4.1 投影 课件 2026-2027学年北师大版九年级数学上册

该初中数学课件聚焦“中心投影”，从生活中影子现象（如皮影、手影）导入，通过“举例影子现象、分析产生条件、识别常见光线”的问题链，建立与现实经验的联系，搭建从具体到抽象的学习支架。 其亮点在于以实验探究为核心，通过手电筒照射小棒和纸片的操作，引导学生用数学思维推理影子变化规律，结合例题确定路灯位置、拓展题用相似三角形求距离，培养几何直观与模型意识。小结系统梳理概念和作图方法，助力学生构建知识体系，教师使用可提升课堂互动与教学效率。

第四章 投影与视图 1.投影 第1课时 中心投影 知识关联 探究与应用 课堂小结与检测 在日常生活中,我们可以看到各种各样的影子.比如,在下面图中，太阳光照射在玻璃窗框、长椅等物体上时,会在墙壁或地面上留下影子;皮影和手影则是灯光照射形成的影子. 知识关联 韵 (authorId_273335559) - 设计意图：用多媒体展示实物的影子、皮影、手影的精彩图片及视频,给学生以视觉冲击,产生了视觉和心理的震撼,这样在课堂“第一时间”抓住了学生的注意力、极大地激发了学生的学习热情,有利于后面教学活动的开展,提高课堂教学效果. 【探究】 中心投影 探究与应用 问题1:你能举例说出生活中还有哪些与影子有关的现象? 问题2:在什么条件下物体可以产生影子? 问题3:常见的光线有什么? 韵 (authorId_273335559) - 处理方式:尝试列举生活中其他有关影的现象.思考影子是如何形成的,体会影的形成与光线有关.常见的光线有太阳光和灯光. 【探究】中心投影 探究与应用 【概括新知】 物体在光的照射下,会在地面或其他平面上留下它的影子,这就是投影现象.影子所在的平面称为投影面. 投影面 投影 投影线 【探究】中心投影 探究与应用 【操作·思考】 取一些长度不同的小棒和三角形、矩形纸片,用手电筒(或台灯)等照射这些小棒和纸片,观察它们的影子. (1)固定手电筒(或台灯),改变小棒或纸片的摆放位置和方向,影子分别发生了什么变化? (2)固定小棒或纸片,改变手电筒(或台灯)的摆放位置和照射方向,影子分别发生了什么变化? 小结：无论是固定手电筒(或台灯),还是固定小棒或纸片,影子都随着物体与光源距离(或与投影面的距离)的变化而变化. 韵 (authorId_273335559) - 教师强调实验的注意事项:(1)固定手电筒(或台灯),改变小棒或纸片的摆放位置和方向;(2)固定小棒或纸片,改变手电筒(或台灯)的摆放位置和照射方向. 【探究】中心投影 探究与应用 【概括新知】 手电筒、路灯和台灯的光可以看成是从一个点发出的,这样的光所形成的投影称为中心投影. 通过以上实验操作请思考“点光源、物体上的点、影子上的对应点三者有什么关系?”并与同伴交流. “点光源、物体上的点、影子上的对应点”在同一条直线上.如图所示： 【理解应用】 探究与应用 例 确定图中路灯灯泡所在的位置. 解:如图,过一根木杆的顶端及木杆影子的顶端画一条直线,再过另一根木杆的顶端及木杆影子的顶端画一条直线,两线相交于点O.点O就是路灯灯泡所在的位置. O 韵 (authorId_273335559) - 设计意图：通过例题使学生对“中心投影成影光线可以看成是从同一个点发出的”有更加深入的认识,并能够应用原理解决实际问题. 【理解应用】 探究与应用 【思考·交流】 如图,一个广场中央有一盏路灯. (1)身高相同的两个人在这盏路灯下的影子一定一样长吗?如果不一定,那么什么情况下他们的影子一样长? (2)身高不同的两个人在这盏路灯下的影子有可能一样长吗?与同伴进行交流. (3)一个人在路灯下影子的长短与什么因素有关?随着这些因素的变化,影子是如何变化的? 