5.4　二次函数与一元二次方程 课件 2026-2027学年北师大版九年级数学上册

该初中数学课件聚焦二次函数与一元二次方程的关系，通过“二次函数图象与x轴交点和方程解的关系”问题导入，搭建从函数图象到方程根的知识支架，涵盖交点情况、判别式应用及实例解析。 其亮点在于以几何直观呈现数形联系，通过例1求交点坐标、例2平移问题培养推理意识与模型观念，结合中考题和分层小测，帮助学生发展抽象能力，教师可系统巩固知识提升教学效率。

第五章　二次函数 4　二次函数与一元二次方程 第2课时　利用二次函数的图象估计一元二次方程的根 　 1 你能利用二次函数的图象估计一元二次方程x2＋2x－10＝0的根吗？ 　 　用图象法解一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的步骤 （1）作二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的图象，由图象确定交点个数， 即方程解的个数； （2）确定一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的根的取值范围，即确定 抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）与x轴交点的横坐标的大致范围； （3）在（2）确定的范围内，用计算器进行探索，即在（2）确定的范围 内，从大到小或从小到大依次取值，用表格的形式求出相应的y值； （4）确定一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的近似根，在（3）中最 接近0的y值所对应的x值即是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的近 似根. 　 【例1】（2025秋•龙华区月考）如表给出了二次函数y＝x2＋2x－9中x，y 的一些对应值，则可以估计一元二次方程x2＋2x－9＝0的一个近似解（精确 到0.1）为（　C　）. x … 2 2.1 2.2 2.3 2.4 … y … －1 －0.39 0.24 0.89 1.56 … A. 2 B. 2.1 C. 2.2 D. 2.3 C 　 二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的图象如图所示， A（2.18，－0.51），B（2.68，0.54）为图象上的两点，则方程 ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的一个解可能是（　C　）. A. 2.75 B. 2.68 C. 2.45 D. 2.18 C 　 　二次函数与一元二次不等式的关系 二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）与一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0 （a≠0）及ax2＋bx＋c＜0（a≠0）之间的关系如下（x1＜x2）： 函数 图象 a＞0 a＜0 不等式 ax2＋bx＋c＞0 ax2＋bx＋c＜0 ax2＋bx＋c＞0 ax2＋bx＋c＜0 解集 x＜x1或x＞x2 x1＜x＜x2 x1＜x＜x2 x＜x1或x＞x2 　 【例2】（2025秋•越秀区期末）二次函数y＝x2－x－2的图象如图所示，则 不等式x2－x－2＜0的解集是（　C　）. C A. x＜－1 B. x＞2 C. －1＜x＜2 D. x＜－1或x＞2 　 二次函数y1＝ax2＋bx＋c与一次函数y2＝mx＋n的图象如图所 示，则满足ax2＋bx＋c＜mx＋n的x的取值范围是（　B　）. B A. －3＜x＜0 B. x＜－3或x＞0 C. x＜－3或x＞1 D. 0＜x＜3 　 1. （2025秋•罗湖区校级月考）下表给出了二次函数y＝ax2＋bx＋c的自变 量x与函数值y的部分对应值： x … 1 1.1 1.2 1.3 1.4 … y … －1 －0.67 －0.29 0.14 0.62 … 那么关于x的方程ax2＋bx＋c＝0的一个根的近似值可能是（　C　）. A. 1.07 B. 1.17 C. 1.27 D. 1.37 C 　 2. 二次函数y＝ax2－2ax＋c的图象及局部细节如图所示，则关于x的方程 ax2－2ax＋c＝0的较大的根的取值范围是（　C　）. A. 0.4＜x＜0.5 B. 0.5＜x＜0.6 C. 2.4＜x＜2.5 D. 2.5＜x＜2.6 C 　 3. 抛物线y＝ax2＋bx＋c（a＞0）与x轴交于（3，0），（－1，0），则 不等式ax2＋bx＋c＜0的解集为 ⁠. 4. 