6.1 用树状图或表格求概率 课件 2026-2027学年北师大版九年级数学上册

该初中数学课件聚焦“用树状图或表格求简单事件的概率”，通过摸球游戏公平性判断、掷硬币结果分析等问题导入，关联等可能性、概率基础等旧知，搭建从试验探究到方法归纳的学习支架。 其亮点在于以问题链驱动探究，先通过掷硬币试验及数据汇总培养数据意识，再用树状图或表格规范推理过程（如小凡获胜概率计算），体现数学思维与数学语言。小结明确步骤与注意事项，助学生形成结构化认知，教师可直接用于课堂互动与检测，提升教学效率。

第六章 概率的进一步认识 1 用树状图或表格求概率 第3课时 用列表或画树状图求“配紫色”事件 的概率 知识关联 探究与应用 课堂小结与检测 摸球试验要求各种球只有颜色不同,抽牌试验要求除牌面之外都相同,掷硬币试验要求硬币的质地必须均匀,那么转转盘配紫色试验对转盘有什么要求? 知识关联 保证每种结果发生的可能性相同；每个转盘中各扇形的面积相等. 红色和蓝色可以配成紫色 韵 (authorId_273335559) - 处理方式:展示课本图6-2中的转盘,学生能直观地发现每个转盘中各扇形的面积相等,然后点明本节课要学习的内容,从而激发学生的学习积极性. 【探究】“配紫色”游戏 探究与应用 小颖为学校联欢会设计了一个“配紫色”游戏:如图所示的是两个可以自由转动的转盘,每个转盘分别被分成面积相等的几个扇形.游戏者同时转动两个转盘,如果转盘A转出了红色,转盘B转出了蓝色,那么他就赢了,因为红色和蓝色在一起配成了紫色. (1)利用画树状图或列表的方法表示游戏所有可能出现的结果; (2)游戏者获胜的概率是多少? 解:列表如下: 共有6种等可能的结果,其中转盘A转出了红色,转盘B转出了蓝色的结果有1种, ∴游戏者获胜的概率是. 转盘A 转盘B 黄 绿 蓝 红 (红,黄) (红,绿) (红,蓝) 白 (白,黄) (白,绿) (白,蓝) 韵 (authorId_273335559) - 处理方式:学生借助画树状图或列表法表示出所有可能出现的结果,很顺利地求出游戏者获胜的概率. 【探究】“配紫色”游戏 探究与应用 【尝试·思考】 用下图所示的转盘进行“配紫色”游戏. 小颖画出了下面的树状图,并据此求出游戏者获胜的概率为; 韵 (authorId_273335559) - 让学生先自己画树状图或列表格表示出所有可能出现的结果,然后通过合作交流观察这个游戏中两个转盘和活动一中转盘的区别,看看自己所画的树状图或表格是否正确.接着对课本中两位同学小颖和小亮的方法进行对比分析,找出不同点及原因,最后总结出求一件事情发生的概率必须满足所有可能出现的结果都相同. 【探究】“配紫色”游戏 探究与应用 【尝试·思考】 用下图所示的转盘进行“配紫色”游戏. 小明则先把转盘A的红色区域等分成2份,分别记作“红1”“红2”,然后列出了下表,据此求出游戏者获胜的概率也是. 你认为谁做的对? 【探究】“配紫色”游戏 探究与应用 解:画树状图如下: 则共有6种等可能的结果. ∵游戏者获胜的有3种结果, ∴游戏者获胜的概率是=. 小颖的做法是错误的,小明的做法正确. 韵 (authorId_273335559) - 预设:学生能指出“小颖的做法不正确,小明的做法正确”.小明的做法把左边转盘中的红色区域等分成2份,分别记作“红1”“红2”,保证了左边转盘中指针落在“蓝色”“红1”“红2”三个区域的等可能性,因此是正确的. 