1.4 二次函数与一元二次方程的关系（讲义）数学新教材浙教版九年级上册

本讲义聚焦二次函数与一元二次方程的关系核心知识点，从对应关系（y=0时抛物线与x轴交点横坐标为方程根）入手，通过判别式双向转化（Δ判断交点个数与根的情况）搭建桥梁，延伸至数形实操（图像估算根、求交点坐标及距离），最终拓展到不等式求解与综合应用，形成递进式学习支架。 该资料以课标要点与重难点为纲，分知识点（含随学随练）、题型（9类）、素养提升等模块设计。通过表格对比交点与根的关系培养几何直观，以参数综合题发展推理意识，借图像法解不等式强化模型观念。课中辅助教师系统教学，课后助力学生通过真题训练查漏补缺，提升知识应用能力。

第一章 二次函数 1.4 二次函数与一元二次方程的关系 课标要点 1. 理解对应关系：令y=0，抛物线与x轴交点横坐标是方程ax2+bx+c=0的实数根。 2. 判别式双向转化：通过Δ判断交点个数；由图像交点数量反推根的情况。 3. 数形实操：会画函数图像估算一元二次方程近似根；会求抛物线与x轴交点坐标、两点间距。 4. 拓展应用：结合图像求解简单一元二次不等式；结合韦达定理、对称性处理交点综合题。 5. 核心素养：建立函数与方程的转化思维，落实数形结合、几何直观。 学习重难点 重点： 1. 抛物线与x轴交点和一元二次方程根的一一对应关系。 2. Δ与交点个数、根的情况互推。 3. 求交点坐标、两交点水平距离公式。 4. 图像法估算方程近似根。 难点： 1. 深度理解 “函数值为 0” 的几何与代数双重含义。 2. 数形灵活转化，结合图像解一元二次不等式。 3. 参数综合题：由交点个数求参数取值范围。 4. 结合韦达定理、对称轴、距离公式的综合计算。 知识点1 二次函数与一元二次方程的关系 二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0），当y=0时，得到一元二次方程ax2＋bx＋c=0（a≠0）.一元二次方程的解就是二次函数的图象与 x 轴交点的横坐标. 因此，二次函数图象与x轴的交点情况决定一元二次方程根的情况. 与x轴交点个数 一元二次方程ax2+bx+c= 0的根 判别式Δ=b2-4ac 2个交点 有两个不相等的实数根 b2-4ac>0 1个交点 有一个不相等的实数根 b2-4ac=0 0个交点 没有实数根 b2-4ac<0 随学随练 1．（2026·黑龙江哈尔滨·模拟预测）抛物线与轴的交点为（     ） A． B． C． D． 2．（2026·内蒙古·中考真题）二次函数的图象与轴交于，两点，则线段的长是（    ） A．3 B．6 C．9 D．18 3．（2022·浙江杭州·二模）对于二次函数（），下列说法错误的是（     ） A．若，则 B．若，则一元二次方程有两个不相等的实数根 C．若，则二次函数的图象与坐标轴的交点个数是2或3 D．若，则一元二次方程有两个不相等的实数根 4．（25-26八年级下·重庆渝中·期末）二次函数的图象与坐标系横轴有交点，那么的取值范围是___________． 5．（21-22九年级上·山东临沂·阶段检测）已知抛物线与x轴的交点为，则代数式的值为__________． 6．（21-22九年级上·山东泰安·期中）抛物线的顶点坐标为，且与x轴交于两点，已知两点相距4个单位，该抛物线的表达式为________． 知识点2 二次函数与不等式的关系（重点） b2-4ac b2-4ac>0 b2-4ac=0 b2-4ac<0 图象 与x轴交点 2个交点 1个交点 0个交点 ax2＋bx＋c>0 的解集情况 x<x1或x>x2 x≠ 取任意实数 ax2＋bx＋c<0 的解集情况 x1<x<x2 无解 无解 随学随练 1．（2026·陕西西安·三模）已知点，在抛物线上，若，，则下列判断正确的是（     ） A． B． C． D． 2．（2026·河北邯郸·三模）已知抛物线与直线有唯一的交点，则的取值范围是（   ）． A． B． C．或 D．或 3．（25-26八年级下·重庆·期末）如图，二次函数的图象与直线有两个交点，交点横坐标分别为1、3，则关于的不等式的解集为___________． 4．（25-26八年级下·北京·期末）抛物线的部分图象如图所示，对称轴为直线，直线与抛物线都经过点．下列说法： ①； ②； ③关于x的一元二次方程的两根为，； ④不等式的解集是； ⑤当时，二次函数有最大值． 其中正确的有_____ （填写序号）． 5．（25-26八年级下·浙江宁波·期末）如图，二次函数的图象经过点，且与正比例函数的图象交于点和点． (1)求二次函数的解析式和另一交点的坐标； (2)根据函数图象，直接写出不等式的解集． 6．（25-26八年级下·福建福州·期末）二次函数的图象与轴交于点，且，． (1)求，的值． (2)当时，函数值都小于，求的取值范围． 拓展1 二次函数与平行于x轴直线交点问题 解题步骤 1. 联立抛物线与直线y=m，整理成一元二次标准方程 2. 计算判别式Δ，判断交点个数 3. 求交点横坐标：解方程ax2+bx+c-m=0，得到x1、x2 4. 写出交点坐标(x1,m)、(x2,m) 活学活用 1．（25-26九年级下·江苏徐州·期中）已知二次函数，为常数． (1)若该二次函数的图象与轴有交点，求的值； (2)若该二次函数的图象与直线有两个交点，求的取值范围； (3)求证：该二次函数的图象不经过原点． 2．（2026·浙江温州·一模）已知二次函数的图象与轴交于两点（在的左侧），且，图象顶点的横坐标为4． (1)求两点的坐标． (2)求方程的解． (3)若，将此二次函数在轴下方的图象沿轴翻折得到新的函数图象，若直线与新图象有4个交点，从左至右依次为，当时，求的值． 3．（25-26九年级上·河北石家庄·阶段检测）已知：抛物线与轴交于点、（其中点为定点），与轴交于点，记抛物线在轴及轴右侧的图像为，图像的最高点为点，另有直线，如图是取某值时的图像． (1)当___________时，抛物线过原点，此时___________； (2)若，且点在点的左侧，求点的坐标； (3)当点的纵坐标为16时，求的值； (4)当为何值时，图像上恰好存在两点到直线距离为，直接写出符合条件的取值范围． 4．（25-26九年级上·江西南昌·阶段检测）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线交x轴于A，B两点，交y轴于点C，点D在抛物线上且轴，A的坐标为，C的坐标为，． (1)求抛物线的解析式； (2)将抛物线沿直线翻折，得到抛物线，交y轴于点E，当为等腰直角三角形时，求m的值． 题型1 二次函数与x轴交点个数问题 【例1】（25-26九年级上·湖北孝感·期中）二次函数的图象与坐标轴交点的情况是（    ） A．没有交点 B．有一个交点 C．有两个交点 D．有三个交点 【对点练1-1】（25-26九年级上·安徽亳州·期中）关于二次函数的图像与轴交点个数的情况，下列说法正确的是（   ） A．没有交点 B．有一个交点 C．有两个交点 D．有三个交点 【对点练1-2】（24-25九年级上·吉林长春·阶段检测）二次函数与坐标轴的交点个数是（    ） A．有三个交点 B．有两个交点 C．有一个交点 D．没有交点 【对点练1-3】（25-26九年级上·安徽合肥·阶段检测）关于二次函数的图象与轴交点个数的情况，下列说法正确的是（   ） A．有三个交点 B．有两个交点 C．有一个交点 D．没有交点 【对点练1-4】（23-24九年级上·福建厦门·期末）已知为实数，抛物线与轴的交点情况是（   ） A．没有交点 B．只有一个交点 C．有两个不同的交点 D．无法判断有没有交点 【对点练1-5】（2026·陕西西安·模拟预测）已知二次函数与y轴交于点C，过点C作直线l平行于x轴，将抛物线位于直线l下方的部分翻折至直线l上方，则变换后的图象与x轴的交点个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 题型2 二次函数的与x轴交点坐标 【例2】（23-24九年级上·江苏南京·期末）已知二次函数，则下列说法错误的是（    ） A．图象与轴的交点坐标是 B．图象的顶点坐标是 C．图象与轴的交点坐标是， D．当时，随增大而减小 【对点练2-1】（25-26九年级下·全国·单元复习）填空： （1）抛物线与y轴的交点坐标是________，与x轴的交点坐标是________； （2）抛物线与y轴的交点坐标是________，与x轴的交点坐标是________． 【对点练2-2】（25-26九年级上·河南周口·期末）已知二次函数 (1)求该函数图象的顶点坐标及与坐标轴的交点坐标； (2)请画出该函数的大致图象． 【对点练2-3】（25-26九年级上·湖北武汉·阶段检测）如图，抛物线交x轴于A、B两点，交y轴于点C． (1)A点坐标为 ，B点坐标为 ； (2)抛物线的顶点坐标是 ； (3)当时，则y的取值范围 ； 题型3 根据二次函数图像确定二次方程根的情况 【例3】（22-23九年级下·浙江温州·开学考试）二次函数的部分图象如图所示，则方程根是（　　） A． B． C． D． 【对点练3-1】（26-27九年级·上海·暑假作业）二次函数的部分图象如图所示，对称轴为直线，则下列结论中不正确的是（     ） A． B．为任意实数） C． D．关于的方程有四个根 【对点练3-2】（2026·陕西宝鸡·模拟预测）已知二次函数 （ ）的自变量 与函数 的几组对应值如下表： 则下列关于该二次函数的说法正确的是（     ） A．图象开口向上 B．当 时， 的取值范围为 C．一元二次方程 有两个相等的实数根 D．图象的对称轴是直线 【对点练3-3】（2026·山东青岛·三模）二次函数的图象的一部分如图所示，已知图象经过点，其对称轴为直线．下列结论，其中正确的有（     ） ①；②；③；④；⑤点、是抛物线上的两点，若，则；⑥若抛物线经过点，则关于的一元二次方程的两根分别为，．    A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【对点练3-4】（2026·黑龙江齐齐哈尔·三模）已知二次函数图象的对称轴为直线，部分图象如图所示，下列结论：①；②；③；④若为任意实数，则有；⑤当图象经过点时，方程的两根为，，，其中正确的有（     ）    A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【对点练3-5】（25-26八年级下·北京·期末）对于平面直角坐标系中的函数图象M和多边形P，若多边形P的每条边均与图象M有公共点，则称图象M和多边形P是交错的；若多边形P的每条边均与图象M有两个公共点，则称图象M和多边形P是双重交错的，设，，，． (1)设一次函数的图象为图象M，下面的多边形中，M和______是交错的（填所有满足要求的多边形的序号）； ①，②，③，④四边形； (2)设二次函数的图象为图象M． ①若，，将M向右平移个单位长度得到图象，若图象和是双重交错的，则d的取值范围是______； ②若存在实数c使得图象M和是双重交错的，直接写出a的取值范围． 题型4 二次函数图像与x轴截线长度 【例4】（2026·四川绵阳·二模）若抛物线与直线有两交点A，B，且，则的值是（   ） A． B． C． D． 【对点练4-1】（25-26九年级上·新疆喀什·期中）二次函数的图象与x轴交于A，B两点，则线段的长度为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【对点练4-2】（25-26九年级下·河南周口·阶段检测）若抛物线 与轴两交点距离为，对称轴为，则抛物线解析式为_____________． 【对点练4-3】（25-26九年级上·浙江台州·阶段检测）如图，二次函数的图象与x轴交于A，B两点，与y轴正半轴交于点C，若，则点C的坐标是________ ． 【对点练4-4】（25-26九年级上·天津·阶段检测）如图，抛物线与x轴交点间的距离为________________． 