在同一平面直角坐标系中，抛物线y1＝ax2＋bx与直线y2＝2x如图所示， 那么不等式ax2＋bx＞2x的解集是（　B　）. －1＜x＜3 B A. x＜0 B. 0＜x＜2 C. x＞2 D. x＜0或x＞2 　 5. （教材第153页习题5.4第3题）利用二次函数的图象求下列一元二次方程的 近似根： （1）2x2＋x－15＝0； （2）3x2－x－1＝0. 解：由图象可知x1＝2.5，x2＝－3. 解：由图象可知x1≈0.8，x2≈－0.4. 　 6. 已知函数y＝（x＋1）2－4，请按要求填空或解答问题： （1）函数图象的对称轴是直线 ，顶点坐标是 ⁠. x＝－1 （－1，－4） 　 （2）画出该二次函数的大致图象，并结合图象回答，当x取何值时，函数值 y＜0. 列表： x －3 －2 －1 0 1 y 0 －3 －4 －3 0 画图： 由图象可知，当－3＜x＜1时，函数值y＜0. 　 （3）利用第（2）小题得到的图象，直接写出方程（x＋1）2－4＝2的近似 解（精确到0.1）. 解：方程（x＋1）2－4＝2的近似解即为y＝（x＋1）2－4与y＝2的交点横坐 标，由图象可知，x1≈－3.4，x2≈1.4. 　 7. 阅读材料，解答问题. 例：用图象法解一元二次不等式x2－2x－3＞0. 解：设y＝x2－2x－3，则y是x的二次函数.∵a＝1＞0，∴抛物线开口向上. 又∵当y＝0时，x2－2x－3＝0，解得x1＝－1，x2＝3. ∴由此得抛物线y＝x2－2x－3的大致图象如图所示. 观察函数图象可知：当x＜－1或x＞3时，y＞0. ∴x2－2x－3＞0的解集是x＜－1或x＞3. （1）观察图象，直接写出一元二次不等式x2－2x－3＜0 的解集是 ⁠； －1＜x＜3 　 （2）仿照上例，用图象法解一元二次不等式x2－1＞0. 设y＝x2－1，则y是x的二次函数， ∵a＝1＞0， ∴抛物线开口向上. 又∵当y＝0时，x2－1＝0，解得x1＝－1，x2＝1. ∴由此得抛物线y＝x2－1的大致图象如图所示. 观察函数图象可知当x＜－1或x＞1时，y＞0. ∴x2－1＞0的解集是x＜－1或x＞1. 　 参考答案 【新课导学】 【例1】　C 变式训练1　C 【例2】　C 变式训练2　B 【随堂小测】 1. C　2.C　3.－1＜x＜3　4.B 5. 解：（1）由图象可知x1＝2.5，x2＝－3. （2）由图象可知x1≈0.8，x2≈－0.4. 　 6. 解：（1）x＝－1　（－1，－4） （2）列表： x －3 －2 －1 0 1 y 0 －3 －4 －3 0 画图： 由图象可知，当－3＜x＜1时，函数值y＜0. （3）方程（x＋1）2－4＝2的近似解即为y＝（x＋1）2－4与y＝2的交点横 坐标，由图象可知，x1≈－3.4，x2≈1.4. 　 7. 解：（1）－1＜x＜3 （2）设y＝x2－1，则y是x的二次函数， ∵a＝1＞0， ∴抛物线开口向上. 又∵当y＝0时，x2－1＝0，解得x1＝－1，x2＝1. ∴由此得抛物线y＝x2－1的大致图象如图所示. 观察函数图象可知当x＜－1或x＞1时，y＞0. ∴x2－1＞0的解集是x＜－1或x＞1. 　 $第五章　二次函数 4　二次函数与一元二次方程 第1课时　二次函数与一元二次方程的关系 　 1 二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴的交点，和一元二次方程ax2＋bx＋c ＝0的解有什么关系？我们通过图象能直观理解“函数”与“方程”的联系. 　 　二次函数的图象与x轴的交点情况 二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴的交点有三种情况： 有两个交点、有一个交点、没有交点. 与此相对应，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根也有三种情况： 有两个不相等的实数根、有两个相等的实数根、没有实数根. 因此可以用一元二次方程根的判别式判断抛物线与x轴的交点个数： 当Δ＞0时，抛物线与x轴有① 交点； 两个 当Δ＝0时，抛物线与x轴有② 交点，这个交点是抛物线的③ ⁠； 当Δ＜0时，抛物线与x轴④ 交点. 一个 顶点 没有 　 【例1】（根据教材第152页习题5.4第1题改编）求下列二次函数的图象与x 轴交点的坐标，并作草图验证. （1）y＝x2－3x－5；　 解：令y＝0，可得x2－3x－5＝0， 解得x＝ ， 所以二次函数y＝x2－3x－5的图象与x轴的交点坐标为（ ，0） 和（ ，0），如图1. 　 （2）y＝－3x2＋22x－24. 解：令y＝0，可得－3x2＋22x－24＝0，解得x＝6或 ， 所以二次函数y＝－3x2＋22x－24的图象与x轴的交点坐标为 （6，0）和 ，如图2. 　 （2025•哈尔滨）抛物线y＝x2－2x＋c与y轴交于点C（0， －3），与x轴交于点A，B，则线段AB的长是 ⁠. 解析：把（0，－3）代入y＝x2－2x＋c，得c＝－3. 令y＝x2－2x－3＝0，解得x1＝3，x2＝－1. ∴A（－1，0），B（3，0）. ∴AB＝3－（－1）＝4. 故答案为4. 