水平距离为10m 其中，正确结论的序号是 Ay/m 0 x/m 4.(25-26九年级下·江苏徐州·期中)如图，小亮同学掷铅球时，铅球沿抛物线y=-0.1x+0.6x+c运行， 其中x是铅球离初始位置的水平距离，y是铅球离地面的高度.若铅球抛出时离地面的高度OA为1.6m, 则铅球掷出的水平距离OB为 m. 拓展培优题 1.(2026江西中考真题)如图，观察函数y=x+3x-3的图象，可以发现方程x+3x-3=0在0,1之 间有根.取0,1的平均数0.5，当x=0.5时，y<0,进一步可知这个根在0.5和1之间，则与方程 X2+3x-3=0另-根更接近的是() A.-4.5 B.-4 c.-3.5 D.-3 2.(2026湖北三模)抛物线y=ax+bx+c过点1,0，对称轴是直线X=-1,且顶点在第二象限.下列 结论正确的是（) 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A.a>0 B.b2-4ac=0 C.2a+b=0 D.a+b+c>4a+2b+c 3.(25-26九年级下.湖南长沙期中)我们规定：[a,b,c]为二次函数y=ax+bx+c(a≠0，a,b,C为 实数)的“概念数”，如：y=-x2+x+4的“概念数”为[-1,1,4]，若“概念数”是 [m,2m+4,2m+4],且开口向上的二次函数图象与x轴只有一个交点，则m的值为() A.-2 D.2 4.(2026陕西渭南模拟预测)已知抛物线C:y=-x2+2mx-m(m为常数，且m≠0)与x轴只有一个 交点，将抛物线C向左平移2m个单位，再向下平移1个单位得到抛物线L,则抛物线L的顶点在() A.第四象限 B.第三象限 C.第二象限 D.第一象限 5.(2026陕西西安·三模)已知二次函数y=ax+bx+3的图象不经过第四象限，则下列结论一定正确的 是() A.ab<0 B.该函数的顶点位于第三象限 C.当x<0时，y随x的增大而减小 D.方程ax+bx+3=4有两个不相等的实数根 6.（25-26九年级上·辽宁盘锦期中)二次函数， 数y=k-1x+4x-1与x轴有两个交点，则k的取值范围 是 7.(2024山东淄博三模)若抛物线y=x+ax+b与X轴两个交点间的距离为2，称此抛物线为定弦抛物 线，己知某定弦抛物线的对称轴为直线X=1,将此抛物线向左平移2个单位，再向下平移3个单位，得到的 抛物线顶点坐标 8.（2026湖南长沙二模)已知抛物线y=ax+bx+c的对称轴是直线X=-2,抛物线与x轴的一个交点 在点-4,0和点-3,0之间，其部分图像如上图所示，下列结论：①y的最大值为3；②a-b+c>0:③ 当x>-2时，y随x的增大而减小：④4a-b=0.其中正确的序号为 9.(25-26八年级下.全国课后作业)已知函数y=x2-mx+m-2. 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (1)求证：不论m为何实数，此二次函数的图象与X轴都有两个不同的交点： (2)若m=2,求函数与x轴的交点坐标 10.（2026江苏南京二模)已知二次函数y=alx-1x-3+a2‘a为常数，a≠0)，顶点坐标为。 m,n' (1)当n=0时，a=_: (2)当a<0时， ①求证：二次函数的图像与X轴总有两个公共点： ②若二次函数图像与X轴的交点都在y轴的右侧，则的取值范围为_ 11.(2026北京平谷.二模)在平面直角坐标系xOy中，已知关于x的二次函数y=-X+2-mX+2m的 对称轴为x=t. (1)当x≥1时y随x的增大而减小，当X≤1时y随x的增大而增大. ①求此二次函数的解析式； ②当X≠1时，函数值y1(填“>”，“<”、“≥”或“≤”)： ②点A-2t,yBt,yCt+1,y在该抛物线上，若抛物线与x轴的一个交点为x,y。其中 -1<x。<0,比较y1,y2,y3的大小，并说明理由.