题型5 二次函数与一次函数交点问题 【例5】（2026·安徽阜阳·二模）抛物线与y轴交于点A，点在该抛物线上，且，直线（）经过A，B两点． (1)直接写出：该抛物线的顶点纵坐标是______；并求的最大值； (2)若，求证：；并用含a的式子表示； (3)若，，，两点，都在该抛物线上，直线与直线（）交于点，且，求的最大值． 【对点练5-1】（2026·广东潮州·一模）如图，直线交轴于点，交轴于点，抛物线过，两点，与轴相交于另一点，求点的坐标． 【对点练5-2】（24-25九年级上·浙江温州·期中）如图，二次函数的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，其中． (1)求二次函数的表达式，并求出点B的坐标． (2)连接，现将抛物线图象向下平移m个单位，使得顶点落在线段上，请求出m的值． 【对点练5-3】（25-26九年级下·全国·单元测试）在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，点的坐标为，点在抛物线上． (1)求抛物线的函数解析式； (2)求的面积． 【对点练5-4】（25-26九年级上·江苏南京·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别交于A，B两点．抛物线经过点A且交线段于点C． (1)求k的值； (2)点C的坐标为________； (3)当时，的取值范围为________；当时，x的取值范围为________． 【对点练5-5】（25-26九年级上·云南丽江·阶段检测）如图，抛物线与x轴交于点A，与y轴交于点B，直线的解析式为． (1)______，______； (2)当时，x的取值范围是______； (3)当时，的取值范围是______； (4)直线l（不与直线重合）：在直线上方且平行于直线，若直线l与抛物线有两个交点，d的取值范围是______． 题型6 图像法确定二次方程的近似根 【例6】（2026·河南周口·模拟预测）下列表格中是二次函数的自变量与函数的一些对应值，可以判断一元二次方程的一个近似根是（   ） A． B． C． D． 【对点练6-1】（25-26九年级下·广东深圳·开学考试）根据下列表格的对应值，判断方程（为常数）一个解的范围是（    ） 3.23 3.24 3.25 3.26      -0.06 -0.02 0.03 0.09 A．3 B．3 C．3 D．3 【对点练6-2】（2026·河南三门峡·二模）数学探究课上，“善思”学习小组利用函数图象求方程的实数根时，先画出函数的图象如图所示，该图象与x轴的公共点A的横坐标大约是0.7，由此可以估计方程的负的实数根可能是___________（结果保留小数点后一位）． 【对点练6-3】（25-26九年级上·北京·阶段检测）在关于x的二次函数中，自变量x可以取任意实数，下表是自变量x与函数y的几组对应值： x … 1 2 3 4 5 6 7 8 … … … 根据以上信息，关于x的一元二次方程的两个实数根中，其中的一个实数根约等于______（结果保留小数点后一位小数）． 【对点练6-4】（25-26九年级上·山西吕梁·期末）小亮利用函数图象求方程的实数根时，先画出函数的图象如图所示，该图象与轴的公共点的横坐标大约是0.7，由此可以估计方程的实数根为________（结果保留小数点后一位）． 【对点练6-5】（25-26九年级下·全国·课后作业）画出函数的图象，利用图象求方程的根．（精确到0.1） 在坐标系中描出点，再用平滑的曲线连接它们， 如图，二次函数的图象为所求； 题型7 图像法解不等式 【例7】（24-25九年级上·湖南长沙·期末）如图，抛物线与直线的两个交点坐标分别为，．则不等式的解是 ________． 【对点练7-1】（25-26九年级下·江苏扬州·开学考试）如图，抛物线与直线交于，两点，则不等式的解集是___________ ． 【对点练7-2】（25-26九年级上·湖南衡阳·期末）如图是二次函数的图象，使成立的的取值范围是_____． 【对点练7-3】（2026·江苏泰州·一模）已知抛物线：． (1)当时，判断点是否在该抛物线上； (2)抛物线的顶点随着m的变化而移动，当该抛物线顶点的纵坐标取得最大值时，求此时抛物线的顶点坐标； (3)若一次函数，对于任意实数x，都有，求m的值． 【对点练7-4】（25-26九年级上·江苏南京·阶段检测）已知代数式，，． (1)比较与的大小； (2)当时，x的取值范围为_______． 题型8 利用不等式求自变量或函数数值范围 【例8】（2026·福建南平·二模）二次函数（m是常数且）图象经过点，一次函数的图象经过点，当时，下列结论不一定正确的是（     ） A．当时， B．当时， C．当时， D．当时， 【对点练8-1】（2026·福建泉州·模拟预测）已知点和在抛物线上，若对于，，都有，则的取值范围为（     ） A． B． C． D． 【对点练8-2】（2026·陕西榆林·三模）已知点，都在二次函数（m为常数，且）的图象上，若当时，始终满足，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【对点练8-3】（2026·福建福州·三模）已知抛物线经过点，，若，则的取值范围为________． 【对点练8-4】（2026·湖北武汉·一模）抛物线的开口向下，图象与轴交于和，且，下列结论：①；②；③若，、是抛物线上两点，则当时，；④关于的一元二次方程有实数根；⑤关于的不等式的解集为．其中正确的结论是__________（填写序号）． 【对点练8-5】（2026·浙江杭州·一模）已知二次函数（a，c是常数，）． (1)求该函数图象的对称轴． (2)当时，y的最大值和最小值的差为4，求a的值． (3)已知点，都在二次函数的图象上，若，求m的取值范围． 题型9 根据交点确定不等式解集 【例9】（2026·内蒙古通辽·二模）一次函数与二次函数的图象如图所示，则不等式的解集为（     ） A． B． C． D．或 【对点练9-1】（2026·黑龙江齐齐哈尔·三模）已知抛物线与轴交于点，，其中．下列结论：①；②；③函数的最小值大于；④不等式的解集为．其中正确结论的个数有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【对点练9-2】（2026·浙江·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，，两点的坐标分别为，．若二次函数的图象与线段有交点，则该抛物线与轴交点的纵坐标的取值范围是（     ）． A． B． C． D． 【对点练9-3】（2026·广东广州·二模）已知二次函数的图象如图所示，图象与轴交点的横坐标从左到右依次为，，如果时，＜，则当时，函数值（    ） A． B． C． D． 【对点练9-4】（2026·湖北恩施·二模）如图，抛物线与直线交于B，C两点，与轴交于点，已知点C的坐标为，点B的横坐标为3，轴．下列结论错误的是（     ） A． B． C． D．当时， 【对点练9-5】（2026·湖北武汉·模拟预测）抛物线（a，b，c是常数，）经过，两点，且．下列五个结论： ①； ②； ③若抛物线经过点，则； ④关于x的不等式的解集为； ⑤点，在抛物线上，若，，总有，则． 其中正确的结论是__________（填写序号）． 基础通关 1．（2026·陕西西安·模拟预测）关于抛物线，下列说法错误的是（     ） A．该抛物线一定经过点 B．该抛物线顶点纵坐标的最小值为1 C．若点、在该抛物线上，则m的值为3 D．当时，该抛物线与x轴的两个交点之间的距离为4 2．（2026·广东肇庆·二模）已知二次函数，下列说法错误的是（     ） A．顶点坐标为 B．对称轴为直线 C．函数图像与x轴有2个交点 D．当时，y随x的增大而减小 3．（2026·黑龙江佳木斯·二模）二次函数的图象与x轴的交点个数为（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 4．（25-26九年级上·湖南常德·阶段检测）如表列出了二次函数的自变量x与函数y的几组对应值，则一元二次方程的其中一个解的取值范围是（   ） x … 0 1 ... y … 15 3 3 … A． B． C． D． 5．（25-26九年级上·广东珠海·期中）如图，二次函数（a，b，c为常数，）的图象交x轴于A，B两点，点A的坐标是，点B的坐标是，有下列结论：①；②；③关于x的方程的解是，；④，其中正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 6．（25-26九年级上·北京·期中）如图，抛物线的部分图象如图所示，若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D．或 7．（2025九年级·全国·专题练习）已知二次函数的图象如图所示，则方程的解是（    ） A． B． C．， D．， 8．（2026·黑龙江哈尔滨·一模）抛物线与轴的交点坐标为（   ） A． B． C． D． 9．（20-21九年级上·河南新乡·阶段检测）抛物线的部分图象如图所示，则关于x的方程的解是_________． 10．（25-26九年级上·江苏镇江·阶段检测）如图，二次函数与一次函数的图象交于，两点，则不等式的解集是_____． 11．（25-26九年级上·浙江金华·期中）下表是函数的部分自变量与对应的函数值： x y 根据此表，可以判断方程的一 个解x 可能的取值范围是________． 12．（25-26九年级上·河南周口·期中）已知二次函数． (1)求该函数图象与x轴、y轴的交点坐标； (2)画出该函数的大致图象． 素养提升 1．（2026·福建三明·三模）将抛物线 进行平移得抛物线 ，点在抛物线上，对应点在抛物线上，则点的横坐标可以是（     ）． A． B． C． D． 2．（2026·四川巴中·中考真题）关于二次函数，下列说法正确的个数是（     ） ①它的图象经过第一、二、三象限； ②当时，y随x的增大而增大； ③它的图象可由向右平移2个单位，再向下平移1个单位得到； ④直线（k为常数）与它的图象一定有两个交点． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．（25-26八年级下·北京·期末）已知二次函数图象上的部分点的坐标对应值列表如下： x … 1 3 … y … 4 … 则关于x的方程的解为：________． 4．（25-26八年级下·北京·期末）抛物线经过点，，，直线经过点B，C，则： (1)该抛物线的对称轴为直线______； (2)关于x的方程的解为______； (3)关于x的不等式的解为______； (4)若关于x的方程在的范围内有两个不相等实数根，则k的取值范围是______． 5．（25-26八年级下·浙江金华·期中）如图，已知抛物线经过 两点，顶点为． (1)分别求抛物线和直线的解析式； (2)请根据图象直接写出：时的取值范围； 迁移创新 1．（2026·山西朔州·三模）将二次函数的图象在轴下方的部分以轴为对称轴翻折到轴上方，得到如图所示的新函数图象，下列对新函数的描述正确的是（     ） A．图象与轴的交点坐标是 B．当时，函数取得最大值 C．图象与轴两个交点之间的距离为4 D．当时，的值随值的增大而增大 2．（2026·湖南邵阳·三模）我们定义：点是函数图象上的点，且满足，则称点P为该函数的“玄点”．下列说法中：①函数的“玄点”是；②函数的“玄点”与原点的距离是；③反比例函数与一次函数有公共的“玄点”，则；④二次函数恒有“玄点”，则t的最大整数值为3，正确的个数是（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 3．（2026·河北保定·三模）如图，在平面直角坐标系中，有一段抛物线，记为L，它与x轴交于点O，M．