【探究】“配紫色”游戏 探究与应用 【思考·交流】 利用画树状图和列表的方法求概率时应注意些什么?与同伴进行交流. 利用画树状图和列表的方法求概率时,最需要注意的是各种结果出现的可能性必须相同. 【理解应用】 探究与应用 例 　一个盒子中装有2个红球、2个白球和1个蓝球,这些球除颜色外都相同.从中随机摸出一个球,记下颜色后放回,再从中随机摸出一个球,求两次摸到的球的颜色能配成紫色的概率. 解:先将两个红球分别记作“红1”“红2”,两个白球分别记作“白1”“白2”,然后列表如下: 　 总共有25种结果,每种结果出现的可能性相同,而两次摸到的球的颜色能配成紫色的结果有(红1,蓝)(红2,蓝)(蓝,红1)(蓝,红2)4种, 所以P(两次摸到求的颜色能配成紫色)=. 探究与应用 【拓展提升】 一个不透明的盒子中装有两个红球和一个蓝球.这些球除颜色外都相同. (1)从中随机摸出一个球.记下颜色后放回.再从中随机摸出一个球. ①请用列表法或画树状图法,求第一次摸到蓝球,第二次摸到红球的概率; ②请直接写出两次摸到的球的颜色能配成紫色的概率为　　　　.  (2)从中随机摸出一个球,记下颜色后不放回.再从中随机摸出一个球,请直接写出两次摸到的球的颜色能配成紫色的概率为　　　　.  解：（1）①画树状图，如图， 共有9种等可能得结果，其中第一次摸到蓝球，第二次摸到红球的结果有2种，所以第一次摸到蓝球，第二次摸到红球的概率是. 放回和不放回的树状图 有什么区别？ 【小结】 课堂小结与检测 用树状图和列表的方法求概率时应注意各种结果出现的可能性务必相同. “配紫色”游戏体现了概率模型的思想,它启示我们:概率是对随机现象的一种数学描述,它可以帮助我们更好地认识随机现象,并对生活中的一些不确定情况作出自己的决策. 【达标检测】 1.用如图1所示的两个可以自由转动的转盘进行“配紫色”游戏:游戏者同时转动两个转盘,如果其中一个转盘转出了红色,另一个转盘转出了蓝色,那么他就赢了.根据游戏规则,游戏者获胜的概率为 (　　) A.　　　　B.　　　　C.　　　　D. 图1 图2 2.如图2是两个可以自由转动的质地均匀的转盘A，B,每个转盘被平均分成3个扇形,游戏规定,小美与小丽分别转动转盘A，B,当转盘停止后,指针各指向一个数字所在的扇形(如果指针恰好指在分隔线上,那么重转一次,直到指针指向某一数字为止),若指针指向的数字较大者获胜,则小美获胜的概率是 (　　) A.　　　　B.　　　　C.　　　　D. 课堂小结与检测 D D 3.用图中两个可以自由转动的转盘做“配紫色”游戏,分别转动两个转盘,若其中一个转出红色,另一个转出蓝色即可配成紫色,则配成紫色的概率是　　　 　.  课堂小结与检测 【达标检测】 4.自然界大部分彩色的光都可以通过红、绿、蓝三种颜色的光按照不同比例混合而成,所以这三种色光又被称为光的“三原色”.在一次数学课上,老师利用光的三原色设计了一个“配紫色”游戏,如图是一个可以自由转动的转盘,转盘被分成三个扇形,分别对应红、绿、蓝三种颜色,其中,绿色和蓝色对应的扇形圆心角均为90°,转动转盘2次,记下两次指针指向的区域(若指针指向扇形分界线,则需要重新转动),如果转出的两种颜色分别是红色和蓝色,则可以配成紫色. (1)转动转盘1次,指针指向的区域是红色的概率为　　　　;  (2)用列表或画树状图的方法,求转动转盘2次,转出的两种颜色恰好可以配成紫色的概率. 