韵 (authorId_273335559) - 处理方式:引导学生先自主思考然后在小组内讨论交流,利用课前准备的长度相同和不同的小棒进行模拟实验，验证自己的想法.每个小组选一名代表进行展示,教师根据学生的展示情况及时小结. 【理解应用】 探究与应用 解：(1)身高相同的两个人在这盏路灯下的影子不一定一样长,当他们到这盏路灯的距离一样时,他们的影子就一样长. (2)身高不同的两个人在这盏路灯下的影子有可能一样长,当高的离路灯近矮的离路灯远时就有可能一样长. (3)一个人在路灯下的影长不仅与他的身高有关,而且还与他到路灯的距离有关. 【拓展提升】 探究与应用 如图,AB是公园的一圆形桌面的主视图,MN表示该桌面在路灯下的影子; CD则表示一个圆形的凳子. (1)请你在图中标出路灯O的位置,并画出CD的影子PQ(要求保留画图痕迹,光线用虚线表示); (2)若桌面直径和桌面与地面的距离均为1.2 m,测得影子的最大跨度MN为2 m,求路灯O与地面的距离. 解：（1）点O，影子PQ如右图所示. 【拓展提升】 探究与应用 解：（2）作OF⊥MN交AB于E，如图，AB=1.2m,EF=1.2m,MN=2m, ∵AB∥MN， ∴△OAB∽△OMN， ∴AB：MN=OE：OF， 即1.2：2=（OF-1.2）：OF， 解得OF=3（m）． 即路灯O与地面的距离为3 m. 如图,AB是公园的一圆形桌面的主视图,MN表示该桌面在路灯下的影子; CD则表示一个圆形的凳子. (1)请你在图中标出路灯O的位置,并画出CD的影子PQ(要求保留画图痕迹,光线用虚线表示); (2)若桌面直径和桌面与地面的距离均为1.2 m,测得影子的最大跨度MN为2 m,求路灯O与地面的距离. 【小结】 课堂小结与检测 投影 投影的概念 中心投影 物体在光线的照射下，会在地面或其 他平面上留下它的影子，这就是投影. 概念：点光源的光线形成的投影. 变化规律：垂直于地面的物体离点光源 距离近时，影子短，离点光源远时影子长. 作图 寻找光源. 已知光源出作投影. 【达标检测】 1.下列各种现象属于中心投影现象的是 (　　) A.中午烈日下用来乘凉的树影 B.上午阳光下人走在路上的影子 C.晚上人走在路灯下的影子 D.早上太阳下升旗时地面上旗杆的影子 2.用发光的手电筒由远及近去照射吊在空中的小球,如图,那么小球落在竖直墙面上的影子会 (　　) A.先变大后变小　B.逐渐变小 C.逐渐变大　D.先变小后变大 3.晚上到广场去玩,小明发现有两人的影子一个向东,一个向西,于是他肯定地说:“广场上的大灯泡一定位于两人 　 　.” 课堂小结与检测 C 之间的上方 C 4.如图,画出木杆AB,CD在灯光O下的影子. 课堂小结与检测 E F 解：如图，线段BE、DF即为所求. 【达标检测】 $第四章 投影与视图 1.投影 第2课时 平行投影 知识关联 探究与应用 课堂小结与检测 你知道古埃及的金字塔吗?两千六百多年前,埃及有个国王,想要知道已经盖好了的大金字塔的高度,可是谁也不知道该怎样测量.人爬到顶上去吧,不可能.因为塔身是斜的,就是爬上去了,又用什么方法来测量呢? 后来,国王请到了一个名叫泰勒斯的学者来设法解决这个问题.他选择了一个风和日暖的日子,在国王、祭祀们的亲自驾临下,举行了测塔仪式. 看时间已经不早,太阳光给每个在场的人和巨大的金字塔都投下了长长的影子.当泰勒斯确知他自己的影子等于他的身高时,他发出了测塔命令:这时,助手们立即测出了金字塔的影子长度.接着泰勒斯十分准确地算出了金字塔的高度. 知识关联 你知道其中的道理吗？ 韵 (authorId_273335559) - 处理方式:学生在老师的引导下观看两幅图片,积极思考,提前感知阳光下的物体影子的实例,为后面的学习打下铺垫. 