第1次：将L向右平移d（）个单位长度，得到，与x轴交于点，；第2次：将向右平移d个单位长度，得到，与x轴交于点，；……每次将前一段抛物线向右平移d个单位长度，直至第n次，得到，与x轴交于点，．已知，每个抛物线段只与相邻的抛物线段有公共点，则n的值是________． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 第一章 二次函数 1.4 二次函数与一元二次方程的关系 课标要点 1. 理解对应关系：令y=0，抛物线与x轴交点横坐标是方程ax2+bx+c=0的实数根。 2. 判别式双向转化：通过Δ判断交点个数；由图像交点数量反推根的情况。 3. 数形实操：会画函数图像估算一元二次方程近似根；会求抛物线与x轴交点坐标、两点间距。 4. 拓展应用：结合图像求解简单一元二次不等式；结合韦达定理、对称性处理交点综合题。 5. 核心素养：建立函数与方程的转化思维，落实数形结合、几何直观。 学习重难点 重点： 1. 抛物线与x轴交点和一元二次方程根的一一对应关系。 2. Δ与交点个数、根的情况互推。 3. 求交点坐标、两交点水平距离公式。 4. 图像法估算方程近似根。 难点： 1. 深度理解 “函数值为 0” 的几何与代数双重含义。 2. 数形灵活转化，结合图像解一元二次不等式。 3. 参数综合题：由交点个数求参数取值范围。 4. 结合韦达定理、对称轴、距离公式的综合计算。 知识点1 二次函数与一元二次方程的关系 二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0），当y=0时，得到一元二次方程ax2＋bx＋c=0（a≠0）.一元二次方程的解就是二次函数的图象与 x 轴交点的横坐标. 因此，二次函数图象与x轴的交点情况决定一元二次方程根的情况. 与x轴交点个数 一元二次方程ax2+bx+c= 0的根 判别式Δ=b2-4ac 2个交点 有两个不相等的实数根 b2-4ac>0 1个交点 有一个不相等的实数根 b2-4ac=0 0个交点 没有实数根 b2-4ac<0 随学随练 1．（2026·黑龙江哈尔滨·模拟预测）抛物线与轴的交点为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】抛物线与y轴交点的横坐标为0，令代入抛物线解析式求出y的值，即可得到交点坐标． 【详解】解：∵y轴上所有点的横坐标都为0， ∴令，代入抛物线解析式， 得， ∴抛物线与y轴的交点坐标为． 2．（2026·内蒙古·中考真题）二次函数的图象与轴交于，两点，则线段的长是（    ） A．3 B．6 C．9 D．18 【答案】B 【分析】本题先利用轴上点的纵坐标为的性质，求出二次函数与轴的两个交点坐标，再计算两点间的距离即可得到结果． 【详解】解：二次函数图象与轴交点的纵坐标为 令，得方程 解得， ，两点的坐标为和 线段的长为 3．（2022·浙江杭州·二模）对于二次函数（），下列说法错误的是（     ） A．若，则 B．若，则一元二次方程有两个不相等的实数根 C．若，则二次函数的图象与坐标轴的交点个数是2或3 D．若，则一元二次方程有两个不相等的实数根 【答案】D 【分析】根据根的判别式和二次函数图象性质逐个判断选项，即可找出错误说法 【详解】解：对选项A，∵ ，即当时，， ∴ 二次函数图象与轴有交点，故，A正确； 对选项B，∵， ∴ 判别式 ， ∵ ， ∴，即， ∴ 一元二次方程有两个不相等的实数根，B正确； 对选项C，∵ ， ∴ 二次函数图象与轴有2个不同交点， 若，则图象过原点，与坐标轴交点共2个； 若，图象与轴交于非原点，与坐标轴交点共3个，故交点个数是2或3，C正确； 对选项D，举反例：取，满足， 此时一元二次方程为，即，无实数根，因此D错误 4．（25-26八年级下·重庆渝中·期末）二次函数的图象与坐标系横轴有交点，那么的取值范围是___________． 【答案】且 【分析】先根据二次函数的定义确定二次项系数不为0，再由二次函数图象与横轴有交点，可知对应一元二次方程有实数根，利用根的判别式大于等于0列不等式求解，即可得到的取值范围． 【详解】解： 是二次函数， ． 二次函数的图象与坐标系横轴有交点， 一元二次方程 有实数根， 根的判别式 ． 将 代入得， ， 解不等式得 ． 综上， 的取值范围是 且． 5．（21-22九年级上·山东临沂·阶段检测）已知抛物线与x轴的交点为，则代数式的值为__________． 【答案】 【分析】根据抛物线上点的坐标满足抛物线解析式，将交点代入解析式，得到的值，利用整体代入法求代数式的值． 【详解】解：把代入抛物线解析式， 得 ， 整理得． ． 6．（21-22九年级上·山东泰安·期中）抛物线的顶点坐标为，且与x轴交于两点，已知两点相距4个单位，该抛物线的表达式为________． 【答案】 【分析】先设抛物线的顶点式，再求出交点坐标，代入顶点式求出二次项系数，即可得到抛物线表达式． 【详解】解：抛物线的顶点坐标为， 设抛物线的表达式为， 抛物线的对称轴为直线， 抛物线与轴的两个交点相距个单位，且两点关于对称轴对称， 两个交点的横坐标为，，即交点为和， 将代入，可得，解得， 抛物线的表达式为． 知识点2 二次函数与不等式的关系（重点） b2-4ac b2-4ac>0 b2-4ac=0 b2-4ac<0 图象 与x轴交点 2个交点 1个交点 0个交点 ax2＋bx＋c>0 的解集情况 x<x1或x>x2 x≠ 取任意实数 ax2＋bx＋c<0 的解集情况 x1<x<x2 无解 无解 随学随练 1．（2026·陕西西安·三模）已知点，在抛物线上，若，，则下列判断正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求出抛物线对称轴，根据开口向上抛物线的性质，点离对称轴越远函数值越大，比较和的大小，再结合和的范围，判断、与的大小关系 【详解】解：∵抛物线中，开口向上 ∴对称轴为 ∵， ∴，即对称轴在区间内 ∵，点横坐标， ∴，在对称轴右侧 开口向上的抛物线上，点离对称轴越远，函数值越大 计算点到对称轴的距离：，由 点到对称轴的距离： ∴离对称轴更远，得 比较、和的大小： 整理得 对于：， ，得 对于：， ，得 综上可得 2．（2026·河北邯郸·三模）已知抛物线与直线有唯一的交点，则的取值范围是（   ）． A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】联立抛物线与直线解析式，整理得到一元二次方程；分两种情况讨论：方程在区间内有两个相等实数根（判别式），此时抛物线与直线相切，仅有一个交点；方程在区间内有两个不相等实数根，但只有一根落在区间内，利用函数端点值符号判断临界范围． 【详解】解：①当抛物线与直线有唯一交点时，方程有且只有一个实数根． 可转化为，当时，， 如图所示． ②方程可转化为． 由题意，可知在的取值范围内，抛物线与直线有唯一的交点． 当直线过点时，；当直线过点时，， 如图所示． 由图象，可知符合条件的的取值范围为． 综上所述，的取值范围为或． 3．（25-26八年级下·重庆·期末）如图，二次函数的图象与直线有两个交点，交点横坐标分别为1、3，则关于的不等式的解集为___________． 【答案】 【分析】将不等式变形为，即求二次函数图象在一次函数图象上方（包括交点）时自变量的取值范围． 【详解】解：关于的不等式可变形为， 该不等式的解集即为二次函数的图象在一次函数的图象上方（包括交点）时自变量的取值范围， 由图象可知，二次函数与一次函数交点的横坐标分别为，， 当时，二次函数的图象在一次函数的图象上方， 关于的不等式的解集为． 4．（25-26八年级下·北京·期末）抛物线的部分图象如图所示，对称轴为直线，直线与抛物线都经过点．下列说法： ①； ②； ③关于x的一元二次方程的两根为，； ④不等式的解集是； ⑤当时，二次函数有最大值． 其中正确的有_____ （填写序号）． 【答案】①③④ 【分析】根据开口方向和对称轴可得的符号，即可判断①；根据抛物线经过点，可得，即得到，即可判断②；由对称性可得抛物线与轴的另一个交点为，即可判断③；由抛物线与直线交点的横坐标分别为和，当时，抛物线位于直线的上方，即可判断④；由直线经过点，可得，得到，即可判断⑤，进而可得答案． 【详解】解：∵抛物线的开口向下， ∴， ∵对称轴为直线， ∴， ∴， ∴，故①正确； ∵抛物线经过点， ∴， ∴， ∴，故②错误； ∵抛物线的对称轴为直线，与轴的一个交点为， ∴抛物线与轴的另一个交点为， ∴关于的一元二次方程的两根为，，故③正确； 由图象可知，抛物线与直线交点的横坐标分别为和，当时，抛物线位于直线的上方，即， ∴不等式的解集是，故④正确； ∵直线经过点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴当时，有最大值，故⑤错误， 综上，正确的有①③④． 5．（25-26八年级下·浙江宁波·期末）如图，二次函数的图象经过点，且与正比例函数的图象交于点和点． (1)求二次函数的解析式和另一交点的坐标； (2)根据函数图象，直接写出不等式的解集． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）将点，点代入求出二次函数解析式，将点代入求出一次函数解析式，将两个解析式联立即可求出点的坐标； （2）由（1）可得，在图象上为二次函数图象在正比例函数图象下方的部分，据此即可求解． 【详解】（1）解：将点，点代入得： ， 解得：， ∴二次函数的解析式为， 将点代入得：， ∴正比例函数的解析式为， 令， 解得：或， 当时，；当时，； ∵为点的坐标， ∴的坐标为． （2）解：由（1）可得：， ∴，即， ∵，在图象上为二次函数图象在正比例函数图象下方的部分， ∴． 6．（25-26八年级下·福建福州·期末）二次函数的图象与轴交于点，且，． (1)求，的值． (2)当时，函数值都小于，求的取值范围． 【答案】(1)， (2) 或 【分析】（1）根据题意，得，，，结合，得，解方程，解答即可． （2）当时，得，利用数形结合思想，结合函数的增减性求解即可． 【详解】（1）解：根据题意，得二次函数的图象与轴交于点，且， ，，， ， ， ， ， 整理，得， 解得， 当时，，不满足要求，舍去； 当时，，满足要求； 故，． （2）解：，， 故二次函数的解析式为，且抛物线开口向下，对称轴为直线， 当时，得， 解得， 如图所示，此时， 时，函数值都小于，且对称轴左侧，y随x减小而减小， ， 解得； 时，函数值都小于，且对称轴右侧，y随x增大而减小， ， 解得； 综上所述，符合要求的的取值范围是或． 拓展1 二次函数与平行于x轴直线交点问题 解题步骤 1. 联立抛物线与直线y=m，整理成一元二次标准方程 2. 计算判别式Δ，判断交点个数 3. 求交点横坐标：解方程ax2+bx+c-m=0，得到x1、x2 4. 写出交点坐标(x1,m)、(x2,m) 活学活用 1．（25-26九年级下·江苏徐州·期中）已知二次函数，为常数． (1)若该二次函数的图象与轴有交点，求的值； (2)若该二次函数的图象与直线有两个交点，求的取值范围； (3)求证：该二次函数的图象不经过原点． 【答案】(1)； (2)； (3)见解析 【分析】（1）根据根的判别式进行求解即可； （2）由题意得到函数的最小值小于，函数的最小值为，即，即可得到答案； （3）当时，，二次函数的图象恒在轴上方，故不经过原点． 【详解】（1）解：二次函数的图象与轴有交点， ， ， 又， ， 解得； （2）解：二次函数中，， 二次函数的图象开口向上， 二次函数的图象与直线有两个交点， 函数的最小值小于， 函数的最小值为， 即， 解得； （3）解：证明：当时，， 二次函数的图象不经过原点． 2．