课堂小结与检测 【达标检测】 解：（2）列表如下： 共有16种等可能的结果，其中转出的两种颜色恰好可以配成紫色的结果有（蓝，红），（蓝，红），（红，蓝），（红，蓝）4种， ∴转出的两种颜色恰好可以配成紫色的概率为=． 课堂小结与检测 【达标检测】 $第六章 概率的进一步认识 1 用树状图或表格求概率 第1课时 用列表或画树状图求简单事件的概率 知识关联 探究与应用 课堂小结与检测 思考下列问题: 1.小明和小颖一起做游戏.如图,在一个装有2个红球 和3个白球(每个球除颜色外都相同)的袋中任意摸出一 个球,摸到红球小明获胜,摸到白球小颖获胜. (1)这个游戏对双方公平吗? (2)如果是你,你会设计一个什么游戏活动判断胜负? 2.抛掷一枚均匀的硬币,硬币落下后,会出现几种情况?分别是什么?每一种结果出现的可能性相同吗? 知识关联 不公平 出现两种情况：正面朝上，反面朝上，每一种结果出现的可能性相同. 韵 (authorId_273335559) - 处理方式:第1,2个问题由学生口答,第3个问题可找2~3人回答,并适当阐述理由,根据学生的回答情况适时引入新课并板书课题. 3.小明、小刚、小凡一起参加课外体育活动,小明想打篮球,小刚想踢足球,小凡想打乒乓球,谁也说服不了谁,最后三人决定一起做游戏,谁获胜就听谁的.游戏规则如下:连续掷两枚质地均匀的硬币,若两枚正面朝上,则小明获胜;若两枚反面朝上,则小刚获胜;若一枚正面朝上、一枚反面朝上,则小凡获胜. 你认为这个游戏公平吗? 知识关联 不公平 【探究1】利用试验求概率 探究与应用 【操作·思考】 连续掷两枚质地均匀的硬币,估计“两枚正面朝上”“两枚反面朝上”“一枚正面朝上、一枚反面朝上”这三个随机事件发生的概率. (1)两人一组,一人掷硬币,一人记录试验结果.每组做20次试验,根据试验结果填写下面的表格: (2)请你设计一个统计表,汇总全班同学的试验数据,并统计当试验次数为20次、40次、60次、80次、100次……时上述三个事件发生的频率,然后绘制相应的折线统计图. (3)你能分别估计上述三个事件发生的概率吗?根据估计结果,你认为这个游戏公平吗? 试验 第1次 第2次 第3次 … 第20次 试验结果         韵 (authorId_273335559) - 处理方式:问题(1)组织学生进行操作,然后完成表格,教师巡视指导.问题(2)各小组设计一个统计表,然后选择设计较好的统计表进行全班统计,然后让学生根据表格绘制统计图,最后观察统计图得出问题(3)的结果. 【探究1】利用试验求概率 探究与应用 归纳: 通过大量的重复试验我们发现,在一般情况下,“一枚正面朝上、一枚反面朝上”发生的概率大于其他两个事件发生的概率.所以,这个游戏是不公平的,它对小凡比较有利. 【探究2】用树状图或表格求概率 探究与应用 【思考·交流】 在上面掷硬币的试验中, (1)掷第一枚硬币,可能出现哪些结果,它们发生的可能性是否相同? (2)在第一枚硬币为正面朝上的情况下,掷第二枚硬币可能出现哪些结果,它们发生的可能性是否相同?如果第一枚硬币为反面朝上,情况又是怎样的呢?与同伴进行交流. 解：(1)出现的结果是“正面朝上”或“反面朝上”,它们发生的可能性相同; (2)无论第一枚硬币出现什么情况,掷第二枚硬币可能出现的结果都是“正面朝上”或“反面朝上”,它们发生的可能性相同. 韵 (authorId_273335559) - 处理方式:学生结合自主探究题目,独自思考2分钟左右后在小组内进行讨论交流;然后利用幻灯片对第(1)(2)题找1~2个学生进行回答. 