上节课我们学习了中心投影,研究了灯光形成的影子,下面三幅图各是由什么形成的影子? 知识关联 灯光 太阳光 太阳光 【探究】 平行投影 探究与应用 取一些长度不同的小棒及三角形、矩形纸片,观察它们在太阳光下的影子. (1)固定投影面,改变小棒或纸片的摆放位置和方向,影子分别发生了什么变化? (2)固定小棒或纸片,改变投影面的摆放位置和方向,影子分别发生了什么变化? 小结：当物体或投影面的位置发生平行移动时，影子仅位置改变；当光线的方向发生倾斜或旋转时，影子的形状和大小会因投影角度的变化而改变. 韵 (authorId_273335559) - 教师点拨:深入到各小组指导操作,及时提醒和指导,并鼓励学生在小组内用自己的语言描述发现.重点强调学生对于特殊位置的摆法及其结论的探讨. 【探究】平行投影 探究与应用 【概括新知】 太阳光线可以看成平行光线,平行光线所形成的投影称为平行投影. 如图(1)(2)表示的都是平行投影,其中图(2)中的平行光线与投影面垂直,这种投影称为正投影. 【探究】平行投影 探究与应用 类型 项目 平行投影 中心投影 定义 平行光线所形成的投影 从一个点发出的光线所形成的投影 区别 光源 太阳等 点光源（如电灯等） 投影线 平行 相交于一点 投影方向 相同 由点光源与物体的相对位置确定 联系 都是投影现象，都是物体在光线照射下形成影子 平行投影与中心投影 的区别与联系 【探究】平行投影 探究与应用 【观察·交流】 图中的三幅图是某天上午不同时刻在我国某地的同一位置拍摄的. 问题1:在三个不同时刻,同一棵树的影子长度不同,请将这三幅图按拍摄的先后顺序进行排列,并说明理由. 正确的顺序是(3)、(2)、(1). 因为一天中影子的变化方向为“西—西偏北—北—北偏东—东”,影子的长度变化为上午:“长—短”;下午:“短—长”;一天的变化为“长—短—长”. 韵 (authorId_273335559) - 处理方式：学生思考后互相交流,然后教师指名回答,并进行归纳.教师还应该提醒学生注意读题和审题“某天上午不同时刻在我国某地的同一位置拍摄的”,以养成科学严谨的态度 【探究】平行投影 探究与应用 【观察·交流】 图中的三幅图是某天上午不同时刻在我国某地的同一位置拍摄的. 问题2:在同一时刻,两棵树影子的长度与它们的高度之间有什么关系?与同伴进行交流. 归纳：1.一天中太阳光下物体影子的变化规律: (1)方向:西—西偏北—北—北偏东—东. (2)大小:长—短—长. 2.同一时刻,物高与影长成比例. 同一时刻,物高与影长成比例. 【理解应用】 探究与应用 例 某校墙边有甲、乙两根立柱,已知乙立柱的高度为1.5 m. (1)某一时刻甲立柱在太阳光下的影子如图所示.请画出此时乙立柱的影子. (2)在图中,当乙立柱移动到什么位置时,其影子刚好不落在墙上?请画出此时乙立柱的位置和影子. (3)在(2)的情形下,如果测得甲、乙立柱的影子长分别为1.24 m和1 m,那么甲立柱的高度是多少? 解:(1)如图,连接DD',过点E作DD'的平行线,交AD'所在的直线于点E'.BE'就是乙立柱的影子.　 (2)如图,将乙立柱移动到与墙之间的距离为BE'的地方,其影子刚好不落在墙上. 韵 (authorId_273335559) - 处理方式:学生自己动手画图,尝试操作,教师巡视,对于图形、结论不够完善的,通过小组交流讨论进一步完善,教师适当提供帮助,从而进一步加深学生对平行投影的理解.同时验证平行投影的相关性质,让学生再次经历知识形成的过程.教师引领学生通过思考交流,在学案上利用平行投影的规律进行作图,同时和三角形相似的知识结合,经过计算求解解决问题. 【理解应用】 探究与应用 例 某校墙边有甲、乙两根立柱,已知乙立柱的高度为1.5 m. (1)某一时刻甲立柱在太阳光下的影子如图所示.