（2026·浙江温州·一模）已知二次函数的图象与轴交于两点（在的左侧），且，图象顶点的横坐标为4． (1)求两点的坐标． (2)求方程的解． (3)若，将此二次函数在轴下方的图象沿轴翻折得到新的函数图象，若直线与新图象有4个交点，从左至右依次为，当时，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查二次函数的对称性； （1）先确定二次函数对称轴为直线，且两点关于对称，再根据，得到两点到的距离为，即可得到； （2）由利用交点式得到，即，代入方程求解即可； （3）先求出抛物线解析式为，翻折后，再画出图形，设，则，分别代入对应解析式，结合 ，得到，即可求解． 【详解】（1）解：∵二次函数的图象与轴交于两点，图象顶点的横坐标为4． ∴二次函数对称轴为直线，且两点关于对称， ∵，在的左侧， ∴两点到的距离为， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴方程化简为：， ∴， 解得：； （3）解： ， 翻折后， 如图，直线与新图象有4个交点，从左至右依次为， ，对称轴为直线， 设，则， 分别代入对应解析式，得：， ， 即， 解得：， ． 3．（25-26九年级上·河北石家庄·阶段检测）已知：抛物线与轴交于点、（其中点为定点），与轴交于点，记抛物线在轴及轴右侧的图像为，图像的最高点为点，另有直线，如图是取某值时的图像． (1)当___________时，抛物线过原点，此时___________； (2)若，且点在点的左侧，求点的坐标； (3)当点的纵坐标为16时，求的值； (4)当为何值时，图像上恰好存在两点到直线距离为，直接写出符合条件的取值范围． 【答案】(1)0；3 (2) (3)的值为11或 (4)或或或 【分析】（1）将代入抛物线解析式即可求解；令求解的坐标，即可求解； （2）令求解的坐标，根据的长即可求解； （3）根据对称轴的位置分两种情况求解即可； （4）结合抛物线的图像分情况讨论点到线的距离求解即可． 【详解】（1）解：将代入， ， 解得， 令， 解得或， ，， ； （2）解：令， 解得或， ，， ，且点在点的左侧， ， ， 令，则， ； （3）解：分两种情况： ①当对称轴时，点为抛物线的顶点； ， 点的纵坐标为：， 解得或（舍）； ②当对称轴时，，点为抛物线与轴的交点， 点的纵坐标为， 解得， 故的值为11或； （4）解：图像上恰好存在两点到直线距离为， 这些点的纵坐标满足，即或， 函数的顶点坐标为， 当顶点在轴及轴左侧时，， 图像的最高点为， 此时应满足，解得， ； 当顶点在轴右侧时，， 图像的最高点为， 当时，即或， 时，如图所示： 图像上恰好存在两点到直线距离为， 时，如图所示， 图像上恰好存在三点到直线距离为， 此时应满足，解得， ； 当， 解得或， 当时，即， 此时应满足，解得或， 或； 当时，即或， 此时应满足，解得， ； 综上，的取值范围为：或或或． 【点睛】本题主要涉及抛物线方程与坐标轴的交点、顶点坐标公式以及点到线的距离，通过代入特定点可求解方程分析抛物线的性质，解决本题要注意分类讨论思想、数形结合思想的应用． 4．（25-26九年级上·江西南昌·阶段检测）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线交x轴于A，B两点，交y轴于点C，点D在抛物线上且轴，A的坐标为，C的坐标为，． (1)求抛物线的解析式； (2)将抛物线沿直线翻折，得到抛物线，交y轴于点E，当为等腰直角三角形时，求m的值． 【答案】(1) (2)2或4 【分析】本题考查了待定系数法求抛物线的解析式求解、坐标与图形的翻折变换、等腰直角三角形的性质，结合翻折的对称性得到点的坐标，根据垂直关系和等腰直角三角形的边的关系建立方程求解是解题关键． （1）先由的坐标和的长度确定的坐标，再设交点式，代入点 坐标求出系数a，得到解析式； (2)先由轴 求出的坐标，再根据翻折的对称性得到的坐标，结合的垂直关系，利用等腰直角三角形直角边相等的性质列方程，求解得到的值． 【详解】（1）解： ,且在轴上， ∴的坐标为， 设抛物线的解析式为交点式：， 将代入解析式得， 解得， ∴抛物线的解析式为：， （2）解：∵轴，， ∴的纵坐标为3， 将代入的解析式： ， 解得或， ∴, 中，轴，， ; ， 是等腰直角三角形，且， ∴， ∴， 分两种情况解方程： 由，得； 由，得． 综上所述，的值为2或4． 题型1 二次函数与x轴交点个数问题 【例1】（25-26九年级上·湖北孝感·期中）二次函数的图象与坐标轴交点的情况是（    ） A．没有交点 B．有一个交点 C．有两个交点 D．有三个交点 【答案】C 【分析】本题考查二次函数与坐标轴的交点，分别求出抛物线与坐标轴的交点坐标即可得出结论． 【详解】解：当时，， 解得， 故图象与轴的交点为； 当时，， 故图象与轴的交点为， ∴图象与坐标轴的交点为和，共两个交点， 故选：C． 【对点练1-1】（25-26九年级上·安徽亳州·期中）关于二次函数的图像与轴交点个数的情况，下列说法正确的是（   ） A．没有交点 B．有一个交点 C．有两个交点 D．有三个交点 【答案】C 【分析】此题考查了二次函数和轴交点问题， 通过计算二次函数对应方程的判别式，判断图像与x轴的交点个数． 【详解】解：∵二次函数 ∴判别式． ∴方程有两个不相等的实数根， ∴二次函数图像与x轴有两个交点． 故选：C． 【对点练1-2】（24-25九年级上·吉林长春·阶段检测）二次函数与坐标轴的交点个数是（    ） A．有三个交点 B．有两个交点 C．有一个交点 D．没有交点 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数与坐标轴的交点问题，分别令，求出的值，令，求出的值，即可作答． 【详解】解：∵二次函数， ∴令时，则， ∴二次函数经过， ∴令时，则， ∴， 解得 ∴二次函数经过， 则二次函数与坐标轴的交点个数是有两个交点， 故选：B． 【对点练1-3】（25-26九年级上·安徽合肥·阶段检测）关于二次函数的图象与轴交点个数的情况，下列说法正确的是（   ） A．有三个交点 B．有两个交点 C．有一个交点 D．没有交点 【答案】B 【分析】本题考查二次函数图象与轴交点个数，熟记二次函数图象与轴交点坐标的求法是解决问题的关键． 由二次函数图象与轴交点坐标的求法，令，则，求解方程即可得到二次函数的图象与轴交点为和，即可得到答案． 【详解】解：令，则， 解得， 即二次函数的图象与轴交点为和， 二次函数的图象与轴交点个数的情况是有两个交点， 故选：B． 【对点练1-4】（23-24九年级上·福建厦门·期末）已知为实数，抛物线与轴的交点情况是（   ） A．没有交点 B．只有一个交点 C．有两个不同的交点 D．无法判断有没有交点 【答案】C 【分析】本题主要考查了抛物线与轴的交点，利用一元二次方程根的判别式判断即可． 【详解】解：对于抛物线， 当时，即， ∵ ∴抛物线与轴的交点情况是有两个不同的交点， 故选：C． 【对点练1-5】（2026·陕西西安·模拟预测）已知二次函数与y轴交于点C，过点C作直线l平行于x轴，将抛物线位于直线l下方的部分翻折至直线l上方，则变换后的图象与x轴的交点个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】先求出原抛物线的交点、顶点坐标，结合翻折的性质得到翻折后图形的最高点位置，再判断交点总个数． 【详解】解：∵ ，， ∴原抛物线与轴交于和两个点，两点纵坐标为，大于直线的纵坐标，都在直线上方，翻折不改变这两个点的位置． 令，得，因此，过平行于轴的直线为． 原抛物线对称轴为，代入得顶点坐标为． ∵ ， ∴，顶点在直线下方，需要翻折， 顶点关于直线的对称点坐标为，翻折后图形开口向下，最高点为． ∵， ∴，翻折后的所有点都在轴下方，与轴无交点． 综上，变换后的图象与轴共有2个交点． 题型2 二次函数的与x轴交点坐标 【例2】（23-24九年级上·江苏南京·期末）已知二次函数，则下列说法错误的是（    ） A．图象与轴的交点坐标是 B．图象的顶点坐标是 C．图象与轴的交点坐标是， D．当时，随增大而减小 【答案】B 【分析】本题考查二次函数的图象与性质，包括与坐标轴的交点、顶点坐标和单调性，通过直接计算可以判断各选项的正误，熟练掌握二次函数的性质是解此题的关键． 【详解】解：在中，当时，，即图象与轴的交点坐标是，故A正确； ∵， ∴图象的顶点坐标是，故B错误； 令，则，解得，， ∴图象与轴的交点坐标是，，故C正确； ∵抛物线的开口向上，对称轴为直线， ∴当时，随增大而减小，故D正确； 故选：B． 【对点练2-1】（25-26九年级下·全国·单元复习）填空： （1）抛物线与y轴的交点坐标是________，与x轴的交点坐标是________； （2）抛物线与y轴的交点坐标是________，与x轴的交点坐标是________． 【答案】 【分析】根据坐标轴上点的坐标特征，y轴上点的横坐标为0，x轴上点的纵坐标为0，将对应值代入抛物线解析式，计算得到对应坐标即可. 【详解】解：（1）对于抛物线， 令， ， 因此抛物线与轴交点坐标为； 令，得方程 ， 因式分解得， 解得，， 因此抛物线与轴交点坐标为 ； （2）对于抛物线 ， 令， ， 因此抛物线与轴交点坐标为； 令，得方程 ， 整理得， 因式分解得， 解得，， 因此抛物线与轴交点坐标为. 【对点练2-2】（25-26九年级上·河南周口·期末）已知二次函数 (1)求该函数图象的顶点坐标及与坐标轴的交点坐标； (2)请画出该函数的大致图象． 【答案】(1)顶点坐标为；与y轴交点坐标为；与x轴交点坐标为和 (2)见解析 【分析】本题考查二次函数的图象，熟练掌握二次函数的图象是解题的关键． （1）将函数解析式化为顶点式后即可得出顶点坐标，将、分别代入函数解析式，计算求解即可； （2）通过描点法画出函数图象即可． 【详解】（1）解：∵， ∴顶点坐标为， 令得，， 则与轴的交点坐标为， 令得，， 解得或， 则与轴的交点坐标为和； （2）解：由（1）知，该函数图象经过点、和，顶点坐标， 二次函数图象如下： 【对点练2-3】（25-26九年级上·湖北武汉·阶段检测）如图，抛物线交x轴于A、B两点，交y轴于点C． (1)A点坐标为 ，B点坐标为 ； (2)抛物线的顶点坐标是 ； (3)当时，则y的取值范围 ； 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】本题主要考查了求二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质，熟知二次函数的相关知识是解题的关键． （1）求出当时，x的值即可求出A、B的坐标； （2）把解析式化为顶点式即可求出顶点的坐标； （3）先根据解析式求出当时，函数有最大值，再分别求出和时的函数值即可得到答案； 【详解】（1）解：在中，当时，则， 解得或， ∴，； 故答案为：；； （2）解：∵抛物线解析式为， ∴抛物线的顶点坐标是； 故答案为：； （3）解：∵， ∴当时，函数有最大值， 当时，， 当时，， ∴当时，y的取值范围是， 故答案为：． 题型3 根据二次函数图像确定二次方程根的情况 【例3】（22-23九年级下·浙江温州·开学考试）二次函数的部分图象如图所示，则方程根是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用抛物线的对称性得到抛物线经过点，即或得到，所以一元二次方程的两个根为，，把方程看作关于的一元二次方程，则或，然后解一次方程得到方程的根． 【详解】解：抛物线的对称轴为直线，抛物线经过点， 抛物线经过点， 一元二次方程的两个根为，， 把方程看作关于的一元二次方程， 或， 解得， 方程的根是． 【对点练3-1】（26-27九年级·上海·暑假作业）二次函数的部分图象如图所示，对称轴为直线，则下列结论中不正确的是（     ） A． B．为任意实数） C． D．关于的方程有四个根 【答案】B 【分析】根据函数图象和二次函数的性质，可以判断各个小题中的结论是否成立，从而可以解答本题． 【详解】解：该函数的对称轴为， ， 当时，，故A正确，不符合题意； 由题意，当时，该函数取得最大值，故为任意实数）， 即为任意实数），故B错误，符合题意； 对称轴是直线， 当时的函数值与当时的函数值相等， 当时，， 当时，，故C正确，不符合题意； 的函数图象即为的轴下侧图象翻转到轴上方， 的根个数即为图象和直线的交点个数，根据图象可得为4个，故D正确，不符合题意． 