【探究2】用树状图或表格求概率 探究与应用 归纳: 硬币质地均匀,因此掷第一枚硬币时,出现“正面朝上”和“反面朝上”的概率相等.而无论掷第一枚硬币的结果如何,掷第二枚硬币时出现“正面朝上”和“反面朝上”的概率仍相等.为了方便和直观,我们常常用画树状图或列表列出所有可能出现的结果: 根据树状图或表格,请你分别求出小明、小刚、小凡获胜的概率,并分析这个游戏是否公平? 小明获胜的结果有(正,正)1种,所以小明获胜的概率是; 小刚获胜的结果有(反,反)1种,所以小刚获胜的概率是; 小凡获胜的结果有(正,反)(反,正)2种,所以小凡获胜的概率是. 因此,这个游戏是不公平的,它对小凡比较有利. 【探究2】用树状图或表格求概率 探究与应用 总结: 利用树状图或表格，我们可以不重复、不遗漏地列出所有可能的结果，从而比较方便地求出其他随机事件发生的概率. 【理解应用】 探究与应用 例 　如图,小颖有两件上衣,分别是红色和白色,有两条裤子,分别为黑色和白色,她随机拿出一件上衣和一条裤子穿上,恰好是白色上衣和白色裤子的概率是多少? 解:画树状图得: ∵共有4种等可能的结果,恰好是白色上衣和白色裤子的有1种情况, ∴恰好是白色上衣和白色裤子的概率是. 韵 (authorId_273335559) - 处理方式:找2个学生在黑板上进行展示,其他学生在练习本上处理,然后针对学生出现的问题进行纠正,在解题过程中,要特别强调列表或画树状图后文字语言的描述,从而使解题过程更加规范. 探究与应用 【拓展提升】 在一个不透明的袋子中装有4个除颜色外其余均相同的小球,其中,1个是红球,3个是白球. (1)从袋子中任意拿出一个球,则拿出的小球恰好是红球的概率为　　　　;  (2)从袋子中任意拿出两个球,求这两个球恰好是两个白球的概率(用树状图或列表法). 解：（2）从袋子中任意拿出两个球，画树状图得： ∵共有12种等可能的结果，随机从袋中摸出两 个球都是白色的有6种情况， ∴随机从袋中摸出两个球，都是白色的概率是： =． 【小结】 课堂小结与检测 列表 或画 树状图 步骤 用法 是一种解决试验有多步（或涉及多个因素）的好方法. 注意 弄清试验涉及试验因素个数或试验步骤分几步； 在摸球试验一定要弄清“放回”还是“不放回”. 关键要弄清楚每一步有几种结果； 在表格的行列或树状图下面对应写着所有可能的结果； 利用概率公式进行计算. 前提 每一步的结果的个数是有限的，并且是等可能的. 【达标检测】 1.从两组牌面分别是1,2的牌中各摸一张牌,则其牌面数字之和为3的概率为 (　　) A.　　　　　B. C.　　　　　　　D. 2.小红上学要经过两个十字路口,每个路口遇到红、绿灯的机会相同,小红希望上学时经过每个路口都是绿灯,出现这种情况的概率是 (　　) A. B. C.1 D.0 课堂小结与检测 C B 3.中国古代有着辉煌的数学成就,《周髀算经》《九章算术》《海岛算经》等是我国古代数学的重要著作(依次记为A,B,C).为了让学生了解更多的数学文化,某中学开展了一次数学历史知识的拓展学习.若该校小红和小亮两名同学从上面三部中随机选择一部数学著作作为拓展学习内容. (1)小红选择《九章算术》的概率是　　　　;  (2)利用画树状图或列表的方法,求小红和小亮同时选中同一本数学著作的概率. 