请画出此时乙立柱的影子. (2)在图中,当乙立柱移动到什么位置时,其影子刚好不落在墙上?请画出此时乙立柱的位置和影子. (3)在(2)的情形下,如果测得甲、乙立柱的影子长分别为1.24 m和1 m,那么甲立柱的高度是多少? 归纳:同一时刻同一地点阳光下物体的长度和 影长的比值是定值. 解:(3)因为△ADD'∽△BEE', 所以=,即=. 所以,甲立柱的高度为AD==1.86(m). 【理解应用】 探究与应用 【操作·交流】 (1)两棵小树在同一时刻的影子如图1所示,请在图中画出形成树影的光线.它们是太阳的光线还是灯光的光线?与同伴进行交流. (2)图2中的影子是在太阳光下形成的还是在灯光下形成的?画出同一时刻立柱的影子(用线段表示),并与同伴交流这样做的理由. 图1 图2 灯光的光线 太阳的光线 【探究】平行投影 探究与应用 　【思考·交流】 请举例说明在太阳光、灯光照射下，物体在地面上的影子的不同特征，并与同伴进行交流. 太阳光下（平行投影） 光线平行，同一时刻所有物体影子方向相同；物体越高影子越长，高度与影长成比例；一天中影子方向、长短随太阳位置规律变化. 例：同一时刻楼房、大树影子都朝同一方向. 灯光下（中心投影） 光线由一点发出，物体影子方向不同；物体离光源越近影子越短，越远影子越长，高度和影长不成比例. 例：路灯下行走，靠近灯影子变短，远离灯影子变长。 区别总结： 太阳影子：同向、成比例. 灯光影子：不同向、不成比例. 【拓展提升】 探究与应用 小明想测量旗杆的高度,他在某一时刻测得竖直放置的1米长竹竿的影长为1.5米,同时测量出旗杆在地面上的影长为21米,留在墙上的影高为2米,请你帮忙计算该旗杆的高度. 解：如图：过点C作CE⊥AB于点E，某一时刻竹竿和影长构成的三角形为△FGH，此时FG=1米，GH=1.5米. ∵CD⊥BD，AB⊥BD， ∴∠EBD=∠CDB=∠CEB=90°， ∴四边形CDBE为矩形. ∴BD=EC=21米，CD=EB=2米． 据题意，同一时刻，△AEC∽△FGH. ∴=,∴=,∴AE=14米. ∴AB=AE+BE=14+2=16（米）， 即旗杆的高度为16米. E 【小结】 课堂小结与检测 平行投影与 正投影 概念：平行光线所形成的投影 平行光线与投影面垂直时形成的投影 平行投影 正投影 画法 计算 【达标检测】 1.某一时刻,身髙1.6 m的小明在阳光下的影长是0.4 m,同一时刻同一地点测得某旗杆的影长是5 m,则该旗杆的高度是 (　　) A.1.25 m　　B.10 m　　C.20 m　　D.8 m 2.下图是小明一天上学、放学时看到的一根电线杆的影子的俯视图,将它们按时间先后顺序进行排列为　　 　　.  3.同一时刻两棵小树的影子如图所示,请指出哪个是灯光下形成的,哪个是阳光下形成的? 课堂小结与检测 C 阳光下 ②③①④ 灯光下 4.有两根竹竿AB,CD在同一个平面上直立着,如图,竹竿AB的影子BE与AB一样长,请你在图中画出这时木棒CD的影子. 课堂小结与检测 解：DF为CD的影，且DF=CD． 【达标检测】 5.小明和小丽在操场上玩耍,小丽突然高兴地对小明说:“我踩到你的‘脑袋’了.”如图1即表示此时小明和小丽的位置. (1)请画出此时小丽在阳光下的影子; (2)若已知小明身高为1.60 m,小明和小丽之间的距离为2 m,而小丽的影子长为1.75 m,求小丽的身高. 课堂小结与检测 【达标检测】 图1 解：（1）如图2，线段CA即为此时小丽在阳光下的影子． （2）∵小明的身高为1.60m,小明和小丽之间的距离为2m,而小丽的影子长为1.75m,设小丽的身高为xm, ∴=，解得x=1.4． 答：小丽的身高为1.4m. 图2 $