【对点练3-2】（2026·陕西宝鸡·模拟预测）已知二次函数 （ ）的自变量 与函数 的几组对应值如下表： 则下列关于该二次函数的说法正确的是（     ） A．图象开口向上 B．当 时， 的取值范围为 C．一元二次方程 有两个相等的实数根 D．图象的对称轴是直线 【答案】C 【分析】利用待定系数法求出二次函数解析式，再结合二次函数的性质逐一判断各选项即可求解． 【详解】解：把，和 代入得， ， 解得， ∴二次函数解析式为， ∵， ∴图象开口向下，故选项错误； ∵图象开口向下， ∴抛物线上的点离对称轴的距离越近，函数值越大， ∵ ， ∴抛物线的对称轴为直线，故选项错误； ∴当时，可知时函数取最大值， 又由表格知，时， ∴当 时，的取值范围为，故选项错误； ∵二次函数顶点坐标为， ∴直线与二次函数图象只有一个交点，即一元二次方程有两个相等的实数根，故选项正确． 【对点练3-3】（2026·山东青岛·三模）二次函数的图象的一部分如图所示，已知图象经过点，其对称轴为直线．下列结论，其中正确的有（     ） ①；②；③；④；⑤点、是抛物线上的两点，若，则；⑥若抛物线经过点，则关于的一元二次方程的两根分别为，．    A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况推理，进而对所得结论进行判断． 【详解】解：①由图象可知：，，，则，故①符合题意； ②根据抛物线的对称性质知，该抛物线与x轴有两个交点，则，故②不符合题意； ③∵对称轴为直线， ∴ 当时，，即 ∴ 即，故③符合题意； ④由于图象经过，且对称轴为，则图象也经过， 当时， 即 ，故④不符合题意； ⑤点，是抛物线上的两点，若，则，故⑤不符合题意； ⑥由图象过由对称性可知：图象也过点 令 有两个解，分别是，，故⑥符合题意； 综上所述，①③⑥符合题意，共有3个． 【对点练3-4】（2026·黑龙江齐齐哈尔·三模）已知二次函数图象的对称轴为直线，部分图象如图所示，下列结论：①；②；③；④若为任意实数，则有；⑤当图象经过点时，方程的两根为，，，其中正确的有（     ）    A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】根据抛物线的对称性，抛物线与坐标轴的交点，对称轴的两种表示方法，抛物线的最值，抛物线与一元二次方程的关系等解答即可. 【详解】解：∵二次函数开口向上， ∴， ∵抛物线的图象与y轴的交点在负半轴上， ∴； ∵对称轴为直线， ∴, ∴,， ∴, 故①②正确； ， 根据图象，得时，， 故③错误； 对称轴是直线，且抛物线开口向上， 当时，取得最小值， 对于任意实数，当时，函数值， ， ， 故④正确； 二次函数的图象经过点， 设其对称点为，根据题意，得， 解得， 方程的两根为， 又方程的两根为，， ， ， 故⑤错误． 【对点练3-5】（25-26八年级下·北京·期末）对于平面直角坐标系中的函数图象M和多边形P，若多边形P的每条边均与图象M有公共点，则称图象M和多边形P是交错的；若多边形P的每条边均与图象M有两个公共点，则称图象M和多边形P是双重交错的，设，，，． (1)设一次函数的图象为图象M，下面的多边形中，M和______是交错的（填所有满足要求的多边形的序号）； ①，②，③，④四边形； (2)设二次函数的图象为图象M． ①若，，将M向右平移个单位长度得到图象，若图象和是双重交错的，则d的取值范围是______； ②若存在实数c使得图象M和是双重交错的，直接写出a的取值范围． 【答案】(1)② (2)①；② 【分析】（1）逐一判断每个多边形的每一条边所在线段与直线是否有公共点，可通过将线段端点代入直线方程两侧或联立求交点坐标来判定，排除那些存在某条边与直线无交点的多边形，最终只需找出三条边均与直线有公共点的那个多边形即可； （2）①平移后的抛物线要与三角形每一边都有两个交点，关键在于确定临界状态，即抛物线与某条边恰好相切（一个交点）时的值，通过联立方程并令判别式为零求出临界，再结合图形位置确定满足“两个交点”的取值范围； ②若存在实数使得抛物线与三角形三边均有两个交点，可先确定临界情形，即抛物线过顶点且与对边相切，将的坐标代入抛物线可得的关系式，由的坐标得出边所在直线解析式之后结合抛物线与相切的临界状态得出的另一个关系式，两式联立即可解出,结合双重交错的定义以及函数图象，即可确定满足条件的的取值范围． 【详解】（1）如图，在同一坐标系中画出，以及，，，四边形， 与中， 边与无交点，四边形ABCD中， ，边与无交点，均不符合题意， 三边均与相交，因此图象和是交错的. （2）① ，， 二次函数解析式为， 如图1，平移之前函数与每边均有两个交点， 将M向右平移个单位长度得到图象， 所以平移后的二次函数解析式为， 若图象和是双重交错的， 二次函数与线段均有两个交点， 如图2 ，为临界状态，此时图象和边相切， 设线段所在直线解析式为， 代入，解得， 所以线段所在直线解析式为 联立二次函数与线段所在直线解析式 得， 整理得， 所以， 解得， 所以要使图象和是双重交错的，则d的取值范围是． ②若存在实数c使得图象M和是双重交错的， 如图3，临界状态为抛物线过点且与线段相切，则 设线段所在直线解析式为， 将，代入解得， 所以线段所在直线解析式为， 当抛物线过点时，代入得， 解得：①， 当抛物线与线段相切时， 联立抛物线与解析式消去得， 整理得， 当时， 解得②， 由①②得：， 整理得，解得， ∴ 因为与线段必须有两个交点， 所以抛物线的对称轴须在之间， 即， ∴， 综上所述，若存在实数c使得图象M和是双重交错的，则． 【点睛】本题以“双重交错”这一新定义为载体，核心考查一次函数与二次函数的图象性质（平移、对称轴、开口方向），以及直线与抛物线交点个数的代数判定方法（联立方程、判别式 ），解题的关键在熟悉一次函数与二次函数的图像以及性质，特别是通过数形结合找到临界状态——当图象与某条边相切或经过顶点时，交点个数发生会发生变化，通过联立方程并令可求出参数的临界值，但必须进一步验证切点或交点是否在线段上，且需结合对称轴位置（如第（2）②问中需满足 ）确保抛物线与三条线段同时满足双交点条件，而非仅与所在直线相交，整个过程体现了数形结合、分类讨论以及临界分析的核心思想． 题型4 二次函数图像与x轴截线长度 【例4】（2026·四川绵阳·二模）若抛物线与直线有两交点A，B，且，则的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先联立抛物线与直线得到，然后设点，根据一元二次方程根与系数的关系得到，再由求解即可． 【详解】解：∵抛物线与直线有两交点A，B， 设点 ∴ ∴ ∴， ∴ ∴ 解得． 【对点练4-1】（25-26九年级上·新疆喀什·期中）二次函数的图象与x轴交于A，B两点，则线段的长度为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数与轴的交点问题，通过求解二次方程得到与轴的交点坐标，然后计算两点间的距离，熟练掌握此知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵二次函数的图象与x轴交于A，B两点， ∴令，则， 解得：，， ∴线段的长度为， 故选：C． 【对点练4-2】（25-26九年级下·河南周口·阶段检测）若抛物线 与轴两交点距离为，对称轴为，则抛物线解析式为_____________． 【答案】 【分析】本题利用抛物线对称轴公式求出参数，再结合抛物线与轴两交点的距离，根据根与系数的关系求出参数，即可得到抛物线解析式． 【详解】解：对于抛物线，可得二次项系数，一次项系数，常数项． 已知抛物线对称轴为，由抛物线对称轴公式，得： 解得． 设抛物线与轴两交点的横坐标分别为，，由题意得两交点距离为，即： 等式两边同时平方，得： 由完全平方公式变形得： 根据根与系数的关系，可得，， 将代入得，代入上式得： 整理得： 解得． 将，代入原抛物线方程，得抛物线解析式为． 【对点练4-3】（25-26九年级上·浙江台州·阶段检测）如图，二次函数的图象与x轴交于A，B两点，与y轴正半轴交于点C，若，则点C的坐标是________ ． 【答案】 【分析】本题考查了抛物线与x轴的交点，主要考查函数图象上点的坐标特征，正确利用根和系数的关系是解题关键． 设点A、B的横坐标分别为m、n， ，即可求解． 【详解】解：令， 设点A、B的横坐标分别为m、n， ∴，， 则， 解得：， ∴点C的坐标为， 故答案为：． 【对点练4-4】（25-26九年级上·天津·阶段检测）如图，抛物线与x轴交点间的距离为________________． 【答案】 【分析】本题考查了抛物线与x轴的交点问题． 直接根据图像作答即可． 【详解】解：由图可知抛物线与x轴交点间的距离为． 故答案为：． 题型5 二次函数与一次函数交点问题 【例5】（2026·安徽阜阳·二模）抛物线与y轴交于点A，点在该抛物线上，且，直线（）经过A，B两点． (1)直接写出：该抛物线的顶点纵坐标是______；并求的最大值； (2)若，求证：；并用含a的式子表示； (3)若，，，两点，都在该抛物线上，直线与直线（）交于点，且，求的最大值． 【答案】(1)，当时，有最大值5 (2)证明见解析， (3)当时，有最大值，最大值为7 【分析】（1）由可得抛物线的顶点坐标；由抛物线解析式得，则，进而得，根据二次函数的性质求最值即可； （2）联立抛物线与直线的解析式得到，根据抛物线与直线都经过A，B两点得，即可得关于a的不等式，即可证明；解方程即可得； （3）根据B点坐标可求抛物线解析式及对称轴，再根据、两点坐标得、两点关于抛物线对称轴对称，则，，设，这里y值随的增大而增大，确定的取值范围，即可得解． 【详解】（1）解：， ∴抛物线的顶点坐标为， ∴该抛物线的顶点纵坐标为， ∵抛物线与y轴交于点A， ， 又∵直线经过点A， ， ， ∴当时，有最大值5； （2）证明：由得， ∵抛物线与直线都经过A，B两点（点A的横坐标为0，点B的横坐标不为0）， ， ，即，则． 由解得或， 那么； （3）解：，，点在抛物线上，， ， 解得或（舍去）， ，其对称轴为直线， ∵点，都在抛物线上，且直线轴， ∴点，D关于对称轴对称， 又， ，即， ， 的值是关于的一次函数， 不妨设，这里y值随的增大而增大， 如图，抛物线与y轴交于点，， ， ∴当时，有最大值，最大值为． 【对点练5-1】（2026·广东潮州·一模）如图，直线交轴于点，交轴于点，抛物线过，两点，与轴相交于另一点，求点的坐标． 【答案】 【分析】先求出，然后用待定系数法求出抛物线解析式，再令求解即可． 【详解】解：对于，当时，， ∴， 把，代入，得 ， 解得， ∴， 当时，， 解得， ∴． 【对点练5-2】（24-25九年级上·浙江温州·期中）如图，二次函数的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，其中． (1)求二次函数的表达式，并求出点B的坐标． (2)连接，现将抛物线图象向下平移m个单位，使得顶点落在线段上，请求出m的值． 【答案】(1)；B点的坐标为 (2) 【分析】（1）利用待定系数法求抛物线解析式，找到对称轴，根据对称求解即可． （2）先利用配方法得到抛物线的顶点坐标为，则用待定系数法可得直线的解析式为，根据平移的性质解得即可． 【详解】（1）解：（1）将和代入中， 得， 解得， ∴函数解析式为； 对称轴为直线， ∵， ∴由对称性可知：B点的坐标为； （2）∵， ∴抛物线的顶点坐标为， 由（1）可知：， 设直线的解析式为：， 代入B、C的坐标得：， 解得： ∴直线的解析式为， 由题意可知：平移后的顶点为：， 将平移后的顶点代入直线的解析式得：， 解得：． 【对点练5-3】（25-26九年级下·全国·单元测试）在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，点的坐标为，点在抛物线上． (1)求抛物线的函数解析式； (2)求的面积． 