课堂小结与检测 共有9种等可能的结果，选中同一本数学著作的结果有3种情况，. 【达标检测】 $第六章 概率的进一步认识 1 用树状图或表格求概率 第2课时　用列表或画树状图求复杂事件的概率 知识关联 探究与应用 课堂小结与检测 “石头、剪刀、布”,又称“猜丁壳”,是一种流传多年的猜拳游戏,起源于中国,然后传到日本、朝鲜等地,随着亚欧贸易的不断发展它传到了欧洲,到了近现代逐渐风靡世界.简单明了的规则,单次玩法比拼运气,多回合玩法比拼心理博弈,使得“石头、剪刀、布”这个古老的游戏同时拥有“意外”与“技术”两种特性,深受世界人民喜爱.那么同学们想一想“石头、剪刀、布”有没有规则漏洞可钻呢? 知识关联 韵 (authorId_273335559) - 设计意图：　本节是从“石头、剪刀、布”这个耳熟能详的游戏作为切入点,使学生产生学习新知的兴趣,使学生进一步掌握用列表法或画树状图法计算某事件发生的概率,活动中的问题,充分调动学生的求知欲和好奇心,为顺利完成判断游戏规则公平与否的依据做好铺垫. 【探究】游戏的公平性 探究与应用 通过试验估计和理论计算,小明、小刚和小凡发现前面的游戏并不公平,所以他们决定改做“石头、剪刀、布”的游戏(如图).游戏规则如下: 由小明和小凡玩“石头、剪刀、布”游戏,如果两人的手势相同,那么小刚为游戏的获胜者;如果两人手势不同,那么按照“石头胜剪刀,剪刀胜布,布胜石头”的规则，小明和小凡中的获胜者为游戏的获胜者. 假设小明和小凡每次出这三种手势的可能性相同，那么你认为这个游戏公平吗？你是怎么做的？与同伴进行交流. 韵 (authorId_273335559) - 处理方式，学生先小组讨论，然后教师引导： 问题1:什么样的游戏是公平的? 问题2:本题的游戏是否公平,如何体现? 问题3:你们能分别求出小明、小刚和小凡获胜的概率吗 【探究】游戏的公平性 探究与应用 解:列出表格如下: 所有等可能的情况有9种,其中两人的手势相同的情况有3种,则P(小刚获胜)==; 小明获胜的情况有3种,小凡获胜的情况有3种, ∴P(小明获胜)=P(小凡获胜)==, 则这个游戏对三人公平. 石头 剪刀 布 石头 (石头,石头) (剪刀,石头) (布,石头) 剪刀 (石头,剪刀) (剪刀,剪刀) (布,剪刀) 布 (石头,布) (剪刀,布) (布,布) 韵 (authorId_273335559) - 教师说明：我们发现“石头、剪刀、布”这个游戏是公平的,是没有漏洞可钻的,也就是说对于参与的各方获胜的概率是相同的.实际上,在真正玩“石头、剪刀、布”时,双方做这三种手势的可能性不一定相同,每个人都有自己的习惯和偏好,本例中我们假设小明和小凡每次做这三种手势的可能性相同,如果没有这种假设,后面的解法就缺乏理论依据.事实上,我们在将一个实际问题数学化时,往往不仅仅是一个抽象化的过程,而且也是一个理想化的过程. 【理解应用】 探究与应用 例 　小凡利用三张卡片设计了一个抽奖游戏:三张卡片形状和大小相同,上面分别画有图书、文具和球拍的图案.将每张卡片从中间剪开成形状、大小相同的上下两部分,把三张卡片的上半部分都放在第一个盒子中,下半部分都放在第二个盒子中,并分别混合均匀.抽奖者从每个盒子中各随机地抽出一片,如果抽出的两片恰好能拼成原来的图案,那么就得到对应图案的奖品.小明参加了这个游戏,求: (1)小明得到图书的概率; (2)小明得到奖品的概率. 【理解应用】 探究与应用 解:为了方便,我们将图案为图书、文具和球拍的三张卡片的上半部分依次记为A,B,C;下半部分依次记为a,b,c.可以用树状图列出所有可能的结果: 总共有9种可能的结果,由于每片都是被随机抽出,所以每种结果出现的可能性相同. (1)抽出的两片恰好能拼成图书图案的结果只有(A,a)1种,所以小明得到图书的概率为； (2)抽出的两片恰好能拼成原来图案的结果有(A,a),(B,b),(C,c)3种,所以小明得到奖品的概率为=. 探究与应用 【拓展提升】 经过某十字路口的汽车,它可能继续直行,也可能向左转或向右转,如果这三种情况是等可能的,当三辆汽车经过这个十字路口时: (1)求三辆车全部同向而行的概率; (2)求至少有两辆车向左转的概率; (3)由于十字路口右拐弯处是通往新建经济开发区的,因此交管部门在汽车行驶高峰时段对车流量作了统计,发现汽车在此十字路口向右转的频率为,向左转和直行的频率均为.目前在此路口,汽车左转、右转、直行的绿灯亮的时间都为30秒,在绿灯亮总时间不变的条件下,为了缓解交通拥挤,请你用统计的知识对此路口三个方向的绿灯亮的时间作出合理的调整. 韵 (authorId_273335559) - 处理方式:让学生自己尝试完成,鼓励学生用不同的方法解答,针对学习有困难的学生进行个别指导,并借助多媒体展示矫正、规范理解. 探究与应用 【拓展提升】 解：（1）根据题意，可以画出如下的树状图： ∵共有27种等可能的结果，三辆车全部同向而行的有3种情况， ∴P（三辆车全部同向而行）=. （2）∵至少有两辆车向左转的有7种情况， ∴P（至少有两辆车向左转）=. （3）∵汽车向右转、向左转、直行的频率分别为，，. ∴在不改变各方向绿灯亮的总时间的条件下，可调整绿灯亮的时间如下： 右转绿灯亮的时间为90×=36（秒），左转绿灯亮时间为90×=27（秒），直行绿灯亮时间为90×=27（秒）． 【小结】 课堂小结与检测 1.利用树状图或表格可以清晰地表示出某个事件发生的所有可能出现的结果;从而较方便地求出某些事件发生的概率. 2.当试验包含两步时,列表法比较方便,当然,此时也可以用树状图法; 当试验在三步或三步以上时,用树状图法方便. 3.一个公平的游戏，双方获胜的概率应各占50%。 【达标检测】 1.甲、乙两人各自掷一个普通的正方体骰子,如果两者之和为偶数,甲得1分;如果两者之和为奇数,乙得1分,此游戏 (　　) A.是公平的　　　B.对乙有利 C.对甲有利　　　D.以上都不对 2.某口袋中有20个球,其中白球x个,绿球2x个,其余为黑球,从袋中任意摸出一个球,若为绿球,则小星获胜,若为黑球,则小红获胜,要使游戏对小星、小红双方公平,则x的值是 (　　) A.3　 　B.4　 　C.5　　 D.6 课堂小结与检测 B A 3.京剧以其独特的艺术魅力和深厚的文化底蕴闻名于世,京剧的角色有生、旦、净、丑等.现有4张不透明卡片,正面分别印有“生”“旦”“净”“丑”四种角色的卡通人物,卡片除正面图案外其余都相同.将这4张卡片背面朝上洗匀,先随机抽取一张,再从剩下的3张中随机抽取一张.利用画树状图或列表的方法表示所有可能出现的结果,并求抽取到的两张卡片中有“生”的概率. 课堂小结与检测 解：从印有“生”“旦”“净”“丑”4张卡片中，先随机抽取一张，再从剩下的3张中随机抽取一张，所有可能出现的结果如下： 共有12种等可能出现的结果，其中抽取到的两张卡片中有“生”的有6种，所以抽取到的两张卡片中有“生”的概率为=． 【达标检测】 $