5.4 二次函数与一元二次方程 课件 2026-2027学年北师大版九年级数学上册

该初中数学课件聚焦二次函数图象与x轴交点和一元二次方程根的关系，通过一次函数与一元一次方程的关系类比导入，搭建从已知到未知的学习支架，引导学生迁移探究两者内在联系。 其亮点是以竖直上抛小球、喷泉水柱等实际情境为载体，结合图象观察与方程根的对比，培养学生几何直观和推理意识，用表格清晰总结交点个数、根的情况及判别式关系，助力学生理解数学联系，提升教师教学效率。

第五章 二次函数 4　二次函数与一元二次方程 第1课时　二次函数的图象与x轴的交点和一元二次方程的根的关系 知识关联 探究与应用 课堂小结与检测 问题1:一次函数y=x+2的图象与x轴的交点为( 　,　 　),一元一次方程x+2=0的解为　　 .  问题2:一次函数y=-3x+6的图象与x轴的交点为(　　,　 　),一元一次方程-3x+6=0的解为 　 .  问题3:一次函数y=kx+b的图象与x轴的交点与关于x的一元一次方程kx+b=0的解有什么关系? 知识关联 一次函数y=kx+b的图象与x轴的交点的横坐标就是关于x的一元一次方程kx+b=0的解. 现在我们学习了一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)和二次函数y=ax2+bx+c(a≠0),它们之间是否也存在一定的关系呢? -2 0 x=-2 2 0 x=2 韵 (authorId_273335559) - 设计意图：首先利用所学的一元一次方程kx+b=0(k≠0)和一次函数y=kx+b(k≠0)的关系进行回顾,让学生进一步理解和掌握所学知识,为本课的学习做铺垫. 【探究】 二次函数的图象与一元二次方程的根的关系 探究与应用 我们已经知道,竖直上抛物体运动的高度h(单位:m)与运动的时间t(单位:s)的关系可以近似地用公式h=-5t2+v0t+h0表示,其中h0(单位:m)是物体被抛出时的高度,v0(单位:m/s)是物体被抛出时的速度.一个小球从地面被以40 m/s的速度竖直向上抛出,小球运动的高度h与运动的时间t之间的关系如图所示. (1)写出h与t之间的关系式. (2)小球经过多少秒落地?你有几种求解方法?与同伴进行交流. 韵 (authorId_273335559) - 处理方式:让学生阅读题目,明确已知条件,并说一说从图象中能获得哪些有用的信息,然后组织学生在小组内完成. 【探究】 二次函数的图象与一元二次方程的根的关系 探究与应用 解：(1)根据题目给出的信息,小球从地面被以40 m/s的速度竖直向上抛出,这意味着抛出时的高度h0=0米,抛出时的速度v0=40 m/s. 根据公式h=-5t2+v0t+h0,我们可以将v0和h0的值代入,得到:h=-5t2+40t; (2)方法一:观察图象,可直接得出小球与x轴的两交点为(0,0),(8,0),所以小球经过8秒落地. 方法二:小球落地时,高度h=0，即-5t2+40t=0, 解得t1=0,t2=8, 因此,小球落地的时间是8秒. 【探究】 二次函数的图象与一元二次方程的根的关系 探究与应用 归纳: 二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交点的横坐标即为方程ax2+bx+c=0的解;当二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的函数值为0时,相应的自变量的值即为方程ax2+bx+c=0(a≠0)的解,这一结论反映了二次函数与一元二次方程的关系. 【探究】 二次函数的图象与一元二次方程的根的关系 探究与应用 【观察·思考】 二次函数y=x2+2x,y=x2-2x+1,y=x2-2x+2的图象如图所示. (1)每个图象与x轴有几个交点? (2)一元二次方程x2+2x=0,x2-2x+1=0,x2-2x+2=0分别有几个实数根?用根的判别式验证一下. (3)二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交点的坐标和一元二次方程ax2+bx+c=0的根有什么关系? 韵 (authorId_273335559) - 　处理方式:让学生以小组为单位进行讨论,充分发表自己的见解,寻求最合理的答案.教师进行巡视,参与到学生的讨论之中,解答学生的疑难问题,获取信息,为讲解做准备.最后得出结论. 【探究】 二次函数的图象与一元二次方程的根的关系 探究与应用 【概括新知】 二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的交点有三种情况: 有两个交点、有一个交点、没有交点. 与此相对应，一元二次方程ax2+bx+c=0的根也有三种情况： 有两个不相等的实数根，有两个相等的实数根，没有实数根. 当二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交点的横坐标就是一元二次方程ax2+bx+c=0的根. 【探究】 二次函数的图象与一元二次方程的根的关系 探究与应用 【思考·交流】 在本节一开始的上抛小球问题中,何时小球运动的高度是60 m?你是如何知道的?与同伴进行交流. 解:当h=60时,即-5t2+40t=60, 解得t1=2,t2=6, 所以当运动的时间为2 s或6 s时,小球运动的高度是60 m. 小城故事 (authorId_548926071) - 处理方式:让学生先独立思考,然后在小组内进行交流.可以让学生说一说小球的高度是60 m时,其对应的时间在函数图象上是如何体现的? 【理解应用】 探究与应用 例 如图,以40 m/s的速度将小球沿与地面成30°角的方向击出时,小球的飞行路线是一条抛物线.如果不考虑空气阻力,球的飞行高度h(单位:m)与飞行时间t(单位:s)之间具有关系h=20t-5t2.考虑以下问题: 　(1)球的飞行高度能否达到15 m?如果能,需要飞行多少时间? (2)球的飞行高度能否达到20 m?如果能,需要飞行多少时间? (3)球的飞行高度能否达到20.5 m?为什么? (4)球从飞出到落地要用多少时间? 解:(1)解方程15=20t-5t2,t2-4t+3=0,得t1=1,t2=3. 所以当球飞行1 s或3 s时,它的高度为15 m. (2)解方程20=20t-5t2,t2-4t+4=0,得t1=t2=2. 当球飞行2 s时,它的高度为20 m. (3)解方程20.5=20t-5t2,t2-4t+4.1=0. 因为16-4×4.1<0, 所以方程无解,球的飞行高度达不到20.5 m. (4)解方程0=20t-5t2,t2-4t=0,得t1=0,t2=4. 所以,球从飞出到落地要用4 s. 韵 (authorId_273335559) - 师生活动:教师进行引导,飞行高度h与飞行时间t的函数表达式为h=20t-5t2,所以将h的值代入函数表达式,得到关于t的一元二次方程即可求解. 让学生以小组为单位自学、讨论、合作、交流,尝试解决问题,教师巡视指导. 【拓展提升】 探究与应用 1.二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示,对称轴是直线x=1,则下列四个结论错误的是 ( ) A.c>0　　　　B.2a+b=0 C.b2-4ac>0　 D.a-b+c>0 2.已知二次函数y=x2-(m-2)x+m-3(m是常数). (1)求证:无论m为何值,该二次函数图象与x轴一定有交点; (2)已知该二次函数的图象与x轴交于A,B两点,且AB=2,求m的值. D 解：（1）当y=0时，x2-（m-2）x+m-3=0， ∵Δ=[-（m-2）]2-4×1×（m-3） =m2-4m+4-4m+12=m2-8m+16=（m-4）2≥0， ∴一元二次方程x2-（m-2）x+m-3=0有实数根. ∴无论m为何值，该二次函数图象与x轴一定有交点. （2）当y=0时，x2-（m-2）x+m-3=0，解得x1=m-3，x2=1， ∴AB=|（m-3）-1|=|m-4|=2， ∴m=6或m=2． 【小结】 课堂小结与检测 二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的交点有三种情况： 一元二次方程ax2+bx+c=0 的根有三种情况： 有两个交点 有一个交点 没有交点 有两个不相等的实数根 有两个相等的实数根 没有实数根 二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的交点的横坐标就是一元二次方程ax2+bx+c=0的根 【达标检测】 1.二次函数y=ax2-3x+2的图象与x轴有两个不同交点,则a可以是 (　　) A.0　　B.1　　C.2　　D.3 2.在平面直角坐标系xOy中,抛物线y=ax2+bx+c如图1所示,则关于x的方程ax2+bx+c=0的根的情况为 (　　) A.有两个不相等的实数根　　B.有两个相等的实数根 C.有实数根　　　　　　　　D.没有实数根 3.如图2,抛物线y=ax2+bx+c与直线y=3交于A,B两点,则方程ax2+bx+c=3的解为　　 　. 图1 图2 课堂小结与检测 B D x1=-2,x2=3 【小结】 课堂小结与检测 有两个交点 有两个不相等的实数根，为交点的横坐标 b2-4ac > 0 有一个交点 有两个相等的实数根，为交点的横坐标 b2-4ac = 0 没有交点 没有实数根 b2-4ac < 0 二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交点的坐标与一元二次方程ax2+bx+c=0根的关系 二次函数图象与x轴交点个数 一元二次方程根的个数 判别式的符号 4.如图①,某广场地面上有各种彩灯喷泉,喷泉从地面上的喷水口喷出,形成的水柱呈抛物线形状,其中一个喷水口O喷出水柱的最大高度为2 m,水落地时距喷水口O的水平距离为2 m,建立如图②所示平面直角坐标系. (1)求该喷泉形成的抛物线的函数表达式; (2)两个身高都是1.5 m的小朋友并排横向直立在该喷泉下,若他们的头顶恰好同时都碰到水柱,求此时两人之间的距离. 课堂小结与检测 【达标检测】 课堂小结与检测 解：（1）∵水柱所在抛物线过原点，且水落地时距喷水口O的水平距离为2m, ∴抛物线的对称轴为直线x==1， ∵水柱的最大高度为2m, ∴抛物线的顶点为（1，2）， 设抛物线的表达式为y=a（x-1）2+2， 把（0，0）代入，得a+2=0，∴a=-2. ∴该喷泉形成的抛物线的函数表达式为y=-2（x-1）2+2. （2）把y=1.5代入（1）中的抛物线， 得1.5=-2（x-1）2+2， 解得x1=，x2=. ∵ - =1（m）， ∴两人之间的距离为1m. 【达标检测】 $第五章 二次函数 4　二次函数与一元二次方程 第2课时　利用二次函数的图象求一元二次方程的近似根知识关联 探究与应用 课堂小结与检测 如图,你能说出一元二次方程x2+x-2=0与二次函数y=x2+x-2的关系吗? 知识关联 一元二次方程x2+x-2=0的根是二次函数y=x2+x-2的图象与x轴交点的横坐标. 说明：我们还可以根据二次函数的图象与x轴的交点情况,判断一元二次方程根的情况.这样,我们在不解方程的情况下,只要知道二次函数图象与x轴交点的横坐标即可.但是在图象上我们很难准确地求出方程的解,所以要进行估算. 【探究】 利用二次函数的图象求一元二次方程的近似根 探究与应用 你能利用二次函数的图象估计一元二次方程x2+2x-10=0的根吗? 图①是函数y=x2+2x+10的图象. 由图象可知方程有两个根,一个在-5和-4之间,另一个在2和3之间. (1)先求-5和-4之间的根.如图,利用计算器进行探索: 　　因此,x=-4.3是方程的一个近似根. (2)另一个根可以类似地求出: 　　因此,x=2.3是方程的另一个近似根. 从上表可知,当x取-4.4和-4.3时,对应y的值由正变负,可见在-4.4和-4.3之间一定有一个x值使得y=0,即有方程x2+2x-10=0的一个根.由于当x=-4.3时,y= -0.11比y=0.56(x=-4.4)更接近0,所以选x=-4.3.因此,方程x2+2x-10=0在-5和-4之间精确到0.1的根为x=-4.3. 韵 (authorId_273335559) - 处理方式:引导学生回顾画二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)图象的步骤方法,观察估计二次函数y=x2+2x-10的图象与x轴的交点的横坐标,由图象可知,图象与x轴有两个交点,其横坐标一个在-5与-4之间,另一个在2与3之间.所以方程x2+2x-10=0的两个根一个在-5与-4之间,另一个在2与3之间.既然一个根在-5与-4之间,那这个根一定是负4点几,所以个位数就确定下来了,接着确定十分位上的数,这时可以用试一试的方法,即分别把x=-4.1,-4.2,…,-4.9代入方程进行计算,哪一个值能使等式成立(或哪一个值能使等式近似成立),则这个值就是方程的根(或近似根). 【探究】 利用二次函数的图象求一元二次方程的近似根 探究与应用 小结: 利用二次函数的图象求方程的近似根的步骤: ①观察图象,判断方程的根的大致范围; ②准确估算自变量多取一位小数的若干函数值并列表比较; ③借由表格判断方程的近似根. 【探究】 利用二次函数的图象求一元二次方程的近似根 探究与应用 用一元二次方程的求根公式验证一下,看是否有相同的结果. 解:x2+2x-10=0, x2+2x=10, 配方得,(x+1)2=11, 解得x1=-1+≈-1+3.3=2.3;x2=-1-≈-1-3.3=-4.3. 本书规定:用图象法求一元二次方程的近似根时,结果只取到十分位. 【探究】 利用二次函数的图象求一元二次方程的近似根 探究与应用 【操作·思考】 如何利用右图二次函数图象求一元二次方程x2+2x-10=3的近似根,你是怎么做的. 从图象可知,方程的两个近似根为-4.7和2.7. 小结:利用二次函数的图象求一元二次方程x2+2x-10=3的近似根可以借助抛物线y=x2+2x-13与x轴的交点,也可借助抛物线y=x2+2x-10与直线y=3的交点等. 【探究】 利用二次函数的图象求一元二次方程的近似根 探究与应用 【思考·交流】 一次函数与二元一次方程的关系、二次函数与一元二次方程的关系,这两者在研究内容和研究方法方面有什么异同？与同伴进行交流. 共性：一次函数与二元一次方程、二次函数与一元二次方程的关系，本质上都是函数与方程的统一性，即通过变量间的依赖关系（函数）来描述未知数间等量关系（方程）的解. 不同：一次函数图象（直线）上的点坐标是对应二元一次方程的解；二次函数图象（抛物线）与x轴交点的横坐标是对应一元二次方程的解. 韵 (authorId_273335559) - 处理方式:指导学生利用数与形之间的关系进行讨论,然后指名发言,教师作必要的指导. 【理解应用】 探究与应用 例1 根据下列表格中二次函数y=ax2+bx+c的自变量x与函数值y的对应值,判断方程ax2+bx+c=0(a≠0,a,b,c为常数)的一个解x的范围是(　 　) A .6<x<6.17 B.6.17<x<6.18 C.6.18<x<6.19 D.6.19<x<6.20 例2　利用二次函数y=x2+x-1的图象求一元二次方程x2+x-1=0的近似根. C x 6.17 6.18 6.19 6.20 y=ax2+bx+c -0.03 -0.01 0.02 0.06 解：如图，图象与x轴的交点坐标 是(-1.6,0),(0.6,0). 所以方程x2+x-1=0的近似根是x1=-1.6,x2=0.6. 【拓展提升】 探究与应用 1.借助二次函数y=2x2-3x-1的图象,可求出下面哪个方程的近似根 (　　) A.x2+5x-1=0 　　　　　　 B.x2+3x-1=0 C.2x2-3x+5=6 　　　　　　D.x2+5x=0 2.一元二次方程x2+7x+9=1的根与二次函数y=x2+7x+9的图象有什么关系?试把方程的根在图象上表示出来. C 解：一元二次方程x2+7x+9=1的根是二次函数y=x2+7x+9图象中y=1时，所对应的x的值. 当y=1时，x2+7x+9=1， ∴作出二次函数y=x2+7x+9的图象如图，由图中可以看出，当y=1时，x≈-5.6或-1.4， ∴一元二次方程x2+7x+9=1的根为 x1≈-5.6，x2≈-1.4． 【小结】 课堂小结与检测 (1)用描点法作二次函数 y=ax2+bx+c的图象； (2)观察估计二次函数 的图象与x轴的交点的横坐标； (可将单位长度十等分,借助计算器确定其近似值)； (3)确定方程ax2+bx+c=0的近似根. 利用图象法求一元二次方程的近似根 【达标检测】 1.根据下列表格,判断出方程8x2+9x-1=0的一个近似解(结果精确到0.01)是 (　　) 　　 A.-1.43　B.-1.33　C.-1.23　D.-1.13 2.已知二次函数y=ax2-4ax+c中部分x和y的值如下表所示: 则方程ax2-4ax+c=0的一个较大的根的范围是 (　　) A.0.11<x<0.12　　　B.0.12<x<0.13 C.3.87<x<3.88　　　D.3.88<x<3.89 课堂小结与检测 C C x -1.5 -1.4 -1.3 -1.2 -1.1 8x2+9x-1 3.5 2.08 0.82 -0.28 -1.22 x 0.10 0.11 0.12 0.13 0.14 y -5.6 -3.1 -1.5 0.9 1.8 3.抛物线y=x2-2x+0.5如图所示,利用图象可得方程x2-2x+0.5=0的近似解为　　　 　(精确到0.1).  课堂小结与检测 x1=0.3,x2=1.7 【达标检测】 4.(1)在如图所示的平面直角坐标系中画出二次函数y=x2-4x-4的大致图象; (2)根据方程的根与函数图象的关系,将方程x2-4x-4=2的根在图中近似地表示出来(描点); (3)观察图象,直接写出方程x2-4x-4=2的近似根.(结果精确到0.1) 课堂小结与检测 解：（1）∵y=x2-4x-4=（x-2）2-8， ∴抛物线顶点为（2，-8）， 图象经过点（0，-4）和（4，-4）,作出函数图象如图． （2）方程x2-4x-4=2的根在图中近似地表示为点P，Q； （3）方程x2-4x-4=2的近似根为-1.1，5.1． 【达标检测】 $