【答案】(1) (2)10 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，待定系数法求二次函数解析式，熟练掌握待定系数法是解题的关键． （1）将点 ，点代入抛物线的解析式，求出a、b的值即可； （2）根据对称性求出点A的坐标，进一步求出的长，再求出的面积即可． 【详解】（1）解：∵经过，， ∴， 解得：， ∴抛物线的解析式为； （2）解：∵抛物线的解析式为， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵抛物线与x轴相交于A、B两点，点B的坐标为， ∴点A坐标为：，即， ∴， ∴的面积为：． 【对点练5-4】（25-26九年级上·江苏南京·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别交于A，B两点．抛物线经过点A且交线段于点C． (1)求k的值； (2)点C的坐标为________； (3)当时，的取值范围为________；当时，x的取值范围为________． 【答案】(1) (2) (3)；或 【分析】本题考查二次函数与一次函数的综合，熟练掌握二次函数的图像性质是解题的关键． （1）先求出抛物线与轴的交点坐标，得到点的坐标，再将点代入直线，求出的值即可； （2）由（1）可知直线，与抛物线交于点，求出的值，将的值代入直线，从而得到点的坐标； （3）抛物线的对称轴为，在顶点处取得最大值，由图像可知，当时，抛物线在上随着的增大而增大，在上随着的增大而减小，据此求得的取值范围，根据图像可得出当时，x的取值范围． 【详解】（1）解：根据题意，令得，， 解得、， ∴点的坐标为 将点坐标代入直线得： ， 解得； （2）解：由（1）知， 将代入直线得：， 直线与抛物线交于点， 则 整理得： 解得或， 由于点的坐标为，则点的横坐标为， 将代入直线得，， 因此，点的坐标为； （3）解：抛物线的对称轴为， 由（1）知，抛物线与轴的交点为和， 当时，抛物线在上随着的增大而增大，在上随着的增大而减小，则在处取得最大值，最大值为， 当时，， 当时，， 因此，当时，的取值范围为； 根据、，结合函数图像可知， 当或时，． 【对点练5-5】（25-26九年级上·云南丽江·阶段检测）如图，抛物线与x轴交于点A，与y轴交于点B，直线的解析式为． (1)______，______； (2)当时，x的取值范围是______； (3)当时，的取值范围是______； (4)直线l（不与直线重合）：在直线上方且平行于直线，若直线l与抛物线有两个交点，d的取值范围是______． 【答案】(1)， (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质，一次函数和二次函数的综合，二次函数与一元二次方程综合． （1）由图象可知该抛物线顶点坐标为，与x轴的交点A的坐标为，从而可知，，再将代入，即可求出a的值； （2）由（1）知函数解析式，令，求出x的值，得到函数图象与x轴的另一个交点，再根据函数图象即可解答； （3）由图象可知该抛物线对称轴为直线，开口向下，从而得出当时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小，进而得出的最大值为．求出当时，的值和当时，的值，再比较，即可得出当时，的取值范围； （4）将代入，得到，将，代入求出，根据在直线上方且平行于直线，得到，根据直线l与抛物线有两个交点，得到方程的判别式，求解判别式即可． 【详解】（1）解：由图象可知该抛物线顶点坐标为，与x轴的交点A的坐标为， ∴，， 即． 将代入，得：， 解得：． 故答案为：，； （2）解：由（1）可知该抛物线的解析式为． 由图象可知该抛物线开口向下， 令，则，即， 解得：， 则该抛物线与x轴的另一个交点为， ∴时，； 故答案为：； （3）解：由（1）可知该抛物线的解析式为． 由图象可知该抛物线对称轴为直线，开口向下， ∴当时，y随x的增大而增大， 当时，y随x的增大而减小， ∴当时，的最大值为． ∵当时，， 当时，， ∴当时，的取值范围是； 故答案为：； （4）解：对于，令，则， ∴． 将，代入得： ， 解得：， 即， ∵在直线上方且平行于直线， ∴， 即， ∵直线l与抛物线有两个交点， ∴方程的判别式， 整理得， 即， 解得：， 综上所述，． 故答案为：． 题型6 图像法确定二次方程的近似根 【例6】（2026·河南周口·模拟预测）下列表格中是二次函数的自变量与函数的一些对应值，可以判断一元二次方程的一个近似根是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】一元二次方程的根对应二次函数与轴交点的横坐标，先观察表格中函数值的正负变化，找到函数值由负变正的区间，再结合区间内函数值与的接近程度，判断近似根更靠近． 【详解】解：一元二次方程的根，就是二次函数中函数值时对应的自变量， 观察表格： 当时，，最接近； 当 时，，距离比更远； 又∵在到之间由负变正，说明的根在和之间， ∴对应的函数值更接近， ∴一元二次方程的一个近似根是． 【对点练6-1】（25-26九年级下·广东深圳·开学考试）根据下列表格的对应值，判断方程（为常数）一个解的范围是（    ） 3.23 3.24 3.25 3.26      -0.06 -0.02 0.03 0.09 A．3 B．3 C．3 D．3 【答案】C 【分析】本题考查二次函数与一元二次方程的关系，方程的解就是二次函数与x轴交点的横坐标，只需找出函数值由负变正对应的x范围即可． 【详解】令（，，，为常数）， ∵当时，， 当时，， ∴当时，必然取到0， 即方程的一个解的范围是：． 【对点练6-2】（2026·河南三门峡·二模）数学探究课上，“善思”学习小组利用函数图象求方程的实数根时，先画出函数的图象如图所示，该图象与x轴的公共点A的横坐标大约是0.7，由此可以估计方程的负的实数根可能是___________（结果保留小数点后一位）． 【答案】 【分析】先根据图象求出抛物线的对称轴，再根据其对称性求出另一个交点的横坐标，即可得出方程的解． 【详解】解：根据图象可知抛物线与x轴的交点的横坐标是，且对称轴是，则抛物线与x轴的另一个交点得横坐标是， 所以方程的负实数根可能是． 【对点练6-3】（25-26九年级上·北京·阶段检测）在关于x的二次函数中，自变量x可以取任意实数，下表是自变量x与函数y的几组对应值： x … 1 2 3 4 5 6 7 8 … … … 根据以上信息，关于x的一元二次方程的两个实数根中，其中的一个实数根约等于______（结果保留小数点后一位小数）． 【答案】5.9(答案不唯一) 【分析】根据表格中的数据可知方程的一个根在之间，据此可得答案． 【详解】解：由表格可知，当时，，当时，， ∵， ∴根更靠近6，可估算为5.9， ∴关于x的一元二次方程的两个实数根中，其中的一个实数根可取5.9（答案不唯一）． 【对点练6-4】（25-26九年级上·山西吕梁·期末）小亮利用函数图象求方程的实数根时，先画出函数的图象如图所示，该图象与轴的公共点的横坐标大约是0.7，由此可以估计方程的实数根为________（结果保留小数点后一位）． 【答案】， 【分析】本题主要考查了二次函数图象和一元二次方程的解． 由图象与轴的公共点的横坐标大约是0.7，再利用对称性即可求解． 【详解】解：函数图象与轴的公共点的横坐标大约是0.7，且对称轴为， 函数图象与轴的另一个公共点的横坐标大约是， 由此可以估计方程的实数根为，． 故答案为：，． 【对点练6-5】（25-26九年级下·全国·课后作业）画出函数的图象，利用图象求方程的根．（精确到0.1） 【答案】 解：列表得： 在坐标系中描出点，再用平滑的曲线连接它们， 如图，二次函数的图象为所求； 由图象得，二次函数与x轴的交点为和， 方程的根是． 【分析】先列表，描点画出二次函数的图象，根据二次函数与x轴的交点，即可求解方程的根． 【详解】略 题型7 图像法解不等式 【例7】（24-25九年级上·湖南长沙·期末）如图，抛物线与直线的两个交点坐标分别为，．则不等式的解是 ________． 【答案】或 【分析】利用图象找到抛物线在直线上方时的的取值范围，即可得解． 【详解】解：抛物线与直线的两个交点坐标分别为，， 由图象可知，抛物线在直线上方时的的取值范围为或， 即不等式的解是或． 【对点练7-1】（25-26九年级下·江苏扬州·开学考试）如图，抛物线与直线交于，两点，则不等式的解集是___________ ． 【答案】 【分析】本题主要考查了用图象法解一元二次不等式，理解不等式的解集即为直线图象在抛物线图象上方时自变量的取值范围是解题的关键．根据不等式的解集即为直线图象在抛物线图象上方时自变量的取值范围，进行求解即可． 【详解】解：∵抛物线与直线交于，两点， 观察函数图象可知：当时，直线在抛物线的上方， ∴不等式的解集为， 故答案为：． 【对点练7-2】（25-26九年级上·湖南衡阳·期末）如图是二次函数的图象，使成立的的取值范围是_____． 【答案】 【分析】本题考查二次函数与不等式的关系，抛物线与轴的交点，掌握相关知识是解决问题的关键．令，求出抛物线与轴两交点坐标，利用图像即可求时的的取值范围． 【详解】解：令 ， 由图象得：当时，． 故答案为：． 【对点练7-3】（2026·江苏泰州·一模）已知抛物线：． (1)当时，判断点是否在该抛物线上； (2)抛物线的顶点随着m的变化而移动，当该抛物线顶点的纵坐标取得最大值时，求此时抛物线的顶点坐标； (3)若一次函数，对于任意实数x，都有，求m的值． 【答案】(1)点不在该抛物线上 (2) (3) 【分析】（1）将代入函数解析式求出y的值，进而判断即可； （2）求出顶点的纵坐标，根据二次函数的性质得到m的值，进而将二次函数化为顶点式作答即可； （3）由可知，进而根据二次函数的性质作答即可． 【详解】（1）解：当时，， 当时，， ∴点不在该抛物线上； （2）解：顶点的纵坐标为， ∵， ∴当时，抛物线顶点的纵坐标取得最大值，此时， ∴顶点坐标为； （3）解：， ∵对于任意实数，都有， 恒成立， ， ， ． 【对点练7-4】（25-26九年级上·江苏南京·阶段检测）已知代数式，，． (1)比较与的大小； (2)当时，x的取值范围为_______． 【答案】(1)当或时，；当时，；当或时， (2) 【分析】本题考查解一元二次不等式，解一元一次不等式，解不等式组； （1）用作差法比较大小，进行分类讨论即可； （2）分别解不等式，然后求解集的公共部分即可． 【详解】（1）解：∵， ∴当，即或时，； 当，即时，； 当，即或时，． （2）解：可化为不等式组： 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴不等式组的解集为． 故答案为：． 题型8 利用不等式求自变量或函数数值范围 【例8】（2026·福建南平·二模）二次函数（m是常数且）图象经过点，一次函数的图象经过点，当时，下列结论不一定正确的是（     ） A．当时， B．当时， C．当时， D．当时， 【答案】D 【分析】根据二次函数和一次函数解析式得出两者都恒过定点，与轴的交点都为．当时，画出大致图象，根据选项一一判断即可． 【详解】解：∵，， ∴抛物线与直线都恒过定点，与轴的交点都为． 当时，大致图象如下， 由图可知，当时，，故A正确，不符合题意； 当时，，故B正确，不符合题意； 当时，，故C正确，不符合题意； 当时，若，则，若，则，故选项D不一定正确，符合题意． 【对点练8-1】（2026·福建泉州·模拟预测）已知点和在抛物线上，若对于，，都有，则的取值范围为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先计算点M的纵坐标，可知当时，．再分a的正负讨论，结合抛物线的图像性质，推导出满足条件的a的取值范围． 