4 　 　一元二次方程的根与抛物线的平移 利用平移来找一元二次方程的根的时候，注意理解抛物线的平移方式，再根 据平移方式来确定方程的解. 【例2】若二次函数y＝ax2－1的图象经过点（－2，0），则关于x的方程 a（x－2）2－1＝0的实数根为（　A　）. A. x1＝0，x2＝4 B. x1＝－2，x2＝6 C. x1＝ ，x2＝ D. x1＝－4，x2＝0 A 　 已知二次函数y＝x2＋bx＋c的最小值为－5，则一元二次方程x2 ＋bx＋c＋7＝0的根的情况是（　C　）. A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 无实数根 D. 无法确定 C 　 1. 若关于x的二次函数y＝－x2＋mx＋n的图象与x轴的交点坐标是（－1， 0）和（3，0），则关于x的一元二次方程－x2＋mx＋n＝0的解为 （　D　）. A. x1＝x2＝0 B. x1＝1，x2＝－3 C. x1＝1，x2＝0 D. x1＝－1，x2＝3 D 　 2. 若关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的两个根为x1＝－2，x2＝4，则 二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象的对称轴为（　C　）. A. 直线x＝－3 B. 直线x＝3 C. 直线x＝1 D. 直线x＝－1 C 　 3. （2024春•龙华区月考）如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c的对称轴是直线 x＝1，关于x的方程ax2＋bx＋c＝0的一个根为x＝4，则另一个根为 ⁠. x＝－2 　 4. （2025秋•深圳期中）在平面直角坐标系xOy中，若抛物线y＝x2＋2x＋k 与x轴只有一个交点，则k＝ ⁠. 5. （2025•宝安区二模）在平面直角坐标系中，将抛物线y＝（x＋1）（x－ 2）＋5向下平移5个单位长度，所得抛物线与x轴有两个公共点P，Q，则 PQ＝ ⁠. 1 3 　 6. 如图，二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与直线y＝3相交于点A（0，3） 和点B，对称轴为直线x＝2，那么关于x的一元二方程ax2＋bx＋c＝3的解 为 ⁠. x1＝0，x2＝4 　 7. 已知二次函数y＝ x2－mx＋m－1（m为常数）. （1）若点（2，－1）在该函数图象上，则m＝ ⁠； 解析：将（2，－1）代入y＝ x2－mx＋m－1， 得－1＝ ×22－2m＋m－1，解得m＝2.故答案为2. 2 　 （2）证明：该二次函数的图象与x轴有两个不同的公共点； 解：由题可知Δ＝（－m）2－4× ×（m－1）＝m2－2m＋2＝（m－1）2 ＋1. ∵（m－1）2≥0， ∴（m－1）2＋1＞0， ∴Δ＞0， ∴该二次函数的图象与x轴有两个不同的公共点. 　 （3）若该函数图象上有两个点A（m＋1，y1），B（m＋p，y2），当y1 ＜y2时，直接写出p的取值范围. 解：p＞1或p＜－1　 解析：该函数图象的对称轴为直线x＝－ ＝m， ∵二次项系数 ＞0，∴二次函数图象开口向上. ∵y1＜y2，∴点A（m＋1，y1）到对称轴的距离小于点B（m＋p，y2）到对称轴的距离， ∴｜m＋1－m｜＜｜m＋p－m｜，即｜p｜＞1，∴p＞1或p＜－1. 　 参考答案 【新课导学】 ①两个　②一个　③顶点　④没有 【例1】　解：（1）令y＝0，可得x2－3x－5＝0， 解得x＝ ， 所以二次函数y＝x2－3x－5的图象与x轴的交点坐标为 （ ，0）和（ ，0），如图1. 　 （2）令y＝0，可得－3x2＋22x－24＝0，解得x＝6或 ， 所以二次函数y＝－3x2＋22x－24的图象与x轴的交点坐标为（6，0）和 ，如图2. 　 变式训练1　4　解析：把（0，－3）代入y＝x2－2x＋c，得c＝－3. 令y＝x2－2x－3＝0，解得x1＝3，x2＝－1. ∴A（－1，0），B（3，0）. ∴AB＝3－（－1）＝4. 故答案为4. 【例2】　A 变式训练2　C 　 【随堂小测】 1. D　2.C　3.x＝－2　4.1　5.3　6.x1＝0，x2＝4 7. 解：（1）2　解析：将（2，－1）代入y＝ x2－mx＋m－1， 得－1＝ ×22－2m＋m－1，解得m＝2.故答案为2. （2）由题可知Δ＝（－m）2－4× ×（m－1）＝m2－2m＋2＝（m－1）2 ＋1. ∵（m－1）2≥0，∴（m－1）2＋1＞0，∴Δ＞0， ∴该二次函数的图象与x轴有两个不同的公共点. 　 （3）p＞1或p＜－1　 解析：该函数图象的对称轴为直线x＝－ ＝m， ∵二次项系数 ＞0，∴二次函数图象开口向上. ∵y1＜y2， ∴点A（m＋1，y1）到对称轴的距离小于点B（m＋p，y2）到对称轴的距 离， ∴｜m＋1－m｜＜｜m＋p－m｜，即｜p｜＞1， ∴p＞1或p＜－1. 　 $