【详解】解：∵，代入得：，由题意可得对于，，都有，此时当时，． ∵抛物线的对称轴为直线， 当 时，抛物线开口向下，对称轴 当时，随着的增大而减小，故最小值在处，此时， ∵， ∴， ∴，不满足条件； 当时，抛物线开口向上，对称轴 当时，随着的增大而增大，故最小值在处，此时， ∵， ∴要使，则有， 解得， ∴． 综上所述，． 【对点练8-2】（2026·陕西榆林·三模）已知点，都在二次函数（m为常数，且）的图象上，若当时，始终满足，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先对二次函数因式分解，再结合，，的条件化简不等式，即可得到的取值范围． 【详解】解：对二次函数因式分解得：， ∵点，在函数图象上， ∴，， ∴， ∵，，， ∴当，时，， ∴ 不等式化简，得， 令，解得， 由二次函数的图象可知当时，c的取值范围为． 【对点练8-3】（2026·福建福州·三模）已知抛物线经过点，，若，则的取值范围为________． 【答案】 【分析】先确定抛物线的开口方向与对称轴，根据二次函数的性质，开口向下时抛物线上点到对称轴的距离越大，函数值越小，结合得到关于的不等式，再代入点坐标求出，结合得到另一个关于的不等式，解不等式后取交集得到的取值范围． 【详解】解：抛物线中，，开口向下， 对称轴为， 开口向下的抛物线，抛物线上的点到对称轴的距离越大，对应的函数值越小， ，，， 点到对称轴的距离大于点到对称轴的距离， 点横坐标为，到对称轴的距离为， 点横坐标为，到对称轴的距离为， 化简得， 去绝对值得， 解得， 将代入抛物线解析式得， 由得， 即， 解得或， 取与或的交集，可得， 故答案为：． 【对点练8-4】（2026·湖北武汉·一模）抛物线的开口向下，图象与轴交于和，且，下列结论：①；②；③若，、是抛物线上两点，则当时，；④关于的一元二次方程有实数根；⑤关于的不等式的解集为．其中正确的结论是__________（填写序号）． 【答案】①②③⑤ 【分析】根据抛物线开口方向，对称轴位置，交点坐标判断的符号，判断①，结合交点式得到与的关系，根据的范围判断②，利用二次函数性质，比较两点到对称轴的距离判断③，利用顶点纵坐标判断方程是否有实根，判断④，整理不等式求解集判断⑤． 【详解】解：∵抛物线开口向下， ∴， ∵抛物线与轴交于和， ∴对称轴为直线， ∵， ∴ 则对称轴在轴右侧， 即， ∵， ∴， 将代入抛物线得， ∴， ∵，， ∴， ∴，故①正确． 抛物线可写成交点式， ∴， ∵，， ∴不等式两边同乘得， 即，故②正确． 若，则对称轴为直线， 开口向下，抛物线上点离对称轴越远，函数值越小， ，，两点到对称轴的距离分别为，， 若，则， 平方得， 化简得， 即，故当时，，故③正确． 关于的方程有实根，需满足，为顶点的纵坐标，， 代入不等式得， 即， ∵， ∴，故不等式不成立，方程无实根，故④错误． 整理不等式得 ，由得， 代入得， 即， ∵， ∴， 解得，故⑤正确． 故正确的结论是①②③⑤． 【对点练8-5】（2026·浙江杭州·一模）已知二次函数（a，c是常数，）． (1)求该函数图象的对称轴． (2)当时，y的最大值和最小值的差为4，求a的值． (3)已知点，都在二次函数的图象上，若，求m的取值范围． 【答案】(1)对称轴为直线 (2) (3)或 【分析】（1）根据对称轴公式即可求解； （2）求出y的最大值和最小值，即可求解； （3）根据二次函数的性质和二次函数图象上点的坐标特征得到或，解不等式组即可． 【详解】（1）解：对称轴为直线； （2）解：∵， ∴二次函数图象开口向上， ∵对称轴为直线， ∴在内， 当时，y有最小值为， 当时，y有最大值为， ∵当时，y的最大值和最小值的差为4， ∴， 解得：； （3）解：∵二次函数的图象开口向上，对称轴为直线，与y轴的交点为， ∴关于对称轴的对称点为， ∵点，都在二次函数的图象上，且， 当在左侧时，， 解得：； 当在右侧时，， 解得：； ∴或． 题型9 根据交点确定不等式解集 【例9】（2026·内蒙古通辽·二模）一次函数与二次函数的图象如图所示，则不等式的解集为（     ） A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】观察图象得，当或时，二次函数的图象在一次函数图象的上方，由此即可得出结果． 【详解】解：观察图象得，当或时，二次函数的图象在一次函数图象的上方， 即当或时，， 不等式的解集为或． 【对点练9-1】（2026·黑龙江齐齐哈尔·三模）已知抛物线与轴交于点，，其中．下列结论：①；②；③函数的最小值大于；④不等式的解集为．其中正确结论的个数有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】根据题意画出函数大致图象，利用抛物线与轴交点坐标得到对称轴范围，结合开口方向和交点特征，逐一判断各结论即可． 【详解】解：根据题意画出函数大致图象如下： ∵抛物线与轴交于点，，且 ， ∴抛物线对称轴为，可得 ． ∵，由，可得 ， ∵位于两个交点之间，抛物线开口向上， ∴时， ， ∴． 故①正确． 由，不等式同乘（，不等号方向改变）， 得，即， 故②正确． 二次函数的最小值为 ， ∵， 又∵ ， ， ， ， ∴函数的最小值小于． 故③错误． ∵在函数中，当时，，当时，， ∴抛物线与直线的交点为和 ． ∵抛物线开口向上， ∴抛物线在直线上方时或 ， 即不等式解集为或， 故④错误． 故正确的结论有2个． 【对点练9-2】（2026·浙江·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，，两点的坐标分别为，．若二次函数的图象与线段有交点，则该抛物线与轴交点的纵坐标的取值范围是（     ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意先求得该抛物线的顶点坐标和n的表达式，先根据抛物线的图象与线段 有交点，结合A，B两点的坐标，根据顶点坐标推出且点一定在抛物线的下方，然后分两种情况讨论：①当点在抛物线的上方时一定满足条件，从而得到b的取值范围，进而确定n的取值范围；②当点 在抛物线的下方时，需满足抛物线的对称轴，进而确定n的取值范围，即可解答． 【详解】解：∵， ∴该抛物线开口向上，顶点坐标为；当时，， ∴抛物线与轴的交点纵坐标， ∵，两点的坐标分别为，，抛物线的图象与线段 有交点， ∴该抛物线的顶点的纵坐标，即， 又∵当 时，， ∴点一定在抛物线的下方， ∴①当点在抛物线的上方时一定满足条件， 即当时，， 解得， ∵，是关于的二次函数，抛物线开口向上，对称轴为， ∴在范围内，当时，取得最小值，当时，取得最大值， ∴； ②当点 在抛物线的下方时，需满足抛物线的对称轴， 此时对于，当时，取得最小值0，当时，取得最大值10， ∴， 综上，的取值范围是 ． 【对点练9-3】（2026·广东广州·二模）已知二次函数的图象如图所示，图象与轴交点的横坐标从左到右依次为，，如果时，＜，则当时，函数值（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先根据二次函数解析式求出对称轴为直线，并计算出当时．根据抛物线的对称性可知当时．结合图象可知，当时，的取值范围在和之间，从而确定的取值范围．进而得出的取值范围，最后利用二次函数的增减性判断的值与的大小关系． 【详解】解：二次函数解析式为 对称轴为直线 当时， 抛物线关于直线对称 当时， 由图象可知，当时，图象在轴下方，对应的值在和之间 图象与轴交点为，且开口向上 当时， 抛物线开口向上，对称轴为直线 当时，随的增大而减小 当时的函数值大于当时的函数值，即． 【对点练9-4】（2026·湖北恩施·二模）如图，抛物线与直线交于B，C两点，与轴交于点，已知点C的坐标为，点B的横坐标为3，轴．下列结论错误的是（     ） A． B． C． D．当时， 【答案】D 【分析】求出点坐标，待定系数法求出函数解析式，结合函数图象，逐一进行判断即可. 【详解】解：∵点在直线上，且B的横坐标为3， ∴点的纵坐标为3， ∴， ∵轴， ∴， 把，，代入，得 ，解得， ∴， ∴，； 由图象可知，当时，抛物线在直线的下方，故； 即； 综上：只有选项D错误. 【对点练9-5】（2026·湖北武汉·模拟预测）抛物线（a，b，c是常数，）经过，两点，且．下列五个结论： ①； ②； ③若抛物线经过点，则； ④关于x的不等式的解集为； ⑤点，在抛物线上，若，，总有，则． 其中正确的结论是__________（填写序号）． 【答案】①④⑤ 【分析】根据抛物线的对称性，增减性，对称轴的两种表示方法，抛物线与不等式，解答即可. 【详解】解：抛物线（a，b，c是常数，）经过，两点，且， ， ， ， 又， ；故①正确； 抛物线（a，b，c是常数，）经过，两点，且， 函数草图如图： 由图像可知当时，，则，故②错误； 抛物线经过点， ， ， 解得， ， ， 又， ； ； 解得，故③错误； 关于的不等式变形得， 经过， 由图象可知，不等式解集为，故④正确； 点在抛物线上，抛物线的对称轴为，总有， ，且，解得， ∵， ． 故⑤正确； 综上，正确的结论有①④⑤. 基础通关 1．（2026·陕西西安·模拟预测）关于抛物线，下列说法错误的是（     ） A．该抛物线一定经过点 B．该抛物线顶点纵坐标的最小值为1 C．若点、在该抛物线上，则m的值为3 D．当时，该抛物线与x轴的两个交点之间的距离为4 【答案】B 【分析】把代入计算，得出，故该抛物线一定经过点；对于选项，将抛物线解析式化为顶点式，求顶点纵坐标关于的表达式的最小值；对于选项，利用抛物线对称性，由点和求出对称轴，进而求的值；先得出抛物线的解析式，再求出抛物线与x轴的交点的横坐标，再列式计算，即可作答． 【详解】解：将代入抛物线解析式，得， ∴该抛物线一定经过点， 故A选项不符合题意； ∵， ∴， ∴顶点纵坐标为， ∵， ∴顶点纵坐标的最小值为，不是， 故B选项符合题意； ∵点和纵坐标相同， ∴抛物线对称轴为直线， 又抛物线对称轴为， ∴， 得， 故C选项不符合题意； 当时，抛物线解析式为， 令，得， 解得，， 即两个交点之间的距离为， 故D选项不符合题意． 2．（2026·广东肇庆·二模）已知二次函数，下列说法错误的是（     ） A．顶点坐标为 B．对称轴为直线 C．函数图像与x轴有2个交点 D．当时，y随x的增大而减小 【答案】C 【分析】先将二次函数解析式整理为顶点式，再根据二次函数的顶点坐标、对称轴、与x轴交点个数、增减性逐一判断选项，找出错误说法即可． 【详解】解：∵， ∴顶点坐标为，对称轴为直线，故A、B选项说法正确，不符合题意； 令，则， 解得， ∴函数图像与x轴只有1个交点，故C选项说法错误，符合题意； ∵抛物线开口向上，对称轴为直线， ∴当时，随的增大而减小，故D选项说法正确，不符合题意． 3．（2026·黑龙江佳木斯·二模）二次函数的图象与x轴的交点个数为（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【分析】令，求出的值即可． 【详解】解：令，得， 解得，， ∴与x轴有2个交点． 4．（25-26九年级上·湖南常德·阶段检测）如表列出了二次函数的自变量x与函数y的几组对应值，则一元二次方程的其中一个解的取值范围是（   ） x … 0 1 ... y … 15 3 3 … A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，二次函数与一元二次方程之间的关系，根据表格可得对称轴为直线，函数开口向上，则可确定时自变量的取值范围，进而可得答案． 【详解】解：∵当和当时的函数值都是3， ∴对称轴为直线， ∵， ∴当时的函数值大于时的函数值， ∴函数开口向上， ∴在对称轴左侧y随x增大而减小，在对称轴右侧y随x增大而增大， ∵时，，时，， ∴一元二次方程的其中一个解的取值范围是， ∴由对称性可知，一元二次方程的另一个解的取值范围是， 故选：A． 5．（25-26九年级上·广东珠海·期中）如图，二次函数（a，b，c为常数，）的图象交x轴于A，B两点，点A的坐标是，点B的坐标是，有下列结论：①；②；③关于x的方程的解是，；④，其中正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查二次函数的图象、韦达定理，熟练掌握二次函数图象是解题的关键． 根据二次函数的图象得到，结合一元二次方程根与系数的关系，进行逐项判断即可． 【详解】解： 根据图象可得，该二次函数图象开口向下，交轴于正半轴， 则、 由于对称轴在轴右侧， 则，即 因此①错误， 当时，，即， 则， 因此②说法错误； 根据题意得，二次函数的图象交x轴于A，B两点，点A的坐标是，点B的坐标是， 则令得，， 此时该一元二次方程的解，， 由韦达定理得，， 则 因此选项③④说法正确； 综上所述，正确的有个， 故选：B． 6．（25-26九年级上·北京·期中）如图，抛物线的部分图象如图所示，若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D．或 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的对称性，二次函数与不等式，掌握数形结合思想的应用是解题的关键． 由函数图象得对称轴为，然后可得点关于的对称点的坐标，进而可得答案． 【详解】解：由函数图象得：二次函数的对称轴为直线， ∴点关于直线的对称点的坐标为， ∴关于x的不等式的解集是 故选：C． 7．（2025九年级·全国·专题练习）已知二次函数的图象如图所示，则方程的解是（    ） A． B． C．， D．， 【答案】C 【分析】本题考查二次函数与一元二次方程的关系，掌握二次函数图象与轴的交点横坐标就是对应一元二次方程的解是解题的关键． 根据二次函数图象与轴的交点横坐标就是对应的一元二次方程的解，逐一分析选项． 【详解】解：二次函数的图象与轴的交点横坐标为和2， 所以方程的解是． 故选：C． 8．（2026·黑龙江哈尔滨·一模）抛物线与轴的交点坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】抛物线与轴交点的横坐标为0，将代入抛物线解析式求出的值，即可得到交点坐标． 【详解】解：∵抛物线与轴交点的横坐标为0， ∴将代入，计算得 ， ∴抛物线与轴的交点坐标为． 9．（20-21九年级上·河南新乡·阶段检测）抛物线的部分图象如图所示，则关于x的方程的解是_________． 【答案】 【分析】根据抛物线的对称轴为直线，与x轴的交点为，利用抛物线的对称性即可求得． 【详解】解：抛物线的对称轴为直线，与x轴的交点为， 设另一个交点为， ， 解得：， 故另一个交点为， 关于的方程的解是：， 10．（25-26九年级上·江苏镇江·阶段检测）如图，二次函数与一次函数的图象交于，两点，则不等式的解集是_____． 【答案】 【分析】本题考查不等式与函数的关系及函数图象交点问题，理解图象的点坐标特征和数形结合思想是解答此题的关键． 结合图象，当时，一次函数的图象在二次函数的图象上方，此时二次函数值小于一次函数值，即可确定不等式的解集． 【详解】解：∵， 即二次函数值小于一次函数值， 抛物线与直线交点为，， 当时，一次函数的图象在二次函数的图象上方，此时二次函数值小于一次函数值， 即的解集为， 故答案为：． 11．（25-26九年级上·浙江金华·期中）下表是函数的部分自变量与对应的函数值： x y 根据此表，可以判断方程的一 个解x 可能的取值范围是________． 【答案】 【分析】本题考查观察图表得知函数值情况，一元二次方程的根，二次函数与一元二次方程的关系．通过观察函数值的变化，当时，时，因此方程根在和之间． 【详解】解：由表可知，当时，；当时，， 由于二次函数图象是连续的，函数值由负变正，说明方程的一个解在和之间，即， 故答案为：． 12．（25-26九年级上·河南周口·期中）已知二次函数． (1)求该函数图象与x轴、y轴的交点坐标； (2)画出该函数的大致图象． 【答案】(1)与轴的交点坐标为和，与轴的交点坐标为 (2)见解析 【分析】本题考查二次函数的图象，熟练掌握二次函数的图象是解题的关键． （1）将、分别代入函数解析式，计算求解即可； （2）求出函数的对称轴，通过描点法画出函数图象即可． 【详解】（1）解；令得，， 则与轴的交点坐标为， 令得， 解得或， 则与轴的交点坐标为和； （2）解：根据题意得，二次函数， 由（1）知，该函数图象经过点、和， 其对称轴为， 令，则， 则顶点坐标为， 因此，二次函数图象如下： 素养提升 1．（2026·福建三明·三模）将抛物线 进行平移得抛物线 ，点在抛物线上，对应点在抛物线上，则点的横坐标可以是（     ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据两个抛物线的顶点坐标确定平移规律，然后用含的代数式表示出点的坐标，再将点的坐标代入抛物线的方程，即可求出点的横坐标． 【详解】解：抛物线的顶点为，抛物线的顶点为， 平移规律为：向左平移3个单位，向下平移4个单位， 点在抛物线上，平移后对应点为， 的坐标为，即， 在抛物线上， 将代入得： ， 整理得， 解得或， 则的值可以是或， 因此点的横坐标可以是或，选项A符合． 2．（2026·四川巴中·中考真题）关于二次函数，下列说法正确的个数是（     ） ①它的图象经过第一、二、三象限； ②当时，y随x的增大而增大； ③它的图象可由向右平移2个单位，再向下平移1个单位得到； ④直线（k为常数）与它的图象一定有两个交点． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】先将二次函数配方为顶点式，再结合二次函数的图象性质、平移规律、交点与判别式的关系，逐个判断即可得结论． 【详解】解：∵， ∵ ， ∴ 抛物线开口向上，对称轴为，顶点坐标为， ①令，得，解得或，即抛物线与轴交于和， ∵抛物线开口向上， ∴当时，恒成立，不存在且的点， ∴图象不经过第三象限，故①错误； ②∵ 开口向上，对称轴为， ∴ 时，随的增大而增大，又， ∴ 时随的增大而增大，故②正确； ③根据平移规律可得，向右平移2个单位，再向下平移1个单位，得到的二次函数解析式为，与原函数一致，故③正确； ④联立，整理得， ∵恒成立， ∴方程总有两个不相等的实数根，即直线与抛物线一定有两个交点，故④正确； 综上所述，正确的说法共3个． 3．（25-26八年级下·北京·期末）已知二次函数图象上的部分点的坐标对应值列表如下： x … 1 3 … y … 4 … 则关于x的方程的解为：________． 【答案】， 【分析】将方程的解等价转化为二次函数中时对应的的值是解题关键，先根据表格数据求出抛物线的对称轴，再利用对称性得到时对应的所有的值即可． 【详解】解：由表格可知，二次函数经过点，，， 点与点纵坐标相等， 抛物线的对称轴为直线， 设点关于对称轴的对称点横坐标为， 则， 解得，即对称点坐标为， 当时，的值为或， 即关于的方程的解为，． 4．（25-26八年级下·北京·期末）抛物线经过点，，，直线经过点B，C，则： (1)该抛物线的对称轴为直线______； (2)关于x的方程的解为______； (3)关于x的不等式的解为______； (4)若关于x的方程在的范围内有两个不相等实数根，则k的取值范围是______． 【答案】(1) (2)， (3) (4) 【分析】（1）根据对称点即可求解对称轴； （2）先由待定系数法求解抛物线的表达式，再解一元二次方程即可； （3）先求出直线的表达式，然后得到不等式，再转化求解即可； （4）方程即，整理得，设，把问题转化为函数图象在的范围内有两个不同的交点求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线经过点，， ∴对称轴为直线，即； （2）解：∵抛物线经过点，，， ∴ 解得 ∴ ∴关于x的方程即为， 解得； （3）解：∵直线经过点，， ∴ 解得 ∴直线为 ∴不等式为 整理得， 即 ∴或 解不等式组，无解； 解不等式组，得， ∴解集为 ∴不等式的解集为； （4）解：方程即， 整理得， ∴方程在范围内有两个不相等实数根， 设， ∴， 解得； 而对称轴在范围内，符合要求， 如图： 当时，； 当时， 即 由①得 由②得 ∴， 综上：． 5．（25-26八年级下·浙江金华·期中）如图，已知抛物线经过 两点，顶点为． (1)分别求抛物线和直线的解析式； (2)请根据图象直接写出：时的取值范围； 【答案】(1)； (2)或 【分析】（1）用待定系数法即可求解两函数的解析式； （2）观察图象即可求解． 【详解】（1）解：把 代入，得， 解得， ∴该抛物线解析式是：， 把 代入，得， 解得， ∴该直线的解析式是； （2）解：由图象得到：当或时，二次函数的值大于一次函数的值． 迁移创新 1．（2026·山西朔州·三模）将二次函数的图象在轴下方的部分以轴为对称轴翻折到轴上方，得到如图所示的新函数图象，下列对新函数的描述正确的是（     ） A．图象与轴的交点坐标是 B．当时，函数取得最大值 C．图象与轴两个交点之间的距离为4 D．当时，的值随值的增大而增大 【答案】C 【分析】先求出二次函数翻折前图象与轴的交点坐标，即可求解翻折后图象与轴的交点坐标，即可判断选项；根据图象可知函数没有最大值，即可判断选项；求解出二次函数与轴的交点坐标，求解距离即可判断选项；根据函数图象即可判断选项． 【详解】解：选项，对于二次函数，令，解得，原二次函数与轴的交点坐标为，翻折后新函数图象与轴的交点坐标是，故选项错误； 选项，结合图象可知，函数没有最大值，故选项错误； C选项，二次函数，令，则有，即，解得，，所以原二次函数与轴的交点坐标为，，翻折后新函数图象与轴的交点坐标不变，为，，图象与轴两个交点之间的距离为，故选项正确； 选项，二次函数，对称轴为，翻折后新函数图象的对称轴不变，为，由图象可知，函数在时，的值随值的增大而减小，当时，的值随值的增大而增大，故选项错误． 2．（2026·湖南邵阳·三模）我们定义：点是函数图象上的点，且满足，则称点P为该函数的“玄点”．下列说法中：①函数的“玄点”是；②函数的“玄点”与原点的距离是；③反比例函数与一次函数有公共的“玄点”，则；④二次函数恒有“玄点”，则t的最大整数值为3，正确的个数是（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】根据“玄点”定义，可知点是函数图象上的点，且满足，联立方程逐一判断即可． 【详解】解：①对于，联立得，解得，，故“玄点”为，①正确； ②对于，联立得，整理得，解得，，“玄点”为，到原点距离为，②正确； ③对于，联立得，解得，，则公共“玄点”为代入反比例函数得，③正确； ④对于，联立得，整理得，函数恒有“玄点”，即方程有实数根，故判别式，计算得，即，故的最大整数值为，④错误； 综上，正确的说法有个，故选项C符合题意． 3．（2026·河北保定·三模）如图，在平面直角坐标系中，有一段抛物线，记为L，它与x轴交于点O，M．第1次：将L向右平移d（）个单位长度，得到，与x轴交于点，；第2次：将向右平移d个单位长度，得到，与x轴交于点，；……每次将前一段抛物线向右平移d个单位长度，直至第n次，得到，与x轴交于点，．已知，每个抛物线段只与相邻的抛物线段有公共点，则n的值是________． 【答案】 3或4或5 【分析】先求初始抛物线与x轴的交点M的坐标，确定原抛物线L在x轴上的跨度，因为每次平移距离为，且每个抛物线段只与相邻的抛物线段有公共点，因此可以确定平移距离的范围，根据点平移的坐标规律，初始点M经过次向右平移个单位后得到，结合的坐标列关系式求解的值． 【详解】解：抛物线解析式为， ∴令， 即， 解得，， ∴由题意可得，， ∵图像依次向右平移个单位， ∴点的坐标也依次向右平移个单位， ∴，， ∴， ∵， ∴，即， ∵每个抛物线段只与相邻的抛物线段有公共点， ∴， 即， 解得， ∵为整数， ∴或或． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $